В комплексном анализе ( разделе математики) полюс — это особый вид комплексной функции комплексной переменной . Это простейший тип неустранимой особенности такой функции (см. существенная особенность ). Технически точка z0 является полюсом функции f , если она является нулем функции 1/ f и 1/ f голоморфна ( т.е. комплексно дифференцируема ) в некоторой окрестности точки z0 .
Функция f называется мероморфной в открытом множестве U , если для каждой точки z из U существует окрестность z , в которой хотя бы одна из f и 1/ f голоморфна.
Если f мероморфен в U , то нуль f является полюсом 1/ f , а полюс f является нулем 1/ f . Это вызывает двойственность между нулями и полюсами , которая является фундаментальной для изучения мероморфных функций. Например, если функция мероморфна на всей комплексной плоскости плюс точка, находящаяся на бесконечности , то сумма кратностей ее полюсов равна сумме кратностей ее нулей.
Функция комплексной переменной z голоморфна в открытой области U , если она дифференцируема по z в каждой точке U . Эквивалентно, он голоморфен, если он аналитичен , то есть если его ряд Тейлора существует в каждой точке U и сходится к функции в некоторой окрестности точки. Функция мероморфна в U , если каждая точка U имеет окрестность такую, что хотя бы одна из f и 1/ f голоморфна в ней.
Нуль мероморфной функции f — это комплексное число z такое, что f ( z ) = 0 . Полюс f — это ноль 1/ f .
Если f — функция, мероморфная в окрестности точки комплексной плоскости , то существует целое число n такое, что
голоморфен и отличен от нуля в окрестности (это следствие аналитического свойства). Если n > 0 , то является полюсом порядка ( или кратности ) n функции f . Если n < 0 , то является нулем порядка f . Простой ноль и простой полюс — это термины, используемые для обозначения нулей и полюсов порядка. Степень иногда используется как синоним порядка.
Эта характеристика нулей и полюсов подразумевает, что нули и полюса изолированы , то есть каждый нуль или полюс имеет окрестность, которая не содержит других нулей и полюсов.
Поскольку порядок нулей и полюсов определяется как неотрицательное число n и симметрия между ними, часто полезно рассматривать полюс порядка n как нуль порядка – n , а нуль порядка n как полюс. порядка – н . В этом случае точка, которая не является ни полюсом, ни нулём, рассматривается как полюс (или ноль) порядка 0.
Мероморфная функция может иметь бесконечное количество нулей и полюсов. Так обстоит дело с гамма-функцией (см. изображение в информационном окне), которая мероморфна во всей комплексной плоскости и имеет простой полюс в каждом неположительном целом числе. Дзета -функция Римана также мероморфна во всей комплексной плоскости с единственным полюсом порядка 1 при z = 1 . Его нули в левой полуплоскости — все отрицательные четные целые числа, а гипотеза Римана — это гипотеза о том, что все остальные нули расположены вдоль Re( z ) = 1/2 .
В окрестности точки ненулевая мероморфная функция f представляет собой сумму ряда Лорана с не более чем конечной главной частью (члены с отрицательными значениями индекса):
где n — целое число, и Опять же, если n > 0 (сумма начинается с , главная часть имеет n членов), имеется полюс порядка n , а если n ≤ 0 (сумма начинается с , главная часть отсутствует) часть), имеет нуль порядка .
Функция мероморфна на бесконечности, если она мероморфна в некоторой окрестности бесконечности (то есть вне некоторого круга ) и существует целое число n такое, что
существует и является ненулевым комплексным числом.
В этом случае точка на бесконечности является полюсом порядка n, если n > 0 , и нулем порядка, если n < 0 .
Например, многочлен степени n имеет полюс степени n в бесконечности.
Комплексная плоскость , продолженная бесконечно удаленной точкой, называется сферой Римана .
Если f — функция, мероморфная на всей сфере Римана, то она имеет конечное число нулей и полюсов, а сумма порядков ее полюсов равна сумме порядков ее нулей.
Всякая рациональная функция мероморфна на всей сфере Римана, и в этом случае сумма порядков нулей или полюсов есть максимум степеней числителя и знаменателя.
Все приведенные выше примеры, кроме третьего, являются рациональными функциями . Общее обсуждение нулей и полюсов таких функций см. в разделе График полюс-ноль § Системы с непрерывным временем .
Понятие нулей и полюсов естественным образом распространяется на функции на комплексной кривой , то есть на комплексное аналитическое многообразие размерности один (над комплексными числами). Простейшими примерами таких кривых являются комплексная плоскость и риманова поверхность . Это расширение осуществляется путем передачи структур и свойств через карты , которые являются аналитическими изоморфизмами .
Точнее, пусть f будет функцией комплексной кривой M комплексных чисел. Эта функция голоморфна (соответственно мероморфна) в окрестности точки z множества M , если существует такая карта, которая голоморфна (соответственно мероморфна) в окрестности точки Тогда z является полюсом или нулем порядка n, если то же самое верно для
Если кривая компактна и функция f мероморфна на всей кривой, то число нулей и полюсов конечно, а сумма порядков полюсов равна сумме порядков нулей. Это один из основных фактов, которые включены в теорему Римана-Роха .
