Функция радиального распределения

Описание плотности частиц в статистической механике

расчет ${\displaystyle g(r)}$

Функция радиального распределения для модельной жидкости Леннарда-Джонса при . ${\displaystyle \scriptstyle T^{*}=0.71,\;n^{*}=0.844}$

В статистической механике функция радиального распределения (или функция парной корреляции ) в системе частиц (атомов, молекул, коллоидов и т. д.) описывает, как плотность изменяется в зависимости от расстояния от эталонной частицы. ${\displaystyle g(r)}$

Если считать, что данная частица находится в начале координат O, и если - средняя плотность частиц, то локальная усредненная по времени плотность на расстоянии от O равна . Это упрощенное определение справедливо для однородной и изотропной системы. Ниже будет рассмотрен более общий случай. ${\displaystyle \rho =N/V}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \rho g(r)}$

Проще говоря, это мера вероятности найти частицу на расстоянии от данной эталонной частицы по сравнению с таковым для идеального газа. Общий алгоритм включает определение количества частиц на расстоянии и от частицы. Эта общая тема изображена справа, где красная частица — это наша эталонная частица, а синие частицы — это те частицы, центры которых находятся внутри круглой оболочки, отмеченной оранжевыми точками. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r+dr}$

Функция радиального распределения обычно определяется путем расчета расстояния между всеми парами частиц и объединения их в гистограмму. Затем гистограмма нормализуется по отношению к идеальному газу, где гистограммы частиц совершенно некоррелированы. Для трех измерений эта нормировка представляет собой числовую плотность системы, умноженную на объем сферической оболочки, что символически можно выразить как . ${\displaystyle (\rho )}$ ${\displaystyle \rho \,4\pi r^{2}dr}$

Учитывая функцию потенциальной энергии , функция радиального распределения может быть вычислена либо с помощью методов компьютерного моделирования, таких как метод Монте-Карло , либо с помощью уравнения Орнштейна-Цернике , используя аппроксимативные соотношения замыкания, такие как приближение Перкуса-Йевика или теория гиперсетчатых цепей . Его также можно определить экспериментально, с помощью методов рассеяния излучения или путем прямой визуализации достаточно крупных (микронных) частиц с помощью традиционной или конфокальной микроскопии.

Функция радиального распределения имеет фундаментальное значение, поскольку ее можно использовать, используя теорию решений Кирквуда-Баффа , для связи микроскопических деталей с макроскопическими свойствами. Более того, обратившись к теории Кирквуда-Баффа, можно получить микроскопические детали радиальной функции распределения на основе макроскопических свойств. Функцию радиального распределения также можно инвертировать для прогнозирования функции потенциальной энергии с использованием уравнения Орнштейна-Цернике или уточнения потенциала, оптимизированного по структуре. ^[1]

Определение

Рассмотрим систему частиц в объёме (при средней плотности ) и при температуре (определим также ). Координаты частицы , с . Потенциальная энергия , обусловленная взаимодействием между частицами, равна и мы не рассматриваем случай внешнего приложенного поля. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho =N/V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \textstyle \beta ={\frac {1}{kT}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \textstyle i=1,\,\ldots ,\,N}$ ${\displaystyle \textstyle U_{N}(\mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N})}$

Соответствующие средние значения берутся в каноническом ансамбле с конфигурационным интегралом по всем возможным комбинациям положений частиц. Вероятность элементарной конфигурации, а именно обнаружения частицы 1 в , частицы 2 в и т. д., определяется выражением ${\displaystyle (N,V,T)}$ ${\displaystyle \textstyle Z_{N}=\int \cdots \int \mathrm {e} ^{-\beta U_{N}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\cdots \mathrm {d} \mathbf {r} _{N}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} \mathbf {r} _{2}}$

Общее количество частиц огромно, так что само по себе это не очень полезно. Однако можно также получить вероятность уменьшенной конфигурации, в которой фиксированы положения только частиц, в без ограничений на остальные частицы. Для этого необходимо проинтегрировать ( 1 ) по остальным координатам : ${\displaystyle P^{(N)}}$ ${\displaystyle n<N}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{n}}$ ${\displaystyle N-n}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{n+1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}}$

${\displaystyle P^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})={\frac {1}{Z_{N}}}\int \cdots \int \mathrm {e} ^{-\beta U_{N}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{n+1}\cdots \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{N}\,}$.

