Гармонический номер

Сумма первых n целых чисел, обратных друг другу: 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n

Гармоническое число с (красная линия) и его асимптотическим пределом (синяя линия), где — постоянная Эйлера–Маскерони . ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n=\lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle \gamma +\ln(x)}$ ${\displaystyle \gamma }$

В математике n - ое гармоническое число представляет собой сумму обратных величин первых n натуральных чисел : ^[1] $${\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$$

Начиная с n = 1 , начинается последовательность гармонических чисел: $${\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {11}{6}},{\frac {25}{12}},{\frac {137}{60}},\dots }$$

Гармонические числа связаны со средним гармоническим тем, что n -е гармоническое число также в n раз больше обратного значения гармонического среднего первых n положительных целых чисел.

Гармонические числа изучались с античности и играют важную роль в различных областях теории чисел . Иногда их вольно называют гармоническими рядами , они тесно связаны с дзета-функцией Римана и появляются в выражениях различных специальных функций .

Гармонические числа приблизительно приближаются к функции натурального логарифма ^{[2] : 143} и, таким образом, связанный гармонический ряд растет без предела, хотя и медленно. В 1737 году Леонард Эйлер использовал расходимость гармонического ряда , чтобы предоставить новое доказательство бесконечности простых чисел . Его работа была распространена на комплексную плоскость Бернхардом Риманом в 1859 году, что привело непосредственно к знаменитой гипотезе Римана о распределении простых чисел .

Когда стоимость большого количества предметов распределена по закону Ципфа , общая стоимость n наиболее ценных предметов пропорциональна n -му гармоническому числу. Это приводит к множеству удивительных выводов относительно длинного хвоста и теории сетевой стоимости .

Теорема Бертрана-Чебышева подразумевает, что, за исключением случая n = 1 , гармонические числа никогда не являются целыми числами. ^[3]

Тождества, включающие гармонические числа

По определению гармонические числа удовлетворяют рекуррентному соотношению $${\displaystyle H_{n+1}=H_{n}+{\frac {1}{n+1}}.}$$

Гармонические числа связаны с числами Стирлинга первого рода соотношением $${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].}$$

Гармонические числа удовлетворяют тождествам ряда и Эти два результата весьма аналогичны соответствующим интегральным результатам и $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}^{2}=(n+1)H_{n}^{2}-(2n+1)H_{n}+2n.}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{x}\log y\ dy=x\log x-x}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{x}(\log y)^{2}\ dy=x(\log x)^{2}-2x\log x+2x.}$$

Идентификации, включающиеπ

Существует несколько бесконечных сумм, включающих гармонические числа и степени числа π : ^{[4] [ необходим лучший источник ]} $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n\cdot 2^{n}}}&={\frac {\pi ^{2}}{12}}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{n^{2}}}&={\frac {17}{360}}\pi ^{4}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{(n+1)^{2}}}&={\frac {11}{360}}\pi ^{4}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{3}}}&={\frac {\pi ^{4}}{72}}\end{aligned}}}$$

Расчет

Интегральное представление, данное Эйлером ^[5], имеет вид $${\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx.}$$

Равенство выше очевидно из простого алгебраического тождества $${\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}.}$$

Используя замену x = 1 − u , другое выражение для H _n имеет вид $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}(-u)^{k-1}\right]\,du=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}(-u)^{k-1}\,du\\[6pt]&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}.\end{aligned}}}$$

График, демонстрирующий связь между гармоническими числами и натуральным логарифмом . Гармоническое число H _n можно интерпретировать как сумму Римана интеграла: ${\displaystyle \int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}=\ln(n+1).}$

Номер n- й гармоники примерно такой же большой, как натуральный логарифм n . Причина в том, что сумма аппроксимируется интегралом , значение которого равно ln n . $${\displaystyle \int _{1}^{n}{\frac {1}{x}}\,dx,}$$

Значения последовательности H _n − ln n монотонно убывают к пределу , где γ ≈ 0,5772156649 — постоянная Эйлера–Маскерони . Соответствующее асимптотическое разложение имеет вид где B _k — числа Бернулли . $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)=\gamma ,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}\\&=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,\end{aligned}}}$$

