Пирпон Прайм

Простое число вида 2^u • 3^v + 1 для u, v > 0

В теории чисел простое число Пьерпонта — это простое число вида

$${\displaystyle 2^{u}\cdot 3^{v}+1\,}$$

целых чисел uvpp − 13-гладкимДжеймса Пирпонтаправильных многоугольниковконических сеченийтрисектора угласкладывания бумаги

За исключением 2 и простых чисел Ферма , каждое простое число Пьерпона должно быть 1 по модулю 6. Первые несколько простых чисел Пьерпона:

2 , 3 , 5 , 7 , 13 , 17 , 19 , 37 , 73 , 97 , 109 , 163 , 193 , 257 , 433 , 487 , 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 34 57, 3889, 10369, 12289, 17497, 18433, 39367, 52489, 65537, 139969, 147457, 209953, 331777, 472393, 629857, 746497, 786433, 839809, 99 5329, ... (последовательность A005109 в OEIS )

Было высказано предположение, что существует бесконечно много простых чисел Пьерпона, но это остается недоказанным.

Распределение

Нерешенная задача по математике :

Существует ли бесконечно много простых чисел Пьерпона?

(еще нерешенные задачи по математике)

Простое число Пьерпона с v = 0 имеет вид и, следовательно, является простым числом Ферма (если только u = 0 ). Если v положительно, то u также должно быть положительным (поскольку это будет четное число, большее 2 и, следовательно, не простое), и, следовательно, все простые числа, не являющиеся числами Ферма-Пьерпона, имеют форму 6 k  + 1 , когда k - положительное целое число ( кроме 2, когда u = v = 0 ). ${\displaystyle 2^{u}+1}$ ${\displaystyle 3^{v}+1}$

Распределение показателей для меньших простых чисел Пьерпона

Эмпирически простые числа Пьерпона не кажутся особенно редкими или редко распространенными; существует 42 простых числа Пирпона меньше 10 ⁶ , 65 меньше 10 ⁹ , 157 меньше 10 ²⁰ и 795 меньше 10 ¹⁰⁰ . Существует несколько ограничений на алгебраическую факторизацию простых чисел Пьерпона, поэтому нет никаких требований, таких как условие простого числа Мерсенна , согласно которому показатель степени должен быть простым. Таким образом, ожидается, что среди n -значных чисел правильной формы доля простых чисел должна быть пропорциональна 1/ n , пропорция аналогична доле простых чисел среди всех n -значных чисел. Поскольку в этом диапазоне есть числа правильной формы, то должны быть простые числа Пьерпона. ${\displaystyle 2^{u}\cdot 3^{v}+1}$ ${\displaystyle \Theta (n^{2})}$ ${\displaystyle \Theta (n)}$

Эндрю М. Глисон ясно выразил это рассуждение, предположив, что существует бесконечно много простых чисел Пьерпонта, а точнее, что должно быть примерно 9 n простых чисел Пьерпонта до 10 ⁿ . ^[1] Согласно гипотезе Глисона, существуют простые числа Пьерпона, меньшие N , в отличие от меньшего предположительного числа простых чисел Мерсенна в этом диапазоне. ${\displaystyle \Theta (\log N)}$ ${\displaystyle O(\log \log N)}$

Тестирование на примитивность

Когда , является числом Прота и, следовательно, его простота может быть проверена по теореме Прота . С другой стороны, когда возможны альтернативные тесты на простоту , основанные на факторизации как небольшого четного числа, умноженного на большую степень 3 . ^[2] ${\displaystyle 2^{u}>3^{v}}$ ${\displaystyle 2^{u}\cdot 3^{v}+1}$ ${\displaystyle 2^{u}<3^{v}}$ ${\displaystyle M=2^{u}\cdot 3^{v}+1}$ ${\displaystyle M-1}$

Простые числа Пьерпона найдены как факторы чисел Ферма

В рамках продолжающегося во всем мире поиска факторов чисел Ферма некоторые простые числа Пьерпона были объявлены факторами. В следующей таблице ^[3] приведены значения m , k и n такие, что

${\displaystyle 2^{2^{m}}+1}$делится на ${\displaystyle 3^{k}\cdot 2^{n}+1.}$

Левая часть представляет собой число Ферма; правая часть представляет собой простое число Пьерпона.

По состоянию на 2023 год ^{[обновлять]}самое большое известное простое число Пирпона составляет 81 × 2 ^20498148 + 1 (6 170 560 десятичных цифр), простота которого была обнаружена в июне 2023 года. ^[4]

Полигональное строительство

В математике складывания бумаги аксиомы Хузиты определяют шесть из семи возможных типов складывания. Было показано, что этих складок достаточно, чтобы можно было построить точки, решающие любое кубическое уравнение . ^[5] Отсюда следует, что они позволяют сформировать любой правильный многоугольник с N сторонами, если N ≥ 3 и имеет вид 2 ^m 3 ⁿ ρ , где ρ — произведение различных простых чисел Пьерпона. Это тот же класс правильных многоугольников, что и те, которые можно построить с помощью циркуля , линейки и трисектора . ^[1] Правильные многоугольники, которые можно построить только с помощью циркуля и линейки ( конструируемые многоугольники ), представляют собой особый случай, когда n  = 0 и ρ является произведением различных простых чисел Ферма , которые сами являются подмножеством простых чисел Пьерпона.

