Корневая система

Геометрические расположения точек, лежащие в основе теории Ли

В математике корневая система — это конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определенным геометрическим свойствам. Это понятие является фундаментальным в теории групп Ли и алгебр Ли , особенно в теории классификации и представления полупростых алгебр Ли . Поскольку группы Ли (и некоторые аналоги, такие как алгебраические группы ) и алгебры Ли стали важными во многих разделах математики в течение двадцатого века, кажущаяся особая природа корневых систем противоречит числу областей, в которых они применяются. Кроме того, схема классификации корневых систем, по диаграммам Дынкина , встречается в разделах математики, не имеющих явной связи с теорией Ли (таких как теория особенностей ). Наконец, корневые системы важны сами по себе, как в спектральной теории графов . ^[1]

Определения и примеры

Шесть векторов корневой системы А ₂

В качестве первого примера рассмотрим шесть векторов в двумерном евклидовом пространстве , R ² , как показано на рисунке справа; назовем их корнями . Эти векторы охватывают все пространство. Если рассмотреть линию, перпендикулярную любому корню, скажем β , то отражение R ² в этой линии отправляет любой другой корень, скажем α , в другой корень. Более того, корень, в который он отправляется, равен α + nβ , где n — целое число (в этом случае n равно 1). Эти шесть векторов удовлетворяют следующему определению, и поэтому они образуют корневую систему; эта система известна как A ₂ .

Определение

Пусть E — конечномерное евклидово векторное пространство , со стандартным евклидовым скалярным произведением , обозначенным как . Корневая система в E — это конечный набор ненулевых векторов (называемых корнями ), которые удовлетворяют следующим условиям: ^{[2] [3]} ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle \Phi }$

1. Корни охватывают E.​
2. Единственными скалярными кратными корня , принадлежащими ему, являются он сам и . ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle -\alpha }$
3. Для каждого корня множество замкнуто относительно отражения относительно гиперплоскости, перпендикулярной . ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \alpha }$
4. ( Целостность ) Если и являются корнями в , то проекция на прямую, проходящую через , является целым или полуцелым кратным . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Эквивалентный способ записи условий 3 и 4 выглядит следующим образом:

3. Для любых двух корней множество содержит элемент ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta ):=\beta -2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha .}$
4. Для любых двух корней число является целым числом . ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$ ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle :=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}}$

Некоторые авторы включают в определение корневой системы только условия 1–3. ^[4] В этом контексте корневая система, которая также удовлетворяет условию целостности, известна как кристаллографическая корневая система . ^[5] Другие авторы опускают условие 2; тогда они называют корневые системы, удовлетворяющие условию 2, редуцированными . ^[6] В этой статье все корневые системы предполагаются редуцированными и кристаллографическими.

Ввиду свойства 3 условие целочисленности эквивалентно утверждению, что β и его отражение σ _α ( β ) отличаются на целое число, кратное  α . Обратите внимание, что оператор, определенный свойством 4, не является скалярным произведением. Он не обязательно симметричен и линеен только по первому аргументу. $${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z} }$$

Ранг корневой системы Φ — это размерность E. Две корневые системы можно объединить, рассматривая евклидовы пространства, которые они охватывают, как взаимно ортогональные подпространства общего евклидова пространства. Корневая система, которая не возникает из такой комбинации, например, системы A 2 _, B 2 _и G 2 _, изображенные справа, называется неприводимой .

Две корневые системы ( E ₁ , Φ ₁ ) и ( E ₂ , Φ ₂ ) называются изоморфными, если существует обратимое линейное преобразование E ₁  →  E ₂ , которое переводит Φ ₁ в Φ ₂ таким образом, что для каждой пары корней число сохраняется. ^[7] ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$

TheРешетка корней корневой системы Φ — этоZ-подмодульE,порожденный Φ. Эторешеткав E.

Группа Вейля

Группа Вейля корневой системы является группой симметрии равностороннего треугольника. ${\displaystyle A_{2}}$

Группа изометрий E  , порожденная отражениями относительно гиперплоскостей, связанных с корнями Φ, называется группой Вейля Φ. Поскольку она действует точно на конечном множестве Φ, группа Вейля всегда конечна. Плоскости отражения — это гиперплоскости, перпендикулярные корням, обозначенные пунктирными линиями на рисунке ниже. Группа Вейля — это группа симметрии равностороннего треугольника, которая имеет шесть элементов. В этом случае группа Вейля не является полной группой симметрии корневой системы (например, поворот на 60 градусов является симметрией корневой системы, но не элементом группы Вейля). ${\displaystyle A_{2}}$

Пример ранга один

Существует только одна корневая система ранга 1, состоящая из двух ненулевых векторов . Такая корневая система называется . ${\displaystyle \{\alpha ,-\alpha \}}$ ${\displaystyle A_{1}}$