Если частицы невзаимодействуют, в том смысле, что потенциальная энергия каждой частицы не зависит ни от одной из других частиц, то статистическая сумма факторизуется, и вероятность элементарной конфигурации разлагается с независимыми аргументами на произведение вероятности одиночной частицы, ${\textstyle U_{N}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N})=\sum _{i=1}^{N}U_{1}(\mathbf {r} _{i})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{N}&=\prod _{i=1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}e^{-\beta U_{1}}=Z_{1}^{N}\\P^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{n})&=P^{(1)}(\mathbf {r} _{1})\cdots P^{(1)}(\mathbf {r} _{n})\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что для невзаимодействующих частиц вероятность симметрична по своим аргументам. В целом это не так, и порядок, в котором позиции занимают слоты аргументов, имеет значение. Учитывая набор позиций, способ, которым частицы могут занять эти позиции, равен Вероятность того, что эти позиции ЗАНЯТЫ, находится путем суммирования всех конфигураций, в которых частица находится в каждом из этих мест. Это можно сделать, взяв каждую перестановку , , в симметричной группе объектов , , чтобы записать . Для меньшего количества позиций мы интегрируем посторонние аргументы и включаем поправочный коэффициент, чтобы предотвратить пересчет. ${\displaystyle P^{(n)}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N!}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S_{N}}$ ${\textstyle \sum _{\pi \in S_{N}}P^{(N)}(\mathbf {r} _{\pi (1)},\ldots ,\mathbf {r} _{\pi (N)})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})&={\frac {1}{(N-n)!}}\left(\prod _{i=n+1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}\right)\sum _{\pi \in S_{N}}P^{(N)}(\mathbf {r} _{\pi (1)},\ldots ,\mathbf {r} _{\pi (N)})\\\end{aligned}}}$$

плотности n-частицнеразличимых ${\displaystyle \forall i,\mathbf {r} _{i}\rightarrow \mathbf {r} _{\pi (i)}}$ ${\displaystyle P(\mathbf {r} _{\pi (1)},\dots ,\mathbf {r} _{\pi (N)})=P(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N})}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})&={\frac {N!}{(N-n)!}}P^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{n})\end{aligned}}}$$

коэффициент перестановки ${\displaystyle _{N}P_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$

При имеем одночастичную плотность. Для кристалла это периодическая функция с резкими максимумами в узлах решетки. Для невзаимодействующего газа она не зависит от положения и равна общей плотности системы. Чтобы это увидеть, сначала заметим, что в объёме, занимаемом газом, и бесконечно без него. Статистическая сумма в этом случае равна ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle U_{N}=0}$

${\displaystyle Z_{N}=\prod _{i=1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}\ 1=V^{N}}$

из которого определение дает желаемый результат

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{(1)}(\mathbf {r} )&={\frac {N!}{(N-1)!}}{\frac {1}{V^{N}}}\prod _{i=2}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}1\\&={\frac {N}{V}}\\&=\rho \end{aligned}}}$

Фактически, в этом частном случае каждая плотность n-частиц не зависит от координат и может быть вычислена явно.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{n})&={\frac {N!}{(N-n)!}}{\frac {1}{V^{N}}}\prod _{i=n+1}^{N}\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}1\\&={\frac {N!}{(N-n)!}}{\frac {1}{V^{n}}}\end{aligned}}}$$

^[2]n-точечная корреляционная^{[ нужна ссылка ]} ${\displaystyle N\gg n}$ ${\displaystyle \rho _{\text{non-interacting}}^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N})=\left(1-n(n-1)/2N+\cdots \right)\rho ^{n}\approx \rho ^{n}}$ ${\displaystyle g^{(n)}}$

$${\displaystyle \rho ^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})=\rho _{\text{non-interacting}}^{(n)}g^{(n)}(\mathbf {r} _{1}\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}g^{(n)}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\,\mathbf {r} _{n})&={\frac {V^{N}}{N!}}\left(\prod _{i=n+1}^{N}{\frac {1}{V}}\!\!\int \!\!\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} _{i}\right){\frac {1}{Z_{N}}}\sum _{\pi \in S_{N}}e^{-\beta U(\mathbf {r} _{\pi (1)},\ldots ,\,\mathbf {r} _{\pi (N)})}\end{aligned}}}$$

Отношения с участием g (r)

Структурный фактор

Корреляционная функция второго порядка имеет особое значение, поскольку она напрямую связана (через преобразование Фурье ) со структурным фактором системы и, таким образом, может быть определена экспериментально с помощью дифракции рентгеновских лучей или дифракции нейтронов . ^[3] ${\displaystyle g^{(2)}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})}$

