Список простых чисел

Список простых чисел и известные типы простых чисел

Это список статей о простых числах . Простое число (или простое число ) — это натуральное число , большее 1, которое не имеет положительных делителей, кроме 1 и самого себя. По теореме Евклида существует бесконечное количество простых чисел. Подмножества простых чисел могут быть созданы с помощью различных формул для простых чисел . Ниже перечислены первые 1000 простых чисел, за которыми следуют списки известных типов простых чисел в алфавитном порядке с указанием соответствующих первых членов. 1 не является ни простым, ни составным .

Первые 1000 простых чисел

В следующей таблице перечислены первые 1000 простых чисел с 20 столбцами последовательных простых чисел в каждой из 50 строк. ^[1]

(последовательность A000040 в OEIS ).

Проект проверки гипотезы Гольдбаха сообщает, что он вычислил все простые числа, меньшие 4×10 ¹⁸ . ^[2] Это означает 95 676 260 903 887 607 простых чисел ^[3] (около 10 ¹⁷ ), но они не были сохранены. Существуют известные формулы, позволяющие вычислить функцию подсчета простых чисел (количество простых чисел, меньших заданного значения) быстрее, чем вычисление простых чисел. Это было использовано для вычисления того, что существует 1 925 320 391 606 803 968 923 простых чисел (примерно 2 × 10²¹ ) меньше 10 ²³ . Другое вычисление показало, что существует 18 435 599 767 349 200 867 866 простых чисел (примерно 2 × 10²² ) меньше 10 ²⁴ , если гипотеза Римана верна. ^[4]

Списки простых чисел по типам

Ниже перечислены первые простые числа многих названных форм и типов. Подробности в статье к названию. n — натуральное число (включая 0) в определениях.

Сбалансированные простые числа

Простые числа с одинаковыми пробелами между простыми числами после и перед ними, так что они равны среднему арифметическому ближайших простых чисел после и до.

• 5 , 53 , 157, 173 , 211, 257 , 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947, 977, 1103, 1123, 1187, 1223, 1367, 1511, 1747, , 1907, 2287, 2417, 2677, 2903, 2963, 3307, 3313, 3637, 3733, 4013, 4409, 4457, 4597, 4657, 4691, 4993, 5107, 5113, 5303, 5387, 5393 ( ОЭИС : А006562 ).

Простые числа Белла

Простые числа — это количество разделов набора из n членов.

2 , 5 , 877 , 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837. Следующий член имеет 6539 цифр. ( ОЭИС : A051131 )

Чен простые числа

Где p — простое число, а p +2 — простое или полупростое число .

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 47 , 53 , 59 , 67 , 71 , 83 , 89 , 101 , 107 , 109 , 113 , 7 , 131 , 137 , 139 , 149 , 157 , 167 , 179 , 181 , 191 , 197 , 199 , 211 , 227 , 233 , 239 , 251 , 257 , 263 , 269 , 281 , 3 , 307 , 311 , 317 , 337 , 347 , 353 , 359 , 379 , 389 , 401 , 409 ( OEIS : A109611 )

Круглые простые числа

Круговое простое число — это число, которое остается простым при любом циклическом повороте своих цифр (по основанию 10).

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 31 , 37 , 71 , 73 , 79 , 97 , 113 , 131 , 197 , 199 , 311 , 337 , 373 , 719 , 733 , 919 , 71 , 991 , 1193 , 1931 , 3119 , 3779 , 7793 , 7937 , 9311 , 9377 , 11939 , 19391 , 19937 , 37199 , 39119 , 71993 , 91193 , 93719 , 93 911 , 99371 , 193939 , 199933 , 319993 , 331999 , 391939 , 393919 , 919393 , 933199 , 939193 , 939391 , 993319 , 999331 ( ОЭИС : A068652 )

В некоторых источниках в каждом цикле перечисляются только наименьшие простые числа, например, в списке 13, но отсутствует 31 ( OEIS действительно называет эту последовательность круговыми простыми числами, а не приведенную выше последовательность):

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 37 , 79 , 113 , 197 , 199 , 337 , 1193 , 3779 , 11939, 19937 , 193939 , 199933 , 111111111 1111111111, 11111111111111111111111 ( OEIS : A016114 )

Все простые числа повторения являются круглыми.

Кластерные простые числа

Кластерное простое число — это простое число p такое, что каждое четное натуральное число k ≤ p − 3 является разницей двух простых чисел, не превосходящих p .

3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , ... ( OEIS : A038134 )

Все нечетные простые числа от 3 до 89 включительно являются кластерными простыми числами. Первые 10 простых чисел, не являющихся кластерными простыми числами:

2 , 97 , 127 , 149 , 191 , 211 , 223 , 227 , 229 , 251 .

Двоюродные простые числа

Где ( p , p + 4) оба простые числа.

( 3 , 7 ), ( 7 , 11 ), ( 13 , 17 ), ( 19 , 23 ), ( 37 , 41 ), ( 43 , 47 ), ( 67 , 71 ), ( 79 , 83 ), ( 97 , 101 ), ( 103 , 107 ), ( 109 , 113 ), ( 127 , 131 ), ( 163 , 167 ), ( 193 , 197 ), ( 223 , 227 ), ( 229 , 233 ), ( 277 , 281 ) ( OEIS : A023200 , OEIS : A046132 )

Кубинские простые числа

Вида, где x  =  y + 1. ${\displaystyle {\tfrac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}}$

7 , 19 , 37 , 61 , 127 , 271 , 331 , 397 , 547 , 631 , 919 , 1657 , 1801 , 1951 , 2269 , 2437 , 2791 , 3169 , 3571 , 4219 , 4447 , 5167 , 5419 , 6211 , 7057 , 7351 , 8269 , 9241 , 10267 , 11719 , 12097 , 13267 , 13669 , 16651 , 19441 , 19927 , 22447 , 23497 , 24571 , 25117 , 26227 , 27361 , 33391 , 35317 ( OEIS : A002407 )

Вида, где x  =  y + 2. ${\displaystyle {\tfrac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}}$

13 , 109 , 193 , 433 , 769 , 1201 , 1453 , 2029 , 3469 , 3889 , 4801 , 10093 , 12289 , 13873 , 18253 , 20173 , 21169 , 221 89 , 28813 , 37633 , 43201 , 47629 , 60493 , 63949 , 65713 , 69313 , 73009 , 76801 , 84673 , 106033 , 108301 , 112909 , 115249 ( OEIS : A002648 )

Каллен простые числа

Вида n ×2 ⁿ + 1.

