Целочисленный треугольник

Треугольник с целыми длинами сторон

Геронов треугольник с длинами сторон c , e и b  +  d и высотой a , все целые числа.

Целочисленный треугольник или целочисленный треугольник — это треугольник , все длины сторон которого являются целыми числами . Рациональный треугольник — это треугольник, длины сторон которого являются рациональными числами ; любой рациональный треугольник можно масштабировать по наименьшему общему знаменателю сторон, чтобы получить аналогичный целочисленный треугольник, поэтому существует тесная связь между целочисленными треугольниками и рациональными треугольниками.

Иногда используются другие определения термина «рациональный треугольник» : Кармайкл (1914) и Диксон (1920) используют этот термин для обозначения геронова треугольника (треугольника с целыми или рациональными длинами сторон и площадью); ^[1] Конвей и Гай (1996) определяют рациональный треугольник как треугольник с рациональными сторонами и рациональными углами, измеряемыми в градусах. Единственными такими треугольниками являются равносторонние треугольники с рациональными сторонами . ^[2]

Общие свойства целочисленного треугольника

Целочисленные треугольники с заданным периметром

Любая тройка натуральных чисел может служить длинами сторон целочисленного треугольника, если она удовлетворяет неравенству треугольника : самая длинная сторона короче суммы двух других сторон. Каждая такая тройка определяет целочисленный треугольник, единственный с точностью до сравнения . Таким образом , количество целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнтности) с периметром p — это количество разбиений p на три положительные части, удовлетворяющие неравенству треугольника. Это целое число, наиболее близкое к случаю , когда p четное , и к тому , когда p нечетное . ^{[3] [4]} Это также означает, что количество целочисленных треугольников с четными периметрами такое же, как количество целочисленных треугольников с нечетными периметрами. Таким образом, не существует целочисленного треугольника с периметром 1, 2 или 4, а есть треугольник с периметром 3. , 5, 6 или 8 и два с периметром 7 или 10. Последовательность количества целочисленных треугольников с периметром p , начиная с : ${\displaystyle p^{2}/48}$ ${\displaystyle (p+3)^{2}/48}$ ${\displaystyle p=2n}$ ${\displaystyle p=2n-3.}$ ${\displaystyle p=1,}$

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8... (последовательность A005044 в OEIS )

Это называется последовательностью Алкуина .

Целочисленные треугольники с заданной наибольшей стороной

Число целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнтности) с заданной наибольшей стороной c и целой тройкой - это количество целочисленных троек, таких что и Это целое значение ^[3] Альтернативно, для четного c это двойное треугольное число , а для c нечетное. это квадрат. Это также означает, что количество целочисленных треугольников с наибольшей стороной c превышает количество целочисленных треугольников с наибольшей стороной c - 2 на c . Последовательность количества неконгруэнтных целочисленных треугольников с наибольшей стороной c , начиная с c  = 1, такова: ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle a+b>c}$ ${\displaystyle a\leq b\leq c.}$ ${\displaystyle \lceil {\tfrac {1}{2}}(c+1)\rceil \cdot \lfloor {\tfrac {1}{2}}(c+1)\rfloor .}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}c{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}c+1{\bigr )}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(c+1).}$

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90... (последовательность A002620 в OEIS )

Количество целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнтности) с данной наибольшей стороной c и целой тройкой ( a ,  b ,  c ), которые лежат на полукруге диаметра c или внутри него , — это количество целочисленных троек таких, что a  +  b  >  c  ,  a ²  +  б ²  ≤  c ² и а  ≤  б  ≤  c . Это также количество целосторонних тупых или прямоугольных (неострых ) треугольников с наибольшей стороной c . Последовательность, начинающаяся с c  = 1, следующая:

0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48... (последовательность A236384 в OEIS )

Следовательно, разница между двумя вышеприведенными последовательностями дает количество остроугольных треугольников с целыми сторонами (с точностью до конгруэнтности) с заданной наибольшей стороной c . Последовательность, начинающаяся с c  = 1, следующая:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52... (последовательность A247588 в OEIS )

Площадь целочисленного треугольника

По формуле Герона , если T — площадь треугольника, стороны которого имеют длины a , b и c , то

${\displaystyle 4T={\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}.}$

Поскольку все члены под радикалом в правой части формулы являются целыми числами, из этого следует, что все целочисленные треугольники должны иметь целое значение 16T ² и T ² будет рациональным.

Углы целочисленного треугольника

По закону косинусов каждый угол целочисленного треугольника имеет рациональный косинус .

Если углы любого треугольника образуют арифметическую прогрессию , то один из его углов должен быть равен 60°. ^[5] Для целочисленных треугольников остальные углы также должны иметь рациональные косинусы, и метод создания таких треугольников приведен ниже. Однако, за исключением тривиального случая равностороннего треугольника, не существует целочисленных треугольников, углы которых образуют либо геометрическую , либо гармоническую прогрессию . Это потому, что такие углы должны быть рациональными углами вида с рациональными. Но все углы целочисленных треугольников должны иметь рациональные косинусы и это произойдет только тогда, когда ^{[6] : п.2} т.е. целочисленный треугольник равносторонний. ${\displaystyle \pi p/q}$ ${\displaystyle 0<p/q<1.}$ ${\displaystyle p/q=1/3.}$

Квадрат каждой биссектрисы внутреннего угла целочисленного треугольника является рациональным, потому что общая формула треугольника для биссектрисы внутреннего угла угла A такова : s - полупериметр (и аналогично для биссектрис других углов). ${\textstyle 2{\sqrt {bcs(s-a)}}{\big /}(b+c)}$

Сторона разделена по высоте

Любая высота , опущенная из вершины на противоположную сторону или ее продолжение, разделит эту сторону или ее продолжение на рациональные длины.

