Существует ли бесконечно много правильных простых чисел, и если да, то какова их относительная плотность ?
В теории чисел регулярное простое число — это особый вид простого числа , определенный Эрнстом Куммером в 1850 году для доказательства некоторых случаев Великой теоремы Ферма . Регулярные простые числа могут быть определены через делимость чисел классов или чисел Бернулли .
Первые несколько обычных нечетных простых чисел:
В 1850 году Куммер доказал, что Великая теорема Ферма верна для простого показателя p , если p регулярен. Это привлекло внимание к нерегулярным простым числам. [1] В 1852 году Дженокки смог доказать, что первый случай Великой теоремы Ферма верен для показателя p , если ( p , p − 3) не является нерегулярной парой. Куммер еще больше улучшил это в 1857 году, показав, что для «первого случая» Великой теоремы Ферма (см. теорему Софи Жермен ) достаточно установить, что либо ( p , p − 3) , либо ( p , p − 5) не может быть выполнено. нестандартная пара.
( ( p , 2 k ) является нерегулярной парой, когда p нерегулярно из-за определенного условия, описанного ниже, реализующегося при 2 k .)
Куммер обнаружил неправильные простые числа меньше 165. В 1963 году Лемер сообщил о результатах до 10 000, а Селфридж и Поллак объявили в 1964 году, что завершили таблицу неправильных простых чисел до 25 000. Хотя две последние таблицы не появились в печати, Джонсон обнаружил, что что ( p , p − 3) на самом деле является нерегулярной парой для p = 16843 и что это первый и единственный раз, когда это происходит для p < 30000 . [2] В 1993 году было обнаружено, что в следующий раз это произойдет при p = 2124679 ; см. Вольстенхолм прайм . [3]
Нечетное простое число p называется регулярным, если оно не делит номер класса p - го кругового поля Q ( ζ p ), где ζ p — примитивный корень p -й степени из единицы.
Простое число 2 также часто считается регулярным.
Номер класса кругового поля — это число идеалов кольца целых чисел Z ( ζ p ) с точностью до эквивалентности. Два идеала I , J считаются эквивалентными, если в Q ( ζ p ) существует ненулевое u , так что I = uJ . Первые несколько номеров этих классов указаны в OEIS : A000927 .
Эрнст Куммер (Kummer 1850) показал, что эквивалентным критерием регулярности является то, что p не делит числитель ни одного из чисел Бернулли B k для k = 2, 4, 6, ..., p − 3 .
Доказательство Куммера того, что это эквивалентно определению числа классов, подкрепляется теоремой Эрбрана-Рибе , которая утверждает определенные последствия деления p одного из этих чисел Бернулли.
Было высказано предположение , что существует бесконечно много правильных простых чисел. Точнее, Карл Людвиг Зигель (1964) предположил, что e −1/2 , или около 60,65% всех простых чисел, являются регулярными в асимптотическом смысле естественной плотности . Ни одна из гипотез до сих пор не доказана.
Нечетное простое число, которое не является правильным, является неправильным простым числом (или неправильным по Бернулли или B-неправильным, чтобы отличать его от других типов нерегулярности, обсуждаемых ниже). Первые несколько неправильных простых чисел:
К. Л. Йенсен (ученик Нильсена [4] ) доказал в 1915 г., что существует бесконечно много неправильных простых чисел вида 4 n + 3 . [5] В 1954 году Карлитц дал простое доказательство более слабого результата о том, что вообще существует бесконечно много неправильных простых чисел. [6]
Метсянкюля доказал в 1971 году, что для любого целого числа T > 6 существует бесконечно много неправильных простых чисел, не имеющих формы mT + 1 или mT − 1 , [7] и позже обобщил это. [8]
Если p — нерегулярное простое число и p делит числитель числа Бернулли B 2 k при 0 < 2 k < p − 1 , то ( p , 2 k ) называется нерегулярной парой . Другими словами, нерегулярная пара — это средство учета, позволяющее записывать для нерегулярного простого числа p конкретные индексы чисел Бернулли, при которых регулярность нарушается. Первые несколько неправильных пар (при заказе по k ):
Наименьшее четное k такое, что n-е нерегулярные простые делители B k равны
Для данного простого числа p количество таких пар называется индексом иррегулярности p . [9] Следовательно, простое число является правильным тогда и только тогда, когда его индекс неправильности равен нулю. Аналогично, простое число является неправильным тогда и только тогда, когда его индекс неправильности положителен.
Было обнаружено, что ( p , p − 3) на самом деле является нерегулярной парой для p = 16843 , а также для p = 2124679 . Для p < 10 9 больше нет вхождений .
Нечетное простое число p имеет неправильный индекс n тогда и только тогда, когда существует n значений k , для которых p делит B 2 k , и эти k s меньше ( p − 1)/2 . Первое нерегулярное простое число с неправильным индексом больше 1 — это 157 , которое делит B 62 и B 110 , поэтому оно имеет неправильный индекс 2. Очевидно, что неправильный индекс обычного простого числа равен 0.