3 , 393050634124102232869567034555427371542904833 ( OEIS : A050920 )

Двугранные простые числа

Простые числа, которые остаются простыми, если читать их в перевернутом виде или зеркально отображать на семисегментном дисплее .

2 , 5 , 11 , 101 , 181 , 1181 , 1811 , 18181 , 108881 , 110881 , 118081 , 120121 , 121021 , 121151 , 150151 , 151051 , 151 121 , 180181 , 180811 , 181081 ( ОЭИС : A134996 )

Простые числа Эйзенштейнабез мнимой части

Целые числа Эйзенштейна , являющиеся неприводимыми и действительными числами (простые числа вида 3 n  - 1).

2 , 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , 41 , 47 , 53 , 59 , 71 , 83 , 89 , 101 , 107 , 113 , 131 , 137 , 149 , 167 , 173 , 179 , 191 , 197 , 227 , 233 , 239 , 251 , 257 , 263 , 269 , 281 , 293 , 311 , 317 , 347 , 353 , 359 , 383 , 389 , 401 ( OEIS : A003627 )

Эмиры

Простые числа, которые становятся другими простыми числами, когда их десятичные цифры меняются местами. Название «Эмирп» является противоположностью слова «Прайм».

13 , 17 , 31 , 37 , 71 , 73 , 79 , 97 , 107 , 113 , 149 , 157 , 167 , 179 , 199 , 311 , 337 , 347 , 359 , 389 , 701 , 709 , 733 , 739 , 743 , 751 , 761 , 769 , 907 , 937 , 941 , 953 , 967 , 971 , 983 , 991 ( OEIS : A006567 )

Евклидовые простые числа

Вида p _n # + 1 (подмножество первоначальных простых чисел ).

3 , 7 , 31 , 211 , 2311 , 200560490131 ( OEIS : A018239 ^[5] )

Эйлер нерегулярные простые числа

Простое число , делящее число Эйлера на некоторое число . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E_{2n}}$ ${\displaystyle 0\leq 2n\leq p-3}$

19 , 31 , 43 , 47 , 61 , 67 , 71 , 79 , 101 , 137 , 139 , 149 , 193 , 223 , 241 , 251 , 263 , 277 , 307 , 311 , 349 , 353 , 359 , 373 , 379 , 419 , 433 , 461 , 463 , 491 , 509 , 541 , 563 , 571 , 577 , 587 ( OEIS : A120337 )

Эйлер ( p , p − 3) неправильные простые числа

Простые числа такие, что являются нерегулярной парой Эйлера. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (p,p-3)}$

149 , 241 , 2946901 ( OEIS : A198245 )

Факториал простых чисел

Формы n ! − 1 или n ! + 1.

2 , 3 , 5 , 7 , 23 , 719 , 5039 , 39916801 , 479001599 , 87178291199, 10888869450418352160768000001, 265252859812191058636 308479999999, 263130836933693530167218012159999999, 8683317618811886495518194401279999999 ( OEIS : A088054 )

Простые числа Ферма

Вида 2 ^{2 n}  + 1.

3 , 5 , 17 , 257 , 65537 ( OEIS : A019434 )

По состоянию на июнь 2024 года ^{[обновлять]}это единственные известные простые числа Ферма и, предположительно, единственные простые числа Ферма. Вероятность существования еще одного простого числа Ферма составляет менее одного на миллиард. ^[6]

ОбобщенныйПростые числа Ферма

В форме a ^{2 n}  + 1 для фиксированного целого числа a .

а = 2: 3 , 5 , 17 , 257 , 65537 ( OEIS : A019434 )

а = 4: 5 , 17 , 257 , 65537

а = 6: 7 , 37 , 1297

а = 8: (не существует)

а = 10:11 , 101

а = 12:13

а = 14: 197

а = 16:17 , 257 , 65537

а = 18:19

а = 20: 401 , 160001

а = 22:23

а = 24: 577 , 331777

Простые числа Фибоначчи

Простые числа в последовательности Фибоначчи F ₀  = 0, F ₁  = 1, F _n = F _{n −1} + F _{n −2} .

2 , 3 , 5 , 13 , 89 , 233 , 1597 , 28657, 514229, 433494437, 2971215073, 99194853094755497, 1066340417491710595814572169, 19134702400093278081449423917 ( OEIS : A005478 )

Удачные простые числа

Счастливые числа , которые являются простыми (предполагалось, что все они таковы).

3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 19 , 23 , 37 , 47 , 59 , 61 , 67 , 71 , 79 , 89 , 101 , 103 , 107 , 109 , 127 , 151 , 157 , 163 , 7 , 191 , 197 , 199 , 223 , 229 , 233 , 239 , 271 , 277 , 283 , 293 , 307 , 311 , 313 , 331 , 353 , 373 , 379 , 383 , 397 ( OEIS : A0460 66 )

Гауссовы простые числа

Простые элементы гауссовских целых чисел; эквивалентно, простые числа вида 4 n  + 3.

3 , 7 , 11 , 19 , 23 , 31 , 43 , 47 , 59 , 67 , 71 , 79 , 83 , 103 , 107 , 127 , 131 , 139 , 151 , 163 , 167 , 179 , 191 , 199 , 211 , 223 , 227 , 239 , 251 , 263 , 271 , 283 , 307 , 311 , 331 , 347 , 359 , 367 , 379 , 383 , 419 , 431 , 439 , 443 , 463 , 46 7 , 479 , 487 , 491 , 499 , 503 ( ОЭИС : A002145 )

Хорошие простые числа

Простые числа p _n , для которых p _n ²  >  p _{n − i}  p _{n + i} для всех 1 ≤  i  ≤  n − 1, где p _n — n -е простое число.

5 , 11 , 17 , 29 , 37 , 41 , 53 , 59 , 67 , 71 , 97 , 101 , 127 , 149 , 179 , 191 , 223 , 227 , 251 , 257 , 269 , 307 ( ОЭИС : A028388 )

Счастливые простые числа

Счастливые числа, которые являются простыми.

