В математической логике , особенно в дисциплине теории моделей , предел Фрэссе (также называемый конструкцией Фрэссе или амальгамацией Фрэссе ) — это метод, используемый для построения (бесконечных) математических структур из их (конечных) подструктур . Это частный пример более общей концепции прямого ограничения категории . [1] Метод был разработан в 1950-х годах его тезкой, французским логиком Роланом Фрэссе . [2]
Основная цель конструкции Фрэссе — показать, как можно аппроксимировать ( счетную ) структуру ее конечно порожденными подструктурами. Учитывая класс конечных реляционных структур , если он удовлетворяет определенным свойствам (описанным ниже), то существует уникальная счетная структура , называемая пределом Фрэссе , которая содержит все элементы как подструктуры .
Общее исследование пределов Фрэссе и связанных с ним понятий иногда называют теорией Фрэссе . Эта область нашла широкое применение в других разделах математики, включая топологическую динамику , функциональный анализ и теорию Рамсея . [3]
Исправьте язык . Под -структурой мы подразумеваем логическую структуру, имеющую подпись .
Учитывая -структуру с доменом и подмножеством , мы используем для обозначения наименьшей подструктуры , область которой содержит (т.е. замыкание по всем функциям и постоянным символам в ).
Подструктура тогда называется конечно порожденной, если для некоторого конечного подмножества . [4] Возраст , обозначенный , является классом всех конечно порожденных подструктур .
Можно доказать, что любой класс , являющийся возрастом некоторой структуры, удовлетворяет следующим двум условиям:
Наследственная собственность (HP)
Совместное вложение собственности (JEP)
Как и выше, мы отметили, что для любой -структуры удовлетворяются HP и JEP. Фрассе доказал своего рода обратный результат: когда существует какое-либо непустое счетное множество конечно порожденных -структур, обладающее двумя вышеуказанными свойствами, то это возраст некоторой счетной структуры.
Кроме того, предположим, что это удовлетворяет следующим дополнительным свойствам.
Существенная счетность (EC)
В этом случае мы говорим, что K — класс Фрессе и существует единственная (с точностью до изоморфизма) счетная однородная структура, возраст которой равен ровно . [5] Эта структура называется пределом Фрэссе .
Здесь однородный означает, что любой изоморфизм между двумя конечно порожденными подструктурами может быть расширен до автоморфизма всей структуры.
Типичным примером является класс всех конечных линейных порядков , для которых предел Фрэссе представляет собой плотный линейный порядок без концов (т. е. нет ни наименьшего, ни наибольшего элемента ). По теореме Кантора об изоморфизме с точностью до изоморфизма это всегда эквивалентно структуре , т. е. рациональным числам с обычным порядком.
В качестве примера отметим, что ни предел Фрэссе, ни предел . Это происходит потому, что, хотя оба они счетны и имеют возраст, ни один из них не является однородным. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим подструктуры и и изоморфизм между ними. Это не может быть расширено до автоморфизма или , поскольку не существует элемента, которому мы могли бы отобразить , сохраняя при этом порядок.
Другой пример — класс всех конечных графов , пределом Фрэссе которых является граф Радо . [1]
Для любого простого числа p предел Фрессе класса конечных полей характеристики p является алгебраическим замыканием .
Предел Фрассе класса конечных абелевых p -групп равен (прямая сумма счетного числа копий группы Прюфера ). Предел Фрессе класса всех конечных абелевых групп равен .
Пределом Фрэссе класса всех конечных групп является универсальная группа Холла .
Предел Фрэссе класса нетривиальных конечных булевых алгебр — это единственная счетная безатомная булева алгебра.
Рассматриваемый класс называется равномерно локально конечным, если для каждого существует равномерная граница размера -порожденных (подструктур) структур в . Предел Фрэссе ω -категоричен тогда и только тогда, когда равномерно локально конечен. [6] Если равномерно локально конечно, то предел Фрэссе имеет устранение квантора . [6]
Если язык конечен и состоит только из отношений и констант, то он автоматически равномерно локально конечен.
Например, класс конечномерных векторных пространств над фиксированным полем всегда является классом Фрэссе, но он равномерно локально конечен только в том случае, если поле конечно. Класс конечных булевых алгебр равномерно локально конечен, тогда как классы конечных полей заданной характеристики или конечных групп или абелевых групп не являются таковыми, поскольку 1-порожденные структуры в этих классах могут иметь сколь угодно большой конечный размер.
{{cite book}}
: CS1 maint: другие ( ссылка )