Если система состоит из сферически-симметричных частиц, зависит только от относительного расстояния между ними . Мы опустим нижний и верхний индекс: . Приняв частицу 0 за фиксированную в начале координат, мы получим среднее число частиц (среди остальных ), которые можно найти в объёме вокруг позиции . ${\displaystyle g^{(2)}(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{12}=\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \textstyle g(\mathbf {r} )\equiv g^{(2)}(\mathbf {r} _{12})}$ ${\displaystyle \textstyle \rho g(\mathbf {r} )d^{3}r=\mathrm {d} n(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle \textstyle d^{3}r}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {r} }$

Мы можем формально подсчитать эти частицы и взять среднее значение с помощью выражения со средним значением по ансамблю, что даст: ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} n(\mathbf {r} )}{d^{3}r}}=\langle \sum _{i\neq 0}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})\rangle }$ ${\displaystyle \textstyle \langle \cdot \rangle }$

где второе равенство требует эквивалентности частиц . Приведенная выше формула полезна для связи с коэффициентом статической структуры , определяемым как , поскольку мы имеем: ${\displaystyle \textstyle 1,\,\ldots ,\,N-1}$ ${\displaystyle g(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle S(\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle \textstyle S(\mathbf {q} )=\langle \sum _{ij}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})}\rangle /N}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S(\mathbf {q} )&=1+{\frac {1}{N}}\langle \sum _{i\neq j}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})}\rangle =1+{\frac {1}{N}}\left\langle \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }\sum _{i\neq j}\delta \left[\mathbf {r} -(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})\right]\right\rangle \\&=1+{\frac {N(N-1)}{N}}\int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }\left\langle \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1})\right\rangle \end{aligned}}}$

, и поэтому:

${\displaystyle S(\mathbf {q} )=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }g(\mathbf {r} )}$, доказывая упомянутое выше соотношение Фурье.

Это уравнение справедливо только в смысле распределений , поскольку оно не нормализовано: , так что оно расходится по объему , что приводит к пику Дирака в начале координат структурного фактора. Поскольку этот вклад недоступен экспериментально, мы можем вычесть его из приведенного выше уравнения и переопределить структурный фактор как регулярную функцию: ${\displaystyle g(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \textstyle \lim _{r\rightarrow \infty }g(\mathbf {r} )=1}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} g(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle S'(\mathbf {q} )=S(\mathbf {q} )-\rho \delta (\mathbf {q} )=1+\rho \int _{V}\mathrm {d} \mathbf {r} \,\mathrm {e} ^{-i\mathbf {q} \mathbf {r} }[g(\mathbf {r} )-1]}$.

Наконец, мы переименовываем и, если система является жидкостью, можем ссылаться на ее изотропию: ${\displaystyle S(\mathbf {q} )\equiv S'(\mathbf {q} )}$

Уравнение сжимаемости

Оценивая ( 6 ) и используя соотношение между изотермической сжимаемостью и структурным фактором в начале координат, получаем уравнение сжимаемости : ${\displaystyle q=0}$ ${\displaystyle \textstyle \chi _{T}}$

Потенциал средней силы

Можно показать ^[4] , что функция радиального распределения связана с двухчастичным потенциалом средней силы соотношением: ${\displaystyle w^{(2)}(r)}$

В разбавленном пределе потенциал средней силы представляет собой точный парный потенциал, при котором конфигурация точки равновесия имеет заданное значение . ${\displaystyle g(r)}$

Уравнение энергии

Если частицы взаимодействуют через одинаковые парные потенциалы: , средняя внутренняя энергия на частицу равна: ^{[5] : Раздел 2.5} ${\displaystyle \textstyle U_{N}=\sum _{i>j=1}^{N}u(\left|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}\right|)}$

Уравнение состояния давления

Разработка уравнения вириала дает уравнение состояния давления:

Термодинамические свойства в 3D

Функция радиального распределения является важной мерой, поскольку на ее основе можно рассчитать несколько ключевых термодинамических свойств, таких как потенциальная энергия и давление.