7 , 13 , 19 , 23 , 31 , 79 , 97 , 103 , 109 , 139 , 167 , 193 , 239 , 263 , 293 , 313 , 331 , 367 , 379 , 383 , 397 , 409 , 487 , 563 , 617 , 653 , 673 , 683 , 709 , 739 , 761 , 863 , 881 , 907 , 937 , 1009 , 1033 , 1039 , 1093 ( OEIS : A035497 )

Гармонические простые числа

Простые числа p _, для которых нет решений уравнений Hk  ≡ 0 (mod  p ) и Hk  ≡ − ω _p  (mod  p ) для 1 ≤  k  ≤  p −2, где H _k обозначает номер k -й гармоники _, а ω _p обозначает коэффициент Вольстенхолма . ^[7]

5 , 13 , 17 , 23 , 41 , 67 , 73 , 79 , 107 , 113 , 139 , 149 , 157 , 179 , 191 , 193 , 223 , 239 , 241 , 251 , 263 , 277 , 281 , 293 , 307 , 311 , 317 , 331 , 337 , 349 ( ОЭИС : A092101 )

Простые числа Хиггсадля квадратов

Простые числа p , для которых p − 1 делит квадрат произведения всех предыдущих членов.

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 79 , 101 , 107 , 127 , 131 , 139 , 1 49 , 151 , 157 , 173 , 181 , 191 , 197 , 199 , 211 , 223 , 229 , 263 , 269 , 277 , 283 , 311 , 317 , 331 , 347 , 349 ( OEIS : A0074 59 )

Простые числа с высокой степенью коэффициента

Простые числа, которые являются коэффициентом чаще, чем любое целое число ниже него, кроме 1.

2 , 23 , 47 , 59 , 83 , 89 , 113 , 167 , 269 , 389 , 419 , 509 , 659 , 839 , 1049 , 1259 , 1889 ( OEIS : A105440 )

Домашние простые числа

Для n ≥ 2 запишите простую факторизацию n по основанию 10 и объедините факторы; повторять до тех пор, пока не будет достигнуто простое число.

2, 3, 211, 5, 23, 7, 3331113965338635107, 311, 773, 11, 223, 13, 13367, 1129, 31636373, 17, 233, 19, 3318308475676071413, 37, 211, 23, 331319, 773, 3251, 13367, 227, 29, 547, 31, 241271, 311, 31397, 1129, 71129, 37, 373, 313, 3314192745739, 41, 379, 43, 22815088913, 3411949, 223, 47, 6161791591356884791277 ( OEIS : A037274 )

Неправильные простые числа

Нечетные простые числа p , делящие номер класса p - го кругового поля .

37 , 59 , 67 , 101 , 103 , 131 , 149 , 157 , 233 , 257 , 263 , 271 , 283 , 293 , 307 , 311 , 347 , 353 , 379 , 389 , 401 , 409 , 421 , 433 , 461 , 463 , 467 , 491 , 523 , 541 , 547 , 557 , 577 , 587 , 593 , 607 , 613 ( OEIS : A000928 )

( p , p − 3) неправильные простые числа

(См. простое число Вольстенхолма )

( p , p − 5) неправильные простые числа

Простые числа p такие, что ( p , p −5) — неправильная пара. ^[8]

37

( p , p − 9) неправильные простые числа

Простые числа p такие, что ( p , p − 9) — неправильная пара. ^[8]

67 , 877 ( ОЭИС : A212557 )

Изолированные простые числа

Простые числа p такие, что ни p − 2, ни p + 2 не являются простыми.

2 , 23 , 37 , 47 , 53 , 67 , 79 , 83 , 89 , 97 , 113 , 127 , 131 , 157 , 163 , 167 , 173 , 211 , 223 , 233 , 251 , 257 , 2 63 , 277 , 293 , 307 , 317 , 331 , 337 , 353 , 359 , 367 , 373 , 379 , 383 , 389 , 397 , 401 , 409 , 439 , 443 , 449 , 457 , 467 , 479 , 7 , 491 , 499 , 503 , 509 , 541 , 547 , 557 , 563 , 577 , 587 , 593 , 607 , 613 , 631 , 647 , 653 , 673 , 677 , 683 , 691 , 701 , 709 , 719 , 727 , 73 3 , 739 , 743 , 751 , 757 , 761 , 769 , 773 , 787 , 797 , 839 , 853 , 863 , 877 , 887 , 907 , 911 , 919 , 929 , 937 , 941 , 947 , 953 , 967 , 971 , 7 , 983 ,991 , 997 ( ОЭИС : A007510 )

Простые числа Лейланда

В форме x ^y  +  y ^x , где 1 <  x  <  y .

17 , 593 , 32993, 2097593, 8589935681, 59604644783353249, 523347633027360537213687137, 43143988327398957279342419750374600 193 ( ОЭИС : A094133 )

Длинные простые числа

Простые числа p , для которых по данному основанию b дает циклическое число . Их еще называют полными рептендными простыми числами. Простые числа p по основанию 10: ${\displaystyle {\frac {b^{p-1}-1}{p}}}$

7 , 17 , 19 , 23 , 29 , 47 , 59 , 61 , 97 , 109 , 113 , 131 , 149 , 167 , 179 , 181 , 193 , 223 , 229 , 233 , 257 , 263 , 269 , 313 , 337 , 367 , 379 , 383 , 389 , 419 , 433 , 461 , 487 , 491 , 499 , 503 , 509 , 541 , 571 , 577 , 593 ( OEIS : A001913 )

Лукас простые числа

Простые числа в числовой последовательности Люка L ₀  = 2, L ₁  = 1, L _n  =  L _{n −1}  +  L _{n −2} .

2 , ^[9] 3 , 7 , 11 , 29 , 47 , 199 , 521 , 2207 , 3571 , 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, 119218851371, 5600 748293801, 688846502588399, 32361122672259149 ( OEIS : A005479 )

Счастливые простые числа

Счастливые числа, которые являются простыми.

3 , 7 , 13 , 31 , 37 , 43 , 67 , 73 , 79 , 127 , 151 , 163 , 193 , 211 , 223 , 241 , 283 , 307 , 331 , 349 , 367 , 409 , 4 21 , 433 , 463 , 487 , 541 , 577 , 601 , 613 , 619 , 631 , 643 , 673 , 727 , 739 , 769 , 787 , 823 , 883 , 937 , 991 , 997 ( OEIS : A031157 )

Простые числа Мерсенна

Вида 2 ⁿ − 1.

3 , 7 , 31 , 127 , 8191 , 131071 , 524287 , 2147483647 , 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, 162259276829213 363391578010288127, 170141183460469231731687303715884105727 ( OEIS : A000668 )

По состоянию на 2018 год ^{[обновлять]}известно 51 простое число Мерсенна. 13-я, 14-я и 51-я имеют соответственно 157, 183 и 24 862 048 цифр.

По состоянию на 2018 год ^{[обновлять]}этот класс простых чисел также содержит самое большое известное простое число: M _82589933 , 51-е известное простое число Мерсенна.

Делители Мерсенна

Простые числа p , делящие 2 ⁿ − 1, для некоторого простого числа n.

