Словарь терминов алгебраической геометрии

Это глоссарий алгебраической геометрии .

См. также глоссарий коммутативной алгебры , глоссарий классической алгебраической геометрии и глоссарий теории колец . Для приложений теории чисел см. глоссарий арифметики и диофантовой геометрии .

Для простоты ссылка на базовую схему часто опускается, т. е. схемой будет схема над некоторой фиксированной базовой схемой S , а морфизмом — S -морфизм.

!$@

${\displaystyle \eta }$

Общая точка . Например, точка, связанная с нулевым идеалом для любой целочисленной аффинной схемы.

Ф ( н ), Ф ( Д )

1. Если X — проективная схема со скручивающим пучком Серра и если F — -модуль, то ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle F(n)=F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(n).}$

2. Если D — дивизор Картье, а F — -модуль ( X произвольное), то если D — дивизор Вейля, а F рефлексивен, то F ( D ) заменяется его рефлексивной оболочкой (и результат по-прежнему называется F ( D ).) ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle F(D)=F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(D).}$

| Д |

Полная линейная система дивизора Вейля D на нормальном полном многообразии X над алгебраически замкнутым полем k ; то есть, . Существует биекция между множеством k -рациональных точек | D | и множеством эффективных дивизоров Вейля на X , которые линейно эквивалентны D . ^[1] То же самое определение используется, если D является дивизором Картье на полном многообразии над k . ${\displaystyle |D|=\mathbf {P} (\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)))}$

[Х/Г]

Фактор -стек , скажем, алгебраического пространства X по действию групповой схемы G.

${\displaystyle X/\!/G}$

Фактор GIT схемы X по действию групповой схемы G.

Л ^н

Неоднозначное обозначение. Обычно оно означает n -ю степень тензора L , но может также означать число самопересечений L. Если , структурный пучок на X , то это означает прямую сумму n копий . ${\displaystyle L={\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$

Тавтологическое линейное расслоение . Оно является двойственным к скручивающемуся пучку Серра . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$

Скручивающий пучок Серра . Является двойственным к тавтологическому линейному расслоению . Также называется гиперплоскостным расслоением. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

1. Если D — эффективный дивизор Картье на X , то он является обратным к идеальному пучку D.

2. В большинстве случаев является образом D при естественном групповом гомоморфизме из группы дивизоров Картье в группу Пикара X , группу классов изоморфизма линейных расслоений на X. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$ ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$

3. В общем случае, является пучком, соответствующим дивизору Вейля D (на нормальной схеме ). Он не обязан быть локально свободным, только рефлексивным . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

4. Если D — делитель, то является целой частью D. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$

1.   — пучок кэлеровых дифференциалов на X. ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}}$

2.   — это p -я внешняя степень . ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}}$

${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$

1. Если p равно 1, то это пучок логарифмических кэлеровых дифференциалов на X вдоль D (грубо говоря, дифференциальные формы с простыми полюсами вдоль дивизора D ).

2.   — это p -я внешняя степень . ${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$

П ( В )

Обозначение неоднозначно. Его традиционный смысл — проективизация конечномерного k - векторного пространства V ; т. е. ( Proj кольца полиномиальных функций k [ V ]) и его k -точки соответствуют линиям в V . Напротив, Хартшорн и EGA пишут P ( V ) для Proj симметрической алгебры V . ${\displaystyle \mathbf {P} (V)=\operatorname {Proj} (k[V])=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} (V^{*}))}$

Q-факториал

Нормальное многообразие является -факториальным, если каждый -делитель Вейля является -Картье. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Спец( Р )

Множество всех простых идеалов в кольце R с топологией Зарисского; называется простым спектром кольца R.

Спецификация _X ( F )

Относительная Spec OX _- алгебры F. Также обозначается Spec ( F ) или просто Spec( F ).

Спецификация ( R )^​

Множество всех оценок для кольца R с определенной слабой топологией ; оно называется спектром Берковича кольца R.

А

абелев

1. Абелево многообразие — это полное групповое многообразие. Например, рассмотрим комплексное многообразие или эллиптическую кривую над конечным полем . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\mathbb {Z} ^{2n}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

2. Абелева схема — это (плоское) семейство абелевых многообразий.

формула присоединения

1. Если D — эффективный дивизор Картье на алгебраическом многообразии X , оба допускающие дуализирующие пучки , то формула присоединения гласит: . ${\displaystyle \omega _{D},\omega _{X}}$ ${\displaystyle \omega _{D}=(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(D))|_{D}}$

2. Если, кроме того, X и D являются гладкими, то формула эквивалентна следующей: где — канонические дивизоры на D и X. ${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}}$ ${\displaystyle K_{D},K_{X}}$

аффинный

1.   Аффинное пространство — это, грубо говоря, векторное пространство, в котором забывается, какая точка является началом координат.

2. Аффинное многообразие — это многообразие в аффинном пространстве.

3. Аффинная схема — это схема, являющаяся простым спектром некоторого коммутативного кольца.

4. Морфизм называется аффинным , если прообраз любого открытого аффинного подмножества снова аффинен. В более причудливых терминах аффинные морфизмы определяются глобальной конструкцией Spec для пучков O _X -алгебр, определяемых по аналогии со спектром кольца . Важными аффинными морфизмами являются векторные расслоения и конечные морфизмы .

5. Аффинный конус над замкнутым подмногообразием X проективного пространства является спецификацией однородного координатного кольца X.

Алгебраическая геометрия занимала центральное место в математике прошлого века. К этой области относятся глубочайшие результаты Абеля, Римана, Вейерштрасса, многие из важнейших работ Клейна и Пуанкаре. В конце прошлого и начале нынешнего столетия отношение к алгебраической геометрии резко изменилось. ... Стиль мышления, который был в то время полностью развит в алгебраической геометрии, был слишком далек от теоретико-множественного и аксиоматического духа, который тогда определял развитие математики. ... Около середины нынешнего столетия алгебраическая геометрия в значительной степени претерпела такой процесс переформирования. В результате она может снова претендовать на то положение, которое она когда-то занимала в математике.

Из предисловия к книге И. Р. Шафаревича «Основы алгебраической геометрии».

алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия — раздел математики, изучающий решения алгебраических уравнений.

алгебраическая геометрия над полем с одним элементом

Одна из целей — доказать гипотезу Римана . ^[2] См. также поле с одним элементом и Пенья, Хавьер Лопес; Лоршайд, Оливер (2009-08-31). «Отображение F_1-земли: обзор геометрий над полем с одним элементом». arXiv : 0909.0069 [math.AG].а также ^{[3] [4]} .

алгебраическая группа

Алгебраическая группа — это алгебраическое многообразие, которое также является группой таким образом, что групповые операции являются морфизмами многообразий.

алгебраическая схема

Отделенная схема конечного типа над полем. Например, алгебраическое многообразие — это редуцированная неприводимая алгебраическая схема.

алгебраическое множество

Алгебраическое множество над полем k — это редуцированная отделимая схема конечного типа над . Неприводимое алгебраическое множество называется алгебраическим многообразием. ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$

алгебраическое пространство

Алгебраическое пространство является фактором схемы по отношению этальной эквивалентности .

алгебраическое многообразие

Алгебраическое многообразие над полем k — это целочисленная разделенная схема конечного типа над . Обратите внимание, что не предположение о том, что k алгебраически замкнуто, приводит к некоторой патологии; например, не является многообразием, поскольку координатное кольцо не является областью целостности . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {C} \times _{\mathbb {R} }\operatorname {Spec} \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

алгебраическое векторное расслоение

Локально свободный пучок конечного ранга.

обильный

Линейное расслоение на проективном многообразии является обильным , если некоторая его тензорная степень является очень обильной.

геометрия Аракелова

Алгебраическая геометрия над компактификацией Spec кольца целых рациональных чисел . См. геометрию Аракелова . ^[5] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

арифметический род

Арифметический род проективного многообразия X размерности r равен . ${\displaystyle (-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1)}$

Стек Артина

Другой термин для алгебраического стека .

артинский

0-мерный и нётеров. Определение применимо как к схеме, так и к кольцу.

Б

Функция Беренда

Весовая эйлерова характеристика (хорошего) стека X относительно функции Беренда — это степень виртуального фундаментального класса X.

Формула следа Беренда

Формула следа Беренда обобщает формулу следа Гротендика ; обе формулы вычисляют след Фробениуса на l - адических когомологиях.