медианы

Квадрат дважды любой медианы целочисленного треугольника является целым числом, поскольку общая формула для квадрата медианы m _a ² к стороне a равна , что дает (2 m _a ) ²  = 2 b ²  + 2 c ²  −  a ² (и аналогично и для медиан других сторон). ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}$

Окружной радиус и внутренний радиус

Поскольку квадрат площади целочисленного треугольника рационален, квадрат его радиуса описанной окружности также рационален, как и квадрат внутреннего радиуса .

Отношение внутреннего радиуса к описанному радиусу целочисленного треугольника рационально и равно для полупериметра s и площади T . ${\displaystyle 4T^{2}/sabc}$

Произведение внутреннего радиуса и описанного радиуса целочисленного треугольника рационально и равно ${\displaystyle abc{\big /}2(a+b+c).}$

Таким образом, квадрат расстояния между центром и центром описанной окружности целочисленного треугольника, заданный теоремой Эйлера, является рациональным. ${\displaystyle R^{2}-2Rr}$

Героновы треугольники

Все героновы треугольники можно разместить на решетке , каждая вершина которой находится в точке решетки. ^[7]

Общая формула

Треугольник Герона, также известный как треугольник Герона или треугольник Герона , представляет собой треугольник с целыми сторонами и целой площадью. Каждый геронов треугольник имеет стороны, пропорциональные ^[8]

${\displaystyle a=n(m^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle b=m(n^{2}+k^{2})}$

${\displaystyle c=(m+n)(mn-k^{2})}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=mn(m+n)}$

${\displaystyle {\text{Area}}=mnk(m+n)(mn-k^{2})}$

для целых чисел m , n и k с учетом ограничений:

${\displaystyle \gcd {(m,n,k)}=1}$

${\displaystyle mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)}$

${\displaystyle m\geq n\geq 1.}$

Коэффициент пропорциональности обычно является рациональным, где q = gcd ( a , b , c ) уменьшает сгенерированный геронов треугольник до его примитива и масштабирует этот примитив до необходимого размера. ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle p}$

Пифагорейские треугольники

Треугольник Пифагора прямоугольный и геронов. Его три целые стороны известны как пифагорова тройка или пифагорейская тройка или пифагорейская триада . ^[9] Все примитивные пифагорейские тройки с гипотенузой (стороны не имеют общего делителя ) могут быть получены с помощью ${\displaystyle (a,b,c)}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\,}$

${\displaystyle b=2mn,\,}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2},\,}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=m(m+n)\,}$

${\displaystyle {\text{Area}}=mn(m^{2}-n^{2})\,}$

где m и n — взаимно простые целые числа, и одно из них четно при m  >  n .

Каждое четное число больше 2 может быть катетом пифагорова треугольника (не обязательно примитивным), потому что если катет задан и мы выбираем другой катет, то гипотенуза равна . ^[10] По сути, это формула генерации, приведенная выше, с установленным значением 1 и допускающим диапазон от 2 до бесконечности. ${\displaystyle a=2m}$ ${\displaystyle b=(a/2)^{2}-1=m^{2}-1}$ ${\displaystyle c=m^{2}+1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$

Треугольники Пифагора с целой высотой от гипотенузы

Не существует примитивных треугольников Пифагора с целой высотой от гипотенузы. Это связано с тем, что удвоенная площадь равна произведению любого основания на соответствующую высоту: 2-кратная площадь, таким образом, равна ab и cd , где d — высота от гипотенузы c . Длины трех сторон примитивного треугольника взаимно просты, поэтому он находится в полностью сокращенной форме; поскольку c не может равняться 1 для любого примитивного треугольника Пифагора, d не может быть целым числом. ${\displaystyle d=ab/c}$

Однако любой треугольник Пифагора с катетами x ,  y и гипотенузой z может создать треугольник Пифагора с целочисленной высотой, увеличив стороны на длину гипотенузы z . Если d — высота, то сгенерированный треугольник Пифагора с целочисленной высотой имеет вид ^[11]

${\displaystyle (a,b,c,d)=(xz,yz,z^{2},xy).\,}$

Следовательно, все треугольники Пифагора с катетами a и b , гипотенузой c и целой высотой d от гипотенузы с , которые обязательно удовлетворяют как a ²  +  b ²  = c ² и , порождаются ^{[12] [11]} ${\displaystyle \gcd(a,b,c,d)=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{a^{2}}}+{\tfrac {1}{b^{2}}}={\tfrac {1}{d^{2}}}}$

${\displaystyle a=(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2}),\,}$

${\displaystyle b=2mn(m^{2}+n^{2}),\,}$

${\displaystyle c=(m^{2}+n^{2})^{2},\,}$

${\displaystyle d=2mn(m^{2}-n^{2}),\,}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=m(m+n)(m^{2}+n^{2})\,}$

${\displaystyle {\text{Area}}=mn(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})^{2}\,}$

для взаимно простых целых чисел m , n с m  >  n .