Для трехмерной системы, в которой частицы взаимодействуют через парные потенциалы, потенциальную энергию системы можно рассчитать следующим образом: ^[6]

${\displaystyle PE={\frac {N}{2}}4\pi \rho \int _{0}^{\infty }r^{2}u(r)g(r)dr}$

Где N – количество частиц в системе, – плотность числа, – парный потенциал . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u(r)}$

Давление в системе также можно рассчитать, связав 2-й вириальный коэффициент с . Давление можно рассчитать следующим образом: ^[6] ${\displaystyle g(r)}$

${\displaystyle P=\rho k_{B}T-{\frac {2}{3}}\pi \rho ^{2}\int _{0}^{\infty }dr{\frac {du(r)}{dr}}r^{3}g(r)}$

Где температура и постоянная Больцмана. Обратите внимание, что результаты потенциала и давления не будут такими точными, как прямой расчет этих свойств, из-за усреднения, используемого при расчете . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k_{B}}$ ${\displaystyle g(r)}$

Приближения

Для разбавленных систем (например, газов) учитываемые корреляции в положениях частиц обусловлены только потенциалом, создаваемым эталонной частицей, без учета косвенных эффектов. Таким образом, в первом приближении оно просто задается законом распределения Больцмана: ${\displaystyle g(r)}$ ${\displaystyle u(r)}$

Если бы для всех были равны нулю , т. е. если бы частицы не оказывали друг на друга никакого влияния, то для всех и средняя локальная плотность была бы равна средней плотности : наличие частицы в О не влияло бы на распределение частиц вокруг это и газ были бы идеальными. Для расстояний , которые являются значительными, средняя локальная плотность будет отличаться от средней плотности в зависимости от знака (выше для отрицательной энергии взаимодействия и ниже для положительной ). ${\displaystyle u(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle g(r)=1}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle u(r)}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u(r)}$ ${\displaystyle u(r)}$

По мере увеличения плотности газа предел низкой плотности становится все менее и менее точным, поскольку частица, находящаяся в, испытывает взаимодействие не только с частицей в О, но и с другими соседями, находящимися под влиянием эталонной частицы. Это опосредованное взаимодействие увеличивается с увеличением плотности, поскольку появляется больше соседей, с которыми можно взаимодействовать: имеет физический смысл записать разложение по плотности , которое напоминает уравнение вириала : ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle g(r)}$

Это сходство не случайно; действительно, подстановка ( 12 ) в приведенные выше соотношения для термодинамических параметров (уравнения 7 , 9 и 10 ) дает соответствующие вириальные разложения. ^[7] Вспомогательная функция известна как функция распределения полости . ^{[5] : Таблица 4.1} Было показано, что для классических жидкостей при фиксированной плотности и фиксированной положительной температуре эффективный парный потенциал, который создает заданное состояние равновесия, уникален с точностью до аддитивной константы, если она существует. ^[8] ${\displaystyle y(r)}$ ${\displaystyle g(r)}$

В последние годы некоторое внимание было уделено разработке парных корреляционных функций для пространственно-дискретных данных, таких как решетки или сети. ^[9]

Экспериментальный

Определить косвенно (через его связь со структурным фактором ) можно , используя данные рассеяния нейтронов или рентгеновских лучей . Этот метод можно использовать на очень коротких масштабах (вплоть до атомного уровня ^[10] ), но он требует значительного усреднения по пространству и времени (по размеру выборки и времени сбора данных соответственно). Таким образом была определена радиальная функция распределения для самых разных систем — от жидких металлов ^[11] до заряженных коллоидов. ^[12] Переход от экспериментального к экспериментальному не является простым, и анализ может быть весьма сложным. ^[13] ${\displaystyle g(r)}$ ${\displaystyle S(q)}$ ${\displaystyle S(q)}$ ${\displaystyle g(r)}$

Также можно произвести расчет напрямую, извлекая положения частиц из традиционной или конфокальной микроскопии. ^[14] Этот метод ограничен частицами, достаточно большими для оптического обнаружения (в микрометровом диапазоне), но он имеет преимущество, заключающееся в разрешении по времени, так что, помимо статической информации, он также дает доступ к динамическим параметрам (например, диффузии) . константы ^[15] ), а также с пространственным разрешением (до уровня отдельной частицы), что позволяет выявить морфологию и динамику локальных структур в коллоидных кристаллах, ^[16] стеклах, ^{[17] [18]} гелях, ^{[19] ] [20]} и гидродинамические взаимодействия. ^[21] ${\displaystyle g(r)}$

Прямая визуализация полной (зависящей от расстояния и угла) парной корреляционной функции была достигнута с помощью сканирующей туннельной микроскопии в случае двумерных молекулярных газов. ^[22]

Корреляционные функции высшего порядка

Было отмечено, что одних только функций радиального распределения недостаточно для характеристики структурной информации. Различные точечные процессы могут иметь одинаковые или практически неразличимые функции радиального распределения, известные как проблема вырождения. ^{[23] [24]} В таких случаях для дальнейшего описания структуры необходимы корреляционные функции более высокого порядка.

