stringtranslate.com

Узел (математика)

Таблица всех простых узлов с семью или менее пересечениями (не включая зеркальные отражения)
Простой узел становится узлом-трилистником, если соединить концы.
Треугольник связан с узлом трилистника.
Крендельный хлеб в форме узла 7 на 4

В математике узел — это вложение окружности ( S 1 ) в трехмерное евклидово пространство R 3 ( также известное как E 3 ). Часто два узла считаются эквивалентными, если они являются окружающими изотопами , то есть если существует непрерывная деформация R 3 , которая переводит один узел в другой.

Решающее различие между стандартными математическими и общепринятыми понятиями узла заключается в том, что математические узлы замкнуты — нет концов, которые можно было бы завязать или развязать на математическом узле. Физические свойства, такие как трение и толщина, также не применяются, хотя существуют математические определения узла, которые учитывают такие свойства. Термин узел также применяется к вложениям S j  в S n , особенно в случае j = n − 2 . Раздел математики, изучающий узлы, известен как теория узлов и имеет много связей с теорией графов .

Формальное определение

Узел — это вложение окружности ( S 1 ) в трехмерное евклидово пространство ( R 3 ), [1] или 3-сферу ( S 3 ) , поскольку 3-сфера компактна . [2] [Примечание 1] Два узла определяются как эквивалентные, если между ними существует окружающая изотопия . [3]

Проекция

Узел в R 3 (или, альтернативно, в 3-сфере ,  S 3 ), может быть спроецирован на плоскость  R 2 (соответственно, сферу  S 2 ). Эта проекция почти всегда регулярна , то есть она инъективна всюду, за исключением конечного числа точек пересечения, которые являются проекциями только двух точек узла, и эти точки не коллинеарны . В этом случае, выбрав сторону проекции, можно полностью закодировать класс изотопии узла его регулярной проекцией, записав простую информацию о над/под в этих пересечениях. В терминах теории графов регулярная проекция узла, или диаграмма узла, таким образом, является четырехвалентным планарным графом с над/под-декорированными вершинами. Локальные модификации этого графа, которые позволяют перейти от одной диаграммы к любой другой диаграмме того же узла (с точностью до изотопии окружающей среды плоскости), называются движениями Рейдемейстера .

Виды узлов

Узел можно развязать, если петля порвалась.

Самый простой узел, называемый тривиальным узлом, представляет собой круглый круг, вложенный в R 3 . [4] В обычном смысле слова тривиальный узел вообще не «завязан». Самые простые нетривиальные узлы — это трилистник ( 3 1 в таблице), восьмерка ( 4 1 ) и лапчатка ( 5 1 ). [5]

Несколько узлов, связанных или спутанных вместе, называются связями . Узлы — это связи с одним компонентом.

Ручные и дикие узлы

Дикий узел

Полигональный узел — это узел, изображение которого в R 3 является объединением конечного набора отрезков прямых . [6] Ручной узел — это любой узел, эквивалентный полигональному узлу. [6] [Примечание 2] Узлы, которые не являются ручными, называются дикими , [7] и могут иметь патологическое поведение. [7] В теории узлов и теории 3-многообразий часто опускается прилагательное «ручной». Например, гладкие узлы всегда ручные.

Узел в рамке

Оснащенный узел является расширением ручного узла до вложения полнотория D2 × S1 в S3 .

Оснащение узла — это число зацепления образа ленты I × S 1 с узлом. Оснащенный узел можно рассматривать как вложенную ленту, а обрамление — это (знаковое) число поворотов. [8] Это определение обобщается до аналогичного для оснащённых связей . Оснащённые связи называются эквивалентными, если их расширения на полноторы являются объемлющими изотопными.