Примеры ранга два

В ранге 2 имеется четыре возможности, соответствующие , где . ^[8] Рисунок справа показывает эти возможности, но с некоторыми избыточностями: изоморфен и изоморфен . ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha }$ ${\displaystyle n=0,1,2,3}$ ${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

Обратите внимание, что корневая система не определяется решеткой, которую она генерирует: и оба генерируют квадратную решетку, тогда как и оба генерируют гексагональную решетку . ${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle G_{2}}$

Всякий раз, когда Φ является корневой системой в E , а S является подпространством E , натянутым на Ψ = Φ ∩  S , то Ψ является корневой системой в  S . Таким образом, исчерпывающий список четырех корневых систем ранга 2 показывает геометрические возможности для любых двух корней, выбранных из корневой системы произвольного ранга. В частности, два таких корня должны встречаться под углом 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150 или 180 градусов.

Корневые системы, возникающие из полупростых алгебр Ли

Если — комплексная полупростая алгебра Ли и — подалгебра Картана , мы можем построить корневую систему следующим образом. Мы говорим, что является корнем относительно , ​​если и существует некоторое такое, что для всех . Можно показать ^[9] , что существует скалярное произведение, для которого множество корней образует корневую систему. Корневая система — это фундаментальный инструмент для анализа структуры и классификации ее представлений. (См. раздел ниже «Корневые системы и теория Ли».) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ ${\displaystyle X\neq 0\in {\mathfrak {g}}}$ $${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$$ ${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

История

Понятие корневой системы было первоначально введено Вильгельмом Киллингом около 1889 года (на немецком языке Wurzelsystem ^[10] ). ^[11] Он использовал их в своей попытке классифицировать все простые алгебры Ли над полем комплексных чисел . (Киллинг изначально допустил ошибку в классификации, перечислив две исключительные корневые системы ранга 4, когда на самом деле существует только одна, теперь известная как F ₄ . Картан позже исправил эту ошибку, показав, что две корневые системы Киллинга были изоморфны. ^[12] )

Киллинг исследовал структуру алгебры Ли , рассматривая то, что сейчас называется подалгеброй Картана . Затем он изучил корни характеристического многочлена , где . Здесь корень рассматривается как функция , или, по сути, как элемент двойственного векторного пространства . Этот набор корней образует корневую систему внутри , как определено выше, где скалярное произведение является формой Киллинга . ^[11] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \det(\operatorname {ad} _{L}x-t)}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}^{*}}$

Элементарные следствия аксиом корневой системы

Условие целочисленности для выполняется только для β на одной из вертикальных линий, в то время как условие целочисленности для выполняется только для β на одном из красных кругов. Любой β, перпендикулярный α (на оси Y ), тривиально выполняет оба с 0, но не определяет неприводимую систему корней. По модулю отражения для данного α существует только 5 нетривиальных возможностей для β и 3 возможных угла между α и β в наборе простых корней. Нижние индексы соответствуют сериям систем корней, для которых данный β может служить первым корнем, а α — вторым корнем (или в F ₄ — средними 2 корнями). ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$

Косинус угла между двумя корнями ограничен половиной квадратного корня из положительного целого числа. Это потому, что и являются целыми числами, по предположению, и ${\displaystyle \langle \beta ,\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \beta ,\alpha \rangle \langle \alpha ,\beta \rangle &=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\cdot 2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\beta ,\beta )}}\\&=4{\frac {(\alpha ,\beta )^{2}}{\vert \alpha \vert ^{2}\vert \beta \vert ^{2}}}\\&=4\cos ^{2}(\theta )=(2\cos(\theta ))^{2}\in \mathbb {Z} .\end{aligned}}}$$

Так как , то единственными возможными значениями для являются и , что соответствует углам 90°, 60° или 120°, 45° или 135°, 30° или 150° и 0° или 180°. Условие 2 гласит, что никакие скалярные кратные α , кроме 1 и −1, не могут быть корнями, поэтому 0 или 180°, которые соответствовали бы 2 α или −2 α , исключаются. Диаграмма справа показывает, что угол 60° или 120° соответствует корням равной длины, в то время как угол 45° или 135° соответствует отношению длин , а угол 30° или 150° соответствует отношению длин . ${\displaystyle 2\cos(\theta )\in [-2,2]}$ ${\displaystyle \cos(\theta )}$ ${\displaystyle 0,\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {\sqrt {2}}{2}},\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\displaystyle \pm {\tfrac {\sqrt {4}}{2}}=\pm 1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

Подводя итог, вот единственные возможности для каждой пары корней. ^[13]

• Угол 90 градусов; в этом случае соотношение длин не ограничено.
• Угол 60 или 120 градусов, с отношением длины 1.
• Угол 45 или 135 градусов, с отношением длины . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• Угол 30 или 150 градусов, с отношением длины . ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