большой

Большое линейное расслоение L на X размерности n — это линейное расслоение такое, что . ${\displaystyle \displaystyle \limsup _{l\to \infty }\operatorname {dim} \Gamma (X,L^{l})/l^{n}>0}$

бирациональный морфизм

Бирациональный морфизм между схемами — это морфизм, который становится изоморфизмом после ограничения на некоторое открытое плотное подмножество. Одним из наиболее распространенных примеров бирационального отображения является отображение, индуцированное раздутием.

раздутие

Раздутие — это бирациональное преобразование, которое заменяет замкнутую подсхему эффективным дивизором Картье. Точнее, если заданы нётерова схема X и замкнутая подсхема , раздутие X вдоль Z является собственным морфизмом, таким что (1) является эффективным дивизором Картье, называемым исключительным дивизором, и (2) является универсальным относительно (1). Конкретно, он строится как относительная Proj алгебры Риса относительно идеального пучка, определяющего Z . ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle \pi :{\widetilde {X}}\to X}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle O_{X}}$

С

Калаби–Яу

Метрика Калаби–Яу — это метрика Кэлера, кривизна Риччи которой равна нулю.

канонический

1. Канонический пучок на нормальном многообразии X размерности n — это где i — включение гладкого локуса U , а — пучок дифференциальных форм на U степени n . Если базовое поле имеет характеристику ноль вместо нормальности, то можно заменить i на разрешение особенностей. ${\displaystyle \omega _{X}=i_{*}\Omega _{U}^{n}}$ ${\displaystyle \Omega _{U}^{n}}$

2. Канонический класс на нормальном многообразии X — это класс дивизоров, такой что . ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(K_{X})=\omega _{X}}$

3. Канонический делитель является представителем канонического класса, обозначаемого тем же символом (и не вполне определенным). ${\displaystyle K_{X}}$

4. Каноническое кольцо нормального многообразия X является кольцом сечений канонического пучка .

каноническая модель

Каноническая модель — это Proj канонического кольца (предполагается, что кольцо конечно порождено).

Картье

Эффективный дивизор Картье D на схеме X над S — это замкнутая подсхема X , плоская над S , идеальная вершина которой обратима (локально свободна от ранга один).

Закономерность Кастельнуово–Мамфорда

Регулярность Кастельнуово –Мамфорда когерентного пучка F на проективном пространстве над схемой S — это наименьшее целое число r такое, что ${\displaystyle f:\mathbf {P} _{S}^{n}\to S}$

${\displaystyle R^{i}f_{*}F(r-i)=0}$

для всех i > 0.

цепная линия

Схема является цепной , если все цепи между двумя неприводимыми замкнутыми подсхемами имеют одинаковую длину. Примеры включают практически все, например, многообразия над полем, и трудно построить примеры, которые не являются цепными.

центральное волокно

Особое волокно.

Группа Чоу

Группа Чжоу k -го порядка гладкого многообразия X — это свободная абелева группа, порождённая замкнутыми подмногообразиями размерности k (группа k - циклов ) по модулю рациональных эквивалентностей . ${\displaystyle A_{k}(X)}$

классификация

1.   Классификация является руководящим принципом во всей математике, где пытаются описать все объекты, удовлетворяющие определенным свойствам вплоть до заданных эквивалентностей, с помощью более доступных данных, таких как инварианты или даже некоторого конструктивного процесса. В алгебраической геометрии различают дискретные и непрерывные инварианты. Для непрерывных классифицирующих инвариантов дополнительно пытаются предоставить некоторую геометрическую структуру, которая приводит к пространствам модулей .

2.   Полные гладкие кривые над алгебраически замкнутым полем классифицируются с точностью до рациональной эквивалентности по их роду . (a) . рациональные кривые, т. е. кривая бирациональна проективной прямой . (b) . эллиптические кривые , т. е. кривая является полной одномерной групповой схемой после выбора любой точки на кривой в качестве тождественной. (c) . гиперболические кривые , также называемые кривыми общего типа . См. примеры в алгебраических кривых . Классификацию гладких кривых можно уточнить по степени для проективно вложенных кривых, в частности, при ограничении плоскими кривыми . Обратите внимание, что все полные гладкие кривые проективны в том смысле, что они допускают вложения в проективное пространство, но для того, чтобы степень была хорошо определена, выбор такого вложения должен быть явно указан. Арифметика полной гладкой кривой над числовым полем (в частности, число и структура ее рациональных точек) управляется классификацией связанной базы кривой, измененной на алгебраическое замыкание. Подробности арифметических импликаций см. в теореме Фалтингса . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g=0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle g\geq 2}$

3. Классификация полных гладких поверхностей над алгебраически замкнутым полем с точностью до рациональной эквивалентности. Подробности см. в обзоре классификации или классификации Энрикеса–Кодайры .

4. Классификация особенностей или ассоциированных окрестностей Зарисского над алгебраически замкнутыми полями с точностью до изоморфизма. (a) В характеристике 0 результат Хиронаки о разрешении присоединяет инварианты к особенности, которые классифицируют их. (b) Для кривых и поверхностей разрешение известно в любой характеристике, которая также дает классификацию. См. здесь для кривых или здесь для кривых и поверхностей .

5. Классификация сортов Фано по малому размеру.

6. Программа минимальной модели представляет собой подход к бирациональной классификации полных гладких многообразий в более высокой размерности (не менее 2). В то время как первоначальная цель касается гладких многообразий, терминальные сингулярности естественным образом появляются и являются частью более широкой классификации.

7. Классификация расщепляемых редуктивных групп с точностью до изоморфизма над алгебраически замкнутыми полями.

классифицирующий стек

Аналог классифицирующего пространства для торсоров в алгебраической геометрии; см. классифицирующий стек .

закрыто

Замкнутые подсхемы схемы X определяются как те, которые встречаются в следующей конструкции. Пусть J — квазикогерентный пучок - идеалов . Носитель фактор-пучка — замкнутое подмножество Z схемы X и является схемой, называемой замкнутой подсхемой, определяемой квазикогерентным пучком идеалов J . ^[6] Причина, по которой определение замкнутых подсхем опирается на такую ​​конструкцию, заключается в том, что, в отличие от открытых подмножеств, замкнутое подмножество схемы не имеет уникальной структуры как подсхема. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/J}$ ${\displaystyle (Z,({\mathcal {O}}_{X}/J)|_{Z})}$

Коэн–Маколей

Схема называется Коэн-Маколеем, если все локальные кольца являются Коэн-Маколеем . Например, регулярные схемы и Spec k [ x,y ]/( xy ) являются схемами Коэна-Маколея, ноэто не так.

когерентный пучок

Когерентный пучок на нётеровой схеме X — это квазикогерентный пучок, который конечно порождён как O _X -модуль.

конический

Алгебраическая кривая второй степени.

подключен

Схема связна как топологическое пространство. Поскольку связные компоненты уточняют неприводимые компоненты, любая неприводимая схема связна, но не наоборот. Аффинная схема Spec(R) связна тогда и только тогда, когда кольцо R не обладает идемпотентами, отличными от 0 и 1; такое кольцо также называется связным кольцом . Примерами связных схем являются аффинное пространство , проективное пространство , а примером несвязной схемы является Spec ( k [ x ]× k [ x ])

компактификация

См., например, теорему Нагаты о компактификации .

кольцо Кокса

Обобщение однородного координатного кольца. См. Кольцо Кокса .

крепантный

Крепантный морфизм между нормальными многообразиями — это морфизм такой, что . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}\omega _{Y}=\omega _{X}}$

изгиб

Алгебраическое многообразие размерности один.

Д

деформация

Пусть — морфизм схем, а X — S -схема. Тогда деформация X ' схемы X является S '-схемой вместе с квадратом обратного хода, в котором X является обратным ходом X ' (обычно X ' предполагается плоским ). ${\displaystyle S\to S'}$

локус вырождения

Для данного отображения векторного расслоения над многообразием X (то есть схемного X -морфизма между тотальными пространствами расслоений) локус вырождения является (схемно-теоретическим) локусом . ${\displaystyle f:E\to F}$ ${\displaystyle X_{k}(f)=\{x\in X|\operatorname {rk} (f(x))\leq k\}}$

дегенерация

1. Говорят, что схема X вырождается в схему (называемую пределом схемы X ), если существует схема с общим волокном X и специальным волокном . ${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle \pi :Y\to \mathbf {A} ^{1}}$ ${\displaystyle X_{0}}$

2. Плоская дегенерация — это дегенерация, которая является плоской. ${\displaystyle \pi }$

измерение

Размерность , по определению максимальная длина цепочки неприводимых замкнутых подсхем, является глобальным свойством. Ее можно увидеть локально, если схема неприводима. Она зависит только от топологии, а не от структурного пучка. См. также Глобальная размерность . Примеры: равноразмерные схемы в размерности 0: артиновы схемы, 1: алгебраические кривые , 2: алгебраические поверхности .