Диаграммы связей с рамками — это диаграммы связей, в которых каждый компонент отмечен, для указания обрамления, целым числом, представляющим наклон относительно меридиана и предпочтительной долготы. Стандартный способ просмотра диаграммы связей без маркировки как представляющей обрамленную связь — использовать обрамление доски . Это обрамление получается путем преобразования каждого компонента в ленту, лежащую плашмя на плоскости. Движение Рейдемейстера типа I явно изменяет обрамление доски (оно изменяет количество поворотов в ленте), но два других движения этого не делают. Замена движения типа I на модифицированное движение типа I дает для диаграмм связей с обрамлением доски результат, аналогичный теореме Рейдемейстера: диаграммы связей с обрамлением доски представляют эквивалентные обрамленные связи тогда и только тогда, когда они соединены последовательностью (модифицированных) движений типа I, II и III. Для заданного узла можно определить бесконечно много обрамлений на нем. Предположим, что нам дан узел с фиксированным обрамлением. Можно получить новое обрамление из существующего, разрезав ленту и скрутив ее на целое число, кратное 2π, вокруг узла, а затем снова приклеив ее в том месте, где мы сделали разрез. Таким образом, получается новое обрамление из старого, с точностью до отношения эквивалентности для обрамленных узлов, оставляя узел неподвижным. [9] Обрамление в этом смысле связано с числом поворотов, которые векторное поле совершает вокруг узла. Знание того, сколько раз векторное поле скручено вокруг узла, позволяет определить векторное поле с точностью до диффеоморфизма, а класс эквивалентности обрамления полностью определяется этим целым числом, называемым целым числом обрамления.

Дополнение к узлу

Узел, дополнение которого имеет нетривиальное разложение JSJ

Если задан узел в 3-сфере, то дополнением узла являются все точки 3-сферы, не содержащиеся в узле. Основная теорема Гордона и Люке утверждает, что не более двух узлов имеют гомеоморфные дополнения (исходный узел и его зеркальное отражение). Это фактически превращает изучение узлов в изучение их дополнений, и в свою очередь в теорию 3-многообразий . [10]

Разложение JSJ

Разложение JSJ и теорема Терстона о гиперболизации сводят изучение узлов в 3-сфере к изучению различных геометрических многообразий посредством операций сращивания или спутников . В изображенном узле разложение JSJ разбивает дополнение на объединение трех многообразий: двух дополнений трилистника и дополнения колец Борромео . Дополнение трилистника имеет геометрию H 2 × R , в то время как дополнение колец Борромео имеет геометрию H 3 .

Гармонические узлы

Параметрические представления узлов называются гармоническими узлами. Аарон Траутвайн составил параметрические представления для всех узлов вплоть до узлов с числом пересечений 8 в своей докторской диссертации. [11] [12]

Приложения к теории графов

Таблица всех простых узлов с числом пересечений до семи , представленная в виде диаграмм узлов с их срединным графом.

Медиальный график

Знаковый планарный граф, связанный с диаграммой узла.
Левая направляющая
Правильный проводник

Другое удобное представление диаграмм узлов [13] [14] было введено Питером Тейтом в 1877 году. [15] [16]

Любая диаграмма узлов определяет плоский граф, вершинами которого являются перекрестки, а ребрами — пути между последовательными перекрестками. Ровно одна грань этого плоского графа является неограниченной; каждая из остальных гомеоморфна двумерному диску . Раскрасьте эти грани в черный или белый цвет так, чтобы неограниченная грань была черной, а любые две грани, имеющие общее граничное ребро, имели противоположные цвета. Теорема о кривой Жордана подразумевает, что существует ровно одна такая раскраска.

Мы строим новый плоский граф, вершинами которого являются белые грани, а ребра соответствуют пересечениям. Мы можем обозначить каждое ребро в этом графе как левое или правое ребро, в зависимости от того, какая нить, по-видимому, проходит над другой, когда мы смотрим на соответствующее пересечение с одной из конечных точек ребра. Левые и правые ребра обычно обозначаются маркировкой левых ребер + и правых ребер – или путем рисования левых ребер сплошными линиями, а правых ребер пунктирными линиями.

Исходная диаграмма узла — это медиальный граф этого нового плоского графа, причем тип каждого пересечения определяется знаком соответствующего ребра. Изменение знака каждого ребра соответствует отражению узла в зеркале .

Встраивание без звеньев и узлов

Семь графов в семействе Петерсена . Независимо от того, как эти графы встроены в трехмерное пространство, некоторые два цикла будут иметь ненулевое число зацеплений .