Положительные корни и простые корни

Помеченные корни представляют собой набор положительных корней корневой системы, причем и являются простыми корнями. ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

При наличии корневой системы мы всегда можем выбрать (многими способами) множество положительных корней . Это подмножество таких , что ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \Phi }$

• Для каждого корня ровно один из корней содержится в . ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle -\alpha }$ ${\displaystyle \Phi ^{+}}$
• Для любых двух различных таких, что является корнем, . ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \alpha +\beta }$ ${\displaystyle \alpha +\beta \in \Phi ^{+}}$

Если выбран набор положительных корней , элементы из называются отрицательными корнями . Набор положительных корней может быть построен путем выбора гиперплоскости, не содержащей ни одного корня, и установки в качестве всех корней, лежащих на фиксированной стороне от . Более того, каждый набор положительных корней возникает таким образом. ^[14] ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle -\Phi ^{+}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle V}$

Элемент из называется простым корнем (также фундаментальным корнем ), если его нельзя записать в виде суммы двух элементов из . (Набор простых корней также называется базой для . ) Набор простых корней является базой со следующими дополнительными специальными свойствами: ^[15] ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \Phi ^{+}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle E}$

• Каждый корень представляет собой линейную комбинацию элементов с целыми коэффициентами. ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Delta }$
• Для каждого коэффициенты в предыдущем пункте либо все неотрицательные, либо все неположительные. ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$

Для каждой корневой системы существует множество различных вариантов выбора набора положительных корней — или, что эквивалентно, простых корней — но любые два набора положительных корней отличаются действием группы Вейля. ^[16] ${\displaystyle \Phi }$

Двойная корневая система, сокорни и интегральные элементы

Двойная корневая система

Если Φ — корневая система в E , то корень α ^∨ корня α определяется как $${\displaystyle \alpha ^{\vee }={2 \over (\alpha ,\alpha )}\,\alpha .}$$

Набор сокорней также образует корневую систему Φ ^∨ в E , называемую дуальной корневой системой (или иногда обратной корневой системой ). По определению, α ^{∨ ∨} = α, так что Φ является дуальной корневой системой Φ ^∨ . Решетка в E , натянутая на Φ ^{∨ ,} называется решеткой сокорней . Как Φ, так и Φ ^∨ имеют одну и ту же группу Вейля W и для s в W , $${\displaystyle (s\alpha )^{\vee }=s(\alpha ^{\vee }).}$$

Если Δ — множество простых корней для Φ, то Δ ^∨ — множество простых корней для Φ ^∨ . ^[17]

В классификации, описанной ниже, корневые системы типа и вместе с исключительными корневыми системами являются самодвойственными, что означает, что двойственная корневая система изоморфна исходной корневой системе. Напротив, корневые системы и являются двойственными друг другу, но не изоморфными (за исключением случаев ). ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle n=2}$

Интегральные элементы

Вектор в E называется целым ^[18], если его скалярное произведение с каждым кокорнем является целым числом: Поскольку множество с образует базу для двойственной корневой системы, чтобы убедиться, что является целым, достаточно проверить приведенное выше условие для . ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle 2{\frac {(\lambda ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} ,\quad \alpha \in \Phi .}$$ ${\displaystyle \alpha ^{\vee }}$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$

Набор целочисленных элементов называется решеткой весов, ассоциированной с данной корневой системой. Этот термин происходит из теории представлений полупростых алгебр Ли , где целочисленные элементы образуют возможные веса конечномерных представлений.

Определение корневой системы гарантирует, что корни сами по себе являются целыми элементами. Таким образом, каждая целочисленная линейная комбинация корней также является целой. В большинстве случаев, однако, будут целые элементы, которые не являются целочисленными комбинациями корней. То есть, в общем случае решетка весов не совпадает с решеткой корней.

Классификация корневых систем по диаграммам Дынкина

Фотографии всех связанных диаграмм Дынкина

Корневая система неприводима, если ее нельзя разбить на объединение двух собственных подмножеств , таких, что для всех и . ${\displaystyle \Phi =\Phi _{1}\cup \Phi _{2}}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta )=0}$ ${\displaystyle \alpha \in \Phi _{1}}$ ${\displaystyle \beta \in \Phi _{2}}$

Неприводимые корневые системы соответствуют определенным графам , диаграммам Дынкина, названным в честь Евгения Дынкина . Классификация этих графов является простым вопросом комбинаторики и влечет за собой классификацию неприводимых корневых систем.

Построение диаграммы Дынкина

Для заданной корневой системы выберите множество Δ простых корней, как в предыдущем разделе. Вершины ассоциированной диаграммы Дынкина соответствуют корням в Δ. Ребра проводятся между вершинами следующим образом, в соответствии с углами. (Обратите внимание, что угол между простыми корнями всегда составляет не менее 90 градусов.)