Нерегулярный индекс n-го простого числа равен
Неправильный индекс n- го неправильного простого числа равен
Простые числа с нерегулярным индексом 1 — это
Простые числа с нерегулярным индексом 2 — это
Простые числа с нерегулярным индексом 3 — это
Наименьшими простыми числами, имеющими нерегулярный индекс n, являются
Аналогично мы можем определить нерегулярное простое число Эйлера (или E-иррегулярное) как простое число p , которое делит хотя бы одно число Эйлера E 2 n на 0 < 2 n ⩽ p − 3 . Первые несколько нерегулярных простых чисел Эйлера равны
Нерегулярные пары Эйлера
Вандивер доказал в 1940 году, что Великая теорема Ферма ( x p + y p = z p ) не имеет решения для целых чисел x , y , z с НОД ( xyz , p ) = 1 , если p эйлерово-регулярно. Гут доказал, что x 2 p + y 2 p = z 2 p не имеет решения, если p имеет индекс E-нерегулярности меньше 5. [10]
Было доказано, что существует бесконечное количество E-неправильных простых чисел. Был получен более сильный результат: существует бесконечное число E-правильных простых чисел, конгруэнтных 1 по модулю 8. Как и в случае с B-регулярными простыми числами Куммера, пока не существует доказательства того, что существует бесконечно много E-правильных простых чисел, хотя это похоже, что это правда.
Простое число p называется сильно иррегулярным, если оно одновременно B-иррегулярно и E-иррегулярно (индексы чисел Бернулли и Эйлера, делящихся на p , могут быть как одинаковыми, так и разными). Первые несколько сильных неправильных простых чисел:
Доказать Великую теорему Ферма для сильного нерегулярного простого числа p сложнее (поскольку Куммер доказал первый случай Великой теоремы Ферма для B-регулярных простых чисел, Вандивер доказал первый случай Великой теоремы Ферма для E-правильных простых чисел), наиболее Сложность заключается в том, что p не только сильное нерегулярное простое число, но и 2 p + 1 , 4 p + 1 , 8 p + 1 , 10 p + 1 , 14 p + 1 и 16 p + 1 также являются составными ( Лежандр доказал первый случай Великой теоремы Ферма для простых чисел p таких, что хотя бы одно из 2 p + 1 , 4 p + 1 , 8 p + 1 , 10 p + 1 , 14 p + 1 и 16 p + 1 является простым), первые несколько таких p
Простое число p является слабо неправильным, если оно либо B-нерегулярно, либо E-нерегулярно (или и то, и другое). Первые несколько слабых неправильных простых чисел
Как и нерегулярность Бернулли, слабая регулярность связана с делимостью чисел классов круговых полей . Фактически, простое число p является слабо иррегулярным тогда и только тогда, когда p делит номер класса 4 p -го кругового поля Q ( ζ 4 p ).
В этом разделе « an » означает числитель n -го числа Бернулли, если n четное, « an » означает ( n − 1) -е число Эйлера, если n нечетное (последовательность A246006 в OEIS ).
Поскольку для каждого нечетного простого числа p p делит p тогда и только тогда, когда p конгруэнтно 1 по модулю 4, и поскольку p делит знаменатель ( p − 1) -го числа Бернулли для каждого нечетного простого числа p , поэтому для любого нечетного простого числа p , p не может делить p − 1 . Кроме того, тогда и только если нечетное простое число p делит n (а 2 p не делит n ) , тогда p также делит n + k ( p −1) (если 2 p делит n , то предложение следует изменить на " p также делит a n +2 kp ". Фактически, если 2 p делит n и p ( p − 1) не делит n , то p делит a n .) для каждого целого числа k (условие - n + k ( p − 1) должно быть > 1). Например, поскольку 19 делит 11 , а 2 × 19 = 38 не делит 11, то 19 делит 18 k +11 для всех k . Таким образом, определение нерегулярной пары ( p , n ) , n должно быть не более p − 2 .
В следующей таблице показаны все неправильные пары с нечетным простым числом p ≤ 661 :
Единственными простыми числами ниже 1000 со слабым нерегулярным индексом 3 являются 307, 311, 353, 379, 577, 587, 617, 619, 647, 691, 751 и 929. Кроме того, 491 — единственное простое число ниже 1000 со слабым нерегулярным индексом 4. и все остальные нечетные простые числа ниже 1000 со слабым нерегулярным индексом 0, 1 или 2. ( Слабый нерегулярный индекс определяется как «количество целых чисел 0 ≤ n ≤ p − 2 таких, что p делит n . )
В следующей таблице показаны все неправильные пары с n ≤ 63. (Чтобы получить эти неправильные пары, нам нужно всего лишь факторизовать n . Например , a 34 = 17 × 151628697551 , но 17 < 34 + 2 , поэтому единственная неправильная пара с n = 34 равно (151628697551, 34) ) (более подробную информацию (четные n до 300 и нечетные n до 201) см. в [11] ).
В следующей таблице показаны неправильные пары ( p , p − n ) ( n ≥ 2 ). Это гипотеза, что существует бесконечно много неправильных пар ( p , p − n ) для каждого натурального числа n ≥ 2 , но было найдено лишь несколько для фиксированного n . Для некоторых значений n даже не существует известного такого простого числа p .