Генерация функций

Производящая функция для гармонических чисел — это где ln( z ) — натуральный логарифм . Экспоненциальная производящая функция — это где Ein( z ) — весь экспоненциальный интеграл . Экспоненциальный интеграл также может быть выражен как где Γ(0, z ) — неполная гамма-функция . $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},}$$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}\operatorname {Ein} (z)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\mathrm {E} _{1}(z)+\gamma +\ln z=\Gamma (0,z)+\gamma +\ln z}$$

Арифметические свойства

Гармонические числа обладают несколькими интересными арифметическими свойствами. Хорошо известно, что является целым числом тогда и только тогда, когда , результат, часто приписываемый Тейзингеру. ^[6] Действительно, используя 2-адическую оценку , нетрудно доказать, что для числителя является нечетным числом, а знаменателя является четным числом. Точнее, с некоторыми нечетными целыми числами и . ${\textstyle H_{n}}$ ${\textstyle n=1}$ ${\textstyle n\geq 2}$ ${\textstyle H_{n}}$ ${\textstyle H_{n}}$ $${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{2^{\lfloor \log _{2}(n)\rfloor }}}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$$ ${\textstyle a_{n}}$ ${\textstyle b_{n}}$

Как следствие теоремы Вольстенхолма , для любого простого числа числитель делится на . Более того, Эйзенштейн ^[7] доказал, что для всех нечетных простых чисел справедливо соотношение , где является частным Ферма , со следствием, что делит числитель тогда и только тогда, когда является простым числом Вифериха . ${\displaystyle p\geq 5}$ ${\displaystyle H_{p-1}}$ ${\textstyle p^{2}}$ ${\textstyle p}$ $${\displaystyle H_{(p-1)/2}\equiv -2q_{p}(2){\pmod {p}}}$$ ${\textstyle q_{p}(2)=(2^{p-1}-1)/p}$ ${\textstyle p}$ ${\displaystyle H_{(p-1)/2}}$ ${\textstyle p}$

В 1991 году Эсваратасан и Левин ^[8] определили множество как множество всех положительных целых чисел , числитель которых делится на простое число. Они доказали, что для всех простых чисел и определили гармонические простые числа как простые числа , которые имеют ровно 3 элемента. ${\displaystyle J_{p}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle p.}$ $${\displaystyle \{p-1,p^{2}-p,p^{2}-1\}\subseteq J_{p}}$$ ${\displaystyle p\geq 5,}$ ${\textstyle p}$ ${\displaystyle J_{p}}$

Эсваратасан и Левин также предположили, что является конечным множеством для всех простых чисел и что существует бесконечно много гармонических простых чисел. Бойд ^[9] подтвердил, что является конечным для всех простых чисел, за исключением 83, 127 и 397; и он дал эвристику, предполагающую, что плотность гармонических простых чисел в множестве всех простых чисел должна быть . Санна ^[10] показал, что имеет нулевую асимптотическую плотность , в то время как Бин-Лин Ву и Юн-Гао Чен ^[11] доказали, что число элементов не превышает не более , для всех . ${\displaystyle J_{p}}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle J_{p}}$ ${\displaystyle p=547}$ ${\displaystyle 1/e}$ ${\displaystyle J_{p}}$ ${\displaystyle J_{p}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 3x^{{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{25\log p}}}}$ ${\displaystyle x\geq 1}$

Приложения

Гармонические числа появляются в нескольких формулах расчета, таких как дигамма-функция Это соотношение также часто используется для определения расширения гармонических чисел до нецелых n . Гармонические числа также часто используются для определения γ с использованием введенного ранее предела: хотя сходится быстрее. $${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma .}$$ $${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(H_{n}-\ln(n)\right)},}$$ $${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\left(H_{n}-\ln \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right)}}$$

В 2002 году Джеффри Лагариас доказал ^[12] , что гипотеза Римана эквивалентна утверждению, которое верно для любого целого числа n ≥ 1 со строгим неравенством, если n > 1 ; здесь σ ( n ) обозначает сумму делителей n . $${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+(\log H_{n})e^{H_{n}},}$$