Героновы треугольники со сторонами в арифметической прогрессии.

Треугольник с целыми сторонами и целой площадью имеет стороны в арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда ^[13] стороны равны ( b – d , b , b + d ), где

${\displaystyle b=2(m^{2}+3n^{2})/g,}$

${\displaystyle d=(m^{2}-3n^{2})/g,}$

и где g - наибольший общий делитель и ${\displaystyle m^{2}-3n^{2},}$ ${\displaystyle 2mn,}$ ${\displaystyle m^{2}+3n^{2}.}$

Героновы треугольники, у которых один угол в два раза равен другому

Все героновы треугольники с B = 2 A порождены ^[14] либо

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{4}}k^{2}(s^{2}+r^{2})^{2},\\[5mu]b&={\tfrac {1}{2}}k^{2}(s^{4}-r^{4}),\\[5mu]c&={\tfrac {1}{4}}k^{2}(3s^{4}-10s^{2}r^{2}+3r^{4}),\\[5mu]{\text{Area}}&={\tfrac {1}{2}}k^{2}csr(s^{2}-r^{2}),\end{aligned}}}$

с целыми числами k , s , r такими, что или ${\displaystyle s^{2}>3r^{2},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\tfrac {1}{4}}q^{2}(u^{2}+v^{2})^{2},\\[5mu]b&=q^{2}uv(u^{2}+v^{2}),\\[5mu]c&={\tfrac {1}{4}}q^{2}(14u^{2}v^{2}-u^{4}-v^{4}),\\[5mu]{\text{Area}}&={\tfrac {1}{2}}q^{2}cuv(v^{2}-u^{2}),\end{aligned}}}$

с целыми числами q , u , v такими, что и ${\displaystyle v>u}$ ${\displaystyle v^{2}<(7+4{\sqrt {3}})u^{2}.}$

Никакие героновы треугольники с B = 2 A не являются равнобедренными или прямоугольными треугольниками, поскольку все результирующие комбинации углов порождают углы с нерациональными синусами , давая нерациональную площадь или сторону.

Равнобедренные героновы треугольники

Все равнобедренные героновы треугольники разложимы. Они образуются путем соединения двух конгруэнтных треугольников Пифагора вдоль любой из их общих катетов так, что равные стороны равнобедренного треугольника являются гипотенузами пифагорейских треугольников, а основание равнобедренного треугольника в два раза больше другого катета Пифагора. Следовательно, каждый треугольник Пифагора является строительным блоком для двух равнобедренных треугольников Герона, поскольку соединение может осуществляться по любой стороне. Все пары равнобедренных героновских треугольников задаются рациональными кратными ^[15]

${\displaystyle a=2(u^{2}-v^{2}),}$

${\displaystyle b=u^{2}+v^{2},}$

${\displaystyle c=u^{2}+v^{2},}$

и

${\displaystyle a=4uv,}$

${\displaystyle b=u^{2}+v^{2},}$

${\displaystyle c=u^{2}+v^{2},}$

для взаимно простых целых чисел u и v , где u > v и u + v нечетно.

Героновы треугольники, периметр которых в четыре раза больше простого числа.

Было показано, что геронов треугольник, периметр которого в четыре раза больше простого числа , однозначно связан с простым числом и что это простое число конгруэнтно или по модулю . ^{[16] [17]} Хорошо известно, что такое простое число может быть однозначно разделено на целые числа и такое, что (см. идонеальные числа Эйлера ). Более того, было показано, что такие героновы треугольники являются примитивными, поскольку наименьшая сторона треугольника должна быть равна простому числу, составляющему одну четверть его периметра. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p=m^{2}+2n^{2}}$

Следовательно, все примитивные героновы треугольники, периметр которых в четыре раза больше простого числа, могут быть порождены формулой

${\displaystyle a=m^{2}+2n^{2}}$

${\displaystyle b=m^{2}+4n^{2}}$

${\displaystyle c=2(m^{2}+n^{2})}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=2a=2(m^{2}+2n^{2})}$

${\displaystyle {\text{Area}}=2mn(m^{2}+2n^{2})}$

для целых чисел и таких, которые являются простыми числами. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m^{2}+2n^{2}}$

Кроме того, факторизация площади равна нулю . Однако площадь геронова треугольника всегда делится на . Это дает результат, который, кроме того, когда и который дает все остальные пары и должен иметь нечетное число только с одним из них, делящимся на . ${\displaystyle 2mnp}$ ${\displaystyle p=m^{2}+2n^{2}}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle p=3,}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle 3}$

Героновы треугольники с рациональными биссектрисами.