степень

1. Степень линейного расслоения L на полном многообразии — это целое число d такое, что . ${\displaystyle \chi (L^{\otimes m})={d \over n!}m^{n}+O(m^{n-1})}$

2. Если x — цикл на полном многообразии над полем k , то его степень равна . ${\displaystyle f:X\to \operatorname {Spec} k}$ ${\displaystyle f_{*}(x)\in A_{0}(\operatorname {Spec} k)=\mathbb {Z} }$

3. О степени конечного морфизма см. морфизм многообразий#Степень конечного морфизма .

производная алгебраическая геометрия

Подход к алгебраической геометрии, использующий ( коммутативные ) кольцевые спектры вместо коммутативных колец ; см. производная алгебраическая геометрия .

дивизионный

1. Дивизориальный пучок на нормальном многообразии — это рефлексивный пучок вида O _X ( D ) для некоторого дивизора Вейля D .

2. Дивизориальная схема — это схема, допускающая обильное семейство обратимых пучков. Схема, допускающая обильный обратимый пучок, является базовым примером.

доминирующий

Морфизм f  : X → Y называется доминантным , если образ f ( X ) плотный . Морфизм аффинных схем Spec A → Spec B плотен тогда и только тогда, когда ядро ​​соответствующего отображения B → A содержится в нильрадикале B.

дуализирующий комплекс

См. Когерентная дуальность .

дуализирующий пучок

На проективной схеме Коэна–Маколея чистой размерности n дуализирующий пучок является когерентным пучком на X таким, что выполняется для любого локально свободного пучка F на X ; например, если X — гладкое проективное многообразие, то он является каноническим пучком . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle H^{n-i}(X,F^{\vee }\otimes \omega )\simeq H^{i}(X,F)^{*}}$

Э

Элементы алгебраической геометрии

EGA была неполной попыткой заложить основу алгебраической геометрии, основанной на понятии схемы , обобщении алгебраического многообразия. Séminaire de géométrie algébrique продолжает то , на чем остановился EGA. Сегодня это один из стандартных справочников по алгебраической геометрии.

эллиптическая кривая

Эллиптическая кривая — это гладкая проективная кривая рода один.

по существу конечного типа

Локализация схемы конечного типа.

этал

Морфизм f  : Y → X является этальным, если он плоский и неразветвленный. Существует несколько других эквивалентных определений. В случае гладких многообразий и над алгебраически замкнутым полем этальные морфизмы — это в точности те, которые индуцируют изоморфизм касательных пространств , что совпадает с обычным понятием этального отображения в дифференциальной геометрии. Этальные морфизмы образуют очень важный класс морфизмов; они используются для построения так называемой этальной топологии и, следовательно, этальных когомологий , которые в настоящее время являются одним из краеугольных камней алгебраической геометрии. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle df:T_{y}Y\rightarrow T_{f(y)}X}$

последовательность Эйлера

Точная последовательность пучков:

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbf {P} ^{n}\to 0,}$

где P ⁿ — проективное пространство над полем, а последний ненулевой член — касательный пучок , называется последовательностью Эйлера .

эквивариантная теория пересечений

См. Главу II http://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf

Ф

F - обычный

Относится к морфизму Фробениуса . ^[7]

Фано

Многообразие Фано — это гладкое проективное многообразие X , антиканонический пучок которого обилен. ${\displaystyle \omega _{X}^{-1}}$

волокно

Если задано между схемами, то волокно f над y является, как множество, прообразом ; оно имеет естественную структуру схемы над полем вычетов y как волокно-произведение , где имеет естественную структуру схемы над Y как Spec поля вычетов y . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X|f(x)=y\}}$ ${\displaystyle X\times _{Y}\{y\}}$ ${\displaystyle \{y\}}$

волокнистый продукт

1. Другой термин для обозначения « отката » в теории категорий.

2. Стек задан для : объект над B — это тройка ( x , y , ψ), x в F ( B ), y в H ( B ), ψ — изоморфизм в G ( B ); стрелка из ( x , y , ψ) в ( x ' , y ' , ψ ') — это пара морфизмов, такая что . Полученный квадрат с очевидными проекциями не коммутирует; скорее, он коммутирует с точностью до естественного изоморфизма; т. е. он 2-коммутирует. ${\displaystyle F\times _{G}H}$ ${\displaystyle f:F\to G,g:H\to G}$ ${\displaystyle f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)}$ ${\displaystyle \alpha :x\to x',\beta :y\to y'}$ ${\displaystyle \psi '\circ f(\alpha )=g(\beta )\circ \psi }$

финал

Одна из основных идей Гротендика заключается в том, чтобы подчеркнуть относительные понятия, т. е. условия на морфизмы, а не условия на сами схемы. Категория схем имеет конечный объект , спектр кольца целых чисел; так что любая схема является над , и единственным образом. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}$

конечный

Морфизм f  : Y → X конечен , если может быть покрыт аффинными открытыми множествами такими, что каждое из них аффинно — скажем, вида — и, кроме того, конечно порождено как -модуль. См. конечный морфизм . Конечные морфизмы являются квазиконечными, но не все морфизмы, имеющие конечные слои, являются квазиконечными, а морфизмы конечного типа обычно не являются квазиконечными. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}B}$ ${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

конечный тип (локально)

Морфизм f  : Y → X локально имеет конечный тип , если может быть покрыт аффинными открытыми множествами, такими, что каждый обратный образ покрыт аффинными открытыми множествами , где каждое конечно порождено как -алгебра. Морфизм f  : Y → X имеет конечный тип , если может быть покрыт аффинными открытыми множествами, такими, что каждый обратный образ покрыт конечным числом аффинных открытых множеств , где каждое конечно порождено как -алгебра. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}B}$ ${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}B}$ ${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

конечные волокна

Морфизм f  : Y → X имеет конечные слои , если слой над каждой точкой является конечным множеством. Морфизм является квазиконечным, если он имеет конечный тип и конечные слои. ${\displaystyle x\in X}$

конечное представление

Если y — точка Y , то морфизм f имеет конечное представление в y (или конечно представлен в y ), если существует открытая аффинная окрестность U алгебры f(y) и открытая аффинная окрестность V алгебры y такие, что f ( V ) ⊆  U и является конечно представленной алгеброй над . Морфизм f имеет локально конечное представление , если он конечно представлен во всех точках Y . Если X локально нётерово, то f имеет локально конечное представление тогда и только тогда, когда он локально конечного типа. ^[8] Морфизм f  : Y → X имеет конечное представление (или Y конечно представлен над X ), если он локально конечного представления, квазикомпактен и квазиразделён. Если X локально нётерово, то f имеет конечное представление тогда и только тогда, когда он конечного типа. ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$

разновидность флага

Флаговое многообразие параметризует флаг векторных пространств.

плоский

Морфизм является плоским , если он порождает плоскую карту на стеблях. При рассмотрении морфизма f  : Y → X как семейства схем, параметризованных точками , геометрический смысл плоскостности можно грубо описать, сказав, что волокна не изменяются слишком сильно. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(x)}$

формальный

См. формальную схему .

Г

г ^р _д

Если заданы кривая C , дивизор D на ней и векторное подпространство , то говорят, что линейная система имеет размерность ag ^r _d, если V имеет размерность r +1, а D имеет степень d . Говорят, что C имеет размерность ag ^r _d, если такая линейная система существует. ${\displaystyle V\subset H^{0}(C,{\mathcal {O}}(D))}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$

Теорема реконструкции Габриэля–Розенберга

Теорема реконструкции Габриэля –Розенберга утверждает , что схема X может быть восстановлена ​​из категории квазикогерентных пучков на X. ^[10] Теорема является отправной точкой для некоммутативной алгебраической геометрии , поскольку, принимая теорему за аксиому, определение некоммутативной схемы равносильно определению категории квазикогерентных пучков на ней. См. также https://mathoverflow.net/q/16257

G-пучок

Главный G-пучок.

общая точка

Плотная точка.

род

См. #арифметический род, #геометрический род.

формула рода

Формула рода для узловой кривой в проективной плоскости гласит, что род кривой задается как , где d — степень кривой, а δ — число узлов (которое равно нулю, если кривая гладкая). ${\displaystyle g=(d-1)(d-2)/2-\delta }$

геометрический род

Геометрический род гладкого проективного многообразия X размерности n равен (где равенство — теорема двойственности Серра ). ${\displaystyle \dim \Gamma (X,\Omega _{X}^{n})=\dim \operatorname {H} ^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

геометрическая точка

Простой спектр алгебраически замкнутого поля.