• Нет ребра, если векторы ортогональны,
• Ненаправленное одно ребро, если они образуют угол 120 градусов,
• Направленное двойное ребро, если они образуют угол 135 градусов, и
• Направленное тройное ребро, если они образуют угол 150 градусов.

Термин «направленное ребро» означает, что двойные и тройные ребра обозначены стрелкой, указывающей на более короткий вектор. (Если рассматривать стрелку как знак «больше», становится ясно, в какую сторону должна указывать стрелка.)

Обратите внимание, что в соответствии с элементарными свойствами корней, отмеченными выше, правила создания диаграммы Дынкина можно также описать следующим образом. Нет ребра, если корни ортогональны; для неортогональных корней одинарное, двойное или тройное ребро в зависимости от того, равно ли отношение длины более длинного корня к более короткому 1, , . В случае корневой системы, например, есть два простых корня под углом 150 градусов (с отношением длин ). Таким образом, диаграмма Дынкина имеет две вершины, соединенные тройным ребром, со стрелкой, указывающей из вершины, связанной с более длинным корнем, в другую вершину. (В этом случае стрелка немного избыточна, поскольку диаграмма эквивалентна, в какую бы сторону ни шла стрелка.) ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

Классификация корневых систем

Хотя данная корневая система имеет более одного возможного набора простых корней, группа Вейля действует транзитивно на таких выборах. ^[19] Следовательно, диаграмма Дынкина не зависит от выбора простых корней; она определяется самой корневой системой. И наоборот, если даны две корневые системы с одинаковой диаграммой Дынкина, можно сопоставить корни, начиная с корней в основании, и показать, что системы на самом деле одинаковы. ^[20]

Таким образом, проблема классификации корневых систем сводится к проблеме классификации возможных диаграмм Дынкина. Корневая система неприводима тогда и только тогда, когда ее диаграмма Дынкина связна. ^[21] Возможные связные диаграммы показаны на рисунке. Нижние индексы указывают количество вершин в диаграмме (и, следовательно, ранг соответствующей неприводимой корневой системы).

Если — корневая система, то диаграмма Дынкина для двойственной корневой системы получается из диаграммы Дынкина путем сохранения всех тех же вершин и ребер, но изменения направления всех стрелок. Таким образом, из их диаграмм Дынкина мы можем видеть, что и являются двойственными друг другу. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle C_{n}}$

Камеры Вейля и группа Вейля

Заштрихованная область — это фундаментальная камера Вейля для основания. ${\displaystyle \{\alpha _{1},\alpha _{2}\}}$

Если — корневая система, мы можем рассматривать гиперплоскость, перпендикулярную каждому корню . Напомним, что обозначает отражение относительно гиперплоскости и что группа Вейля — это группа преобразований, порожденных всеми . Дополнение к набору гиперплоскостей несвязно, и каждый связный компонент называется камерой Вейля . Если мы зафиксировали конкретный набор Δ простых корней, мы можем определить фундаментальную камеру Вейля, связанную с Δ, как набор точек, такой что для всех . ${\displaystyle \Phi \subset E}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \sigma _{\alpha }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma _{\alpha }}$ ${\displaystyle v\in E}$ ${\displaystyle (\alpha ,v)>0}$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$

Поскольку отражения сохраняют , они также сохраняют множество гиперплоскостей, перпендикулярных корням. Таким образом, каждый элемент группы Вейля переставляет камеры Вейля. ${\displaystyle \sigma _{\alpha },\,\alpha \in \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$

Рисунок иллюстрирует случай корневой системы. «Гиперплоскости» (в данном случае одномерные), ортогональные корням, обозначены пунктирными линиями. Шесть 60-градусных секторов — это камеры Вейля, а заштрихованная область — это фундаментальная камера Вейля, связанная с указанным основанием. ${\displaystyle A_{2}}$

Основная общая теорема о камерах Вейля такова: ^[22]

Теорема : Группа Вейля действует свободно и транзитивно на камерах Вейля. Таким образом, порядок группы Вейля равен числу камер Вейля.

В этом случае, например, группа Вейля имеет шесть элементов и имеется шесть камер Вейля. ${\displaystyle A_{2}}$

Схожий результат: ^[23]

Теорема : Зафиксируем камеру Вейля . Тогда для всех орбита Вейля содержит ровно одну точку в замыкании . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle v\in E}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\bar {C}}}$ ${\displaystyle C}$

Корневые системы и теория Ли

Неприводимые корневые системы классифицируют ряд связанных объектов в теории Ли, в частности следующие:

• простые комплексные алгебры Ли (см. выше обсуждение корневых систем, возникающих из полупростых алгебр Ли),
• односвязные комплексные группы Ли, которые являются простыми по модулю центрами, и
• односвязные компактные группы Ли , являющиеся простыми по модулю центрами.

В каждом случае корни являются ненулевыми весами присоединенного представления .