Если в героновом треугольнике биссектриса угла , биссектриса угла и биссектриса угла имеют рациональную связь с тремя сторонами, то не только , но и , и должны быть углами Герона. А именно, если оба угла и героновы , то дополнение к , также должно быть героновским углом, так что все три биссектрисы рациональны. Это также очевидно, если умножить: ${\displaystyle w_{a}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle w_{b}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle w_{c}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\beta }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\gamma }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\beta }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\gamma }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\alpha +{\tfrac {1}{2}}\beta }$

${\displaystyle w_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)}}\cdot {\sqrt {bc}}}{b+c}}\quad w_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-b)}}\cdot {\sqrt {ac}}}{a+c}}\quad w_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-c)}}\cdot {\sqrt {ab}}}{a+b}}}$

вместе. А именно, благодаря этому получается:

${\displaystyle w_{a}\cdot w_{b}\cdot w_{c}={\frac {8s\cdot J\cdot a\cdot b\cdot c}{(a+b)(a+c)(b+c)}},}$

где обозначает полупериметр и площадь треугольника. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle J}$

Все героновы треугольники с рациональными биссектрисами порождаются ^[18]

${\displaystyle a=mn(p^{2}+q^{2})}$

${\displaystyle b=pq(m^{2}+n^{2})}$

${\displaystyle c=(mq+np)(mp-nq)}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=s=(a+b+c)/2=mp(mq+np)}$

${\displaystyle s-a=mq(mp-nq)}$

${\displaystyle s-b=np(mp-nq)}$

${\displaystyle s-c=nq(mq+np)}$

${\displaystyle {\text{Area}}=J=mnpq(mq+np)(mp-nq)}$

где такие, что ${\displaystyle m,n,p,q}$

${\displaystyle m=t^{2}-u^{2}}$

${\displaystyle n=2tu}$

${\displaystyle p=v^{2}-w^{2}}$

${\displaystyle q=2vw}$

где – произвольные целые числа такие, что ${\displaystyle t,u,v,w}$

${\displaystyle t}$и взаимнопростые, ${\displaystyle u}$

${\displaystyle v}$и взаимнопростые. ${\displaystyle w}$

Героновы треугольники с целыми внутренними и внешними радиусами

Существует бесконечно много разложимых и бесконечно много неразложимых примитивных героновских (непифагорейских) треугольников с целыми радиусами вписанной и каждой вписанной окружностей . ^{[19] : Thms. 3 и 4.} Семейство разложимых чисел имеет вид

${\displaystyle a=4n^{2}}$

${\displaystyle b=(2n+1)(2n^{2}-2n+1)}$

${\displaystyle c=(2n-1)(2n^{2}+2n+1)}$

${\displaystyle r=2n-1}$

${\displaystyle r_{a}=2n+1}$

${\displaystyle r_{b}=2n^{2}}$

${\displaystyle r_{c}={\text{Area}}=2n^{2}(2n-1)(2n+1);}$

а семейство неразложимых задается формулой

${\displaystyle a=5(5n^{2}+n-1)}$

${\displaystyle b=(5n+3)(5n^{2}-4n+1)}$

${\displaystyle c=(5n-2)(5n^{2}+6n+2)}$

${\displaystyle r=5n-2}$

${\displaystyle r_{a}=5n+3}$

${\displaystyle r_{b}=5n^{2}+n-1}$

${\displaystyle r_{c}={\text{Area}}=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1).}$

Героновы треугольники как грани тетраэдра

Существуют тетраэдры , имеющие целочисленный объём и треугольники Герона в качестве граней . В одном примере одно ребро равно 896, противоположное ребро — 190, а остальные четыре ребра — 1073; две грани имеют площадь 436800, а две другие - площадь 47120, а объем - 62092800. ^{[9] : с.107}

Героновы треугольники в двумерной решетке

Двумерная решетка — это регулярный массив изолированных точек, где, если какая-либо одна точка выбрана в качестве декартова начала координат (0, 0), то все остальные точки находятся в точке ( x, y ), где x и y варьируются во всех положительных и отрицательных целых числах. . Треугольник решетки — это любой треугольник, нарисованный внутри двумерной решетки, все вершины которого лежат в точках решетки. По теореме Пика решетчатый треугольник имеет рациональную площадь, которая является либо целым, либо полуцелым числом (имеет знаменатель 2). Если решетчатый треугольник имеет целые стороны, то он геронов с целой площадью. ^[20]

Более того, было доказано, что все героновы треугольники можно нарисовать как решетчатые треугольники. ^{[21] [22]} Следовательно, целочисленный треугольник является героновским тогда и только тогда, когда его можно нарисовать как решетчатый треугольник.

Существует бесконечно много примитивных героновских (непифагорейских) треугольников, которые можно разместить на целочисленной решетке со всеми вершинами, центром в центре и всеми тремя эксцентрами в точках решетки. Двумя семействами таких треугольников являются те, которые имеют приведенную выше параметризацию в #героновских треугольниках с целыми внутренними и внешними радиусами. ^{[19] : Thm. 5}

Целочисленные автомедианные треугольники

Автомедианный треугольник — это треугольник, медианы которого находятся в тех же пропорциях (в обратном порядке), что и стороны. Если x , y и z — три стороны прямоугольного треугольника, отсортированные в порядке возрастания размера, и если 2 x  <  z , то z , x  +  y и y  −  x — три стороны автомедианного треугольника. Например, прямоугольный треугольник с длинами сторон 5, 12 и 13 можно использовать таким образом для формирования наименьшего нетривиального (т. е. неравностороннего) целочисленного автомедианного треугольника с длинами сторон 13, 17 и 7. ^{[ 23]}

Следовательно, используя формулу Евклида , которая генерирует примитивные треугольники Пифагора, можно генерировать примитивные целочисленные автомедиа треугольники как