геометрическое свойство

Свойство схемы X над полем k называется « геометрическим », если оно выполняется для любого расширения поля . ${\displaystyle X_{E}=X\times _{\operatorname {Spec} k}{\operatorname {Spec} E}}$ ${\displaystyle E/k}$

геометрический коэффициент

Геометрическое частное схемы X с действием групповой схемы G является хорошим частным, таким что слои являются орбитами.

герб

Герб (примерно) представляет собой стек , который локально непуст и в котором два объекта локально изоморфны.

Коэффициент ЖКТ

Коэффициент GIT — это когда и когда . ${\displaystyle X/\!/G}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A^{G})}$ ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} (A^{G})}$ ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} A}$

хороший коэффициент

Хороший фактор схемы X с действием групповой схемы G является инвариантным морфизмом, таким что ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {O}}_{X})^{G}={\mathcal {O}}_{Y}.}$

Горенштейн

1. Схема Горенштейна — это локально нётерова схема, локальные кольца которой являются кольцами Горенштейна .

2. Нормальное многообразие называется -Горенштейновым, если канонический дивизор на нем -Картье (и не обязательно Коэн-Маколей). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

3. Некоторые авторы называют нормальное многообразие горенштейновым, если каноническим делителем является Картье; следует отметить, что такое использование не соответствует значению 1.

Теорема Грауэрта – Рименшнейдера об исчезании

Теорема об исчезновении Грауэрта –Рименшнайдера распространяет теорему об исчезновении Кодаиры на высшие пучки прямых образов; см. также https://arxiv.org/abs/1404.1827

Кольцо сортов Гротендика

Кольцо Гротендика многообразий — это свободная абелева группа, порожденная классами изоморфизма многообразий с соотношением: где Z — замкнутое подмногообразие многообразия X , снабженное умножением ${\displaystyle [X]=[Z]+[X-Z]}$ ${\displaystyle [X]\cdot [Y]=[X\times Y].}$

Теорема Гротендика об исчезновении

Теорема Гротендика об исчезновении касается локальных когомологий .

групповая схема

Групповая схема — это схема, множества точек которой имеют структуру группы .

группа разнообразие

Старый термин для «гладкой» алгебраической группы.

ЧАС

Полином Гильберта

Многочлен Гильберта проективной схемы X над полем — это эйлерова характеристика . ${\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}_{X}(s))}$

Ходж-связка

Расслоение Ходжа на пространстве модулей кривых (фиксированного рода) представляет собой приблизительно векторное расслоение, слой которого над кривой C является векторным пространством . ${\displaystyle \Gamma (C,\omega _{C})}$

гиперэллиптический

Кривая является гиперэллиптической , если она имеет g ¹ ₂ (т.е. существует линейная система размерности 1 и степени 2).

гиперплоскостное расслоение

Другое название скручивающегося пучка Серра . Это двойственное линейное расслоение тавтологического типа (отсюда и название). ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$

я

изображение

Если f  : Y → X — любой морфизм схем, то схемно-теоретический образ f — это единственная замкнутая подсхема i  : Z → X , которая удовлетворяет следующему универсальному свойству :

1. f пропускается через i ,
2. если j  : Z ′ → X — любая замкнутая подсхема X, такая, что f пропускается через j , то i также пропускается через j . ^{[11] [12]}

Это понятие отличается от понятия обычного теоретико-множественного образа f , f ( Y ). Например, базовое пространство Z всегда содержит (но не обязательно равно) замыканию Зарисского f ( Y ) в X , поэтому если Y — любая открытая (и не замкнутая) подсхема X и f — отображение включения, то Z отличается от f ( Y ). Когда Y редуцировано, то Z — это замыкание Зарисского f ( Y ), наделенное структурой редуцированной замкнутой подсхемы. Но в общем случае, если f не является квазикомпактным, построение Z не является локальным на X .

погружение

Погружения f  : Y → X — это отображения, которые факторизуются изоморфизмами с подсхемами. В частности, открытое погружение факторизуется изоморфизмом с открытой подсхемой, а закрытое погружение факторизуется изоморфизмом с закрытой подсхемой. ^[13] Эквивалентно, f является замкнутым погружением тогда и только тогда, когда оно индуцирует гомеоморфизм из базового топологического пространства Y в замкнутое подмножество базового топологического пространства X , и если морфизм сюръективен. ^[14] Композиция погружений снова является погружением. [ ^15] Некоторые авторы, такие как Хартшорн в своей книге «Алгебраическая геометрия» и Цюй Лю в своей книге «Алгебраическая геометрия и арифметические кривые» , определяют погружения как композицию открытого погружения, за которым следует замкнутое погружение. Эти погружения являются погружениями в указанном выше смысле, но обратное неверно. Более того, в рамках этого определения композиция двух погружений не обязательно является погружением. Однако эти два определения эквивалентны, когда f квазикомпактно. ^[16] Обратите внимание, что открытое погружение полностью описывается своим образом в смысле топологических пространств, тогда как закрытое погружение — нет: и может быть гомеоморфным, но не изоморфным. Это происходит, например, если I — радикал J , но J — не радикальный идеал. При указании замкнутого подмножества схемы без упоминания структуры схемы обычно подразумевается так называемая редуцированная структура схемы, то есть структура схемы, соответствующая единственному радикальному идеалу, состоящему из всех функций, обращающихся в нуль на этом замкнутом подмножестве. ${\displaystyle f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} A/I}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} A/J}$

инд-схема

Инд -схема — это индуктивный предел замкнутых погружений схем.

обратимая связка

Локально свободный пучок ранга 1. Эквивалентно, это торсор для мультипликативной группы (т.е. линейное расслоение). ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$

интеграл

Схема, которая одновременно является и приведенной, и неприводимой, называется интегральной . Для локально нётеровых схем быть интегральной эквивалентно быть связной схемой, которая покрывается спектрами областей целостности . (Строго говоря, это не локальное свойство, поскольку несвязное объединение двух интегральных схем не является интегральным. Однако для неприводимых схем это локальное свойство.) Например, схема Spec k [ t ]/ f , f неприводимый многочлен является интегральной, в то время как Spec A × B ( A , B ≠ 0) не является.

неприводимый

Схема X называется неприводимой, когда (как топологическое пространство) она не является объединением двух замкнутых подмножеств, за исключением случая, когда одно из них равно X . Используя соответствие простых идеалов и точек в аффинной схеме, это означает, что X неприводимо тогда и только тогда, когда X связно, и все кольца A _{i имеют ровно один минимальный} простой идеал . (Кольца, обладающие ровно одним минимальным простым идеалом, поэтому также называются неприводимыми .) Любая нётерова схема может быть записана однозначно как объединение конечного числа максимальных неприводимых непустых замкнутых подмножеств, называемых ее неприводимыми компонентами . Аффинное пространство и проективное пространство неприводимы, в то время как Spec k [ x,y ]/( xy ) =это не так.

Дж.

Якобианское многообразие

Многообразие Якоби проективной кривой X является частью многообразия Пикара нулевой степени . ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$

К

Теорема Кемпфа об исчезновении

Теорема Кемпфа об исчезновении касается исчезновения высших когомологий многообразия флагов.

клт

Сокращение для « терминала журнала Кавамата »

измерение Кодаира

1. Размерность Кодаиры (также называемая размерностью Иитака ) полуобильного линейного расслоения L — это размерность Proj сечения кольца L.

2. Размерность Кодаиры нормального многообразия X — это размерность Кодаиры его канонического пучка.

Теорема об исчезновении Кодаиры

См. теорему Кодаиры об исчезновении .

Карта Кураниши

См. структуру Кураниши .

Л

Число Лелонга

См. число Лелонга .

структура уровня

см. http://math.stanford.edu/~conrad/248BPage/handouts/level.pdf

линеаризация

Другой термин для обозначения структуры эквивариантного пучка /векторного расслоения.

