Дуга меридиана

Расстояние вдоль части меридиана, используемое в геодезии

В геодезии и навигации дуга меридиана — это кривая между двумя точками на поверхности Земли, имеющими одинаковую долготу . Термин может относиться как к сегменту меридиана , так и к его длине .

Целью измерения дуг меридианов является определение фигуры Земли . Одно или несколько измерений дуг меридианов могут быть использованы для выведения формы референц-эллипсоида , который наилучшим образом аппроксимирует геоид в области измерений. Измерения дуг меридианов на нескольких широтах вдоль многих меридианов по всему миру могут быть объединены для аппроксимации геоцентрического эллипсоида, предназначенного для всего мира.

Самые ранние определения размера сферической Земли требовали одной дуги. Точные геодезические работы, начавшиеся в 19 веке, требовали нескольких измерений дуг в регионе, где должна была проводиться съемка, что привело к распространению референц-эллипсоидов по всему миру. Последние определения используют астро-геодезические измерения и методы спутниковой геодезии для определения референц-эллипсоидов, особенно геоцентрических эллипсоидов, которые сейчас используются для глобальных систем координат, таких как WGS 84 (см. числовые выражения).

История измерений

Ранние оценки размера Земли были получены в Греции в IV веке до нашей эры и учеными Дома Мудрости халифа в Багдаде в IX веке. Первое реалистичное значение было рассчитано александрийским ученым Эратосфеном около 240 года до нашей эры. Он оценил, что меридиан имеет длину 252 000 стадий , с погрешностью реального значения от -2,4% до +0,8% (предполагая, что значение для стадиона составляет от 155 до 160 метров). ^[1] Эратосфен описал свою технику в книге под названием «О измерении Земли» , которая не сохранилась. Подобный метод использовался Посидонием примерно 150 лет спустя, и немного лучшие результаты были рассчитаны в 827 году методом измерения дуги , ^[2] приписываемым халифу Аль-Мамуну . ^{[ необходима ссылка ]}

Эллипсоидальная Земля

В ранней литературе термин сплющенный сфероид используется для описания сферы , «сплющенной на полюсах». В современной литературе вместо сфероида используется термин эллипсоид вращения , хотя уточняющие слова «вращения» обычно опускаются. Эллипсоид , который не является эллипсоидом вращения, называется трехосным эллипсоидом. В этой статье сфероид и эллипсоид используются взаимозаменяемо, при этом подразумевается сплющенный, если не указано иное.

17-й и 18-й века

Хотя со времен классической античности было известно , что Земля имеет форму шара , к XVII веку накапливались доказательства того, что она не является идеальной сферой. В 1672 году Жан Рише нашел первое доказательство того, что гравитация не является постоянной над Землей (как это было бы, если бы Земля была сферой); он взял маятниковые часы в Кайенну , Французская Гвиана , и обнаружил, что они отставали на 2+1 ⁄ 2 минуты в день по сравнению с его скоростью в Париже . ^{[3] [4]} Это указывало на то, что ускорение силы тяжести было меньше в Кайенне, чем в Париже. Маятниковые гравиметры начали брать в путешествия в отдаленные части света, и постепенно было обнаружено, что сила тяжести плавно увеличивается с увеличением широты , причем ускорение силы тяжести примерно на 0,5% больше на географических полюсах, чем на экваторе .

В 1687 году Исаак Ньютон опубликовал в « Началах» доказательство того, что Земля представляет собой сплющенный сфероид с уплощением, равным ⁠1/230⁠ . ^[5] Это оспаривалось некоторыми, но не всеми, французскими учеными. Дуга меридиана Жана Пикара была продлена до более длинной дуги Джованни Доменико Кассини и его сыном Жаком Кассини в период 1684–1718 гг. ^[6] Дуга была измерена по крайней мере с тремя определениями широты, поэтому они смогли вывести среднюю кривизну для северной и южной половин дуги, что позволило определить общую форму. Результаты показали, что Земля была вытянутым сфероидом (с экваториальным радиусом, меньшим полярного радиуса). Чтобы решить эту проблему, Французская академия наук (1735) предприняла экспедиции в Перу ( Бугер , Луи Годен , де ла Кондамин , Антонио де Ульоа , Хорхе Хуан ) и в Лапландию ( Мопертюи , Клеро , Камю , Ле Монье , аббат Утье , Андерс Цельсий ). Полученные измерения в экваториальных и полярных широтах подтвердили, что Земля лучше всего моделируется сплющенным сфероидом, что подтверждает теорию Ньютона. ^[6] Однако к 1743 году теорема Клеро полностью вытеснила подход Ньютона.