${\displaystyle a=|m^{2}-2mn-n^{2}|}$

${\displaystyle b=m^{2}+2mn-n^{2}}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2}}$

с и взаимно простыми и нечетными, и   (если количество внутри знаков абсолютного значения отрицательное) или   (если это количество положительное) для удовлетворения неравенства треугольника . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m+n}$ ${\displaystyle n<m<n{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle m>(2+{\sqrt {3}})n}$

Важной характеристикой автомедианного треугольника является то, что квадраты его сторон образуют арифметическую прогрессию . Конкретно так ${\displaystyle c^{2}-a^{2}=b^{2}-c^{2}}$ ${\displaystyle 2c^{2}=a^{2}+b^{2}.}$

Целочисленные треугольники с определенными свойствами угла

Целочисленные треугольники с рациональной биссектрисой

Семейство треугольников с целыми сторонами и рациональной биссектрисой угла A определяется формулой ^[24] ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle a=2(k^{2}-m^{2}),}$

${\displaystyle b=(k-m)^{2},}$

${\displaystyle c=(k+m)^{2},}$

${\displaystyle d={\frac {2km(k^{2}-m^{2})}{k^{2}+m^{2}}},}$

с целыми числами . ${\displaystyle k>m>0}$

Целочисленные треугольники с целыми n -секторами всех углов

Существует бесконечно много неподобных треугольников , у которых три стороны и биссектрисы каждого из трёх углов целые числа. ^[25]

Существует бесконечно много неподобных треугольников, у которых три стороны и два трисектора каждого из трёх углов являются целыми числами. ^[25]

Однако при n > 3 не существует треугольников, в которых три стороны и ( n  – 1) n -сектора каждого из трех углов являются целыми числами. ^[25]

Целочисленные треугольники с одним углом и заданным рациональным косинусом

Некоторые целочисленные треугольники с одним углом в вершине A , имеющие рациональный косинус h / k ( h < 0 или > 0; k > 0), имеют вид ^[26]

${\displaystyle a=p^{2}-2pqh+q^{2}k^{2},}$

${\displaystyle b=p^{2}-q^{2}k^{2},}$

${\displaystyle c=2qk(p-qh),}$

где p и q — любые взаимно простые положительные целые числа такие, что p > qk .

Целочисленные треугольники с углом 60° (углы в арифметической прогрессии)

Все целочисленные треугольники с углом 60° имеют углы в арифметической прогрессии. Все такие треугольники пропорциональны: ^[5]

${\displaystyle a=4mn,}$

${\displaystyle b=3m^{2}+n^{2},}$

${\displaystyle c=2mn+|3m^{2}-n^{2}|}$

с взаимно простыми целыми числами m , n и 1 ≤  n  ≤  m или 3 m  ≤  n . Отсюда все примитивные решения можно получить путем деления a , b и c на их наибольший общий делитель.

Целочисленные треугольники с углом 60° также могут быть созданы с помощью ^[27]

${\displaystyle a=m^{2}-mn+n^{2},}$

${\displaystyle b=2mn-n^{2},}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},}$

с взаимно простыми целыми числами m , n с 0 <  n  <  m (угол 60° противоположен стороне длины a ). Отсюда все примитивные решения могут быть получены путем деления a , b и c на их наибольший общий делитель (например, решение равностороннего треугольника получается, если взять m = 2 и n = 1 , но это дает a = b = c = 3 , что не является примитивным решением). См. также ^{[28] [29]}

Точнее, если , то , иначе . Две разные пары и порождают одну и ту же тройку. К сожалению, обе пары могут иметь gcd, равный 3, поэтому мы не можем избежать дублирования, просто пропустив этот случай. Вместо этого дубликатов можно избежать, переходя только до . Нам все равно нужно разделить на 3, если НОД равен 3. Единственное решение для при указанных выше ограничениях — это для . Благодаря этому дополнительному ограничению все тройки могут быть сгенерированы однозначно. ${\displaystyle m\equiv -n\!{\pmod {3}}}$ ${\displaystyle \gcd(a,b,c)=3}$ ${\displaystyle \gcd(a,b,c)=1}$ ${\displaystyle (m,n)}$ ${\displaystyle (m,m-n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m/2}$ ${\displaystyle n=m/2}$ ${\displaystyle (3,3,3)\equiv (1,1,1)}$ ${\displaystyle m=2,n=1}$ ${\displaystyle n\leq m/2}$

Тройка Эйзенштейна — это набор целых чисел, которые представляют собой длины сторон треугольника, один из углов которого равен 60 градусам.

Целочисленные треугольники с углом 120°.