местный

Наиболее важные свойства схем локальны по своей природе , т. е. схема X обладает определенным свойством P тогда и только тогда, когда для любого покрытия X открытыми подсхемами X _i , т. е. X = X _i , каждое X _i обладает свойством P . Обычно бывает так, что достаточно проверить одно покрытие, а не все возможные. Говорят также, что определенное свойство является локальным по Зарисскому , если нужно различать топологию Зарисского и другие возможные топологии, такие как этальная топология . Рассмотрим схему X и покрытие аффинными открытыми подсхемами Spec A _i . Используя словарь между (коммутативными) кольцами и аффинными схемами, локальные свойства, таким образом, являются свойствами колец A _i . Свойство P является локальным в указанном выше смысле, если и только если соответствующее свойство колец устойчиво при локализации . Например, мы можем говорить о локально нётеровых схемах, а именно о тех, которые покрываются спектрами нётеровых колец . Тот факт, что локализации нётерова кольца всё ещё нётеровы, означает, что свойство схемы быть локально нётеровой является локальным в указанном выше смысле (отсюда и название). Другой пример: если кольцо редуцировано ( т. е. не имеет ненулевых нильпотентных элементов), то таковыми являются и его локализации. Примером нелокального свойства является разделённость (см. ниже определение). Любая аффинная схема разделима, поэтому любая схема локально разделима. Однако аффинные части могут патологически склеиваться, давая неразделённую схему. Ниже приводится (неисчерпывающий) список локальных свойств колец, которые применяются к схемам. Пусть X = Spec A _i будет покрытием схемы открытыми аффинными подсхемами. Для определённости пусть k обозначает поле в дальнейшем. Большинство примеров также работают с целыми числами Z в качестве базы, или даже с более общими базами. Связный, неприводимый, приведенный, целостный, нормальный, регулярный, Коэна-Маколея, локально нётеров, размерность, цепная линия, Горенштейна. ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \cup }$

локальное полное пересечение

Локальные кольца являются полными кольцами пересечений . См. также: регулярное вложение .

местная униформизация

Локальная униформизация — это метод построения более слабой формы разрешения особенностей с помощью колец оценки .

локально факториальный

Локальные кольца являются уникальными областями факторизации .

локально конечного представления

См. конечное представление выше.

локально конечного типа

Морфизм f  : Y → X локально имеет конечный тип , если может быть покрыт аффинными открытыми множествами таким образом, что каждый прообраз покрывается аффинными открытыми множествами , каждое из которых конечно порождено как -алгебра. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}B}$ ${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

локально нётеровский

A _i — нётеровы кольца. Если вдобавок конечное число таких аффинных спектров покрывает X , схема называется нётеровой . Хотя верно, что спектр нётерова кольца является нётеровым топологическим пространством , обратное неверно. Например, большинство схем в конечномерной алгебраической геометрии локально нётеровы, но таковыми не являются. ${\displaystyle GL_{\infty }=\cup GL_{n}}$

логарифмическая геометрия

структура журнала

См . структуру журнала . Эта идея принадлежит Фонтейну-Иллюзи и Като.

группа петель

См . группу петель (в связанной статье группа петель в алгебраической геометрии не обсуждается; на данный момент см. также ind-scheme ).

М

модули

См., например, пространство модулей .

Хотя многие ранние работы по модулям, особенно после [Mum65], делали акцент на построении тонких или грубых пространств модулей, в последнее время акцент сместился в сторону изучения семейств многообразий, то есть в сторону функторов модулей и стеков модулей. Основная задача состоит в том, чтобы понять, какие объекты образуют «хорошие» семейства. Как только будет установлена ​​хорошая концепция «хороших семейств», существование грубого пространства модулей должно быть почти автоматическим. Грубое пространство модулей больше не является фундаментальным объектом, скорее это всего лишь удобный способ отслеживать определенную информацию, которая скрыта только в функторе модулей или стеке модулей.

Коллар, Янош, Глава 1, «Книга о модулях поверхностей».

Минимальная модель программы Мори

Программа минимальной модели — это исследовательская программа, направленная на бирациональную классификацию алгебраических многообразий размерности больше 2.

морфизм

1. Морфизм алгебраических многообразий локально задается многочленами.

2. Морфизм схем — это морфизм локально окольцованных пространств .

3. Морфизм стеков (скажем, над категорией S -схем) — это функтор такой, что где — структурные отображения в базовую категорию. ${\displaystyle f:F\to G}$ ${\displaystyle P_{G}\circ f=P_{F}}$ ${\displaystyle P_{F},P_{G}}$

Н

неф

См. пучок линий nef .

неединственный

Устаревший термин для обозначения «гладкого», например, в англоязычной литературе — « smooth» (гладкая разновидность) .

нормальный

1. Целочисленная схема называется нормальной , если локальные кольца являются целозамкнутыми областями . Например, все регулярные схемы являются нормальными, а особые кривые — нет.

2. Гладкая кривая называется k -нормальной, если гиперповерхности степени k высекают полный линейный ряд . Она проективно нормальна , если она k -нормальна для всех k > 0. Таким образом, говорят, что «кривая проективно нормальна, если линейная система, в которую она вложена, является полной». Термин «линейно нормальный» является синонимом 1-нормального. ${\displaystyle C\subset \mathbf {P} ^{r}}$ ${\displaystyle |{\mathcal {O}}_{C}(k)|}$

3. Замкнутое подмногообразие называется проективно нормальным, если аффинное покрытие над X является нормальной схемой ; т. е. однородное координатное кольцо X является целозамкнутой областью. Это значение согласуется со значением 2. ${\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{r}}$

нормальный

1. Если X — замкнутая подсхема схемы Y с идеальным пучком I , то нормальный пучок к X — это . Если вложение X в Y регулярно , оно локально свободно и называется нормальным расслоением . ${\displaystyle (I/I^{2})^{*}={\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{Y}}(I/I^{2},{\mathcal {O}}_{Y})}$

2. Нормальный конус к X — это . Если X регулярно вложено в Y , то нормальный конус изоморфен , полному пространству нормального расслоения к X . ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1})}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}({\mathcal {S}}ym(I/I^{2}))}$

нормальные переходы

Сокращения nc для нормального пересечения и snc для простого нормального пересечения. Относится к нескольким тесно связанным понятиям, таким как делитель nc, особенность nc, делитель snc и особенность snc. См. нормальные пересечения .

обычно генерируется

Говорят, что линейное расслоение L на многообразии X нормально порождено , если для каждого целого числа n > 0 естественное отображение сюръективно. ${\displaystyle \Gamma (X,L)^{\otimes n}\to \Gamma (X,L^{\otimes n})}$

О

открыть

1. Морфизм f  : Y → X схем называется открытым ( замкнутым ), если лежащее в его основе отображение топологических пространств открыто (замкнуто, соответственно), т. е. если открытые подсхемы Y отображаются в открытые подсхемы X (и аналогично для замкнутых). Например, конечно представленные плоские морфизмы являются открытыми, а собственные отображения — замкнутыми.

2. Открытая подсхема схемы X — это открытое подмножество U со структурным пучком . ^[14] ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}}$

орбифолд

В настоящее время орбифолд часто определяется как стек Делиня–Мамфорда над категорией дифференцируемых многообразий. ^[17]

П

p -делимая группа

См. p -делимая группа (приблизительно аналог точек кручения абелева многообразия).

карандаш

Линейная система размерности один.

Группа Пикарда

Группа Пикара пространства X — это группа классов изоморфизма линейных расслоений на X , причем умножение является тензорным произведением .

Встраивание Плюккера

Вложение Плюккера — это замкнутое вложение грассманова многообразия в проективное пространство.

плюригенус

n -й плюрирод гладкого проективного многообразия равен . См. также число Ходжа . ${\displaystyle \dim \Gamma (X,\omega _{X}^{\otimes n})}$

Карта вычетов Пуанкаре

См. вычет Пуанкаре .

точка

Схема — это локально окольцованное пространство , поэтому a fortiori является топологическим пространством , но значение точки трояко: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

1. точка базового топологического пространства; ${\displaystyle P}$
2. -значная точка является морфизмом из в для любой схемы ; ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$
3. геометрическая точка , где определено над (снабжено морфизмом в ) , где — поле , — морфизм из в , где — алгебраическое замыкание . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\textrm {Spec}}(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\textrm {Spec}}({\overline {K}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle K}$

Геометрические точки — это то, что в большинстве классических случаев, например, алгебраические многообразия , которые являются комплексными многообразиями , были бы точками обычного смысла. Точки базового пространства включают аналоги общих точек (в смысле Зарисского , а не Андре Вейля ), которые специализируются на точках обычного смысла. Точки со значениями рассматриваются, посредством леммы Йонеды , как способ идентификации с представимым функтором, который она устанавливает. Исторически существовал процесс, посредством которого проективная геометрия добавляла больше точек ( например, комплексные точки, бесконечно удаленная прямая ), чтобы упростить геометрию путем уточнения основных объектов. Точки со значениями были огромным дальнейшим шагом. В рамках преобладающего подхода Гротендика существуют три соответствующих понятия слоя морфизма: первое — это простой обратный образ точки. Два других образуются путем создания произведений слоев двух морфизмов. Например, геометрический слой морфизма рассматривается как . Это делает расширение от аффинных схем , где это просто тензорное произведение R-алгебр , ко всем схемам операции волокнистого произведения существенным (хотя технически безобидным) результатом. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle h_{S}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S^{\prime }\to S}$ ${\displaystyle S^{\prime }\times _{S}{\textrm {Spec}}({\overline {K}})}$

поляризация

вложение в проективное пространство

Продж

См. Проект строительства .