К концу века Жан Батист Жозеф Деламбр перемерил и продлил французскую дугу от Дюнкерка до Средиземного моря ( меридианная дуга Деламбра и Мешена ). Она была разделена на пять частей четырьмя промежуточными определениями широты. Объединив измерения с измерениями для дуги Перу, были определены параметры формы эллипсоида, и расстояние между экватором и полюсом вдоль парижского меридиана было рассчитано как5 130 762  туаза , как указано в стандартной шкале туаза в Париже. Определение этого расстояния как точно10 000 000  м привели к строительству новой стандартной метровой планки0,513 0762  туаза. ^{[6] : 22}

19 век

В 19 веке многие астрономы и геодезисты занимались подробными исследованиями кривизны Земли вдоль различных меридиональных дуг. Анализы привели к появлению большого количества модельных эллипсоидов, таких как Плесси 1817, Эйри 1830, Бессель 1841 , Эверест 1830 и Кларк 1866. [ ^7] Полный список эллипсоидов приведен в разделе Земной эллипсоид .

Морская миля

Исторически морская миля определялась как длина одной минуты дуги вдоль меридиана сферической Земли. Эллипсоидная модель приводит к изменению морской мили в зависимости от широты. Это было решено путем определения морской мили как точно 1852 метра. Однако для всех практических целей расстояния измеряются по шкале широты карт. Как гласит Королевская яхтенная ассоциация в своем руководстве для шкиперов : «1 (минута) широты = 1 морская миля», а затем следует «Для большинства практических целей расстояние измеряется по шкале широты, предполагая, что одна минута широты равна одной морской миле». ^[8]

Расчет

На сфере длина дуги меридиана — это просто длина дуги окружности . На эллипсоиде вращения для коротких дуг меридиана их длина может быть приближена с использованием меридионального радиуса кривизны Земли и формулы дуги окружности. Для более длинных дуг длина следует из вычитания двух меридиональных расстояний , расстояния от экватора до точки на широте φ . Это важная проблема в теории картографических проекций, в частности поперечной проекции Меркатора .

Основными эллипсоидальными параметрами являются a, b, f, но в теоретической работе полезно определить дополнительные параметры, в частности эксцентриситет e и третье сплющивание n . Только два из этих параметров являются независимыми , и между ними существует множество связей:

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\frac {a-b}{a}}\,,\qquad e^{2}=f(2-f)\,,\qquad n={\frac {a-b}{a+b}}={\frac {f}{2-f}}\,,\\b&=a(1-f)=a{\sqrt {1-e^{2}}}\,,\qquad e^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}\,.\end{aligned}}}$

Определение

Радиус кривизны меридиана можно показать равным: ^{[9] [10]}

${\displaystyle M(\varphi )={\frac {a(1-e^{2})}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{\frac {3}{2}}}},}$

Длина дуги бесконечно малого элемента меридиана равна dm = M ( φ ) dφ (где φ в радианах). Следовательно, меридиональное расстояние от экватора до широты φ равно

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=\int _{0}^{\varphi }M(\varphi )\,d\varphi \\&=a(1-e^{2})\int _{0}^{\varphi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\varphi \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\varphi \,.\end{aligned}}}$

Формула расстояния упрощается, если ее записать в терминах параметрической широты :

${\displaystyle m(\varphi )=b\int _{0}^{\beta }{\sqrt {1+e'^{2}\sin ^{2}\beta }}\,d\beta \,,}$

где tan β = (1 − f )tan φ и e ′ ² = ⁠е ²/1 − е ²⁠ .

Хотя широта обычно ограничивается диапазоном [− ⁠π/2⁠ , ⁠π/2⁠ ] , все приведенные здесь формулы применимы к измерению расстояния вокруг полного меридионального эллипса (включая антимеридиан). Таким образом, диапазоны φ , β и выпрямляющей широты μ не ограничены.