Целочисленные треугольники с углом 120° можно создать с помощью ^[30]

${\displaystyle a=m^{2}+mn+n^{2},}$

${\displaystyle b=2mn+n^{2},}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},}$

с взаимно простыми целыми числами m ,  n с 0 <  n  <  m (угол 120° противоположен стороне длины a ). Отсюда все примитивные решения можно получить путем деления a , b и c на их наибольший общий делитель. Наименьшее решение для m = 2 и n = 1 — это треугольник со сторонами (3,5,7). Смотрите также. ^{[28] [29]}

Точнее, если , то , иначе . Поскольку наибольшая сторона a может быть сгенерирована только с помощью одной пары, каждая примитивная тройка может быть сгенерирована ровно двумя способами: один раз напрямую с НОД, равным 1, и один раз косвенно с НОД, равным 3. Следовательно, чтобы сгенерировать все примитивные тройки однозначно, можно просто добавить дополнительное условие. ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle m\equiv n\!{\pmod {3}}}$ ${\displaystyle \gcd(a,b,c)=3}$ ${\displaystyle \gcd(a,b,c)=1}$ ${\displaystyle (m,n)}$ ${\displaystyle m\not \equiv n\!{\pmod {3}}}$

Целочисленные треугольники, у которых один угол равен произведению произвольного рационального числа на другой угол

Для положительных взаимно простых целых чисел h и k треугольник со следующими сторонами имеет углы , , и, следовательно, два угла в отношении h  : k , а его стороны являются целыми числами: ^[31] ${\displaystyle h\alpha }$ ${\displaystyle k\alpha }$ ${\displaystyle \pi -(h+k)\alpha }$

${\displaystyle a=q^{h+k-1}{\frac {\sin h\alpha }{\sin \alpha }}=q^{k}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {h-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h}{2i+1}}p^{h-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle b=q^{h+k-1}{\frac {\sin k\alpha }{\sin \alpha }}=q^{h}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {k}{2i+1}}p^{k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle c=q^{h+k-1}{\frac {\sin(h+k)\alpha }{\sin \alpha }}=\sum _{0\leq i\leq {\frac {h+k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h+k}{2i+1}}p^{h+k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

где и p и q — любые взаимно простые целые числа такие, что . ${\displaystyle \alpha =\cos ^{-1}\!{\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{h+k}}<{\frac {p}{q}}<1}$

Целочисленные треугольники, у которых один угол в два раза равен другому

Если угол A противоположна сторона и угол B противоположна сторона , некоторые треугольники с B  = 2 A образуются по формуле ^[32] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle a=n^{2},}$

${\displaystyle b=mn,}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},}$

с целыми числами m , n такими, что 0 <  n  <  m  < 2 n .

Все треугольники с B  = 2 A (целые или нет) удовлетворяют ^[33] ${\displaystyle a(a+c)=b^{2}.}$

Целочисленные треугольники, у которых один угол в 3/2 раза больше другого.

Класс эквивалентности подобных треугольников с порождается ^[32] ${\displaystyle B={\tfrac {3}{2}}A}$

${\displaystyle a=mn^{3},}$

${\displaystyle b=n^{2}(m^{2}-n^{2}),}$

${\displaystyle c=(m^{2}-n^{2})^{2}-m^{2}n^{2},}$

с целыми числами такими, что , где – золотое сечение . ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle 0<\varphi n<m<2n}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\textstyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}{\bigr )}\approx 1.61803}$

Все треугольники с (с целыми сторонами или нет) удовлетворяют ${\displaystyle B={\tfrac {3}{2}}A}$ ${\displaystyle (b^{2}-a^{2})(b^{2}-a^{2}+bc)=a^{2}c^{2}.}$

Целые треугольники, у которых один угол трижды другой

Мы можем сгенерировать класс полной эквивалентности подобных треугольников, удовлетворяющих условию B  = 3 A , используя формулы ^[34]

${\displaystyle a=n^{3},\,}$

${\displaystyle b=n(m^{2}-n^{2}),\,}$

${\displaystyle c=m(m^{2}-2n^{2}),\,}$

где и – целые числа такие, что . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}n<m<2n}$

Все треугольники с B = 3 A (с целыми сторонами или нет) удовлетворяют ${\displaystyle ac^{2}=(b-a)^{2}(b+a).}$

Целочисленные треугольники с тремя рациональными углами

Единственный целочисленный треугольник с тремя рациональными углами (рациональными числами градусов или, что эквивалентно, рациональными долями полного оборота) — это равносторонний треугольник . ^[2] Это потому, что целые стороны подразумевают три рациональных косинуса по закону косинусов , а по теореме Нивена рациональный косинус совпадает с рациональным углом тогда и только тогда, когда косинус равен 0, ±1/2 или ±1. Единственными из них, дающими угол строго между 0° и 180°, являются значение косинуса 1/2 при угле 60°, значение косинуса –1/2 при угле 120° и значение косинуса 0 при угле 90°. °. Единственная комбинация трех из них, позволяющая многократно использовать любой из них и суммировать до 180°, — это три угла по 60°.

Целочисленные треугольники с целым отношением описанного радиуса к внутреннему радиусу

В терминах эллиптических кривых известны условия, при которых целочисленный треугольник имеет целое отношение N радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу . ^{[35] [36]} Наименьший случай, равносторонний треугольник , имеет N = 2. В каждом известном случае – то есть делится на 8. ${\displaystyle N\equiv 2\!{\pmod {8}}}$ ${\displaystyle N-2}$

Пары треугольников 5-Con

Пара треугольников 5-Con — это пара треугольников, которые похожи , но не конгруэнтны и имеют три угла и две длины сторон. Примитивные целочисленные треугольники 5-Con, в которых четыре различные целочисленные стороны (каждая из двух сторон встречается в обоих треугольниках и еще одна сторона в каждом треугольнике) не имеют общего простого делителя, имеют тройки сторон.

