В математике гипотеза — это вывод или утверждение , выдвинутое предварительно без доказательства . [1] [2] [3] Некоторые гипотезы, такие как гипотеза Римана (все еще гипотеза) или Великая теорема Ферма (гипотеза, пока не была доказана в 1995 году Эндрю Уайлсом ), сформировали большую часть математической истории, поскольку появляются новые области математики. разработаны для того, чтобы доказать их. [4]
Формальная математика основана на доказуемой истине. В математике любое количество случаев, подтверждающих универсально количественную гипотезу, независимо от ее размера, недостаточно для установления ее достоверности, поскольку единственный контрпример может немедленно опровергнуть гипотезу. Математические журналы иногда публикуют незначительные результаты исследовательских групп, которые расширили поиск контрпримера дальше, чем это делалось раньше. Например, гипотеза Коллатца , касающаяся того, завершаются ли определенные последовательности целых чисел , была проверена для всех целых чисел до 1,2 × 10 12 (более триллиона). Однако неспособность найти контрпример после обширного поиска не является доказательством того, что гипотеза верна, поскольку гипотеза может быть ложной, но с очень большим минимальным контрпримером.
Тем не менее математики часто считают, что гипотеза убедительно подтверждается фактами, даже если она еще не доказана. Эти доказательства могут быть различного рода, например, проверка последствий или сильная взаимосвязь с известными результатами. [5]
Гипотеза считается доказанной только тогда, когда доказано, что ее ложность логически невозможна. Существуют различные способы сделать это; более подробную информацию см. в методах математического доказательства .
Один метод доказательства, применимый, когда существует только конечное число случаев, которые могут привести к контрпримерам, известен как « грубая сила »: в этом подходе рассматриваются все возможные случаи и показано, что они не дают контрпримеров. В некоторых случаях количество случаев довольно велико, и в этом случае доказательство методом грубой силы может на практике потребовать использования компьютерного алгоритма для проверки всех случаев. Например, достоверность компьютерных доказательств грубой силы теоремы о четырех цветах в 1976 и 1997 годах первоначально вызывала сомнения, но в конечном итоге была подтверждена в 2005 году программным обеспечением для доказательства теорем .
Когда гипотеза доказана , это уже не гипотеза, а теорема . Многие важные теоремы когда-то были гипотезами, например, теорема о геометризации (которая разрешила гипотезу Пуанкаре ), Великая теорема Ферма и другие.
Гипотезы, опровергнутые с помощью контрпримеров, иногда называют ложными гипотезами (ср. гипотезу Полиа и гипотезу Эйлера о сумме степеней ). В последнем случае первый контрпример, найденный для случая n=4, включал числа в миллионах, хотя впоследствии было обнаружено, что минимальный контрпример на самом деле меньше.
Не каждая гипотеза в конечном итоге оказывается истинной или ложной. Гипотеза континуума , которая пытается установить относительную мощность некоторых бесконечных множеств , в конечном итоге оказалась независимой от общепринятого набора аксиом Цермело-Френкеля теории множеств. Следовательно, можно последовательно принять это утверждение или его отрицание в качестве новой аксиомы (так же, как постулат Евклида о параллельности может считаться либо истинным, либо ложным в аксиоматической системе геометрии).
В этом случае, если доказательство использует это утверждение, исследователи часто будут искать новое доказательство, которое не требует гипотезы (точно так же, как желательно, чтобы утверждения евклидовой геометрии доказывались с использованием только аксиом нейтральной геометрии, т.е. без постулата о параллельности). Единственным серьезным исключением из этого правила на практике является аксиома выбора , поскольку большинство исследователей обычно не беспокоятся о том, требует ли этого результат, — если только они не изучают именно эту аксиому.
Иногда гипотезу называют гипотезой , если она часто и неоднократно используется в качестве предположения при доказательстве других результатов. Например, гипотеза Римана — это гипотеза теории чисел , которая, помимо прочего, делает предсказания о распределении простых чисел . Лишь немногие теоретики чисел сомневаются в истинности гипотезы Римана. Более того, в ожидании окончательного доказательства некоторые даже приступили к разработке дальнейших доказательств, которые зависят от истинности этой гипотезы. Они называются условными доказательствами : предполагаемые гипотезы на данный момент фигурируют в гипотезах теоремы.
Однако эти «доказательства» развалились бы, если бы выяснилось, что гипотеза ложна, поэтому существует значительный интерес к проверке истинности или ложности гипотез такого типа.