Связь с эллиптическими интегралами

Вышеуказанный интеграл относится к частному случаю неполного эллиптического интеграла третьего рода . В обозначениях онлайн- справочника NIST ^[11] (раздел 19.2(ii)),

${\displaystyle m(\varphi )=a\left(1-e^{2}\right)\,\Pi (\varphi ,e^{2},e)\,.}$

Его также можно записать в терминах неполных эллиптических интегралов второго рода (см. справочник NIST, раздел 19.6(iv)),

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=a\left(E(\varphi ,e)-{\frac {e^{2}\sin \varphi \cos \varphi }{\sqrt {1-e^{2}\sin {}^{\!2}\varphi }}}\right)\\&=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right)\\&=bE(\beta ,ie')\,.\end{aligned}}}$

Вычисление (с произвольной точностью) эллиптических интегралов и приближений также обсуждается в справочнике NIST. Эти функции также реализованы в программах компьютерной алгебры, таких как Mathematica ^[12] и Maxima. ^[13]

Расширения серии

Вышеуказанный интеграл может быть выражен как бесконечный усеченный ряд путем разложения подынтегрального выражения в ряд Тейлора, выполнения полученных интегралов почленно и выражения результата в виде тригонометрического ряда. В 1755 году Леонард Эйлер вывел разложение в квадрат третьего эксцентриситета . ^[14]

Расширения в эксцентриситете (е)

Деламбр в 1799 году ^[15] вывел широко используемое разложение ^по e2 ,

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {b^{2}}{a}}\left(D_{0}\varphi +D_{2}\sin 2\varphi +D_{4}\sin 4\varphi +D_{6}\sin 6\varphi +D_{8}\sin 8\varphi +\cdots \right)\,,}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{0}&=1+{\tfrac {3}{4}}e^{2}+{\tfrac {45}{64}}e^{4}+{\tfrac {175}{256}}e^{6}+{\tfrac {11025}{16384}}e^{8}+\cdots ,\\[5mu]D_{2}&=-{\tfrac {3}{8}}e^{2}-{\tfrac {15}{32}}e^{4}-{\tfrac {525}{1024}}e^{6}-{\tfrac {2205}{4096}}e^{8}-\cdots ,\\[5mu]D_{4}&={\tfrac {15}{256}}e^{4}+{\tfrac {105}{1024}}e^{6}+{\tfrac {2205}{16384}}e^{8}+\cdots ,\\[5mu]D_{6}&=-{\tfrac {35}{3072}}e^{6}-{\tfrac {105}{4096}}e^{8}-\cdots ,\\[5mu]D_{8}&={\tfrac {315}{131072}}e^{8}+\cdots .\end{aligned}}}$

Ричард Рапп дает подробный вывод этого результата. ^[16]

Расширения в третьем уплощении (н)

Ряды со значительно более быстрой сходимостью можно получить, разложив их по третьему сглаживанию n вместо эксцентриситета. Они связаны соотношением

${\displaystyle e^{2}={\frac {4n}{(1+n)^{2}}}\,.}$

В 1837 году Фридрих Бессель получил одну такую ​​серию, ^{[17] которую} Гельмерт привел в более простую форму , ^{[18] [19]}

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}\left(H_{0}\varphi +H_{2}\sin 2\varphi +H_{4}\sin 4\varphi +H_{6}\sin 6\varphi +H_{8}\sin 8\varphi +\cdots \right)\,,}$

с

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}&=1+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots ,\\H_{2}&=-{\tfrac {3}{2}}n+{\tfrac {3}{16}}n^{3}+\cdots ,&H_{6}&=-{\tfrac {35}{48}}n^{3}+\cdots ,\\H_{4}&={\tfrac {15}{16}}n^{2}-{\tfrac {15}{64}}n^{4}-\cdots ,\qquad &H_{8}&={\tfrac {315}{512}}n^{4}-\cdots .\end{aligned}}}$

Поскольку n меняет знак, когда a и b меняются местами, и поскольку начальный множитель ⁠1/2⁠ ( a + b ) постоянна при этой замене, половина членов в разложениях H _{2 k} обращается в нуль.