${\displaystyle (x^{3},x^{2}y,xy^{2})}$и ${\displaystyle (x^{2}y,xy^{2},y^{3})}$

для положительных взаимно простых целых чисел x и y . Самый маленький пример — пара (8, 12, 18), (12, 18, 27), порожденная x = 2, y = 3.

Особые целочисленные треугольники

• Единственный треугольник с последовательными целыми числами для сторон и площади имеет стороны (3, 4, 5) и площадь 6.
• Единственный треугольник с последовательными целыми числами для высоты и сторон имеет стороны (13, 14, 15) и высоту со стороны 14, равную 12.
• Треугольник (2, 3, 4) и кратные ему треугольники — единственные треугольники с целыми сторонами в арифметической прогрессии и обладающие свойством дополнительного внешнего угла. ^{[37] [38] [39]} Это свойство гласит, что если угол C тупой и если от B отбросить сегмент, встречающийся перпендикулярно AC, продолженному в точке P, то ∠CAB=2∠CBP.
• Треугольник (3, 4, 5) и кратные ему числа — единственные целочисленные прямоугольные треугольники, стороны которых находятся в арифметической прогрессии. ^[39]
• Треугольник (4, 5, 6) и кратные ему треугольники — единственные треугольники, у которых один угол вдвое больше другого и имеют целые стороны в арифметической прогрессии. ^[39]
• Треугольник (3, 5, 7) и кратные ему числа — единственные треугольники с углом 120° и целыми сторонами в арифметической прогрессии. ^[39]
• Единственный целочисленный треугольник с площадью = полупериметру ^[40] имеет стороны (3, 4, 5).
• Единственные целочисленные треугольники с площадью = периметру имеют стороны ^{[40] [41]} (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20) и ( 9, 10, 17). Из них первые два, но не последние три, представляют собой прямоугольные треугольники.
• Существуют целочисленные треугольники с тремя рациональными медианами . ^{[9] : с. 64} Самый маленький имеет стороны (68, 85, 87). Другие включают (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) и (327, 386, 409).
• Равнобедренных треугольников Пифагора не существует. ^[15]
• Единственные примитивные пифагорейские треугольники, у которых квадрат периметра равен целому числу, кратному площади, - это (3, 4, 5) с периметром 12 и площадью 6 и с отношением квадрата периметра к площади 24; (5, 12, 13) с периметром 30 и площадью 30 и отношением квадрата периметра к площади 30; и (9, 40, 41) с периметром 90 и площадью 180 и отношением квадрата периметра к площади 45. ^[42]
• Существует единственная (с точностью до подобия) пара рационального прямоугольного треугольника и рационального равнобедренного треугольника, имеющих одинаковый периметр и одинаковую площадь. Уникальная пара состоит из треугольника (377, 135, 352) и треугольника (366, 366, 132). ^[43] Пары таких треугольников не существует, если требуется, чтобы треугольники также были примитивными целочисленными треугольниками. ^[43] Авторы подчеркивают тот поразительный факт, что второе утверждение можно доказать с помощью элементарной аргументации (они делают это в приложении А), тогда как первое утверждение требует современной весьма нетривиальной математики.

Смотрите также

• Пятиугольник Роббинса — вписанный пятиугольник с целыми сторонами и целой площадью.
• Кирпич Эйлера , кубоид с целыми ребрами и целочисленными диагоналями граней.
• Тетраэдр § Целочисленные тетраэдры