Теперь мы дадим краткое указание на то, как неприводимые корневые системы классифицируют простые алгебры Ли над , следуя аргументам Хамфриса. ^[24] Предварительный результат гласит, что полупростая алгебра Ли является простой тогда и только тогда, когда соответствующая корневая система неприводима. ^[25] Таким образом, мы ограничиваем внимание неприводимыми корневыми системами и простыми алгебрами Ли. ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• Во-первых, мы должны установить, что для каждой простой алгебры существует только одна корневая система. Это утверждение следует из результата о том, что подалгебра Картана единственна с точностью до автоморфизма, ^[26] из которого следует, что любые две подалгебры Картана дают изоморфные корневые системы. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Далее нам нужно показать, что для каждой неприводимой корневой системы может быть не более одной алгебры Ли, то есть что корневая система определяет алгебру Ли с точностью до изоморфизма. ^[27]
• Наконец, мы должны показать, что для каждой неприводимой корневой системы существует ассоциированная простая алгебра Ли. Это утверждение очевидно для корневых систем типа A, B, C и D, для которых ассоциированные алгебры Ли являются классическими алгебрами Ли . Затем можно анализировать исключительные алгебры в каждом конкретном случае. В качестве альтернативы можно разработать систематическую процедуру построения алгебры Ли из корневой системы, используя соотношения Серра . ^[28]

О связях между исключительными корневыми системами и их группами Ли и алгебрами Ли см. E 8 , E 7 , E 6 , F 4 и G 2 .

Свойства нередуцируемых корневых систем

Неприводимые корневые системы названы в соответствии с соответствующими им связными диаграммами Дынкина. Существует четыре бесконечных семейства (A _n , B _n , C _n и D _n , называемые классическими корневыми системами ) и пять исключительных случаев ( исключительные корневые системы ). Нижний индекс указывает ранг корневой системы.

В неприводимой корневой системе может быть максимум два значения для длины ( α , α ) ^1/2 , соответствующие коротким и длинным корням. Если все корни имеют одинаковую длину, они считаются длинными по определению, и корневая система называется просто кружевной ; это происходит в случаях A, D и E. Любые два корня одинаковой длины лежат в одной и той же орбите группы Вейля. В непростых кружевных случаях B, C, G и F решетка корней охватывается короткими корнями, а длинные корни охватывают подрешетку, инвариантную относительно группы Вейля, равную r ² /2, умноженному на решетку кокорней, где r — длина длинного корня.

В соседней таблице | Φ ^< | обозначает число коротких корней, I обозначает индекс в корневой решетке подрешетки, порожденной длинными корнями, D обозначает определитель матрицы Картана , а | W | обозначает порядок группы Вейля .

Явное построение неприводимых корневых систем

Ан

Модель корневой системы в системе Zometool ${\displaystyle A_{3}}$

Пусть E будет подпространством R ^{n +1,} для которого сумма координат равна 0, и пусть Φ будет множеством векторов в E длины √ 2 , которые являются целочисленными векторами, т.е. имеют целочисленные координаты в R ^{n +1} . Такой вектор должен иметь все координаты, кроме двух, равные 0, одну координату, равную 1, и одну, равную −1, так что всего имеется n ² ​​+ n корней. Один выбор простых корней, выраженных в стандартном базисе, это α _i = e _i − e _{i +1} для 1 ≤ i ≤ n .

Отражение σ _i относительно гиперплоскости, перпендикулярной α i _, равносильно перестановке соседних i -й и ( i  + 1)-й координат . Такие транспозиции порождают полную группу перестановок . Для соседних простых корней σ _i ( α _{i +1} ) = α _{i +1}  +  α _i =  σ _{i +1} ( α _i ) =  α _i  +  α _{i +1} , то есть отражение эквивалентно добавлению числа, кратного 1; но отражение простого корня перпендикулярно несмежному простому корню оставляет его неизменным, отличаясь на число, кратное 0.

Решетку корней A _n , то есть решетку, порожденную корнями A _n , проще всего описать как набор целочисленных векторов в R ^{n +1} , компоненты которых в сумме дают ноль.

Решетка корней A2 _{представляет собой} расположение вершин треугольной мозаики .

Решетка корня A3 известна кристаллографам как гранецентрированная кубическая ₍ или кубическая плотноупакованная ) решетка. ^[29] Это расположение вершин тетраэдрально-октаэдрических сот .

Корневую систему A ₃ (а также другие корневые системы ранга три) можно смоделировать в конструкторе Zometool . ^[30]

В общем случае решетка корней A _n представляет собой расположение вершин n -мерных симплициальных сот .

Бн

Пусть E = R ⁿ , и пусть Φ состоит из всех целочисленных векторов в E длины 1 или √ 2 . Общее число корней равно 2 n ² . Один выбор простых корней — α _i = e _i – e _{i +1} для 1 ≤ i ≤ n – 1 (приведенный выше выбор простых корней для A _{n −1} ), а более короткий корень — α _n = e _n .