формула проекции

Формула проекции утверждает, что для морфизма схем, -модуля и локально свободного -модуля конечного ранга существует естественный изоморфизм (короче говоря, линейный относительно действия локально свободных пучков). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)=(f_{*}F)\otimes E}$ ${\displaystyle f_{*}}$

проективный

1. Проективное многообразие — это замкнутое подмногообразие проективного пространства.

2. Проективная схема над схемой S — это S -схема, которая пропускается через некоторое проективное пространство как замкнутая подсхема. ${\displaystyle \mathbf {P} _{S}^{N}\to S}$

3. Проективные морфизмы определяются аналогично аффинным морфизмам: f  : Y → X называется проективным , если он факторизуется как замкнутое погружение, за которым следует проекция проективного пространства на . ^[18] Отметим, что это определение более ограничительно, чем определение EGA , II.5.5.2. Последнее определяет быть проективным, если он задан глобальным Proj квазикогерентной градуированной O _X -алгебры такой, что конечно порождена и порождает алгебру . Оба определения совпадают, когда является аффинным или, в более общем случае, если он является квазикомпактным, отделимым и допускает обильный пучок, ^[19] например, если является открытой подсхемой проективного пространства над кольцом . ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}^{n}:=\mathbb {P} ^{n}\times _{\mathrm {Spec} \mathbb {Z} }X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}}$ ${\displaystyle A}$

проективный пучок

Если E — локально свободный пучок на схеме X , то проективное расслоение P ( E ) пучка E является глобальным Proj симметрической алгебры, двойственной к E : Обратите внимание, что это определение в настоящее время является стандартным (например, теория пересечений Фултона ), но отличается от EGA и Хартсхорна (они не принимают двойственное). ${\displaystyle \mathbf {P} (E)=\mathbf {Proj} (\operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}}(E^{\vee })).}$

проективно нормальный

См. #нормально.

правильный

Морфизм является собственным, если он является разделенным, универсально замкнутым (т. е. таким, что послойные произведения с ним являются замкнутыми отображениями) и имеет конечный тип. Проективные морфизмы являются собственными; но обратное, вообще говоря, неверно. См. также полное многообразие . Глубоким свойством собственных морфизмов является существование факторизации Штейна , а именно существование промежуточной схемы, такой, что морфизм может быть выражен как морфизм со связанными слоями, за которым следует конечный морфизм.

свойство P

Пусть P — свойство схемы, устойчивое относительно замены базы (конечного типа, собственная, гладкая, этальная и т. д.). Тогда говорят, что представимый морфизм имеет свойство P, если для любой схемы с B замена базы имеет свойство P. ${\displaystyle f:F\to G}$ ${\displaystyle B\to G}$ ${\displaystyle F\times _{G}B\to B}$

псевдоредуктивный

Псевдоредуктивность обобщает редуктивность в контексте связной гладкой линейной алгебраической группы .

чистое измерение

Схема имеет чистую размерность d , если каждый неприводимый компонент имеет размерность d .

В

квазикогерентный

Квазикогерентный пучок на нётеровой схеме X — это пучок O _X -модулей , который локально задан модулями.

квазикомпактный

Морфизм f  : Y → X называется квазикомпактным , если для некоторого (эквивалентно: любого) открытого аффинного покрытия X некоторым U _i = Spec B _i прообразы f ⁻¹ ( U _i ) являются квазикомпактными .

квазиконечный

Морфизм f  : Y → X имеет конечные слои , если слой над каждой точкой является конечным множеством. Морфизм является квазиконечным, если он имеет конечный тип и конечные слои. ${\displaystyle x\in X}$

квазипроективный

Квазипроективное многообразие — это локально замкнутое подмногообразие проективного пространства.

квазиразделенный

Морфизм f  : Y → X называется квазиразделенным или ( Y квазиразделен над X ), если диагональный морфизм Y → Y × _X Y является квазикомпактным. Схема Y называется квазиразделенной, если Y квазиразделен над Spec( Z ). ^[20]

квази-сплит

Редуктивная группа, определенная над полем, является квазирасщепимой тогда и только тогда, когда она допускает подгруппу Бореля, определенную над . Любая квазирасщепимая редуктивная группа является расщепимо-редуктивной редуктивной группой, но существуют квазирасщепимые редуктивные группы, которые не являются расщепимо-редуктивными. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B\subseteq G}$ ${\displaystyle k}$

Схема цитаты

Схема Quot параметризует факторы локально свободных пучков по проективной схеме.

стек частного

Обычно обозначаемый как [ X / G ], фактор-стек обобщает фактор схемы или многообразия.

Р

рациональный

1. Над алгебраически замкнутым полем многообразие рационально, если оно бирационально проективному пространству. Например, рациональные кривые и рациональные поверхности — это те, которые бирациональны . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1},\mathbb {P} ^{2}}$

2. Для данного поля k и относительной схемы X → S k - рациональная точка X является S -морфизмом . ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)\to X}$

рациональная функция

Элемент в функциональном поле , предел которого пробегает все координатные кольца открытых подмножеств U (неприводимого) алгебраического многообразия X. См. также функциональное поле (теория схем) . ${\displaystyle k(X)=\varinjlim k[U]}$

рациональная нормальная кривая

Рациональная нормальная кривая — это образ . Если d = 3, ее также называют скрученной кубической . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{d},\,(s:t)\mapsto (s^{d}:s^{d-1}t:\cdots :t^{d})}$

рациональные сингулярности

Многообразие X над полем нулевой характеристики имеет рациональные особенности , если существует разрешение особенностей такое, что и . ${\displaystyle f:X'\to X}$ ${\displaystyle f_{*}({\mathcal {O}}_{X'})={\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle R^{i}f_{*}({\mathcal {O}}_{X'})=0,\,i\geq 1}$

уменьшенный

1. Коммутативное кольцо является приведенным, если оно не имеет ненулевых нильпотентных элементов, т. е. его нильрадикал является нулевым идеалом, . Эквивалентно, является приведенным, если является приведенной схемой. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\sqrt {(0)}}=(0)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

2. Схема X является приведенной, если ее стебли являются приведенными кольцами. Эквивалентно, X является приведенным, если для каждого открытого подмножества является приведенным кольцом, т.е. не имеет ненулевых нильпотентных секций. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle X}$

редукционный

Связная линейная алгебраическая группа над полем является редуктивной группой тогда и только тогда, когда унипотентный радикал замены основания на алгебраическое замыкание тривиален. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R_{u}(G_{\overline {k}})}$ ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$

рефлексивный пучок

Когерентный пучок рефлексивен , если каноническое отображение во второй двойственный пучок является изоморфизмом.

обычный

Регулярная схема — это схема, где локальные кольца являются регулярными локальными кольцами . Например, гладкие многообразия над полем являются регулярными, в то время как Spec k [ x,y ]/( x ² + x ³ - y ² )=это не так.

регулярное встраивание

Замкнутое погружение является регулярным вложением , если каждая точка X имеет аффинную окрестность в Y так, что идеал X там порождается регулярной последовательностью . Если i является регулярным вложением, то конормальный пучок i , то есть когда — пучок идеалов X , локально свободен. ${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

регулярная функция

Морфизм из алгебраического многообразия в аффинную прямую .

