Радиус

Отрезок круга или сферы от его центра до его периметра или поверхности и его длина

Круг с:

  окружность С

  диаметр D

  радиус R

  центр или начало O

В классической геометрии радиус ( мн. ч.: радиусы или радиусы ) [ ^a] круга или сферы — это любой из отрезков прямой от его центра до его периметра , а в более современном использовании — это также их длина. Название происходит от латинского radius , что означает луч, но также спица колеса колесницы. ^[2] Типичное сокращение и математическое имя переменной для радиуса — R или r . В более широком смысле диаметр D определяется как удвоенный радиус: ^[3]

${\displaystyle d\doteq 2r\quad \Rightarrow \quad r={\frac {d}{2}}.}$

Если объект не имеет центра, термин может относиться к его радиусу окружности , радиусу описанной окружности или описанной сферы . В любом случае радиус может быть больше половины диаметра, который обычно определяется как максимальное расстояние между любыми двумя точками фигуры. Вписанный радиус геометрической фигуры обычно является радиусом наибольшего круга или сферы, содержащейся в ней. Внутренний радиус кольца, трубки или другого полого объекта является радиусом его полости.

Для правильных многоугольников радиус равен радиусу описанной окружности. ^[4] Радиус вписанной окружности правильного многоугольника также называется апофемой . В теории графов радиус графа — это минимум по всем вершинам u максимального расстояния от u до любой другой вершины графа. ^[5]

Радиус круга с периметром ( окружностью ) C равен

${\displaystyle r={\frac {C}{2\pi }}}$

Формула

Для многих геометрических фигур радиус имеет четко определенную связь с другими мерами фигуры.

Круги

Радиус круга площадью А равен

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}.}$

Радиус окружности, проходящей через три неколлинеарные точки P 1 _, P 2 _и P 3 _, определяется по формуле

${\displaystyle r={\frac {|{\vec {OP_{1}}}-{\vec {OP_{3}}}|}{2\sin \theta }},}$

где θ - угол ∠ P ₁ P ₂ P ₃ . Эта формула использует закон синусов . Если три точки заданы их координатами ( x ₁ , y ₁ ) , ( x ₂ , y ₂ ) и ( x ₃ , y ₃ ) , радиус можно выразить как

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {{\bigl (}(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}{\bigr )}{\bigl (}(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}{\bigr )}{\bigl (}(x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}{\bigr )}}}{2{\bigl |}x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}{\bigr |}}}.}$

Правильные многоугольники

Квадрат, например ( n =4)

Радиус r правильного многоугольника с n сторонами длины s определяется по формуле r = R _n s , где Значения R _n для малых значений n приведены в таблице. Если s = 1 , то эти значения также являются радиусами соответствующих правильных многоугольников. ${\displaystyle R_{n}=1\left/\left(2\sin {\frac {\pi }{n}}\right)\right..}$

Гиперкубы

Радиус d -мерного гиперкуба со стороной s равен

${\displaystyle r={\frac {s}{2}}{\sqrt {d}}.}$

Использование в системах координат

Полярные координаты

Полярная система координат — это двумерная система координат , в которой каждая точка на плоскости определяется расстоянием от фиксированной точки и углом от фиксированного направления.

Неподвижная точка (аналогично началу декартовой системы ) называется полюсом , а луч от полюса в фиксированном направлении — полярной осью . Расстояние от полюса называется радиальной координатой или радиусом , а угол — угловой координатой , полярным углом или азимутом . ^[6]

Цилиндрические координаты

В цилиндрической системе координат есть выбранная ось отсчета и выбранная плоскость отсчета, перпендикулярная этой оси. Начало системы — это точка, в которой все три координаты могут быть заданы как ноль. Это пересечение между плоскостью отсчета и осью.

Ось по-разному называется цилиндрической или продольной осью, чтобы отличать ее от полярной оси , которая представляет собой луч , лежащий в плоскости отсчета, начинающийся в начале координат и указывающий в направлении отсчета.

Расстояние от оси можно назвать радиальным расстоянием или радиусом , в то время как угловую координату иногда называют угловым положением или азимутом . Радиус и азимут вместе называются полярными координатами , поскольку они соответствуют двумерной полярной системе координат в плоскости, проходящей через точку, параллельной плоскости отсчета. Третья координата может быть названа высотой или высотой ( если плоскость отсчета считается горизонтальной), продольным положением , ^[7] или осевым положением . ^[8]

Сферические координаты

В сферической системе координат радиус описывает расстояние точки от фиксированного начала координат. Его положение далее определяется полярным углом, измеренным между радиальным направлением и фиксированным направлением зенита, и азимутальным углом, углом между ортогональной проекцией радиального направления на плоскость отсчета, которая проходит через начало координат и ортогональна зениту, и фиксированным направлением отсчета в этой плоскости.

Смотрите также

• Радиус изгиба
• Радиус заполнения в римановой геометрии
• Средний радиус
• Радиус сходимости
• Радиус выпуклости
• Радиус кривизны
• Радиус инерции
• Полудиаметр

Примечания

1. Множественное число слова radius может быть либо radii (от латинского множественного числа), либо общепринятое английское множественное число radiuses . ^[1]

Ссылки

1. "Радиус - Определение и многое другое из бесплатного словаря Merriam-Webster". Merriam-webster.com . Получено 22.05.2012 .
2. Определение радиуса на dictionary.reference.com. Доступ 08.08.2009.
3. Определение радиуса на mathwords.com. Доступ 08.08.2009.
4. Barnett Rich, Christopher Thomas (2008), Schaum's Outline of Geometry , 4-е издание, 326 страниц. McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-154412-7 , ISBN 978-0-07-154412-2 . Онлайн-версия доступна 2009-08-08.  
5. Джонатан Л. Гросс, Джей Йеллен (2006), Теория графов и ее приложения . 2-е издание, 779 страниц; CRC Press. ISBN 1-58488-505-X , 9781584885054. Онлайн-версия доступна 08.08.2009. 
6. Браун, Ричард Г. (1997). Эндрю М. Глисон (ред.). Продвинутая математика: Предварительные вычисления с дискретной математикой и анализом данных . Эванстон, Иллинойс: McDougal Littell. ISBN 0-395-77114-5.
7. Крафт, К.; Волокитин, А.С. (1 января 2002 г.). "Взаимодействие резонансного электронного пучка с несколькими низшими гибридными волнами". Physics of Plasmas . 9 (6): 2786–2797. Bibcode : 2002PhPl....9.2786K. doi : 10.1063/1.1465420. ISSN  1089-7674. Архивировано из оригинала 14 апреля 2013 г. Получено 9 февраля 2013 г. ...в цилиндрических координатах ( r , θ , z ) ... и Z=v _bz t — продольное положение...
8. Гройсман, Александр; Штейнберг, Виктор (1997-02-24). «Уединенные пары вихрей в вязкоупругом течении Куэтта». Physical Review Letters . 78 (8). Американское физическое общество (APS): 1460–1463. arXiv : patt-sol/9610008 . Bibcode : 1997PhRvL..78.1460G. doi : 10.1103/physrevlett.78.1460. ISSN  0031-9007. S2CID  54814721. «[...]где r , θ и z — цилиндрические координаты [...] как функции осевого положения [...]»