В геометрии четырех измерений и выше пропризма — это многогранник, полученный в результате декартова произведения двух или более многогранников, каждый из которых имеет два измерения или выше. Этот термин был придуман Джоном Хортоном Конвеем для обозначения призмы продукта . Размерность пространства пропризмы равна сумме размеров всех ее элементов-продуктов. Пропризмы часто рассматриваются как k -гранные элементы однородных многогранников . [1]
Число вершин в пропризме равно произведению числа вершин во всех многогранниках в произведении.
Минимальный порядок симметрии пропризмы является произведением порядков симметрии всех многогранников. Более высокий порядок симметрии возможен, если многогранники в произведении идентичны.
Пропризма называется выпуклой , если все ее произведения-многогранники выпуклы.
f -вектор — это количество k -гранных элементов в многограннике от k =0 (точек) до k = n -1 (граней). Расширенный f-вектор также может включать k = -1 (нульлитоп) или k = n (тело). Изделия Prism включают в себя корпусной элемент. (Произведения, двойственные призме, включают нуллитоп, а произведения пирамиды включают оба.)
f-вектор призменного произведения A×B можно вычислить как (f A , 1 )*(f B , 1 ), как и полиномиальные коэффициенты умножения .
Например, произведение треугольника f=(3,3) и диона f=(2) образует треугольную призму с 6 вершинами, 9 ребрами и 5 гранями:
f-векторы гиперкуба можно вычислить как декартово произведение n дионов, { } n . Каждый { } имеет f=(2), расширенный до f=(2, 1 ).
Например, 8-куб будет иметь расширенное произведение степеней f-вектора: f=(2, 1 ) 8 = (4,4, 1 ) 4 = (16,32,24,8, 1 ) 2 = (256, 1024,1792,1792,1120,448,112,16, 1 ). Если длины равны, это удвоение представляет { } 8 , квадратную тетрапризму {4} 4 , тессерактную дуопризму {4,3,3} 2 и правильный 8-куб {4,3,3,3,3 ,3,3}.
В геометрии четырех измерений и выше дуопризма представляет собой многогранник, полученный в результате декартова произведения двух многогранников, каждый из которых имеет два измерения или выше. Декартово произведение a -многогранника на a b -многогранник представляет собой (a+b) -многогранник, где a и b — 2-многогранники ( многоугольник ) или выше.
Чаще всего это относится к произведению двух многоугольников в 4-х измерениях. В контексте произведения многоугольников работа Генри П. Мэннинга 1910 года, объясняющая четвертое измерение , назвала эти двойные призмы . [2]
Декартово произведение двух многоугольников — это набор точек:
где P 1 и P 2 - множества точек, содержащихся в соответствующих многоугольниках.
Самая маленькая — дуопризма 3-3 , составленная из двух треугольников. Если треугольники правильные, его можно записать как произведение символов Шлефли , {3} × {3}, и оно состоит из 9 вершин.
Тессеракт можно построить как дуопризму {4} × {4}, произведение двух ортогональных квадратов одинакового размера, состоящих из 16 вершин . 5 -куб можно построить как дуопризму {4} × {4,3}, произведение квадрата и куба, а 6-куб можно построить как произведение двух кубов, {4,3} × { 4,3}.
В геометрии шести измерений или выше тройное произведение представляет собой многогранник, полученный в результате декартова произведения трех многогранников, каждый из которых имеет два измерения или выше. Декартово произведение a -многогранника, b -многогранника и c -многогранника представляет собой ( a + b + c )-многогранник, где a , b и c являются 2-многогранниками ( polygon ) или выше.
Формы наименьшей размерности — это 6-многогранники , являющиеся декартовым произведением трёх многоугольников . Наименьший можно записать как {3} × {3} × {3} в символах Шлефли , если они регулярны и содержат 27 вершин. Это произведение трех равносторонних треугольников и является однородным многогранником . f-векторы можно вычислить по формуле (3,3, 1 ) 3 = (27,81,108,81,36,9, 1 ).
6 -куб можно построить как тройное произведение {4} × {4} × {4}. f-векторы можно вычислить по формуле (4,4,1 ) 3 = ( 64,192,240,160,60,12,1 ).
