Приливной тензор

В теории гравитации Ньютона и в различных релятивистских классических теориях гравитации , таких как общая теория относительности , приливный тензор представляет собой

1. приливные ускорения облака (электрически нейтральных, невращающихся) пробных частиц ,
2. приливные напряжения в небольшом объекте, погруженном в окружающее гравитационное поле.

Тензор приливов представляет собой относительное ускорение силы тяжести двух пробных масс, разделенных бесконечно малым расстоянием. Компонент представляет собой относительное ускорение в направлении, возникающее в результате смещения в этом направлении. ${\displaystyle \Phi _{{a}{b}}}$ ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle {\hat {b}}}$

Тензор приливов для сферического тела

Наиболее распространенным примером приливов является приливная сила вокруг сферического тела ( например , планеты или луны). Здесь мы вычисляем приливный тензор гравитационного поля вне изолированного сферически-симметричного массивного объекта. Согласно закону тяготения Ньютона, ускорение a на расстоянии r от центральной массы m равно

${\displaystyle a=-Gm/r^{2}}$

(чтобы упростить математику, в следующих выводах мы используем соглашение о присвоении гравитационной постоянной G равной единице. Чтобы вычислить дифференциальные ускорения, результаты необходимо умножить на G.)

Примем систему полярных координат для нашего трехмерного евклидова пространства и рассмотрим бесконечно малые смещения в радиальном и азимутальном направлениях и , которым присвоены индексы 1, 2 и 3 соответственно. ${\displaystyle \partial _{r},\partial _{\theta },}$ ${\displaystyle \partial _{\phi }}$

${\displaystyle {\vec {\epsilon }}_{1}=\partial _{r},\;{\vec {\epsilon }}_{2}={\frac {1}{r}}\,\partial _{\theta },\;{\vec {\epsilon }}_{3}={\frac {1}{r\sin \theta }}\,\partial _{\phi }}$

Мы непосредственно вычислим каждую компоненту приливного тензора, выраженную в этом кадре. Сначала сравним силы гравитации на два соседних объекта, лежащих на одной радиальной линии, на расстояниях от центрального тела, отличающихся на расстояние h :

${\displaystyle m/(r+h)^{2}-m/r^{2}=-2mh/r^{3}+3mh^{2}/r^{4}+O(h^{3})}$

Поскольку при обсуждении тензоров мы имеем дело с полилинейной алгеброй , мы сохраняем только члены первого порядка, поэтому . Поскольку ускорение в направлении или из-за смещения в радиальном направлении отсутствует , остальные радиальные члены равны нулю: . ${\displaystyle \Phi _{11}=-2m/r^{3}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Phi _{12}=\Phi _{13}=0}$

Аналогичным образом мы можем сравнить гравитационную силу, действующую на двух соседних наблюдателей, лежащих на одном и том же радиусе, но смещенных на (бесконечно малое) расстояние h в направлении или . Используя элементарную тригонометрию и приближение малых углов, мы находим, что векторы сил отличаются на вектор, касательный к сфере, величина которой равна ${\displaystyle r=r_{0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,\sin(\theta )\approx {\frac {m}{r_{0}^{2}}}\,{\frac {h}{r_{0}}}={\frac {m}{r_{0}^{3}}}\,h}$

Используя приближение малого угла, мы проигнорировали все члены порядка , поэтому тангенциальные компоненты равны . Опять же, поскольку ускорение в радиальном направлении из-за смещений в любом из азимутальных направлений отсутствует, остальные азимутальные члены равны нулю: . ${\displaystyle O(h^{2})}$ ${\displaystyle \Phi _{22}=\Phi _{33}=m/r^{3}}$ ${\displaystyle \Phi _{21}=\Phi _{31}=0}$

Объединив эту информацию, мы обнаруживаем, что приливный тензор диагональен с компонентами системы координат. Это кулоновская форма , характерная для сферически симметричных центральных силовых полей в ньютоновской физике. ${\displaystyle \Phi _{{\hat {a}}{\hat {b}}}={\frac {m}{r^{3}}}\operatorname {diag} (-2,1,1)}$