Рекомендации

1. Кармайкл, Р.Д. (1959) [1914]. «Диофантов анализ ». В РД Кармайкл (ред.). Теория чисел и диофантовый анализ . Дуврские публикации. С. 11–13].
2. Конвей, Дж. Х., и Гай, Р. К., «Единственный рациональный треугольник», в « Книге чисел» , 1996, Springer-Verlag, стр. 201 и 228–239.
3. Том Дженкинс и Эрик Мюллер, Треугольные тройки от потолков до полов, American Mathematical Monthly 107:7 (август 2000 г.) 634–639
4. Росс Хонсбергер, Mathematical Gems III , стр. 39–37.
5. Зелатор, К., «Углы и стороны треугольника в прогрессии и диофантово уравнение x2 + 3y2 = z2», Cornell Univ. архив, 2008 г.
6. Янель, Йорг (2010). «Когда (Ко)синус рационального угла равен рациональному числу?». arXiv : 1006.2938 . Бибкод : 2010arXiv1006.2938J. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
7. Ю, П., «Героновы треугольники представляют собой решетчатые треугольники», American Mathematical Monthly 108 (2001), 261–263.
8. Кармайкл, Р.Д. Теория чисел и диофантовый анализ . Нью-Йорк: Дувр, 1952.
9. Серпинский, Вацлав. Треугольники Пифагора , Dover Publications, 2003 г. (оригинал 1962 г.).
10. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A009111 (Список упорядоченных площадей треугольников Пифагора)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС . Проверено 3 марта 2017 г.
11. Ричиник, Дженнифер, «Перевернутая теорема Пифагора», Mathematical Gazette 92, июль 2008 г., 313–317.
12. Воулс, Роджер, «Целочисленные решения a ^-2 + b ^-2 = d ^-2 », Mathematical Gazette 83, июль 1999 г., 269–271.
13. Бухгольц, Р.Х.; Макдугалл, Дж. А. (1999). «Четырехугольники цапли со сторонами в арифметической или геометрической прогрессии». Бюллетень Австралийского математического общества . 59 (2): 263–269. дои : 10.1017/S0004972700032883 . hdl : 1959.13/803798 .
14. Митчелл, Дуглас В., «Треугольники Цапли с ∠B=2∠A», Mathematical Gazette 91, июль 2007 г., 326–328.
15. Шастри, KRS, «Построение n-гонов Брахмагупты», Forum Geometricorum 5 (2005): 119–126.
16. Ю, П., «CRUX, проблема 2331, предложенная Полом Ю», Мемориальный университет Ньюфаундленда (1998): 175-177
17. Юи, П. и Тейлор, Дж. С., «CRUX, Проблема 2331, Решение». Архивировано 16 февраля 2017 г. в Мемориальном университете Wayback Machine в Ньюфаундленде (1999): 185-186.
18. Герман Шуберт, "Die Ganzzahligkeit in der Algebraischen Geometry", Лейпциг, 1905 г.
19. Ли Чжоу, «Примитивные героновы треугольники с целыми Inradius и Exradii», Forum Geometricorum 18, 2018, стр. 71–77.
20. Бухгольц, Р.Х.; МакДугалл, Дж.А. (2001). «Циклические многоугольники с рациональными сторонами и площадью». CiteSeerX Пенсильванский государственный университет: 3. CiteSeerX 10.1.1.169.6336 .  {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
21. П. Ю, «Героновы треугольники представляют собой решетчатые треугольники», American Mathematical Monthly 108 (2001), 261–263.
22. Маршалл, Сьюзен Х.; Перлис, Александр Р. (2012). «Герониевые тетраэдры представляют собой решетчатые тетраэдры» (PDF) . Университет Аризоны: 2. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
23. Парри, CF (1991). «Штайнер – Лемус и автомедианный треугольник». Математический вестник . 75 (472): 151–154. дои : 10.2307/3620241. JSTOR  3620241. S2CID  125374348..
24. Ревнитель, Константин, Математический спектр 39 (3), 2006/2007, 59–62.
25. Де Брюйн, Барт, «К проблеме, касающейся n-секторов треугольника», Forum Geometricorum 5, 2005: стр. 47–52.
26. Састри, KRS, «Целосторонние треугольники, содержащие заданный рациональный косинус», Mathematical Gazette 68, декабрь 1984 г., 289–290.
27. Гилдер, Дж., Треугольники с целочисленными сторонами и углом 60 °", Mathematical Gazette 66, декабрь 1982 г., 261 266.
28. Берн, Боб, «Треугольники с углом 60 ° и сторонами целой длины», Mathematical Gazette 87, март 2003 г., 148–153.
29. Рид, Эмрис, «О целосторонних треугольниках, содержащих углы 120 ° или 60 °», Mathematical Gazette 90, июль 2006 г., 299–305.
30. Селкирк, К., «Целосторонние треугольники с углом 120 °», Mathematical Gazette 67, декабрь 1983 г., 251–255.
31. Хиршхорн, Майкл Д., «Соизмеримые треугольники», Mathematical Gazette 95, март 2011 г., стр. 61–63.
32. Дешпанде, Миннесота, «Некоторые новые тройки целых чисел и связанные с ними треугольники», Mathematical Gazette 86, ноябрь 2002 г., 464–466.
33. Уилсон, Уильям Винн, «Обобщение свойства треугольника 4, 5, 6», Mathematical Gazette 60, июнь 1976 г., 130–131.
34. Пэррис, Ричард (ноябрь 2007 г.). «Соизмеримые треугольники». Математический журнал колледжа . 38 (5): 345–355. дои : 10.1080/07468342.2007.11922259. S2CID  218549375.
35. Маклауд, Аллан Дж., «Целочисленные треугольники с R/r = N», Forum Geometricorum 10, 2010: стр. 149–155.
36. Гёль, Джон Ф. младший, «Больше целочисленных треугольников с R/r = N», Forum Geometricorum 12, 2012: стр. 27–28.
37. Барнард Т. и Сильвестр Дж., «Теоремы о окружности и свойство треугольника (2,3,4)», Mathematical Gazette 85, июль 2001 г., 312–316.
38. Лорд, Н., «Поразительное свойство треугольника (2,3,4)», Mathematical Gazette 82, март 1998 г., 93–94.
39. Митчелл, Дуглас В., «Треугольники 2:3:4, 3:4:5, 4:5:6 и 3:5:7», Mathematical Gazette 92, июль 2008 г.
40. Макхейл, Д., «Снова этот треугольник 3,4,5», Mathematical Gazette 73, март 1989 г., 14–16.
41. Л. Е. Диксон , История теории чисел , том 2 , 181.
42. Гёль, Джон Ф. младший, «Треугольники Пифагора с квадратом периметра, равным целому кратному площади», Forum Geometricorum 9 (2009): 281–282.
43. Хиракава, Ёсиносукэ; Мацумура, Хидеки (2018). «Уникальная пара треугольников». Журнал теории чисел . 194 : 297–302. arXiv : 1809.09936 . дои : 10.1016/j.jnt.2018.07.007. ISSN  0022-314X. S2CID  119661968.