3, 7, 23, 31, 47, 89, 127, 167, 223, 233, 263, 359, 383, 431, 439, 479, 503, 719, 839, 863, 887, 983, 1103, 1319, 1367, 1399, 1433, 1439, 1487, 1823, 1913, 2039, 2063, 2089, 2207, 2351, 2383, 2447, 2687, 2767, 2879, 2903, 2999, 3023, 3119, 67, 3343 ( OEIS : A122094 )

Все простые числа Мерсенна по определению являются членами этой последовательности.

Простые показатели Мерсенна

Простые числа p такие, что 2 ^p − 1 — простое число.

2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 19 , 31 , 61 , 89 , 107 , 127 , 521 , 607 , 1279 , 2203 , 2281 , 3217 , 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 209960 11, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 , 57885161 ( OEIS : A000043 )

По состоянию на декабрь 2018 года ^{[обновлять]}известно, что в последовательности находятся еще три, но неизвестно, являются ли они следующими:
74207281, 77232917, 82589933.

Двойные простые числа Мерсенна

Подмножество простых чисел Мерсенна вида 2 ^{2 p −1}  − 1 для простого числа p .

7 , 127 , 2147483647 , 170141183460469231731687303715884105727 (простые числа в OEIS : A077586 )

Обобщенныйвоссоединить простые числа

В форме ( a ⁿ  - 1) / ( a  - 1) для фиксированного целого числа a .

При a = 2 это простые числа Мерсенна, а при a = 10 — простые числа повторения. Для других малых a они приведены ниже:

а = 3: 13 , 1093 , 797161, 3754733257489862401973357979128773, 6957596529882152968992225251835887181478451547013 ( OEIS : A07648 1 )

а = 4: 5 (единственное простое число для а = 4)

а = 5: 31 , 19531, 12207031, 305175781, 177635683940025046467781066894531, 1469367938527859384960920671527807097273331945965 1094018859396328480215743184089660644531 ( OEIS : A086122 )

а = 6: 7 , 43 , 55987, 7369130657357778596659, 3546245297457217493590449191748546458005595187661976371 ( OEIS : A165210 )

а = 7: 2801, 16148168401, 85053461164796801949539541639542805770666392330682673302530819774105141531698707146930307290253537 320447270457

а = 8:73 (единственное простое число для а = 8 )

а = 9: ничего не существует

Другие обобщения и вариации

Были определены многие обобщения простых чисел Мерсенна. Сюда входит следующее:

• Простые числа вида b ⁿ - ( b - 1) ⁿ , ^{[10] [11] [12]} включая простые числа Мерсенна и кубинские простые числа в качестве особых случаев
• Простые числа Вильямса вида ( b − 1)· b ⁿ − 1

Простые числа Миллса

Вида ⌊θ ^{3 n} ⌋, где θ — постоянная Миллса. Эта форма является простой для всех положительных целых чисел n .

2 , 11 , 1361 , 2521008887, 16022236204009818131831320183 ( OEIS : A051254 )

Минимальные простые числа

Простые числа, для которых нет более короткой подпоследовательности десятичных цифр, образующих простое число. Существует ровно 26 минимальных простых чисел:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 19 , 41 , 61 , 89 , 409 , 449 , 499 , 881 , 991 , 6469, 6949, 9001 , 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049 ( ОЭИС : A071062 )

Простые числа Ньюмана – Шэнкса – Уильямса

Простые числа Ньюмана–Шенкса–Вильямса.

7 , 41 , 239 , 9369319, 63018038201, 489133282872437279, 19175002942688032928599 ( OEIS : A088165 )

Нещедрые простые числа

Простые числа p ^, для которых наименьший положительный примитивный корень не является примитивным корнем числа p2 . Известны три таких простых числа; неизвестно, есть ли еще. ^[13]

2 , 40487, 6692367337 ( ОЭИС : A055578 )

Палиндромные простые числа

Простые числа, которые остаются неизменными, если их десятичные цифры читать задом наперед.

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 101 , 131 , 151 , 181 , 191 , 313 , 353 , 373 , 383 , 727 , 757 , 787 , 797 , 919 , 929 , 10301, 1, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741 ( OEIS : A002385 )

Палиндромные простые числа крыльев

Простые числа формы с . ^[14] Это означает, что все цифры, кроме средней, равны. ${\displaystyle {\frac {a{\big (}10^{m}-1{\big )}}{9}}\pm b\times 10^{\frac {m-1}{2}}}$ ${\displaystyle 0\leq a\pm b<10}$

101 , 131 , 151 , 181 , 191 , 313 , 353 , 373 , 383 , 727 , 757 , 787 , 797 , 919 , 929 , 11311, 11411, 33533, 77377, 7747, 7, 77977, 1114111, 1117111, 3331333, 3337333, 7772777, 7774777, 7778777, 111181111, 111191111, 777767777, 77777677777, 99999199999 ( OEIS : A077798 )

Простые числа разделов

Значения функции статистической суммы, которые являются простыми.

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 101 , 17977, 10619863, 6620830889, 80630964769, 228204732751, 1171432692373, 1398341745571, 109637072 05259, 15285151248481, 10657331232548839, 790738119649411319, 18987964267331664557 ( OEIS : A049575 )

Простые числа Пелла

Простые числа в числовой последовательности Пелля P ₀  = 0, P ₁  = 1, P _n  = 2 P _{n −1}  +  P _{n −2} .

2 , 5 , 29 , 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, 13558774610046711780701, 412563688856254886 8221559797461449 ( OEIS : A086383 )

Перестановочные простые числа

Любая перестановка десятичных цифр является простым числом.

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 31 , 37 , 71 , 73 , 79 , 97 , 113 , 131 , 199 , 311 , 337 , 373 , 733 , 919 , 991 , 1111111 111111111111, 11111111111111111111111 ( OEIS : А003459 )

Перрин простые числа

Простые числа в числовой последовательности Перрена P (0) = 3, P (1) = 0, P (2) = 2, P ( n ) =  P ( n −2) +  P ( n −3).

2 , 3 , 5 , 7 , 17 , 29 , 277 , 367 , 853 , 14197, 43721, 1442968193, 792606555396977, 187278659180417234321, 662411604887 80141071579864797 ( OEIS : A074788 )

Простые числа Пьерпонта

Вида 2 ^u 3 ^v  + 1 для некоторых целых чисел u , v  ≥ 0.

Это также простые числа класса 1 .