Отражение σ _n через гиперплоскость, перпендикулярную короткому корню α _n , конечно, является просто отрицанием n -й координаты. Для длинного простого корня α _{n −1} , σ _{n −1} ( α _n ) = α _n + α _{n −1} , но для отражения, перпендикулярного короткому корню, σ _n ( α _{n −1} ) = α _{n −1} + 2 α _n , разница кратна 2 вместо 1.

Решетка корней B _n , то есть решетка, порожденная корнями B _n , состоит из всех целочисленных векторов.

B ₁ изоморфен A ₁ посредством масштабирования на √ 2 и, следовательно, не является отдельной корневой системой.

Сн

Корневая система B ₃ , C ₃ и A ₃ = D ₃ как точки внутри куба и октаэдра

Пусть E = R ⁿ , и пусть Φ состоит из всех целочисленных векторов в E длины √ 2 вместе со всеми векторами вида 2 λ , где λ — целочисленный вектор длины 1. Общее число корней равно 2 n ² . Один выбор простых корней: α _i = e _i − e _{i +1} , для 1 ≤ i ≤ n − 1 (вышеуказанный выбор простых корней для A _{n −1} ), и более длинный корень α _n = 2 e _n . Отражение σ _n ( α _{n −1} ) = α _{n −1} + α _n , но σ _{n −1} ( α _n ) = α _n + 2 α _{n −1} .

Решетка корней C _n , то есть решетка, порожденная корнями C _n , состоит из всех целочисленных векторов, компоненты которых в сумме дают четное целое число.

C ₂ изоморфен B ₂ посредством масштабирования на √ 2 и поворота на 45 градусов и, следовательно, не является отдельной корневой системой.

Дн

Пусть E = R ⁿ , и пусть Φ состоит из всех целочисленных векторов в E длины √ 2 . Общее число корней равно 2 n ( n − 1) . Один выбор простых корней — это α _i = e _i − e _{i +1} для 1 ≤ i ≤ n − 1 (вышеуказанный выбор простых корней для A _{n −1} ) вместе с α _n = e _{n −1} + e _n .

Отражение через гиперплоскость, перпендикулярную α _{n ,} то же самое, что транспонирование и отрицание соседних n -й и ( n − 1)-й координат. Любой простой корень и его отражение, перпендикулярное другому простому корню, отличаются на кратное 0 или 1 второго корня, а не на большее кратное.

Решетка корней D _n – то есть решетка, порожденная корнями D _n – состоит из всех целочисленных векторов, компоненты которых в сумме дают четное целое число. Это то же самое, что и решетка корней C _{n .}

Корни D _n выражаются как вершины выпрямленного n - ортоплекса , диаграммы Коксетера-Дынкина :.... 2 n ( n − 1) вершин находятся в середине ребер n -ортоплекса.

D ₃ совпадает с A ₃ и, следовательно, не является отдельной корневой системой. Двенадцать корневых векторов D ₃ выражаются как вершины, конструкция кубооктаэдра с более низкой симметрией .

D ₄ имеет дополнительную симметрию, называемую триальностью . Двадцать четыре корневых вектора D ₄ выражаются как вершины, конструкция с более низкой симметрией из 24 ячеек .

Э6,Э7,Э8

• Корневая система E ₈ — это любой набор векторов в R ⁸ , который конгруэнтен следующему набору: $${\displaystyle D_{8}\cup \left\{{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{8}\varepsilon _{i}\mathbf {e} _{i}\right):\varepsilon _{i}=\pm 1,\,\varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{8}=+1\right\}.}$$

Система корней имеет 240 корней. Перечисленный выше набор — это набор векторов длины √ 2 в решетке корней E8, также известной просто как решетка E8 или Γ ₈ . Это набор точек в R ^{8 ,} такой что:

1. все координаты являются целыми числами или все координаты являются полуцелыми числами (смесь целых и полуцелых чисел не допускается), и
2. сумма восьми координат представляет собой четное целое число .

Таким образом, $${\displaystyle E_{8}=\left\{\alpha \in \mathbb {Z} ^{8}\cup \left(\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\right)^{8}:|\alpha |^{2}=\sum \alpha _{i}^{2}=2,\,\sum \alpha _{i}\in 2\mathbb {Z} .\right\}}$$

• Система корней E ₇ — это множество векторов в E ₈ , которые перпендикулярны фиксированному корню в E ₈ . Система корней E ₇ имеет 126 корней.
• Система корней E ₆ не является множеством векторов в E ₇ , которые перпендикулярны фиксированному корню в E ₇ , действительно, таким образом можно получить D _{6 . Однако} E ₆ является подсистемой E _{8 ,} перпендикулярной двум соответствующим образом выбранным корням E ₈ . Система корней E ₆ имеет 72 корня.