Собственные значения нелокальной задачи на определяются как , где по соглашению , а соответствующие собственные функции определяются полиномами Лежандра . ^[13] ${\displaystyle L^{2}([-1,1])}$ $${\displaystyle \lambda \varphi (x)=\int _{-1}^{1}{\frac {\varphi (x)-\varphi (y)}{|x-y|}}\,dy}$$ ${\displaystyle \lambda =2H_{n}}$ ${\displaystyle H_{0}=0}$ ${\displaystyle \varphi (x)=P_{n}(x)}$

Обобщения

Обобщенные гармонические числа

Обобщенное гармоническое число n - го порядка m определяется выражением $${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}.}$$

(В некоторых источниках это также может обозначаться как или ) ${\textstyle H_{n}^{(m)}}$ ${\textstyle H_{m}(n).}$

Частный случай m = 0 дает Частный случай m = 1 сводится к обычному гармоническому числу: ${\displaystyle H_{n,0}=n.}$ $${\displaystyle H_{n,1}=H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$$

Предел при n → ∞ конечен, если m > 1 , при этом обобщенное гармоническое число ограничено и сходится к дзета-функции Римана ${\textstyle H_{n,m}}$ $${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }H_{n,m}=\zeta (m).}$$

Наименьшее натуральное число k, такое что k ⁿ не делит знаменатель обобщенного гармонического числа H ( k , n ) или знаменатель знакопеременного обобщенного гармонического числа H′ ( k , n ), равно для n = 1, 2, ... :

77, 20, 94556602, 42, 444, 20, 104, 42, 76, 20, 77, 110, 3504, 20, 903, 42, 1107, 20, 104, 42, 77, 20, 2948, 110, 136, 20, 76, 42, 903, 20, 77, 42, 268, 20, 7004, 110, 1752, 20, 19203, 42, 77, 20, 104, 42, 76, 20, 370, 110, 1107, 20, ... (последовательность A128670 в OEIS )

Соответствующая сумма возникает при изучении чисел Бернулли ; гармонические числа также появляются при изучении чисел Стирлинга . ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}}$

Некоторые интегралы обобщенных гармонических чисел имеют вид и где A — постоянная Апери ζ (3), а $${\displaystyle \int _{0}^{a}H_{x,2}\,dx=a{\frac {\pi ^{2}}{6}}-H_{a}}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{a}H_{x,3}\,dx=aA-{\frac {1}{2}}H_{a,2},}$$ $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k,m}=(n+1)H_{n,m}-H_{n,m-1}{\text{ for }}m\geq 0.}$$

Каждое обобщенное гармоническое число порядка m можно записать как функцию гармонических чисел порядка, используя   , например: ${\displaystyle m-1}$ $${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {H_{k,m-1}}{k(k+1)}}+{\frac {H_{n,m-1}}{n}}}$$ ${\displaystyle H_{4,3}={\frac {H_{1,2}}{1\cdot 2}}+{\frac {H_{2,2}}{2\cdot 3}}+{\frac {H_{3,2}}{3\cdot 4}}+{\frac {H_{4,2}}{4}}}$

Производящая функция для обобщенных гармонических чисел имеет вид , где — полилогарифм , а | z | < 1. Производящая функция, приведенная выше для m = 1, является частным случаем этой формулы. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n,m}={\frac {\operatorname {Li} _{m}(z)}{1-z}},}$$ ${\displaystyle \operatorname {Li} _{m}(z)}$

Дробный аргумент для обобщенных гармонических чисел можно ввести следующим образом:

Для каждого целого числа, и целого числа или нет, мы имеем из полигамма-функций: где — дзета-функция Римана . Соответствующее рекуррентное соотношение — Некоторые специальные значения — где G — константа Каталана . В особом случае, когда , мы получаем ${\displaystyle p,q>0}$ ${\displaystyle m>1}$ $${\displaystyle H_{q/p,m}=\zeta (m)-p^{m}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(q+pk)^{m}}}}$$ ${\displaystyle \zeta (m)}$ $${\displaystyle H_{a,m}=H_{a-1,m}+{\frac {1}{a^{m}}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{{\frac {1}{4}},2}&=16-{\tfrac {5}{6}}\pi ^{2}-8G\\H_{{\frac {1}{2}},2}&=4-{\frac {\pi ^{2}}{3}}\\H_{{\frac {3}{4}},2}&={\frac {16}{9}}-{\frac {5}{6}}\pi ^{2}+8G\\H_{{\frac {1}{4}},3}&=64-\pi ^{3}-27\zeta (3)\\H_{{\frac {1}{2}},3}&=8-6\zeta (3)\\H_{{\frac {3}{4}},3}&=\left({\frac {4}{3}}\right)^{3}+\pi ^{3}-27\zeta (3)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle p=1}$ $${\displaystyle H_{n,m}=\zeta (m,1)-\zeta (m,n+1),}$$