2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 19 , 37 , 73 , 97 , 109 , 163 , 193 , 257 , 433 , 487 , 577 , 769 , 1153 , 1297 , 1459 , 2593 , 2917 , 3457 , 3889 , 10369, 12289, 17497, 18433, 39367, 52489, 65537 , 139969, 147457 ( OEIS : A005109 )

Простые числа Пиллаи

Простые числа p , для которых существуют n  > 0 такие, что p делит n ! + 1 и n не делит p − 1.

23 , 29 , 59 , 61 , 67 , 71 , 79 , 83 , 109 , 137 , 139 , 149 , 193 , 227 , 233 , 239 , 251 , 257 , 269 , 271 , 277 , 293 , 307 , 311 , 317 , 359 , 379 , 383 , 389 , 397 , 401 , 419 , 431 , 449 , 461 , 463 , 467 , 479 , 499 ( OEIS : A063980 )

Простые числа формын4+ 1

Вида n ⁴ + 1. ^{[15] [16]}

2 , 17 , 257 , 1297 , 65537 , 160001, 331777, 614657, 1336337, 4477457, 5308417, 8503057, 9834497, 29986577, 40960001, 452 12177, 59969537, 65610001, 126247697, 193877777, 303595777, 384160001, 406586897, 562448657, 655360001 ( ОЭИС : A037896 )

Первобытные простые числа

Простые числа, для которых существует больше простых перестановок некоторых или всех десятичных цифр, чем для любого меньшего числа.

2 , 13 , 37 , 107 , 113 , 137 , 1013 , 1237 , 1367 , 10079 ( OEIS : A119535 )

Первичные простые числа

Вида p _n #±1.

3 , 5 , 7 , 29 , 31 , 211 , 2309 , 2311 , 30029, 200560490131, 304250263527209, 23768741896345550770650537601358309 (союз OEIS : A057705 и OEIS : A018239 ^[5] )

Простые числа Прота

Вида k ×2 ⁿ  + 1, с нечетным k и k  < 2 ⁿ .

3 , 5 , 13 , 17 , 41 , 97 , 113 , 193 , 241 , 257 , 353 , 449 , 577 , 641 , 673 , 769 , 929 , 1153 , 1217 , 1409 , 1601 , 2113 , 2689 , 2753 , 3137 , 3329 , 3457 , 4481, 4993, 6529, 7297, 7681, 7937, 9473, 9601, 9857 ( OEIS : A080076 )

Пифагорейские простые числа

Вида 4 n + 1.

5 , 13 , 17 , 29 , 37 , 41 , 53 , 61 , 73 , 89 , 97 , 101 , 109 , 113 , 137 , 149 , 157 , 173 , 181 , 193 , 197 , 229 , 3 , 241 , 257 , 269 , 277 , 281 , 293 , 313 , 317 , 337 , 349 , 353 , 373 , 389 , 397 , 401 , 409 , 421 , 433 , 449 ( OEIS : A002144 )

Основные четверки

Где ( p , p +2, p +6, p +8) все простые.

( 5 , 7 , 11 , 13 ), (11, 13, 17 , 19 ), ( 101 , 103 , 107 , 109 ), ( 191 , 193 , 197 , 199 ), ( 821 , 823 , 827 , 829 ), ( 1481 , 1483 , 1487 , 1489 ), ( 1871 , 1873 , 1877 , 1879 ), ( 2081 , 2083 , 2087 , 2089 ), ( 3251 , 3253 , 3257 , 3259 ), ( 3461) , 3463 , 3467 , 3469 ), (5651, 5653, 5657, 5659), (9431, 9433, 9437, 9439) ( OEIS : A007530 , OEIS : A136720 , OEIS : A136721 , OEIS : A090258 )

Квартанные простые числа

Вида x ⁴  +  y ⁴ , где x , y  > 0.

2 , 17 , 97 , 257 , 337 , 641 , 881 ( OEIS : A002645 )

Простые числа Рамануджана

Наименьшие целые числа R _n , дающие не менее n простых чисел от x /2 до x для всех x  ≥  R _n (все такие целые числа являются простыми числами).

2 , 11 , 17 , 29 , 41 , 47 , 59 , 67 , 71 , 97 , 101 , 107 , 127 , 149 , 151 , 167 , 179 , 181 , 227 , 229 , 233 , 239 , 2 41 , 263 , 269 , 281 , 307 , 311 , 347 , 349 , 367 , 373 , 401 , 409 , 419 , 431 , 433 , 439 , 461 , 487 , 491 ( OEIS : A104272 )

Обычные простые числа

Простые числа p , не делящие номер класса p - го кругового поля .

3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 41 , 43 , 47 , 53 , 61 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 107 , 109 , 113 , 7 , 137 , 139 , 151 , 163 , 167 , 173 , 179 , 181 , 191 , 193 , 197 , 199 , 211 , 223 , 227 , 229 , 239 , 241 , 251 , 269 , 7 , 281 ( ОЭИС : A007703 )

Восстановить простые числа

Простые числа, содержащие только десятичную цифру 1.

11 , 1111111111111111111 (19 цифр), 11111111111111111111111 (23 цифры) ( OEIS : A004022 )

Следующие имеют 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343 цифры ( OEIS : A004023 ).

Классы вычетов простых чисел

В форме an + d для фиксированных целых чисел a и d . Также называются простыми числами, конгруэнтными d по модулю a .

Простые числа вида 2 n +1 являются нечетными простыми числами, включая все простые числа, кроме 2. Некоторые последовательности имеют альтернативные названия: 4 n +1 — простые числа Пифагора, 4 n +3 — целые простые числа Гаусса и 6 n +5. являются простыми числами Эйзенштейна (2 опущено). Классы 10 n + d ( d = 1, 3, 7, 9) — это простые числа, оканчивающиеся десятичной цифрой d .