В двух измерениях только планарные графы могут быть вложены в евклидову плоскость без пересечений, но в трех измерениях любой неориентированный граф может быть вложен в пространство без пересечений. Однако пространственный аналог планарных графов обеспечивают графы с вложениями без зацеплений и вложениями без узлов . Вложение без зацеплений — это вложение графа со свойством, что любые два цикла не связаны ; вложение без узлов — это вложение графа со свойством, что любой одиночный цикл не связан . Графы, имеющие вложения без зацеплений, имеют запрещенную характеристику графа, включающую семейство Петерсена , набор из семи графов, которые внутренне связаны: независимо от того, как они вложены, некоторые два цикла будут связаны друг с другом. [17] Полная характеристика графов с безузловыми вложениями неизвестна, но полный граф K 7 является одним из минимальных запрещённых графов для безузлового вложения: независимо от того, как вложен K 7 , он будет содержать цикл, который образует трилистник . [18]

Обобщение

В современной математике термин узел иногда используется для описания более общего явления, связанного с вложениями. Если задано многообразие M с подмногообразием N , иногда говорят, что N может быть заузлено в M , если существует вложение N в M , которое не изотопно N . Традиционные узлы образуют случай, когда N = S 1 и M = R 3 или M = S 3 . [19] [20]

Теорема Шёнфлиса утверждает, что окружность не завязывается в 2-сфере: каждая топологическая окружность в 2-сфере изотопна геометрической окружности. [21] Теорема Александера утверждает, что 2-сфера не завязывается гладко (или PL или топологически укрощена) в 3-сфере. [22] В укрощенной топологической категории известно, что n -сфера не завязывается в n + 1 -сфере для всех n . Это теорема Мортона Брауна , Барри Мазура и Марстона Морса . [23] Рогатая сфера Александера является примером завязанной 2-сферы в 3-сфере, которая не является укрощенной. [24] В гладкой категории известно , что n -сфера не завязывается в n + 1 -сфере при условии, что n ≠ 3 . Случай n = 3 представляет собой давно не решенную проблему, тесно связанную с вопросом: допускает ли 4-шар экзотическую гладкую структуру ?

Андре Хефлигер доказал, что в S n нет гладких j -мерных узлов при условии 2 n − 3 j − 3 > 0 , и привел дополнительные примеры заузленных сфер для всех n > j ≥ 1 , таких что 2 n − 3 j − 3 = 0 . n − j называется коразмерностью узла. Интересным аспектом работы Хефлигера является то, что изотопические классы вложений S j в S n образуют группу с групповой операцией, заданной суммой соединения, при условии, что коразмерность больше двух. Хефлигер основывал свою работу на теореме Стивена Смейла о h -кобордизме . Одна из теорем Смейла заключается в том, что когда мы имеем дело с узлами в коразмерности больше двух, даже неэквивалентные узлы имеют диффеоморфные дополнения. Это придает предмету иной оттенок, чем теория узлов коразмерности 2. Если допустить топологические или PL-изотопии, то Кристофер Зееман доказал, что сферы не завязываются в узлы, когда коразмерность больше 2. См. обобщение на многообразия . 

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Обратите внимание, что 3-сфера эквивалентна R 3 с одной точкой, добавленной на бесконечности (см. компактификацию по одной точке ).
  2. ^ Узел является ручным тогда и только тогда, когда его можно представить в виде конечной замкнутой многоугольной цепи.