Функции распределения высших порядков с изучены меньше, так как они, как правило, менее важны для термодинамики системы; в то же время они недоступны с помощью традиционных методов рассеяния. Однако их можно измерить методом когерентного рассеяния рентгеновских лучей , и они интересны, поскольку могут выявить локальную симметрию в неупорядоченных системах. ^[25] ${\displaystyle \textstyle g^{(k)}}$ ${\displaystyle \textstyle k>2}$

Смотрите также

• Уравнение Орнштейна – Цернике
• Структурный фактор

Рекомендации

1. Шанкс, Б.; Потофф Дж.; Хёпфнер, М. (5 декабря 2022 г.). «Передаваемые силовые поля на основе экспериментальных данных рассеяния с уточнением структуры с помощью машинного обучения». Дж. Физ. хим. Летт . 13 (49): 11512–11520. doi : 10.1021/acs.jpclett.2c03163. PMID  36469859. S2CID  254274307.
2. Трикоми, Ф.; Эрдели, А. (1 марта 1951 г.). «Асимптотическое разложение отношения гамма-функций». Тихоокеанский математический журнал . 1 (1): 133–142. дои : 10.2140/pjm.1951.1.133 .
3. Диннебье, RE; Биллиндж, SJL (10 марта 2008 г.). Порошковая дифракция: теория и практика (1-е изд.). Королевское химическое общество. стр. 470–473. дои : 10.1039/9781847558237. ISBN 978-1-78262-599-5.
4. Чендлер, Д. (1987). «7,3». Введение в современную статистическую механику . Издательство Оксфордского университета.
5. Хансен, JP и Макдональд, IR (2005). Теория простых жидкостей (3-е изд.). Академическая пресса.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
6. Френкель, Даан; Смит, Беренд (2002). Понимание молекулярного моделирования от алгоритмов к приложениям (2-е изд.). Сан-Диего: Академическая пресса. ISBN 978-0122673511.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Баркер, Дж.; Хендерсон, Д. (1976). «Что такое «жидкость»? Понимание состояний материи». Обзоры современной физики . 48 (4): 587. Бибкод : 1976РвМП...48..587Б. doi : 10.1103/RevModPhys.48.587.
8. Хендерсон, Р.Л. (9 сентября 1974 г.). «Теорема единственности для парных корреляционных функций жидкости». Буквы по физике А. 49 (3): 197–198. Бибкод : 1974PhLA...49..197H. дои : 10.1016/0375-9601(74)90847-0. ISSN  0375-9601.
9. Гаваннин, Энрико (4 июня 2018 г.). «Парные корреляционные функции для выявления пространственной корреляции в дискретных областях». Физический обзор E . 97 (1): 062104. arXiv : 1804.03452 . Бибкод : 2018PhRvE..97f2104G. doi : 10.1103/PhysRevE.97.062104. PMID  30011502. S2CID  50780864.
10. Ярнелл, Дж.; Кац, М.; Венцель, Р.; Кениг, С. (1973). «Структурный коэффициент и функция радиального распределения жидкого аргона при 85 К». Физический обзор А. 7 (6): 2130. Бибкод : 1973PhRvA...7.2130Y. doi : 10.1103/PhysRevA.7.2130.
11. Гингрич, Н.С.; Хитон, Л. (1961). «Структура щелочных металлов в жидком состоянии». Журнал химической физики . 34 (3): 873. Бибкод : 1961ЖЧФ..34..873Г. дои : 10.1063/1.1731688.
12. Сирота, Э.; Оу-Янг, Х.; Синха, С.; Чайкин П.; Акс, Дж.; Фуджи, Ю. (1989). «Полная фазовая диаграмма заряженной коллоидной системы: исследование синхротронного рентгеновского рассеяния». Письма о физических отзывах . 62 (13): 1524–1527. Бибкод : 1989PhRvL..62.1524S. doi :10.1103/PhysRevLett.62.1524. ПМИД  10039696.
13. Педерсен, Дж. С. (1997). «Анализ данных малоуглового рассеяния коллоидов и растворов полимеров: моделирование и аппроксимация методом наименьших квадратов». Достижения в области коллоидной и интерфейсной науки . 70 : 171–201. дои : 10.1016/S0001-8686(97)00312-6.