2 n +1: 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 ( OEIS : A065091 )
4 n +1: 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61 , 73 , 89 , 97 , 101 , 109 , 113 , 137 ( OEIS : A002144 )
4 n +3: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59 , 67 , 71 , 79 , 83 , 103 , 107 ( OEIS : A002145 )
6 n +1: 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, 103, 109, 127 , 139 ( OEIS : A002476 )
6 n +5: 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, 107, 113 ( OEIS : A007528 )
8 n +1: 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, 193 , 233 , 241 , 257 , 281 , 313 , 337 , 353 ( OEIS : A007519 )
8 n +3: 3, 11, 19, 43, 59, 67 , 83, 107, 131 , 139, 163 , 179 , 211 , 227 , 251 ( OEIS : A007520 )
8 n +5: 5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109, 149 , 157 , 173 , 181 , 197 , 229 , 269 ( OEIS : A007521 )
8 n +7: 7, 23, 31, 47, 71, 79, 103, 127, 151 , 167 , 191 , 199 , 223 , 239 , 263 ( OEIS: A007522 )
10 n +1: 11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181, 191, 211, 241, 251, 271 , 281 ( OEIS : A030430 )
10 n +3: 3, 13 , 23, 43, 53, 73, 83, 103, 113, 163, 173, 193, 223, 233, 263 ( OEIS : A030431 )
10 n +7: 7, 17, 37, 47, 67, 97, 107, 127, 137, 157, 167, 197, 227, 257, 277 ( OEIS : A030432 )
10 n +9: 19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, 229, 239, 269 , 349 , 359 ( OEIS : A030433 )
12 n +1: 13, 37, 61, 73, 97, 109, 157, 181, 193, 229, 241, 277, 313, 337, 349 ( OEIS : A068228 )
12 n +5: 5, 17, 29, 41, 53, 89, 101, 113, 137, 149, 173, 197, 233, 257, 269 ( OEIS : A040117 )
12 n +7: 7, 19, 31, 43, 67, 79, 103, 127, 139, 151, 163, 199, 211, 223, 271 ( OEIS : A068229 )
12 n +11: 11, 23, 47, 59, 71, 83, 107, 131, 167, 179 , 191, 227, 239, 251, 263 ( OEIS : A068231 )

Безопасные простые числа

Где p и ( p −1)/2 оба простые.

5 , 7 , 11 , 23 , 47 , 59 , 83 , 107 , 167 , 179 , 227 , 263 , 347 , 359 , 383 , 467 , 479 , 503 , 563 , 587 , 719 , 839 , 863 , 887 , 983 , 1019 , 1187 , 1283 , 1307 , 1319 , 1367 , 1439 , 1487 , 1523 , 1619 , 1823 , 1907 ( OEIS : A005385 )

Самостоятельная заливкав базе 10

Простые числа, которые не могут быть созданы любым целым числом, добавленным к сумме его десятичных цифр.

3 , 5 , 7 , 31 , 53 , 97 , 211 , 233 , 277 , 367 , 389 , 457 , 479 , 547 , 569 , 613 , 659 , 727 , 839 , 883 , 929 , 1021 , 1087 , 1109 , 1223 , 1289 , 1447 , 1559 , 1627 , 1693 , 1783 , 1873 ( OEIS : A006378 )

Сексуальные простые числа

Где ( p , p + 6) оба простые числа.

( 5 , 11 ), ( 7 , 13 ), (11, 17 ), (13, 19 ), (17, 23 ), (23, 29 ), ( 31 , 37 ), (37, 43 ), ( 41 , 47 ), (47, 53 ), (53, 59 ), ( 61 , 67 ), (67, 73 ), (73, 79 ), ( 83 , 89 ), ( 97 , 103 ), ( 101 , 107 ) ), (103, 109 ), (107, 113 ), ( 131 , 137 ), ( 151 , 157 ), (157, 163 ), ( 167 , 173 ), (173, 179 ), ( 191 , 197 ), ( 193 , 199 ) ( OEIS : A023201 , OEIS : A046117 )

Простые числа Смарандаша – Веллина

Простые числа, представляющие собой конкатенацию первых n простых чисел, записанных в десятичном формате.

2 , 23 , 2357 ( ОЭИС : A069151 )

Четвертое простое число Смарандаша-Веллина представляет собой 355-значную конкатенацию первых 128 простых чисел, оканчивающихся на 719.

Солинас простые числа

Вида 2 ^a  ± 2 ^b  ± 1, где 0 <  b  <  a .

3 , 5 , 7 , 11 , 13 ( ОЭИС : A165255 )

Софи Жермен простые числа

Где p и 2 p + 1 оба простые. Простому числу Софи Жермен соответствует безопасное простое число.

2 , 3 , 5 , 11 , 23 , 29 , 41 , 53 , 83 , 89 , 113 , 131 , 173 , 179 , 191 , 233 , 239 , 251 , 281 , 293 , 359 , 419 , , 443 , 491 ,​ 509 , 593 , 641 , 653 , 659 , 683 , 719 , 743 , 761 , 809 , 911 , 953 ( OEIS : A005384 )

Штерн простые числа

Простые числа, которые не являются суммой меньшего простого числа и удвоенного квадрата ненулевого целого числа.

2 , 3 , 17 , 137 , 227 , 977 , 1187 , 1493 ( OEIS : A042978 )

По состоянию на 2011 год ^{[обновлять]}это единственные известные простые числа Стерна и, возможно, единственные существующие.

Суперпростые числа

Простые числа с простыми индексами в последовательности простых чисел (2-е, 3-е, 5-е, ... простое число).

3 , 5 , 11 , 17 , 31 , 41 , 59 , 67 , 83 , 109 , 127 , 157 , 179 , 191 , 211 , 241 , 277 , 283 , 331 , 353 , 367 , 401 , 4 31 , 461 , 509 , 547 , 563 , 587 , 599 , 617 , 709 , 739 , 773 , 797 , 859 , 877 , 919 , 967 , 991 ( OEIS : A006450 )

Суперсингулярные простые числа

Существует ровно пятнадцать суперсингулярных простых чисел:

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 41 , 47 , 59 , 71 ( OEIS : A002267 )

Простые числа Табита

Вида 3×2 ⁿ − 1.

2 , 5 , 11 , 23 , 47 , 191 , 383 , 6143, 786431, 51539607551, 824633720831, 26388279066623, 108086391056891903, 5534023222 1128654847, 226673591177742970257407 ( OEIS : A007505 )

Простые числа вида 3×2 ⁿ + 1 связаны.

7 , 13 , 97 , 193 , 769 , 12289, 786433, 3221225473, 206158430209, 6597069766657 ( OEIS : A039687 )

Простые тройки

Где ( p , p +2, p +6) или ( p , p +4, p +6) все простые.

( 5 , 7 , 11 ), (7, 11, 13 ), (11, 13, 17 ), (13, 17, 19 ), (17, 19, 23 ), ( 37 , 41 , 43 ), (41 , 43, 47 ), ( 67 , 71 , 73 ), ( 97 , 101 , 103 ), (101, 103, 107 ), (103, 107, 109 ), (107, 109, 113 ), ( 191 , 193 ). , 197 ), (193, 197, 199 ), ( 223 , 227 , 229 ), (227, 229, 233 ), ( 277 , 281 , 283 ), ( 307 , 311 , 313 ), (311, 313, 317 ). ), ( 347 , 349 , 353 ) ( OEIS : A007529 , OEIS : A098414 , OEIS : A098415 )

Усекаемое простое число

Усекаемый слева

Простые числа, которые остаются простыми после последовательного удаления ведущей десятичной цифры.

