Ортосхема Шлефли

Симплекс, образованный из прямоугольной траектории

В геометрии ортосхема Шлефли является разновидностью симплекса . Ортосхема — это обобщение прямоугольного треугольника на симплексные фигуры любого числа измерений. Ортосхемы определяются последовательностью ребер , которые взаимно ортогональны . Они были введены Людвигом Шлефли , который назвал их ортосхемами и изучил их объём в евклидовой , гиперболической и сферической геометрии. HSM Coxeter позже назвал их в честь Шлефли. Поскольку прямоугольные треугольники составляют основу тригонометрии , ортосхемы составляют основу тригонометрии n измерений, разработанной Схоутом , который назвал ее полигонометрией . ^[1] Ж.-П. Сидлер и Борге Йессен широко изучали ортосхемы в связи с третьей проблемой Гильберта . ${\displaystyle (v_{0}v_{1}),(v_{1}v_{2}),\dots ,(v_{d-1}v_{d})\,}$

Ортосхемы, также называемые симплексами путей в литературе по прикладной математике , представляют собой частный случай более общего класса симплексов, изученного Фидлером [ 2 ^] и позже переоткрытого Коксетером . ^[3] Эти симплексы представляют собой выпуклые оболочки деревьев , в которых все ребра взаимно перпендикулярны. В ортосхеме базовое дерево представляет собой путь .

В трех измерениях ортосхему также называют двупрямоугольным тетраэдром (поскольку ее путь образует два прямых угла в вершинах, каждая из которых имеет по два прямых угла) или четырехпрямоугольным тетраэдром (поскольку она содержит четыре прямых угла). ^[4]

Характеристики

Куб, разбитый на шесть ортосхем.

• Все 2-грани являются прямоугольными треугольниками .
• Все грани d -мерной ортосхемы являются ( d  - 1)-мерными ортосхемами.
• Двугранные углы , не пересекающиеся с краями пути, имеют острые углы ; все остальные двугранные углы прямые . ^[3] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\tbinom {d}{2}}}$
• Середина самого длинного ребра является центром описанной сферы .
• Случай, когда – обобщенный тетраэдр Хилла . ${\displaystyle |v_{0}v_{1}|=|v_{1}v_{2}|=\cdots =|v_{d-1}v_{d}|}$
• Любой гиперкуб в d -мерном пространстве можно разбить на d ! конгруэнтные ортосхемы. Подобное расчленение на такое же количество ортосхем применимо в более общем плане к каждому гиперпрямоугольнику , но в этом случае ортосхемы могут не совпадать.
• Каждый правильный многогранник можно разрезать радиально на g конгруэнтных ортосхем, пересекающихся в его центре, где g — порядок группы симметрии правильного многогранника. ^[5]
• В 3- и 4-мерном евклидовом пространстве каждый выпуклый многогранник ножнично конгруэнтен ортосхеме .
• Каждую ортосхему можно разделить на три меньшие ортосхемы. ^[1]
• В трехмерных гиперболических и сферических пространствах объем ортосхем можно выразить через функцию Лобачевского или через дилогарифмы . ^[6]

Рассечение на ортосхемы

В 1956 году Хьюго Хадвигер предположил, что каждый симплекс можно разбить на конечное число ортосхем. ^[7] Гипотеза была доказана в пространствах пяти или менее измерений, ^[8] но остается нерешенной в более высоких измерениях. ^[9]

Гипотеза Хадвигера подразумевает, что любой выпуклый многогранник можно разбить на ортосхемы.

Характеристический симплекс общего правильного многогранника

Коксетер определяет различные ортосхемы как характерные симплексы многогранников, которые они порождают посредством отражений. ^[10] Характеристический симплекс является фундаментальным строительным блоком многогранника. Его можно воспроизвести путем отражений или вращений, чтобы построить многогранник, точно так же, как многогранник можно разбить на некоторое целое число. Характеристический симплекс является киральным (он существует в двух различных зеркальных формах), а многогранник разбивается на равное количество его левых и правых экземпляров. Он имеет разную длину ребер и грани вместо граней равностороннего треугольника, как у обычного симплекса. Когда многогранник правильный, его характеристический симплекс является ортосхемой, симплексом, имеющим только прямоугольные грани.