Гессенская формулировка

В более общем случае, когда масса не является единым сферически-симметричным центральным объектом, приливный тензор может быть получен из гравитационного потенциала , который подчиняется уравнению Пуассона : ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \Delta U=4\pi \,\mu }$

где – массовая плотность любого присутствующего вещества и где – оператор Лапласа . Обратите внимание, что из этого уравнения следует, что в вакуумном растворе потенциал представляет собой просто гармоническую функцию . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Delta }$

Приливный тензор задается бесследовой частью ^[1]

${\displaystyle \Phi _{ab}=J_{ab}-{\frac {1}{3}}\,{J^{m}}_{m}\,\eta _{ab}}$

земли Гессен

${\displaystyle J_{ab}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{a}\,\partial x^{b}}}}$

где мы используем стандартную декартову карту для E ³ с евклидовым метрическим тензором

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\;-\infty <x,y,z<\infty }$

Используя стандартные результаты векторного исчисления, их легко преобразовать в выражения, действительные в других координатных картах, таких как полярная сферическая карта.

${\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\rho ^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right)}$

${\displaystyle 0<\rho <\infty ,\;0<\theta <\pi ,\;-\pi <\phi <\pi }$

Сферически симметричное поле

В качестве примера мы можем вычислить приливный тензор для сферического тела, используя гессиан. Далее, давайте подставим гравитационный потенциал в гессиан. Мы можем преобразовать приведенное выше выражение в выражение, действительное в полярных сферических координатах, или мы можем преобразовать потенциал в декартовы координаты перед подключением. Приняв второй курс, мы имеем , что дает ${\displaystyle U=-m/\rho }$ ${\displaystyle U=-m/{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

${\displaystyle \Phi _{ab}={\frac {m}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{5/2}}}\,\left[{\begin{matrix}y^{2}+z^{2}-2x^{2}&-3xy&-3xz\\-3xy&x^{2}+z^{2}-2y^{2}&-3yz\\-3xz&-3yz&x^{2}+y^{2}-2z^{2}\end{matrix}}\right]}$

После поворота нашей системы координат, адаптированной к полярным сферическим координатам, это выражение согласуется с нашим предыдущим результатом. Самый простой способ убедиться в этом — установить нулевое значение, чтобы недиагональные члены исчезли и , а затем вызвать сферическую симметрию. ${\displaystyle y,z}$ ${\displaystyle \rho =x}$

В общей теории относительности

В общей теории относительности приливный тензор обобщается тензором кривизны Римана . В пределе слабого поля приливный тензор задается компонентами тензора кривизны. ${\displaystyle \Phi _{ij}={R}_{i0j0}}$

Смотрите также

• Приливная сила
• Тензор напряжений

Рекомендации

1. Балдауф, Тобиас; Селяк, Урос; Дежак, Винсент; Макдональд, Патрик (13 января 2018 г.). «Доказательства квадратичного смещения приливного тензора из биспектра гало». Физический обзор D . 86 (8): 083540. arXiv : 1201.4827 . Бибкод : 2012PhRvD..86h3540B. doi : 10.1103/PhysRevD.86.083540. S2CID  21681130.

Внешние ссылки

• Сперхак, Ульрих. «Конспекты лекций по общей теории относительности, часть II» (PDF) : 19 . Проверено 13 января 2018 г. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
• Рено, Ф.; Бойли, СМ; Нааб, Т.; Тайс, Ч. (20 ноября 2009 г.). «Полностью сжимающие приливы при слиянии галактик». Астрофизический журнал . 706 (1): 68. arXiv : 0910.0196 . Бибкод : 2009ApJ...706...67R. дои : 10.1088/0004-637X/706/1/67. S2CID  15831572.
• Дюк, Пьер-Ален; Рено, Флоран. «Гравитационный потенциал и приливной тензор». ned.ipac.caltech.edu . Калтех . Проверено 13 января 2018 г.