14. Крокер, Дж. К.; Гриер, Д.Г. (1996). «Методы цифровой видеомикроскопии для исследования коллоидов». Журнал коллоидной и интерфейсной науки . 179 (1): 298–310. Бибкод : 1996JCIS..179..298C. doi : 10.1006/jcis.1996.0217.
15. Накрошис, П.; Аморосо, М.; Лежер, Дж.; Смит, К. (2003). «Измерение постоянной Больцмана с помощью видеомикроскопии броуновского движения». Американский журнал физики . 71 (6): 568. Бибкод : 2003AmJPh..71..568N. дои : 10.1119/1.1542619.
16. Гассер, Ю.; Уикс, скорая помощь; Шофилд, А.; Пьюзи, Пенсильвания; Вайц, Д.А. (2001). «Визуализация зародышеобразования и роста при коллоидной кристаллизации в реальном пространстве». Наука . 292 (5515): 258–262. Бибкод : 2001Sci...292..258G. дои : 10.1126/science.1058457. PMID  11303095. S2CID  6590089.
17. М.И. Оджован, Д.В. Лузгин-Лузгин. Выявление структурных изменений при стекловании с помощью функций радиального распределения. Дж. Физ. хим. Б, 124 (15), 3186-3194 (2020) https://doi.org/10.1021/acs.jpcb.0c00214
18. Уикс, скорая помощь; Крокер, Дж.К.; Левитт, AC; Шофилд, А.; Вайц, Д.А. (2000). «Трехмерное прямое изображение структурной релаксации вблизи коллоидного стеклования». Наука . 287 (5453): 627–631. Бибкод : 2000Sci...287..627W. дои : 10.1126/science.287.5453.627. ПМИД  10649991.
19. Чипеллетти, Л.; Мэнли, С.; Болл, RC; Вайц, Д.А. (2000). «Универсальные особенности старения при реструктуризации фрактальных коллоидных гелей». Письма о физических отзывах . 84 (10): 2275–2278. Бибкод : 2000PhRvL..84.2275C. doi : 10.1103/PhysRevLett.84.2275. ПМИД  11017262.
20. Варадан, П.; Соломон, MJ (2003). «Прямая визуализация дальнодействующей гетерогенной структуры в плотных коллоидных гелях». Ленгмюр . 19 (3): 509. doi :10.1021/la026303j.
21. Гао, К.; Кулкарни, СД; Моррис, Дж. Ф.; Гилкрист, Дж. Ф. (2010). «Прямое исследование анизотропной структуры суспензии в потоке под давлением». Физический обзор E . 81 (4): 041403. Бибкод : 2010PhRvE..81d1403G. doi : 10.1103/PhysRevE.81.041403. ПМИД  20481723.
22. Матвия, Питер; Розборжил, Филип; Соботик, Павел; Оштядал, Иван; Кочан, Павел (2017). «Парная корреляционная функция двумерного молекулярного газа, непосредственно визуализируемая с помощью сканирующей туннельной микроскопии». Журнал физической химии . 8 (17): 4268–4272. doi : 10.1021/acs.jpclett.7b01965. ПМИД  28830146.
23. Стиллинджер, Фрэнк Х.; Торквато, Сальваторе (28 мая 2019 г.). «Структурное вырождение в распределениях парных расстояний». Журнал химической физики . 150 (20): 204125. Бибкод : 2019JChPh.150t4125S. дои : 10.1063/1.5096894 . ISSN  0021-9606. PMID  31153177. S2CID  173995240.
24. Ван, Хайна; Стиллинджер, Фрэнк Х.; Торквато, Сальваторе (23 сентября 2020 г.). «Чувствительность парной статистики к парным потенциалам в системах многих тел». Журнал химической физики . 153 (12): 124106. Бибкод : 2020JChPh.153l4106W. дои : 10.1063/5.0021475 . ISSN  0021-9606. PMID  33003740. S2CID  222169131.
25. Вохнер, П.; Гутт, К.; Отенрит, Т.; Деммер, Т.; Бугаев В.; Ортис, AD; Дури, А.; Зонтоне, Ф.; Грубель, Г.; Дош, Х. (2009). «Рентгеновский кросскорреляционный анализ обнаруживает скрытые локальные симметрии в неупорядоченной материи». Труды Национальной академии наук . 106 (28): 11511–4. Бибкод : 2009PNAS..10611511W. дои : 10.1073/pnas.0905337106 . ПМК 2703671 . ПМИД  20716512. 

• Видом, Б. (2002). Статистическая механика: краткое введение для химиков. Издательство Кембриджского университета.
• МакКуорри, Д.А. (1976). Статистическая механика. Издательство Харпер Коллинз.