Каждый правильный многогранник имеет свою характерную ортосхему , которая является его фундаментальной областью , неправильный симплекс, который имеет точно такие же характеристики симметрии , что и правильный многогранник, но охватывает их все без повторения. ^[11] Для правильного k- многогранника диаграмма Кокстера-Дынкина характеристической k- ортосхемы представляет собой диаграмму k -многогранника без кольца образующих точек . Правильный k- многогранник подразделяется по его ( k -1)-элементам симметрии на g экземпляров его характеристической k- ортосхемы, окружающей его центр, где g — порядок группы симметрии k -многогранника . Это барицентрическое подразделение .

Перейдем к описанию «симплициального подразделения» правильного многогранника, начиная с одномерного случая. Отрезок 𝚷 ₁ разделен своим центром 𝚶 ₁ на две равные части . Многоугольник 𝚷 ₂ = { p } разделен линиями симметрии на 2 p прямоугольных треугольника, которые соединяют центр 𝚶 ₂ с упрощенно разделенными сторонами. Многогранник 𝚷 ₃ = { p, q } разбивается своими плоскостями симметрии на g четырехпрямоугольных тетраэдров (см. 5.43), которые соединяют центр 𝚶 ₃ с симплициально разделенными гранями. Аналогично, общий правильный многогранник 𝚷 _n делится на ряд конгруэнтных симплексов ([ортосхем]), которые соединяют центр 𝚶 _n с симплициально разделенными ячейками. ^[5]

Смотрите также

• 3-ортосхема ( тетраэдр с гранями прямоугольного треугольника)
• 4-ортосхема ( 5-ячеечная с гранями прямоугольного треугольника)
• Тетраэдр Гурса
• Заказать многогранник

Рекомендации

1. Coxeter, HSM (1989), «Трисекция ортосхемы», Компьютеры и математика с приложениями , 17 (1–3): 59–71, doi : 10.1016/0898-1221(89)90148-X , MR  0994189
2. Фидлер, Мирослав (1957), «Überquality Winkeleigenschaften der Simplexe», Чехословацкий математический журнал , 7 (82): 463–478, doi : 10.21136/CMJ.1957.100260 , MR  0094740
3. Coxeter, HSM (1991), «Ортогональные деревья», в Драйсдейле, Роберт Л. Скот (редактор), Труды седьмого ежегодного симпозиума по вычислительной геометрии, Норт-Конвей, Нью-Хэмпшир, США, 10–12 июня 1991 г. , Ассоциация вычислительной техники, стр. 89–97, номер документа : 10.1145/109648.109658, S2CID  18687383.
4. Коксетер, HSM (1973), «§4.7 Другие соты (характеристические тетраэдры)», Правильные многогранники , стр. 71–72
5. Coxeter, HSM (1973), «§7.6 Группа симметрии общего правильного многогранника», Правильные многогранники
6. Винберг, Е.Б. (1993), "Объемы неевклидовых многогранников", Изв. матем. Опросы , 48:2 (2): 15–45, Bibcode :1993RuMaS..48...15V, doi :10.1070/rm1993v048n02abeh001011
7. Хадвигер, Хьюго (1956), «Ungelöste Issuee», Elemente der Mathematik , 11 : 109–110
8. Чирпке, Катрин (1994), «Разбиение пятимерных симплексов на ортосхемы», Beiträge zur Algebra und Geometry , 35 (1): 1–11, MR  1287191
9. Брандтс, Ян; Коротов Сергей; Кржижек, Михал; Шольц, Якуб (2009), «О нетупых симплициальных разбиениях» (PDF) , SIAM Review , 51 (2): 317–335, Bibcode : 2009SIAMR..51..317B, doi : 10.1137/060669073, MR  2505583. См., в частности, гипотезу 23, с. 327.
10. Коксетер, HSM (1973), «§11.7 Правильные фигуры и их усечения», Правильные многогранники
11. Коксетер, HSM (1973), «§7.9 Характеристический симплекс», Правильные многогранники