В теории чисел Великая теорема Ферма (иногда называемая гипотезой Ферма , особенно в старых текстах) утверждает, что никакие три положительных целых числа не могут удовлетворять уравнению для любого целого значения, большего двух.
Эта теорема была впервые высказана Пьером де Ферма в 1637 году на полях экземпляра «Арифметики» , где он утверждал, что у него есть доказательство, которое было слишком большим, чтобы поместиться на полях. [6] Первое успешное доказательство было опубликовано в 1994 году Эндрю Уайлсом и официально опубликовано в 1995 году, после 358 лет усилий математиков. Нерешенная проблема стимулировала развитие алгебраической теории чисел в 19 веке и доказательство теоремы модульности в 20 веке. Это одна из самых выдающихся теорем в истории математики , и до ее доказательства она входила в Книгу рекордов Гиннеса как «самые сложные математические задачи». [7]
В математике теорема о четырех цветах или теорема о четырех цветных картах утверждает, что при любом разделении плоскости на смежные области, создающем фигуру, называемую картой , для окраски областей карты требуется не более четырех цветов — так что никакие две соседние области не имеют одинакового цвета. Две области называются смежными, если они имеют общую границу, не являющуюся углом, где углами являются точки, общие для трех или более областей. [8] Например, на карте Соединенных Штатов Америки Юта и Аризона соседствуют, а Юта и Нью-Мексико, которые имеют только одну точку , также принадлежащую Аризоне и Колорадо, — нет.
Мёбиус упомянул проблему в своих лекциях ещё в 1840 году. [9] Впервые гипотеза была высказана 23 октября 1852 года [10] , когда Фрэнсис Гатри , пытаясь раскрасить карту графств Англии, заметил, что только четыре разных цвета были нужный. Теорема о пяти цветах , имеющая краткое элементарное доказательство, утверждает, что пяти цветов достаточно, чтобы раскрасить карту, и была доказана в конце 19 века; [11] однако доказать, что четырех цветов достаточно, оказалось значительно сложнее. Со времени первого утверждения теоремы о четырех цветах в 1852 году появился ряд ложных доказательств и ложных контрпримеров .
Теорема о четырех цветах была окончательно доказана в 1976 году Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном . Это была первая крупная теорема , доказанная с помощью компьютера . Подход Аппеля и Хакена начался с демонстрации того, что существует определенный набор из 1936 карт, каждая из которых не может быть частью наименьшего контрпримера к теореме о четырех цветах (т. е., если бы они действительно появились, можно было бы создать меньший контрпример). ). Аппель и Хакен использовали специальную компьютерную программу, чтобы подтвердить, что каждая из этих карт обладает этим свойством. Кроме того, любая карта, которая потенциально может быть контрпримером, должна иметь часть, похожую на одну из этих 1936 карт. Показав это на сотнях страниц анализа рук, Аппель и Хакен пришли к выводу, что не существует наименьшего контрпримера, поскольку любой из этих 1936 карт должен содержать, но не содержит. Это противоречие означает, что контрпримеров вообще нет и, следовательно, теорема верна. Первоначально их доказательство вообще не было принято математиками, потому что компьютерное доказательство было невозможно проверить человеком вручную. [12] Однако с тех пор доказательство получило более широкое признание, хотя сомнения все еще остаются. [13]
Hauptvermutung (по-немецки «основная гипотеза») геометрической топологии — это гипотеза о том, что любые две триангуляции триангулируемого пространства имеют общее уточнение, единственную триангуляцию, которая является подразделением их обеих. Первоначально он был сформулирован в 1908 году Стейницем и Титце . [14]
Теперь известно, что эта гипотеза ошибочна. Немногообразная версия была опровергнута Джоном Милнором [15] в 1961 году с использованием кручения Райдемайстера .
Версия многообразия верна для размерностей m ≤ 3 . Случаи m = 2 и 3 были доказаны Тибором Радо и Эдвином Мойзе [16] в 1920-х и 1950-х годах соответственно.
В математике гипотезы Вейля были весьма влиятельными предложениями Андре Вейля (1949) о производящих функциях (известных как локальные дзета-функции ), полученных в результате подсчета количества точек на алгебраических многообразиях над конечными полями .
Многообразие V над конечным полем с q элементами имеет конечное число рациональных точек , а также точек над каждым конечным полем с qk элементами , содержащими это поле. Производящая функция имеет коэффициенты, полученные из числа N k точек в (по существу уникальном) поле с q k элементами.