Ссылки

  1. ^ Армстронг (1983), стр. 213.
  2. ^ Кромвель 2004, стр. 33; Адамс 1994, стр. 246–250
  3. ^ Кромвель (2004), стр. 5.
  4. ^ Адамс (1994), стр. 2.
  5. ^ Адамс 1994, Таблица 1.1, стр. 280; Ливингстон 1993, Приложение A: Таблица узлов, стр. 221
  6. ^ ab Armstrong 1983, стр. 215
  7. ^ ab Чарльз Ливингстон (1993). Теория узлов. Cambridge University Press. стр. 11. ISBN 978-0-88385-027-5.
  8. ^ Кауфман, Луис Х. (1990). "Инвариант регулярной изотопии" (PDF) . Труды Американского математического общества . 318 (2): 417–471. doi : 10.1090/S0002-9947-1990-0958895-7 .
  9. ^ Эльхамдади, Мохамед; Хаджидж, Мустафа; Иштван, Кайл (2019), Узлы в рамке , arXiv : 1910.10257.
  10. ^ Адамс 1994, стр. 261–2
  11. ^ Траутвайн, Аарон К. (1995). Гармонические узлы (PhD). Dissertation Abstracts International. Т. 56–06. Университет Айовы. С. 3234. OCLC  1194821918. ProQuest  304216894.
  12. ^ Траутвайн, Аарон К. (1998). "18. Введение в гармонические узлы". В Стасяк, Анджей; Катрич, Всеволод; Кауфман, Луис Х. (ред.). Идеальные узлы . World Scientific. стр. 353–363. ISBN 978-981-02-3530-7.
  13. ^ Адамс, Колин С. (2004). "§2.4 Узлы и планарные графы". Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов . Американское математическое общество. стр. 51–55. ISBN 978-0-8218-3678-1.
  14. ^ Учебник Entrelacs.net
  15. ^ Тейт, Питер Г. (1876–1877). «Об узлах I». Труды Королевского общества Эдинбурга . 28 : 145–190. doi :10.1017/S0080456800090633. Пересмотрено 11 мая 1877 г.
  16. ^ Тейт, Питер Г. (1876–1877). «О связях (реферат)». Труды Королевского общества Эдинбурга . 9 (98): 321–332. doi :10.1017/S0370164600032363.
  17. ^ Робертсон, Нил ; Сеймур, Пол ; Томас, Робин (1993), «Обзор вложений без ссылок», в Робертсон, Нил ; Сеймур, Пол (ред.), Теория структуры графа: Труды. AMS–IMS–SIAM Совместная летняя исследовательская конференция по незначительным графам (PDF) , Contemporary Mathematics, т. 147, Американское математическое общество, стр. 125–136.
  18. ^ Рамирес Альфонсин, JL (1999), «Пространственные графы и ориентированные матроиды: трилистник», Дискретная и вычислительная геометрия , 22 (1): 149–158, doi : 10.1007/PL00009446.
  19. ^ Картер, Дж. Скотт; Сайто, Масахико (1998). Узловые поверхности и их диаграммы . Математические обзоры и монографии. Том 55. Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0593-2. МР  1487374.
  20. ^ Камада, Сейичи (2017). Поверхностные узлы в 4-пространстве . Springer Monographs in Mathematics. Springer. doi :10.1007/978-981-10-4091-7. ISBN 978-981-10-4090-0. МР  3588325.
  21. ^ Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1988). Топология (2-е изд.). Dover Publications. стр. 175. ISBN 0-486-65676-4. МР  1016814.
  22. ^ Калегари, Дэнни (2007). Слоения и геометрия 3-многообразий. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press. стр. 161. ISBN 978-0-19-857008-0. МР  2327361.
  23. ^ Мазур, Барри (1959). «О вложениях сфер». Бюллетень Американского математического общества . 65 (2): 59–65. doi : 10.1090/S0002-9904-1959-10274-3 . MR  0117693. Браун, Мортон (1960). «Доказательство обобщенной теоремы Шёнфлиса». Бюллетень Американского математического общества . 66 (2): 74–76. doi : 10.1090/S0002-9904-1960-10400-4 . MR  0117695. Морзе, Марстон (1960). «Сокращение проблемы расширения Шёнфлиса». Бюллетень Американского математического общества . 66 (2): 113–115. doi : 10.1090/S0002-9904-1960-10420-X . MR  0117694.
  24. ^ Alexander, JW (1924). «Пример просто связной поверхности, ограничивающей область, которая не является просто связной». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 10 (1). Национальная академия наук: 8–10. Bibcode : 1924PNAS...10....8A. doi : 10.1073/pnas.10.1.8 . ISSN  0027-8424. JSTOR  84202. PMC 1085500. PMID  16576780 . 

Библиография

Внешние ссылки

На Викискладе есть медиафайлы по теме Узлы (теория узлов) .