Ряд можно выразить с помощью a или b в качестве начального множителя, записав, например,

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)={\frac {a}{1+n}}=a(1-n+n^{2}-n^{3}+n^{4}-\cdots )\,,}$

и разложение результата в ряд по n . Несмотря на то, что это приводит к более медленно сходящимся рядам, такие ряды используются в спецификации поперечной проекции Меркатора Национальным агентством геопространственной разведки ^[20] и Картографическим управлением Великобритании . ^[21]

Ряд по параметрической широте

В 1825 году Бессель ^[22] вывел разложение меридионального расстояния в терминах параметрической широты β в связи со своей работой по геодезическим ,

${\displaystyle m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}\left(B_{0}\beta +B_{2}\sin 2\beta +B_{4}\sin 4\beta +B_{6}\sin 6\beta +B_{8}\sin 8\beta +\cdots \right),}$

с

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}&=1+{\tfrac {1}{4}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots =H_{0}\,,\\B_{2}&=-{\tfrac {1}{2}}n+{\tfrac {1}{16}}n^{3}+\cdots ,&B_{6}&=-{\tfrac {1}{48}}n^{3}+\cdots ,\\B_{4}&=-{\tfrac {1}{16}}n^{2}+{\tfrac {1}{64}}n^{4}+\cdots ,\qquad &B_{8}&=-{\tfrac {5}{512}}n^{4}+\cdots .\end{aligned}}}$

Поскольку этот ряд обеспечивает расширение эллиптического интеграла второго рода, его можно использовать для записи длины дуги через геодезическую широту как

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )={\frac {a+b}{2}}{\Biggl (}&B_{0}\varphi -B_{2}\sin 2\varphi +B_{4}\sin 4\varphi -B_{6}\sin 6\varphi +B_{8}\sin 8\varphi -\cdots \\[-3mu]&\quad -{\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}{\Biggr )}.\end{aligned}}}$

Обобщенный ряд

Вышеуказанные ряды, до восьмого порядка по эксцентриситету или четвертого порядка по третьему сглаживанию, обеспечивают миллиметровую точность. С помощью систем символической алгебры их можно легко расширить до шестого порядка по третьему сглаживанию, что обеспечивает полную двойную точность для наземных приложений.

Деламбре ^[15] и Бессель ^[22] оба написали свои ряды в форме, которая позволяет их обобщить до произвольного порядка. Коэффициенты в рядах Бесселя могут быть выражены особенно просто

${\displaystyle B_{2k}={\begin{cases}c_{0}\,,&{\text{if }}k=0\,,\\[5px]{\dfrac {c_{k}}{k}}\,,&{\text{if }}k>0\,,\end{cases}}}$

где

${\displaystyle c_{k}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(2j-3)!!\,(2j+2k-3)!!}{(2j)!!\,(2j+2k)!!}}n^{k+2j}}$

и k !! — двойной факториал , расширенный до отрицательных значений с помощью рекурсивного соотношения: (−1)!! = 1 и (−3)!! = −1 .

Коэффициенты ряда Гельмерта можно аналогичным образом выразить в общем виде:

${\displaystyle H_{2k}=(-1)^{k}(1-2k)(1+2k)B_{2k}\,.}$

Этот результат был выдвинут Фридрихом Гельмертом ^[23] и доказан Казусигэ Кавасе. ^[24]

Дополнительный множитель (1 − 2 k )(1 + 2 k ) возникает из-за дополнительного расширения , появляющегося в приведенной выше формуле, и приводит к более плохой сходимости ряда по φ по сравнению с β . ${\displaystyle {\frac {2n\sin 2\varphi }{\sqrt {1+2n\cos 2\varphi +n^{2}}}}}$

Числовые выражения

Приведенный выше тригонометрический ряд можно удобно оценить с помощью суммирования Кленшоу . Этот метод позволяет избежать вычисления большинства тригонометрических функций и позволяет быстро и точно суммировать ряды. Этот метод также можно использовать для оценки разности m ( φ ₁ ) − m ( φ ₂ ) , сохраняя при этом высокую относительную точность.