представимый морфизм

Морфизм стеков, такой, что для любого морфизма из схемы B базовая замена является алгебраическим пространством. Если «алгебраическое пространство» заменить на «схему», то говорят, что оно сильно представимо. ${\displaystyle F\to G}$ ${\displaystyle B\to G}$ ${\displaystyle F\times _{G}B}$

разрешение сингулярностей

Разрешение особенностей схемы X — это собственный бирациональный морфизм, такой что Z является гладким . ${\displaystyle \pi :Z\to X}$

Формула Римана–Гурвица

Если задан конечный отделимый морфизм между гладкими проективными кривыми, если является ручно разветвленным (без дикого ветвления), например, над полем нулевой характеристики, то формула Римана–Гурвица связывает степень π, роды X , Y и индексы ветвления : . В настоящее время формула рассматривается как следствие более общей формулы (которая верна, даже если π не является ручным): где означает линейную эквивалентность , а — делитель относительного кокасательного пучка (называемого дифферентом). ${\displaystyle \pi :X\to Y}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2g(X)-2=\operatorname {deg} (\pi )(2g(Y)-2)+\sum _{y\in Y}(e_{y}-1)}$ ${\displaystyle K_{X}\sim \pi ^{*}K_{Y}+R}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle R=\sum _{P\in X}\operatorname {length} _{{\mathcal {O}}_{P}}(\Omega _{X/Y})P}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$

Формула Римана–Роха

1. Если L — линейное расслоение степени d на гладкой проективной кривой рода g , то формула Римана–Роха вычисляет эйлерову характеристику L : . Например , из формулы следует, что степень канонического дивизора K равна 2 g - 2. ${\displaystyle \chi (L)=d-g+1}$

2. Общая версия принадлежит Гротендику и называется формулой Гротендика–Римана–Роха . Она гласит: если — собственный морфизм с гладкими X , S и если E — векторное расслоение на X , то как равенство в рациональной группе Чжоу , где , означает характер Черна и класс Тодда касательного расслоения пространства, а по комплексным числам — интегрирование по волокнам . Например, если база S — точка, X — гладкая кривая рода g , а E — линейное расслоение L , то левая часть сводится к эйлеровой характеристике, а правая часть — ${\displaystyle \pi :X\to S}$ ${\displaystyle \operatorname {ch} (\pi _{!}E)\cdot \operatorname {td} (S)=\pi _{*}(\operatorname {ch} (E)\cdot \operatorname {td} (X))}$ ${\displaystyle \pi _{!}=\sum _{i}(-1)^{i}R^{i}\pi _{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {ch} }$ ${\displaystyle \operatorname {td} }$ ${\displaystyle \pi _{*}}$ ${\displaystyle \pi _{*}(e^{c_{1}(L)}(1-c_{1}(T^{*}X)/2))=\operatorname {deg} (L)-g+1.}$

жесткий

Любая бесконечно малая деформация тривиальна. Например, проективное пространство является жестким, поскольку (и с использованием отображения Кодаиры–Спенсера ). ${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(\mathbf {P} ^{n},T_{\mathbf {P} ^{n}})=0}$

укреплять

Эвристический термин, примерно эквивалентный "убийству автоморфизмов". Например, можно сказать "мы вводим структуры уровней , соответственно, отмеченные точки, чтобы сделать геометрическую ситуацию более жесткой".

С

По мнению самого Гротендика, не должно быть почти никакой истории схем, а только история сопротивления им: ... Нет серьезного исторического вопроса о том, как Гротендик нашел свое определение схем. Оно витало в воздухе. Серр хорошо сказал, что никто не изобретал схемы (беседа 1995 г.). Вопрос в том, что заставило Гротендика поверить, что он должен использовать это определение, чтобы упростить 80-страничную статью Серра до примерно 1000 страниц Éléments de géométrie algébrique ?

[1]

схема

Схема — это локально окольцованное пространство , которое локально является простым спектром коммутативного кольца .

Шуберт

1. Ячейка Шуберта — это B -орбита на грассманиане , где B — стандартная борелевская матрица, т. е. группа верхних треугольных матриц. ${\displaystyle \operatorname {Gr} (d,n)}$

2. Разновидность Шуберта — это замыкание клетки Шуберта.

прокрутить

Рациональный нормальный свиток — это линейчатая поверхность , имеющая степень в проективном пространстве для некоторого . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{>1}}$

секущее многообразие

Секущее многообразие к проективному многообразию является замыканием объединения всех секущих линий к V в . ${\displaystyle V\subset \mathbb {P} ^{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$

секционное кольцо

Кольцо сечений или кольцо сечений линейного расслоения L на схеме X является градуированным кольцом . ${\displaystyle \oplus _{0}^{\infty }\Gamma (X,L^{n})}$

Условия Серра S _n

См. условия Серра о нормальности . См. также https://mathoverflow.net/q/22228

Серр двойственность

См. #дуализирующий пучок

разделенный

Отделенный морфизм — это морфизм, такой что послойное произведение самого себя имеет свою диагональ как замкнутую подсхему — другими словами, диагональный морфизм является замкнутым погружением . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

пучок, созданный глобальными сечениями

Пучок с набором глобальных сечений, охватывающих стебель пучка в каждой точке. См. Пучок, сгенерированный глобальными сечениями .

простой

1. Термин «простая точка» — это старый термин для «гладкой точки».

2. Простой нормальный кроссинговый дивизор (snc) — это другое название для гладкого нормального кроссингового дивизора, т. е. дивизора, который имеет только гладкие нормальные кроссинговые особенности. Они появляются в сильной десингуляризации , а также в стабилизации для компактифицирующих проблем модулей.

3. В контексте линейных алгебраических групп существуют полупростые группы и простые группы , которые сами являются полупростыми группами с дополнительными свойствами. Поскольку все простые группы являются редуктивными, расщепляемая простая группа является простой группой, которая является расщепляемо-редуктивной.

гладкий

1.  

Аналогом этальных морфизмов более высокой размерности являются гладкие морфизмы . Существует много различных характеристик гладкости. Ниже приведены эквивалентные определения гладкости морфизма f  : Y → X :

1. для любого y ∈ Y существуют открытые аффинные окрестности V и U точки y , x = f ( y ), соответственно, такие, что ограничение f на V факторизуется как этальный морфизм, за которым следует проекция аффинного n -пространства на U .
2. f является плоским, локально конечно представимым, и для каждой геометрической точки Y ( морфизма из спектра алгебраически замкнутого поля в Y ) геометрический слой является гладким n -мерным многообразием над в смысле классической алгебраической геометрии. ${\displaystyle {\bar {y}}}$ ${\displaystyle k({\bar {y}})}$ ${\displaystyle X_{\bar {y}}:=X\times _{Y}\mathrm {Spec} (k({\bar {y}}))}$ ${\displaystyle k({\bar {y}})}$

2. Гладкая схема над совершенным полем k — это схема X , которая локально имеет конечный тип и регулярна над k .

3. Гладкая схема над полем k — это схема X , которая является геометрически гладкой: является гладкой. ${\displaystyle X\times _{k}{\overline {k}}}$

особенный

Дивизор D на гладкой кривой C является специальным, если , называемый индексом специальности, положителен. ${\displaystyle h^{0}({\mathcal {O}}(K-D))}$

сферическое разнообразие

Сферическое многообразие — это нормальное G -многообразие ( G связное редуктивное) с открытой плотной орбитой подгруппы Бореля группы G.

расколоть

1. В контексте алгебраической группы для некоторых свойств существует производное свойство split- . Обычно это свойство, которое является автоматическим или более общим для алгебраически замкнутых полей . Если это свойство уже выполняется для определенного над не обязательно алгебраически замкнутым полем , то говорят, что удовлетворяет split- . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$

2. Линейная алгебраическая группа , определенная над полем, является тором тогда и только тогда, когда ее базовая замена на алгебраическое замыкание изоморфна произведению мультипликативных групп . является расщепляемым тором тогда и только тогда, когда она изоморфна без какой-либо базовой замены. называется расщепляемой над промежуточным полем тогда и только тогда, когда ее базовая замена на изоморфна . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$ ${\displaystyle G_{m,{\overline {k}}}^{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{m,k}^{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k\subseteq L\subseteq {\overline {k}}}$ ${\displaystyle G_{L}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle G_{m,L}^{n}}$

3. Редуктивная группа, определенная над полем, является расщепляемо-редуктивной тогда и только тогда, когда максимальный тор, определенный над , является расщепляемым тором. Поскольку любая простая группа является редуктивной, расщепляемая простая группа означает простую группу, которая является расщепляемо-редуктивной. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T\subseteq G}$ ${\displaystyle k}$

4. Связная разрешимая линейная алгебраическая группа, определенная над полем, расщепляется тогда и только тогда, когда она имеет композиционный ряд, определенный над таким образом, что каждое последующее фактор-группа изоморфно либо мультипликативной группе , либо аддитивной группе над . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B=B_{0}\supset B_{1}\supset \ldots \supset B_{t}=\{1\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B_{i}/B_{i+1}}$ ${\displaystyle G_{m,k}}$ ${\displaystyle G_{m,a}}$ ${\displaystyle k}$

5. Линейная алгебраическая группа, определенная над полем, расщепляется тогда и только тогда, когда она имеет подгруппу Бореля, определенную над , которая расщепляется в смысле связных разрешимых линейных алгебраических групп. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B\subseteq G}$ ${\displaystyle k}$

6. В классификации вещественных алгебр Ли важную роль играют расщепляемые алгебры Ли . Существует тесная связь между линейными группами Ли, их ассоциированными алгебрами Ли и линейными алгебраическими группами над соотв. . Термин расщепляемый имеет схожие значения для теории Ли и линейных алгебраических групп. ${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

стабильный

1. Стабильная кривая — это кривая с некоторой «мягкой» особенностью, используемая для построения хорошо ведущего себя пространства модулей кривых .