2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 23 , 37 , 43 , 47 , 53 , 67 , 73 , 83 , 97 , 113 , 137 , 167 , 173 , 197 , 223 , 283 , 313 , , 337 ,​ 347 , 353 , 367 , 373 , 383 , 397 , 443 , 467 , 523 , 547 , 613 , 617 , 643 , 647 , 653 , 673 , 683 ( OEIS : A024785 )

Усекаемый вправо

Простые числа, которые остаются простыми после последовательного удаления младшей десятичной цифры.

2 , 3 , 5 , 7 , 23 , 29 , 31 , 37 , 53 , 59 , 71 , 73 , 79 , 233 , 239 , 293 , 311 , 313 , 317 , 373 , 379 , 593 , 599 , 7 19 , 733 , 739 , 797 , 2333 , 2339 , 2393 , 2399 , 2939 , 3119 , 3137 , 3733 , 3739 , 3793 , 3797 ( OEIS : A024770 )

Двусторонний

Простые числа, усекаемые как слева, так и справа. Существует ровно пятнадцать двусторонних простых чисел:

2 , 3 , 5 , 7 , 23 , 37 , 53 , 73 , 313 , 317 , 373 , 797 , 3137 , 3797 , 739397 ( OEIS : A020994 )

Простые числа-близнецы

Где ( p , p +2) оба простые числа.

( 3 , 5 ), (5, 7 ), ( 11 , 13 ), ( 17 , 19 ), ( 29 , 31 ), ( 41 , 43 ), ( 59 , 61 ), ( 71 , 73 ), ( 101 ) . , 103 ), ( 107 , 109 ), ( 137 , 139 ), ( 149 , 151 ), ( 179 , 181 ), ( 191 , 193 ), ( 197 , 199 ), ( 227 , 229 ), ( 239 , 241 ), ( 269 , 271 ), ( 281 , 283 ), ( 311 , 313 ), ( 347 , 349 ), ( 419 , 421 ), ( 431 , 433 ), ( 461 , 463 ) ( OEIS : A001359 , OEIS : А006512 )

Уникальные простые числа

Список простых чисел p , для которых длина периода десятичного разложения 1/ p уникальна (никакое другое простое число не дает такого же периода).

3 , 11 , 37 , 101 , 9091, 9901, 333667, 909091, 99990001, 999999000001, 9999999900000001, 909090909090909091, 11111111111, 1111111, 111111111111111111111111, 900900900900990990990991 ( OEIS : A040017 )

Простые числа Вагстаффа

Вида (2 ⁿ + 1)/3.

3 , 11 , 43 , 683 , 2731 , 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, 768614336404564651, 201487636602438195784363, 845100400152152934331135470251, 56713727820156410577229101238628035243 ( OEIS : A000979 )

Значения n :

3, 5 , 7 , 11, 13, 17 , 19 , 23 , 31 , 43, 61 , 79 , 101 , 127 , 167 , 191 , 199 , 313 , 347 , 701 , 1709 , 2617 , 3539 , 5807 , 10501 , 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321 ( OEIS : A000978 )

Простые числа Стена–Солнце–Солнце

Простое число p  > 5, если p ² делит число Фибоначчи , где символ Лежандра определяется как ${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}}$ ${\displaystyle \left({\frac {p}{5}}\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1&{\textrm {if}}\;p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1&{\textrm {if}}\;p\equiv \pm 2{\pmod {5}}.\end{cases}}}$

По состоянию на 2018 год ^[update]простые числа Стена-Солнце-Солнце неизвестны.

Слабо простые числа

Простые числа, замена любой из цифр (по основанию 10) на любое другое значение всегда приводит к составному числу.

294001, 505447, 584141, 604171, 971767, 1062599, 1282529, 1524181, 2017963, 2474431, 2690201, 3085553, 3326489, 4393139 ( OE ЕСТЬ : A050249 )

Простые числа Вифериха

Простые числа p такие, что a ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ) для фиксированного целого числа a > 1.

2 ^{p - 1} ≡ 1 (mod p ² ): 1093 , 3511 ( OEIS : A001220 )
3 ^{p - 1} ≡ 1 (mod p ² ): 11 , 1006003 ( OEIS : A014127 ) ^{[17] [18] [19]}
4 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 1093 , 3511
5 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 2 , 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801 ( OEIS : A123 692 )
6 ^{п - 1} ≡ 1 (mod p ² ): 66161, 534851, 3152573 ( OEIS : A212583 )
7 ^{p - 1} ≡ 1 (mod p ² ): 5 , 491531 ( OEIS : A123693 )
8 ^{p - 1} ≡ 1 (mod p ² ): 3 , 1093 , 3511
9 ^{p - 1} ≡ 1 (mod p ² ): 2 , 11 , 1006003
10 ^{p - 1} ≡ 1 (mod p ² ): 3 , 487 , 56598313 ( OEIS : A045616 )
11 ^{p - 1} ≡ 1 (mod p ² ): 71 ^[20]
12 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 2693 , 123653 ( OEIS : A111027 )
13 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 2 , 863 , 1747591 ( OEIS : A128667 ) ^[20]
14 ^{P - 1} ≡ 1 (MOD P ² ): 29 , 353 , 7596952219 ( OEI : A234810 )
15 ^{P - 1} ≡ 1 (MOD P ² ): 29131, 119327070011 ( OEI : A242741 )
16 ^{P - 1}≡ 1 (mod p ² ): 1093 , 3511
17 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 2 , 3 , 46021, 48947 ( OEIS : A128668 ) ^[20]
18 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 5 , 7 , 37 , 331 , 33923, 1284043 ( OEIS : A244260 )
19 ^{p - 1} ≡ 1 (mod p ² ): 3 , 7 , 13 , 43 , 137 , 63061489 ( OEIS : A090968 ) ^[20]
0 ^{п — 1} ≡ 1 (mod p ² ): 281 , 46457, 9377747, 122959073 ( OEIS : A242982 )
21 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 2
22 ^{p − 1} ≡ 1 (mod p ² ): 13 , 673 , 1595813, 492366587, 9809862296159 ( OEIS : A298951 )
23 ^{p - 1} ≡ 1 (mod p ² ): 13 , 2481757, 13703077, 15546404183, 2549536629329 ( OE IS : A128669 )
24 ^{p - 1} ≡ 1 (mod p ² ): 5 , 25633
25 ^{р - 1} ≡ 1 (по модулю р ² ): 2 , 20771, 40487, 53471161, 1645333507, 6692367337, 188748146801

По состоянию на 2018 год ^[update]это все известные простые числа Вифериха с a ≤ 25.