Подстановка значений большой полуоси и эксцентриситета эллипсоида WGS84 дает

${\displaystyle {\begin{aligned}m(\varphi )&=\left(111\,132.952\,55\,\varphi ^{(\circ )}-16\,038.509\,\sin 2\varphi +16.833\,\sin 4\varphi -0.022\,\sin 6\varphi +0.000\,03\,\sin 8\varphi \right){\mbox{ metres}}\\&=\left(111\,132.952\,55\,\beta ^{(\circ )}-5\,346.170\,\sin 2\beta -1.122\,\sin 4\beta -0.001\,\sin 6\beta -0.5\times 10^{-6}\,\sin 8\beta \right){\mbox{ metres,}}\end{aligned}}}$

где φ ⁽ ° ⁾ = ⁠φ/1°⁠ — это φ, выраженное в градусах (и аналогично для β ⁽ ° ⁾ ).

На эллипсоиде точное расстояние между параллелями в φ ₁ и φ ₂ равно m ( φ ₁ ) − m ( φ ₂ ) . Для WGS84 приблизительное выражение для расстояния Δ m между двумя параллелями в ±0,5° от окружности на широте φ дается как

${\displaystyle \Delta m=(111\,133-560\cos 2\varphi ){\mbox{ metres.}}}$

Четверть меридиана

Четверть меридиана или квадрант Земли.

Расстояние от экватора до полюса, четверть меридиана (аналог четверти окружности ), также известного как квадрант Земли , составляет

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,.}$

Он был частью исторического определения метра и морской мили и использовался в определении гебдомометра .

Четверть меридиана можно выразить через полный эллиптический интеграл второго рода ,

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=aE(e)=bE(ie').}$

где - первый и второй эксцентриситеты . ${\displaystyle e,e'}$

Четвертной меридиан также задается следующим обобщенным рядом:

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }={\frac {\pi (a+b)}{4}}c_{0}={\frac {\pi (a+b)}{4}}\sum _{j=0}^{\infty }\left({\frac {(2j-3)!!}{(2j)!!}}\right)^{2}n^{2j}\,,}$

(Формулу c ₀ см. в разделе #Обобщенные ряды выше.) Этот результат впервые получил Джеймс Айвори . ^[25]

Числовое выражение для четверти меридиана на эллипсоиде WGS84 имеет вид

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\mathrm {p} }&=0.9983242984312529\ {\frac {\pi }{2}}\ a\\&=10\,001\,965.729{\mbox{ m.}}\end{aligned}}}$

Полярная окружность Земли равна четырем четвертям меридиана:

${\displaystyle C_{p}=4m_{p}}$

Периметр меридионального эллипса можно также переписать в виде периметра выпрямляющей окружности, C _p = 2π M r _. Таким образом, выпрямляющий радиус Земли равен:

${\displaystyle M_{r}=0.5(a+b)/c_{0}}$

Его можно оценить как6 367 449 .146 м .

Обратная меридиональная задача для эллипсоида

В некоторых задачах нам нужно уметь решать обратную задачу: по заданному m определить φ . Это можно решить методом Ньютона , итерируя

${\displaystyle \varphi _{i+1}=\varphi _{i}-{\frac {m(\varphi _{i})-m}{M(\varphi _{i})}}\,,}$

до сходимости. Подходящая начальная догадка дается как φ ₀ = μ , где

${\displaystyle \mu ={\frac {\pi }{2}}{\frac {m}{m_{\mathrm {p} }}}}$

— выпрямляющая широта . Обратите внимание, что нет необходимости дифференцировать ряд для m ( φ ) , поскольку вместо этого можно использовать формулу для радиуса кривизны меридиана M ( φ ) .