2. Стабильное векторное расслоение используется для построения пространства модулей векторных расслоений.

куча

Стек параметризует наборы точек вместе с автоморфизмами.

строгое преобразование

При наличии раздутия вдоль замкнутой подсхемы Z и морфизма строгое преобразование Y (также называемое собственным преобразованием) является раздутием Y вдоль замкнутой подсхемы . Если f — замкнутое погружение, то индуцированное отображение также является замкнутым погружением. ${\displaystyle \pi :{\widetilde {X}}\to X}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle {\widetilde {Y}}\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}Z}$ ${\displaystyle {\widetilde {Y}}\hookrightarrow {\widetilde {X}}}$

подсхема

Подсхема X без определителя — это замкнутая подсхема открытой подсхемы X.

поверхность

Алгебраическое многообразие размерности два.

симметричное многообразие

Аналог симметричного пространства . См. симметричное многообразие .

Т

касательное пространство

См. касательное пространство Зарисского .

тавтологический линейный пучок

Тавтологическое линейное расслоение проективной схемы X является двойственным к скручивающему пучку Серра ; то есть, . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$

теорема

См. основную теорему Зарисского , теорему о формальных функциях , теорему о замене базы когомологий , Категория:Теоремы алгебраической геометрии .

вложение тора

Старый термин для торического многообразия.

торическое многообразие

Торическое многообразие — это нормальное многообразие с действием тора, при котором тор имеет открытую плотную орбиту.

тропическая геометрия

Вид кусочно-линейной алгебраической геометрии. См. тропическая геометрия .

тор

Расщепляемый тор является произведением конечного числа мультипликативных групп . ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$

У

универсальный

1. Если функтор модулей F представлен некоторой схемой или алгебраическим пространством M , то универсальный объект — это элемент F ( M ), который соответствует тождественному морфизму M → M (который является M -точкой M ). Если значения F являются классами изоморфизма кривых с дополнительной структурой, скажем, то универсальный объект называется универсальной кривой . Тавтологический пучок будет еще одним примером универсального объекта.

2. Пусть — модули гладких проективных кривых рода g и гладких проективных кривых рода g с единичными отмеченными точками. В литературе забывчивое отображение часто называют универсальной кривой. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}={\mathcal {M}}_{g,1}}$ ${\displaystyle \pi :{\mathcal {C}}_{g}\to {\mathcal {M}}_{g}}$

универсально

Морфизм имеет некоторое свойство универсально, если все базовые изменения морфизма имеют это свойство. Примеры включают в себя универсально цепной , универсально инъективный .

неразветвленный

Для точки в рассмотрим соответствующий морфизм локальных колец . Пусть будет максимальным идеалом , а пусть будет идеалом, порожденным образом в . Морфизм неразветвлен (соотв., G-неразветвлен ) , если он локально имеет конечный тип (соотв., локально имеет конечное представление) и если для всех в , является максимальным идеалом , а индуцированное отображение является конечным сепарабельным расширением поля . ^[21] Это геометрическая версия (и обобщение) неразветвленного расширения поля в алгебраической теории чисел . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}=f^{\#}({\mathfrak {m}}){\mathcal {O}}_{Y,y}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,y}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}}$

В

разнообразие

синоним «алгебраического многообразия».

очень обильный

Линейное расслоение L на многообразии X является очень обильным , если X можно вложить в проективное пространство так, что L является ограничением скручивающего пучка Серра O (1) на проективное пространство.

Вт

слабо нормальный

Схема слабо нормальна, если любой конечный бирациональный морфизм к ней является изоморфизмом.

делитель Вейля

Другой, но более стандартный термин для «цикла коразмерности один»; см. делитель .

Взаимность Вейля

См. принцип взаимности Вейля .

З

Пространство Зариского–Римана

Пространство Зариского–Римана — это локально окольцованное пространство, точками которого являются кольца нормирования.

Примечания

1. Доказательство: Пусть D — дивизор Вейля на X. Если D' ~ D , то существует ненулевая рациональная функция f на X такая, что D + ( f ) = D' , и тогда f — сечение O _X ( D ), если D' эффективен. Обратное направление аналогично. □
2. Ален, Конн (18 сентября 2015 г.). «Эссе о гипотезе Римана». arXiv : 1509.05576 [math.NT].
3. Дейтмар, Антон (2006-05-16). "Замечания о дзета-функциях и K-теории над F1". arXiv : math/0605429 .
4. Флорес, Джарет (2015-03-08). «Гомологическая алгебра для коммутативных моноидов». arXiv : 1503.02309 [math.KT].
5. Дуров, Николай (16 апреля 2007 г.). «Новый подход к геометрии Аракелова». arXiv : 0704.2030 [math.AG].
6. Гротендик и Дьедонне 1960, 4.1.2 и 4.1.3
7. Смит, Карен Э.; Чжан, Вэньлян (3 сентября 2014 г.). «Расщепление Фробениуса в коммутативной алгебре». arXiv : 1409.1169 [math.AC].
8. Гротендик и Дьедонне 1964, §1.4
9. Гротендик и Дьедонне 1964, §1.6
10. Бранденбург, Мартин (2014-10-07). «Тензорные категорные основы алгебраической геометрии». arXiv : 1410.1716 [math.AG].
11. Хартшорн 1977, Упражнение II.3.11(d)
12. Проект «Стеки», Глава 21, §4.
13. Гротендик и Дьедонне 1960, 4.2.1
14. Hartshorne 1977, §II.3
15. Гротендик и Дьедонне 1960, 4.2.5
16. Q. Liu, Алгебраическая геометрия и арифметические кривые, упражнение 2.3
17. Харада, Мегуми; Крепски, Дерек (2013-02-02). "Глобальные частные среди торических стеков Делиня-Мамфорда". arXiv : 1302.0385 [math.DG].
18. Хартшорн 1977, II.4
19. EGA , II.5.5.4(ii).
20. Гротендик и Дьедонне 1964, 1.2.1
21. Понятие G-неразветвленного — это то, что называется «неразветвленным» в EGA, но мы следуем определению «неразветвленного» Рейно, так что закрытые погружения являются неразветвленными. Подробнее см. Tag 02G4 в проекте Stacks.

Ссылки

• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике. 2, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-1700-8 , ISBN. 978-3-540-62046-4, г-н  1644323
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык схем». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 4 . дои : 10.1007/bf02684778. МР  0217083.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: II. Глобальное элементарное исследование некоторых классов морфизмов». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 8 . дои : 10.1007/bf02699291. МР  0217084.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1961). «Элементы алгебраической геометрии: III. Когомологический этюд faisceaux coherents, Première party». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 11 . дои : 10.1007/bf02684274. МР  0217085.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1963). «Элементы алгебраической геометрии: III. Когомологический этюд faisceaux coherents, Seconde party». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 17 . дои : 10.1007/bf02684890. МР  0163911.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1964). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальный этюд схем и морфизмов схем, премьерная партия». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 20 . дои : 10.1007/bf02684747. МР  0173675.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1965). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальное исследование схем и морфизмов схем, Вторая партия». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 24 . дои : 10.1007/bf02684322. МР  0199181.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1966). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальный этюд схем и морфизмов схем, Тройная партия». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 28 . дои : 10.1007/bf02684343. МР  0217086.
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1967). «Элементы алгебраической геометрии: IV. Локальный этюд схем и морфизмов схем, Quatrième partie». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 32 . дои : 10.1007/bf02732123. МР  0238860.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Коллар, Янош , «Книга о модулях поверхностей», доступная на его веб-сайте [2]
• Заметки к курсу Мартина Олссона, написанные Антоном, https://web.archive.org/web/20121108104319/http://math.berkeley.edu/~anton/written/Stacks/Stacks.pdf
• Книга, над которой работали многие авторы.

Смотрите также

• Глоссарий арифметики и диофантовой геометрии
• Глоссарий классической алгебраической геометрии
• Глоссарий дифференциальной геометрии и топологии
• Глоссарий римановой и метрической геометрии
• Список комплексных и алгебраических поверхностей
• Список поверхностей
• Список кривых