В 1895 году Джеймс Пирпонт изучил тот же класс правильных многоугольников; именно его работа дала название простым числам Пьерпона. Пьерпон по-другому обобщил конструкции циркуля и линейки, добавив возможность рисовать конические сечения , коэффициенты которых берутся из ранее построенных точек. Как он показал, правильные N -угольники, которые можно построить с помощью этих операций, - это те, у которых общая часть N является 3-гладкой. Поскольку тотент простого числа образуется путем вычитания из него единицы, простые числа N , для которых работает конструкция Пьерпона, являются в точности простыми числами Пьерпона. Однако Пьерпон не описал форму составных чисел с 3-гладкими частями. ^[6] Как позже показал Глисон, эти числа в точности соответствуют приведенному выше виду 2 ^m 3 ⁿ ρ . ^[1]

Наименьшее простое число, не являющееся простым числом Пьерпона (или Ферма), равно 11; следовательно, десятиугольник — это первый правильный многоугольник, который нельзя построить с помощью циркуля, линейки и трисектора угла (или оригами, или конических сечений). Все остальные правильные N -угольники с 3 ≤ N ≤ 21 можно построить с помощью циркуля, линейки и трисектора. ^[1]

Обобщение

Простое число Пьерпона второго рода — это простое число вида 2 ^u 3 ^v − 1. Эти числа

2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, 8191, 8747, 13121, 15551, 23327, 27647, 62207, 73727, 131071, 139967, 165887, 294911, 314927, 442367, 472391, 497663, 524287, 786 431, 995327, ... (последовательность A005105 в OEIS )

Самые большие известные простые числа этого типа — простые числа Мерсенна ; в настоящее время самый большой из известных - (24 862 048 десятичных цифр). Самое большое известное простое число Пьерпона второго рода, не являющееся простым числом Мерсенна , найдено с помощью PrimeGrid . ^[7] ${\displaystyle 2^{82589933}-1}$ ${\displaystyle 3\cdot 2^{20928756}-1}$

Обобщенное простое число Пьерпона — это простое число вида с k фиксированными простыми числами p ₁ < p ₂ < p ₃ < ... < p _k . Обобщенное простое число Пьерпона второго рода — это простое число вида с k фиксированными простыми числами p ₁ < p ₂ < p ₃ < ... < p _k . Поскольку все простые числа больше 2 нечетны , в обоих видах p ₁ должно быть равно 2. Последовательности таких простых чисел в OEIS : ${\displaystyle p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}+1}$ ${\displaystyle p_{1}^{n_{1}}\!\cdot p_{2}^{n_{2}}\!\cdot p_{3}^{n_{3}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{n_{k}}-1}$

Смотрите также

• Простое число Прота , простые числа вида, где k и n — положительные целые числа, является нечетным и ${\displaystyle N=k\cdot 2^{n}+1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2^{n}>k.}$

Рекомендации

1. Глисон, Эндрю М. (1988), «Трисекция угла, семиугольник и трискадекагон», American Mathematical Monthly , 95 (3): 185–194, doi : 10.2307/2323624, MR  0935432. Сноска 8, с. 191.
2. Кирфель, Кристоф; Родсет, Эйстейн Дж. (2001), «О простоте », Discrete Mathematics , 241 (1–3): 395–406, doi : 10.1016/S0012-365X(01)00125-X, MR  1861431 ${\displaystyle 2h\cdot 3^{n}+1}$.
3. Уилфрид Келлер, Факторинговый статус Fermat.
4. Колдуэлл, Крис, «Самые большие известные простые числа», The Prime Pages , получено 17 июня 2023 г.; «The Prime Database: 81*2^20498148+1», The Prime Pages , получено 17 июня 2023 г.
5. Халл, Томас К. (2011), «Решение кубиков со складками: работа Белоха и Лилла», American Mathematical Monthly , 118 (4): 307–315, doi : 10.4169/amer.math.monthly.118.04.307 , МР  2800341.
6. Пирпон, Джеймс (1895), «О непродемонстрированной теореме Disquisitiones Arithmeticæ», Бюллетень Американского математического общества , 2 (3): 77–83, doi : 10.1090/S0002-9904-1895-00317-1 , MR  1557414.
7. 3*2^20928756 - 1 (6 300 184 десятичных цифры), из The Prime Pages .