В качестве альтернативы ряд Гельмерта для меридионального расстояния можно преобразовать в обратную сторону, чтобы получить ^{[26] [27]}

${\displaystyle \varphi =\mu +H'_{2}\sin 2\mu +H'_{4}\sin 4\mu +H'_{6}\sin 6\mu +H'_{8}\sin 8\mu +\cdots }$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}H'_{2}&={\tfrac {3}{2}}n-{\tfrac {27}{32}}n^{3}+\cdots ,&H'_{6}&={\tfrac {151}{96}}n^{3}+\cdots ,\\H'_{4}&={\tfrac {21}{16}}n^{2}-{\tfrac {55}{32}}n^{4}+\cdots ,\qquad &H'_{8}&={\tfrac {1097}{512}}n^{4}+\cdots .\end{aligned}}}$

Аналогично, ряд Бесселя для m в терминах β можно обратить, чтобы получить ^[28]

${\displaystyle \beta =\mu +B'_{2}\sin 2\mu +B'_{4}\sin 4\mu +B'_{6}\sin 6\mu +B'_{8}\sin 8\mu +\cdots ,}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}B'_{2}&={\tfrac {1}{2}}n-{\tfrac {9}{32}}n^{3}+\cdots ,&B'_{6}&={\tfrac {29}{96}}n^{3}-\cdots ,\\B'_{4}&={\tfrac {5}{16}}n^{2}-{\tfrac {37}{96}}n^{4}+\cdots ,\qquad &B'_{8}&={\tfrac {539}{1536}}n^{4}-\cdots .\end{aligned}}}$

Адриен-Мари Лежандр показал, что расстояние вдоль геодезической на сфероиде такое же, как расстояние по периметру эллипса. ^[29] По этой причине выражение для m через β и его обратное, приведенное выше, играют ключевую роль в решении геодезической задачи с заменой m на s , расстояние вдоль геодезической, и заменой β на σ , длину дуги на вспомогательной сфере. ^{[22] [30]} Необходимые ряды, расширенные до шестого порядка, даны Чарльзом Карни, ^[31] уравнения (17) и (21), где ε играет роль n , а τ играет роль μ .

Смотрите также

• История геодезии
• Геодезия
• Референц-эллипсоид
• Парижский меридиан (дуга меридиана Западная Европа-Африка)
• Французская геодезическая миссия в Лапландию
• Французская геодезическая миссия
• Геодезическая дуга Струве
• Исправление широты
• Геодезические на эллипсоиде