Альтернативное описание решетки E ₈ , которое иногда удобно, состоит в том, чтобы представить ее как множество Γ' ₈ всех точек в R ^{8 ,} таких что

• все координаты являются целыми числами и сумма координат четная, или
• все координаты являются полуцелыми числами, а сумма координат нечетна.

Решетки Γ ₈ и Γ' ₈ изоморфны ; можно перейти от одной к другой, изменив знаки любого нечетного числа координат. Решетка Γ ₈ иногда называется четной системой координат для E _8, тогда как решетка Γ' ₈ называется нечетной системой координат .

Один из вариантов простых корней для E ₈ в четной системе координат со строками, упорядоченными по порядку узлов в альтернативных (неканонических) диаграммах Дынкина (выше), выглядит следующим образом:

α _i = ei ₋ ei ₊₁ , для 1≤ i ≤ 6, _и

α7 = е7 + е6_​​​

(вышеуказанный выбор простых корней для D ₇ ) вместе с $${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{8}={\boldsymbol {\beta }}_{0}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{8}\mathbf {e} _{i}=(-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2).}$$

Один из вариантов простых корней для E ₈ в нечетной системе координат со строками, упорядоченными по порядку узлов в альтернативных (неканонических) диаграммах Дынкина (выше), — это

α _i = ei ₋ ei ₊₁ , для 1≤ _i ≤ 7

(вышеуказанный выбор простых корней для A ₇ ) вместе с

α ₈ = β ₅ , где

${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}={\frac {1}{2}}\left(-\sum _{i=1}^{j}e_{i}+\sum _{i=j+1}^{8}e_{i}\right).}$

(Использование β ₃ дало бы изоморфный результат. Использование β _1,7 или β _2,6 просто дало бы A ₈ или D ₈ . Что касается β ₄ , его координаты в сумме дают 0, и то же самое верно для α _1...7 , поэтому они охватывают только 7-мерное подпространство, для которого координаты в сумме дают 0; на самом деле −2 β ₄ имеет координаты (1,2,3,4,3,2,1) в базисе ( α _i ).)

Поскольку перпендикулярность к α ₁ означает, что первые две координаты равны, то E ₇ является подмножеством E ₈ , где первые две координаты равны, и аналогично E ₆ является подмножеством E ₈ , где первые три координаты равны. Это облегчает явные определения E ₇ и E ₆ как

E ₇ = { α ∈ Z ⁷ ∪ ( Z +1/2) ⁷  : Σ α _я ² + α ₁ ² = 2, Σ α _я + α ₁ ∈ 2 Z },

E ₆ знак равно { α ∈ Z ⁶ ∪ ( Z +1/2) ⁶  : Σ α _я ² + 2 α ₁ ² знак равно 2, Σ α _я + 2 α ₁ ∈ 2 Z }

Обратите внимание, что удаление α ₁ и затем α ₂ дает наборы простых корней для E ₇ и E ₆ . Однако эти наборы простых корней находятся в других подпространствах E ₇ и E ₆ пространства E ₈ , чем те, которые записаны выше, поскольку они не ортогональны α ₁ или α ₂ .

Ф4

Векторы с 48 корнями F4, определяемые вершинами 24-клеточного и его двойственного многоугольников, рассматриваемых в плоскости Коксетера

Для F ₄ пусть E = R ⁴ , и пусть Φ обозначает множество векторов α длины 1 или √ 2 таких, что координаты 2α являются целыми числами и либо все четными, либо все нечетными. В этой системе 48 корней. Один выбор простых корней: выбор простых корней, данный выше для B ₃ , плюс . ${\textstyle {\boldsymbol {\alpha }}_{4}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{4}e_{i}}$

Решетка корней F ₄ — то есть решетка, порожденная системой корней F ₄ — это множество точек в R ^{4 ,} таких, что либо все координаты являются целыми числами , либо все координаты являются полуцелыми числами (смесь целых и полуцелых чисел не допускается). Эта решетка изоморфна решетке кватернионов Гурвица .

Г2

Корневая система G ₂ имеет 12 корней, которые образуют вершины гексаграммы . Смотрите рисунок выше.

Один из вариантов простых корней — ( α ₁ , β = α ₂ − α ₁ ), где α _i = ei − ei ₊₁ для i = 1, _{2 — указанный выше} вариант простых корней для A ₂ .

Решетка корней G2 , то есть решетка, порожденная корнями _G2 , _такая же, как решетка _корней A2 .