Вейль предположил, что такие дзета-функции должны быть рациональными функциями , удовлетворять форме функционального уравнения и иметь нули в ограниченных местах. Последние две части были вполне сознательно смоделированы на основе дзета-функции Римана и гипотезы Римана . Рациональность была доказана Дворком (1960), функциональное уравнение - Гротендиком (1965), а аналог гипотезы Римана был доказан Делинем (1974).
В математике гипотеза Пуанкаре — это теорема о характеристике 3 -сферы , которая является гиперсферой, ограничивающей единичный шар в четырехмерном пространстве. Гипотеза гласит, что:
Каждое односвязное замкнутое 3- многообразие гомеоморфно 3 -сфере .
Эквивалентная форма гипотезы включает более грубую форму эквивалентности, чем гомеоморфизм, называемую гомотопической эквивалентностью : если 3-многообразие гомотопически эквивалентно 3-сфере, то оно обязательно гомеоморфно ей.
Первоначально выдвинутая Анри Пуанкаре в 1904 году гипотеза, эта теорема касается пространства, которое локально выглядит как обычное трехмерное пространство, но связно, имеет конечный размер и не имеет границ (замкнутое трехмерное многообразие ). Гипотеза Пуанкаре утверждает, что если такое пространство обладает дополнительным свойством, заключающимся в том, что каждую петлю в пространстве можно непрерывно стягивать к точке, то оно обязательно является трехмерной сферой. Аналогичный результат уже некоторое время известен в высших измерениях.
После почти столетия усилий математиков Григорий Перельман представил доказательство гипотезы в трех статьях, опубликованных в 2002 и 2003 годах на arXiv . Доказательство основывалось на программе Ричарда С. Гамильтона по использованию потока Риччи для решения проблемы. Позже Гамильтон представил модификацию стандартного потока Риччи, названную потоком Риччи, с хирургическим вмешательством по систематическому удалению отдельных областей по мере их развития контролируемым образом, но не смог доказать, что этот метод «сходится» в трех измерениях. [17] Перельман завершил эту часть доказательства. Несколько групп математиков подтвердили правильность доказательства Перельмана.
Гипотеза Пуанкаре, прежде чем она была доказана, была одним из наиболее важных открытых вопросов топологии .
В математике гипотеза Римана , предложенная Бернхардом Риманом (1859), представляет собой гипотезу о том, что все нетривиальные нули дзета-функции Римана имеют действительную часть 1/2. Это название также используется для некоторых тесно связанных аналогов, таких как гипотеза Римана для кривых над конечными полями .
Гипотеза Римана подразумевает результаты о распределении простых чисел . Наряду с соответствующими обобщениями некоторые математики считают ее важнейшей нерешенной проблемой чистой математики . [18] Гипотеза Римана, наряду с гипотезой Гольдбаха , является частью восьмой проблемы Гильберта в списке Дэвида Гильберта из 23 нерешённых проблем ; это также одна из задач Премии тысячелетия Института математики Клэя .
Проблема P и NP является основной нерешенной проблемой в информатике . Неформально он спрашивает, может ли каждая проблема, решение которой может быть быстро проверено компьютером, также быстро решена с помощью компьютера; широко распространено мнение, что ответ — нет. По сути, впервые он был упомянут в письме Курта Гёделя Джону фон Нейману в 1956 году . Гёдель задавался вопросом, можно ли решить определенную NP-полную задачу за квадратичное или линейное время. [19] Точная формулировка проблемы P=NP была введена в 1971 году Стивеном Куком в его основополагающей статье «Сложность процедур доказательства теорем» [20] и многими считается самой важной открытой проблемой в этой области. [21] Это одна из семи задач «Премии тысячелетия» , выбранных Математическим институтом Клея для вручения премии в размере 1 000 000 долларов США за первое правильное решение.
Карл Поппер был пионером в использовании термина «гипотеза» в научной философии . [24] Гипотеза связана с гипотезой , которая в науке относится к проверяемой гипотезе.
Из этой статьи: Определения: Плоская карта — это набор попарно непересекающихся подмножеств плоскости, называемых областями.
Простая карта — это карта, регионы которой представляют собой связанные открытые множества.
Две области карты являются смежными, если их соответствующие замыкания имеют общую точку, не являющуюся углом карты.
Точка является углом карты тогда и только тогда, когда она принадлежит замыканиям как минимум трех регионов.
Теорема: области любой простой плоской карты можно раскрасить только четырьмя цветами, так что любые две соседние области будут иметь разные цвета.
СМИ, связанные с предположениями, на Викискладе?