Ссылки

1. Руссо, Лючио (2004). Забытая революция . Берлин: Springer. С. 273-277.
2. Торге, В.; Мюллер, Дж. (2012). Геодезия. Учебник Де Грюйтера. Де Грюйтер. п. 5. ISBN 978-3-11-025000-8. Получено 2021-05-02 .
3. Пойнтинг, Джон Генри; Джозеф Джон Томпсон (1907). Учебник физики, 4-е изд. Лондон: Charles Griffin & Co. стр. 20.
4. Виктор Ф., Ленцен; Роберт П. Мультауф (1964). «Документ 44: Развитие гравитационных маятников в 19 веке». Бюллетень Национального музея США 240: Материалы Музея истории и технологий, перепечатанные в Бюллетене Смитсоновского института . Вашингтон: Издательство Смитсоновского института . стр. 307. Получено 28.01.2009 .
5. Isaac Newton: Principia, Book III, Proposition XIX, Problem III, переведено на английский язык Эндрю Моттом. Современный перевод с возможностью поиска доступен на сайте 17centurymaths. Найдите в следующем pdf-файле слово «spheroid».
6. Кларк, Александр Росс (1880). Геодезия. Оксфорд: Clarendon Press. OCLC  2484948.. Свободно доступен онлайн на Archive.org и Forgotten Books ( ISBN 9781440088650 ). Кроме того, книга была переиздана Nabu Press ( ISBN 978-1286804131 ), первая глава охватывает историю ранних обзоров.  
7. Кларк, Александр Росс; Джеймс, Генри (1866). Сравнения стандартов длины Англии, Франции, Бельгии, Пруссии, России, Индии, Австралии, выполненные в Артиллерийском топографическом офисе в Саутгемптоне. Лондон: GE Eyre и W. Spottiswoode для HM Stationery Office. стр. 281–87. OCLC  906501.Приложение к Фигуре Земли.
8. Хопкинсон, Сара (2012). Справочник шкипера RYA day - sail . Hamble: The Royal Yachting Association. стр. 76. ISBN 9781-9051-04949.
9. Рапп, Р. (1991): Геометрическая геодезия, часть I, §3.5.1, стр. 28–32.
10. Осборн, Питер (2013), Проекции Меркатора , doi : 10.5281/zenodo.35392Раздел 5.6. Эта ссылка включает вывод формул кривизны из первых принципов и доказательство теоремы Мюзнье. (Приложения: файлы Maxima и код и рисунки Latex)
11. FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert и CW Clark, редакторы, 2010, NIST Handbook of Mathematical Functions (Cambridge University Press).
12. Руководство по Mathematica: Эллиптические интегралы
13. Maxima, 2009, Система компьютерной алгебры, версия 5.20.1.
14. Эйлер, Л. (1755). «Элементы сфероидальной тригонометрии, взятые из метода максимумов и минимумов». Мемуары Королевской академии наук Берлина, 1753 г. (на французском языке). 9 : 258–293.Цифры.
15. Деламбр, JBJ (1799): Аналитические методы для определения d'un Arc du Méridien; Precédées d'un mémoire sur le même sujet by AM Legendre, De L'Imprimerie de Crapelet, Paris, 72–73
16. Рапп, Р. (1991), §3.6, стр. 36–40.
17. Бессель, FW (1837). «Bestimmung der Axen des elliptischen Rotationssphäroids, welches den vorhandenen Messungen von Meridianbögen der Erde am meisten entspricht» [Оценка осей эллипсоида посредством измерений дуги меридиана]. Astronomische Nachrichten (на немецком языке). 14 (333): 333–346. Бибкод : 1837AN.....14..333B. дои : 10.1002/asna.18370142301.
18. Гельмерт, Франция (1880): Die mathematischen und Physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie, Einleitung und 1 Teil, Druck und Verlag von BG Teubner, Лейпциг, § 1.7, стр. 44–48. Английский перевод (Аэронавигационный картографический и информационный центр, Сент-Луис) доступен по адресу doi : 10.5281/zenodo.32050.
19. Крюгер, Л. (1912): Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene . Королевский Прусский геодезический институт, новая серия 52, стр. 12
20. JW Hager, JF Behensky и BW Drew, 1989. Технический отчет Агентства по картографии обороны TM 8358.2. Универсальные сетки: универсальная поперечная проекция Меркатора (UTM) и универсальная полярная стереографическая проекция (UPS)
21. Справочник по системам координат Великобритании, Картографическое управление Великобритании.
22. Bessel, FW (2010). «Вычисление долготы и широты по геодезическим измерениям (1825)». Astron. Nachr . 331 (8): 852–861. arXiv : 0908.1824 . Bibcode :2010AN....331..852K. doi :10.1002/asna.201011352. S2CID  118760590.Английский перевод Astron. Nachr. 4 , 241–254 (1825), §5.
23. Гельмерт (1880), §1.11
24. Кавасэ, К. (2011): Общая формула для расчета длины дуги меридиана и ее применение для преобразования координат в проекции Гаусса-Крюгера, Бюллетень Управления геопространственной информации Японии , 59 , 1–13
25. Айвори, Дж. (1798). «Новая серия для исправления многоточия». Труды Королевского общества Эдинбурга . 4 (2): 177–190. doi :10.1017/s0080456800030817. S2CID  251572677.
26. Гельмерт (1880), §1.10
27. Адамс, Оскар С. (1921). Широтные разработки, связанные с геодезией и картографией. Специальное издание Береговой и геодезической службы США № 67. стр. 127.
28. Гельмерт (1880), §5.6
29. Лежандр, AM (1811). Exercices de Calcul Intégral sur Divers Ordres de Transcendantes et sur les Quadratures [ Упражнения по интегральному исчислению ] (на французском языке). Париж: Курьер. п. 180. OCLC  312469983.
30. Гельмерт (1880), Гл. 5
31. Karney, CFF (2013). «Алгоритмы для геодезии». Журнал геодезии . 87 (1): 43–55. arXiv : 1109.4448 . Bibcode : 2013JGeod..87...43K. doi : 10.1007/s00190-012-0578-z. S2CID  119310141. Дополнения.

Внешние ссылки

• Онлайн-вычисление дуг меридианов на различных геодезических референц-эллипсоидах