Простые числа Уилсона

Простые числа p , для которых p ² делит ( p −1)! + 1.

5 , 13 , 563 ( ОЭИС : A007540 )

По состоянию на 2018 год ^[update]это единственные известные простые числа Вильсона.

Простые числа Вольстенхолма

Простые числа p , для которых биномиальный коэффициент ${\displaystyle {{2p-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}.}$

16843 , 2124679 ( ОЭИС : A088164 )

По состоянию на 2018 год ^[update]это единственные известные простые числа Вольстенхолма.

Простые числа Вудала

Вида n ×2 ⁿ − 1.

7 , 23 , 383 , 32212254719, 2833419889721787128217599, 195845982777569926302400511, 4776913109852041418248056622882488319 ( ОЭИС : A050918 )

Смотрите также

• Математический портал

• Недопустимое простое число  — число, представляющее незаконную информацию.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Самое большое известное простое число
• Список крупнейших известных простых и вероятных простых чисел
• Список чисел  - Известные числа
• Простой разрыв  - разница между двумя последовательными простыми числами.
• Теорема о простых числах  - Характеристика того, сколько целых чисел являются простыми
• Вероятное простое число  - число, удовлетворяющее некоторым требованиям, предъявляемым к простым числам.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Псевдопростое число  - вероятное простое число, составное.
• Сильный прайм
• Таблица простых коэффициентов
• пара Виферих

Рекомендации

1. Лемер, DN (1982). Список простых чисел от 1 до 10 006 721 . Том. 165. Вашингтон, округ Колумбия: Институт Карнеги в Вашингтоне. ОЛ  16553580М. ОЛ16553580М.
2. Томас Оливейра и Сильва, Проверка гипотезы Гольдбаха. Архивировано 24 мая 2011 года в Wayback Machine . Проверено 16 июля 2013 г.
3. (последовательность A080127 в OEIS )
4. Йенс Франке (29 июля 2010 г.). «Условное вычисление числа Пи (1024)». Архивировано из оригинала 24 августа 2014 года . Проверено 17 мая 2011 г.
5. OEIS : A018239 включает 2 = пустое произведение первых 0 простых чисел плюс 1, но 2 исключено из этого списка.
6. Боклан, Кент Д.; Конвей, Джон Х. (2016). «Ожидайте не более одной миллиардной части нового числа Ферма!». arXiv : 1605.01371 [math.NT].
7. Бойд, Д.В. (1994). «П-адическое исследование частичных сумм гармонического ряда». Экспериментальная математика . 3 (4): 287–302. дои : 10.1080/10586458.1994.10504298. Збл  0838.11015. CiteSeerX : 10.1.1.56.7026 . Архивировано из оригинала 27 января 2016 года.
8. Джонсон, В. (1975). «Неправильные простые числа и циклотомические инварианты». Математика вычислений . 29 (129). АМС : 113–120. дои : 10.2307/2005468 . JSTOR  2005468.
9. Это зависит от того,  включено ли L _{0 = 2 в числа Люка.}
10. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A121091 (Наименьшее простое число в форме n^p - (n-1)^p, где p — нечетное простое число)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
11. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A121616 (Простые числа формы (n+1)^5 - n^5)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
12. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A121618 (простые числа Nexus порядка 7 или простые числа вида n^7 - (n-1)^7)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
13. Пашкевич, Анджей (2009). "Новое простое число, для которого наименее примитивный корень ( mod p ) {\displaystyle ({\textrm {mod}}p)} и наименее примитивный корень ( mod p 2 ) {\displaystyle ({\ textrm {mod}}p^{2})} не равны" (PDF) . Математика. Комп . 78 (266). Американское математическое общество: 1193–1195. Бибкод : 2009MaCom..78.1193P. дои : 10.1090/S0025-5718-08-02090-5 .
14. Колдуэлл, К .; Дубнер, Х. (1996–97). « Особенно ближние повторные числа простых чисел ». Журнал развлекательной математики . 28 (1): 1–9. ${\displaystyle A_{n-k-1}B_{1}A_{k}}$ ${\displaystyle 9_{n-k-1}8_{1}9_{k}}$
15. Лал, М. (1967). «Простые числа формы n4 + 1» (PDF) . Математика вычислений . 21 . АМС : 245–247. дои : 10.1090/S0025-5718-1967-0222007-9 . ISSN  1088-6842. Архивировано (PDF) из оригинала 13 января 2015 года.
16. Бохман, Дж. (1973). «Новые простые числа вида n ⁴ + 1». БИТ Численная математика . 13 (3). Спрингер: 370–372. дои : 10.1007/BF01951947. ISSN  1572-9125. S2CID  123070671.
17. Рибенбойм, П. (22 февраля 1996 г.). Новая книга рекордов простых чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 347. ИСБН 0-387-94457-5.
18. "Сравнение Мириманова: Другие сравнения" . Проверено 26 января 2011 г.
19. Галло, Ю.; Мори, П.; Зудилин, В. (2011). «Уравнение Эрдеша-Мозера 1k + 2k +...+ (m−1)k = mk, пересмотренное с использованием цепных дробей». Математика вычислений . 80 . Американское математическое общество: 1221–1237. arXiv : 0907.1356 . дои : 10.1090/S0025-5718-2010-02439-1. S2CID  16305654.
20. Рибенбойм, П. (2006). Die Welt der Primzahlen (PDF) . Берлин: Шпрингер. п. 240. ИСБН 3-540-34283-4.

Внешние ссылки

• Списки простых чисел на главных страницах.
• N-я простая страница. N-е простое число до n=10^12, от pi(x) до x=3*10^13, случайное простое число в том же диапазоне.
• Список простых чисел Полный список простых чисел до 10 000 000 000, частичный список до 400 цифр.
• Интерфейс к списку первых 98 миллионов простых чисел (простые числа менее 2 000 000 000)
• Вайсштейн, Эрик В. «Последовательности простых чисел». Математический мир .
• Избранные последовательности, связанные с простыми числами, в OEIS .
• Фишер, Р. Тема: Фактор Ферма B^(P−1) == 1 (mod P^2) (на немецком языке) (перечисляет простые числа Вифериха по всем основаниям до 1052)
• Падилья, Тони (7 февраля 2013 г.). «Новое самое большое известное простое число». Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 2 ноября 2021 года.