Корневой посет

Диаграмма Хассе корневого частично упорядоченного множества E6 с метками ребер, идентифицирующими добавленный простой корень

Множество положительных корней естественным образом упорядочено, если и только если является неотрицательной линейной комбинацией простых корней. Этот посет градуируется и имеет много замечательных комбинаторных свойств, одно из которых заключается в том, что из этого посета можно определить степени фундаментальных инвариантов соответствующей группы Вейля. ^[31] Граф Хассе является визуализацией упорядочения корневого посета. ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ ${\displaystyle \beta -\alpha }$ ${\textstyle \deg \left(\sum _{\alpha \in \Delta }\lambda _{\alpha }\alpha \right)=\sum _{\alpha \in \Delta }\lambda _{\alpha }}$

Смотрите также

• классификация ADE
• Аффинная корневая система
• Диаграмма Коксетера–Дынкина
• Группа Коксетера
• матрица Кокстера
• Диаграмма Дынкина
• корневой элемент данных
• Полупростая алгебра Ли
• Веса в теории представлений полупростых алгебр Ли
• Корневая система полупростой алгебры Ли
• Группа Вейля

Примечания

1. Цветкович, Драгош (2002). «Графы с наименьшим собственным значением −2; исторический обзор и последние разработки в области максимальных исключительных графов». Линейная алгебра и ее приложения . 356 (1–3): 189–210. doi : 10.1016/S0024-3795(02)00377-4 .
2. Бурбаки, Гл. VI, Раздел 1
3. Хамфрис 1972, стр. 42
4. Хамфрис 1992, стр. 6
5. Хамфрис 1992, стр. 39
6. Хамфрис 1992, стр. 41
7. Хамфрис 1972, стр. 43
8. Холл 2015 Предложение 8.8
9. Холл 2015, Раздел 7.5
10. Убийство 1889
11. Бурбаки 1998, стр. 270
12. Коулмен 1989, стр. 34
13. Холл 2015 Предложение 8.6
14. Холл 2015, Теоремы 8.16 и 8.17
15. Холл 2015, Теорема 8.16
16. Холл 2015, Предложение 8.28
17. Холл 2015, Предложение 8.18
18. Холл 2015, Раздел 8.7
19. Это следует из Hall 2015, Предложение 8.23.
20. Холл 2015, Предложение 8.32
21. Холл 2015, Предложение 8.23
22. Холл 2015, Предложения 8.23 ​​и 8.27
23. Холл 2015, Предложение 8.29
24. См. различные части глав III, IV и V работы Хамфриса 1972 года, завершающиеся разделом 19 главы V.
25. Холл 2015, Теорема 7.35
26. Хамфрис 1972, Раздел 16
27. Хамфрис 1972, Часть (b) теоремы 18.4
28. Хамфрис 1972 Раздел 18.3 и Теорема 18.4
29. Конвей, Джон ; Слоан, Нил JA (1998). "Раздел 6.3". Упаковки сфер, решетки и группы. Springer. ISBN 978-0-387-98585-5.
30. Холл 2015 Раздел 8.9
31. Хамфрис 1992, Теорема 3.20

Ссылки

• Адамс, Дж. Ф. (1983), Лекции по группам Ли , Издательство Чикагского университета, ISBN 0-226-00530-5
• Бурбаки, Николя (2002), Группы Ли и алгебры Ли, главы 4–6 (перевод с французского оригинала 1968 года Эндрю Пресли) , Элементы математики, Springer-Verlag, ISBN 3-540-42650-7. Классический справочник по корневым системам.
• Бурбаки, Николя (1998). Элементы истории математики . Springer. ISBN 3540647678.
• Коулман, А. Дж. (лето 1989 г.), «Величайшая математическая работа всех времен», The Mathematical Intelligencer , 11 (3): 29–38, doi :10.1007/bf03025189, S2CID  35487310
• Холл, Брайан С. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Graduate Texts in Mathematics, т. 222 (2-е изд.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Хамфрис, Джеймс (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Springer. ISBN 0387900535.
• Хамфрис, Джеймс (1992). Группы отражения и группы Коксетера . Cambridge University Press. ISBN 0521436133.
• Киллинг, Вильгельм (июнь 1888 г.). «Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen». Математические Аннален . 31 (2): 252–290. дои : 10.1007/BF01211904. S2CID  120501356. Архивировано из оригинала 05 марта 2016 г.
  • — (март 1888 г.). «Часть 2». Math. Ann . 33 (1): 1–48. doi :10.1007/BF01444109. S2CID  124198118.
  • — (март 1889 г.). «Часть 3». Math. Ann . 34 (1): 57–122. doi :10.1007/BF01446792. S2CID  179177899. Архивировано из оригинала 21.02.2015.
  • — (Июнь 1890 г.). «Часть 4». Math. Ann . 36 (2): 161–189. doi :10.1007/BF01207837. S2CID  179178061.
• Кац, Виктор Г. (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46693-6.
• Springer, TA (1998). Линейные алгебраические группы (2-е изд.). Birkhäuser. ISBN 0817640215.

Дальнейшее чтение

• Дынкин, Е.Б. (1947). «Строение полупростых алгебр». УМН . 2. 4 (20): 59–127. МР  0027752.

Внешние ссылки