где — дзета-функция Гурвица . Это соотношение используется для численного расчета гармонических чисел. ${\displaystyle \zeta (m,n)}$

Формулы умножения

Теорема умножения применима к гармоническим числам. Используя полигамма- функции, мы получаем или, в более общем виде, $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2x}&={\frac {1}{2}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{2}}}\right)+\ln 2\\H_{3x}&={\frac {1}{3}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{3}}}+H_{x-{\frac {2}{3}}}\right)+\ln 3,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle H_{nx}={\frac {1}{n}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{n}}}+H_{x-{\frac {2}{n}}}+\cdots +H_{x-{\frac {n-1}{n}}}\right)+\ln n.}$$

Для обобщенных гармонических чисел имеем где — дзета-функция Римана . $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2x,2}&={\frac {1}{2}}\left(\zeta (2)+{\frac {1}{2}}\left(H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{2}},2}\right)\right)\\H_{3x,2}&={\frac {1}{9}}\left(6\zeta (2)+H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{3}},2}+H_{x-{\frac {2}{3}},2}\right),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \zeta (n)}$

Гипергармонические числа

Следующее обобщение обсуждалось Дж. Х. Конвеем и Р. К. Гаем в их книге 1995 года «Книга чисел» . ^{[2] : 258} Пусть Тогда n-е гипергармоническое число порядка r ( r>0 ) определяется рекурсивно как В частности, — это обычное гармоническое число . $${\displaystyle H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}}.}$$ $${\displaystyle H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}.}$$ ${\displaystyle H_{n}^{(1)}}$ ${\displaystyle H_{n}}$

Римские гармонические числа

Римские гармонические числа, ^[14] названные в честь Стивена Романа , были введены Дэниелом Лёбом и Джан-Карло Ротой в контексте обобщения теневого исчисления с логарифмами. ^[15] Существует много возможных определений, но одно из них, для , это и Конечно, ${\displaystyle n,k\geq 0}$ $${\displaystyle c_{n}^{(0)}=1,}$$ $${\displaystyle c_{n}^{(k+1)}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {c_{i}^{(k)}}{i}}.}$$ $${\displaystyle c_{n}^{(1)}=H_{n}.}$$

Если , они удовлетворяют Формулы замкнутой формы имеют вид , где — числа Стерлинга первого рода, обобщенные на отрицательный первый аргумент, и которые были найдены Дональдом Кнутом . ${\displaystyle n\neq 0}$ $${\displaystyle c_{n}^{(k+1)}-{\frac {c_{n}^{(k)}}{n}}=c_{n-1}^{(k+1)}.}$$ $${\displaystyle c_{n}^{(k)}=n!(-1)^{k}s(-n,k),}$$ ${\displaystyle s(-n,k)}$ $${\displaystyle c_{n}^{(k)}=\sum _{j=1}^{n}{\binom {n}{j}}{\frac {(-1)^{j-1}}{j^{k}}},}$$

На самом деле, эти числа были определены более общим образом с использованием римских чисел и римских факториалов, которые включают отрицательные значения для . Это обобщение было полезно в их исследовании для определения гармонических логарифмов. ${\displaystyle n}$

Гармонические числа для действительных и комплексных значений

Формулы, приведенные выше, являются интегральным и рядовым представлением для функции, которая интерполирует гармонические числа и, посредством аналитического продолжения , расширяет определение на комплексную плоскость, отличную от отрицательных целых чисел x . Интерполирующая функция на самом деле тесно связана с дигамма-функцией, где ψ ( x ) — дигамма-функция, а γ — константа Эйлера–Маскерони . Процесс интегрирования можно повторить, чтобы получить $${\displaystyle H_{x}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{x}}{1-t}}\,dt=\sum _{k=1}^{\infty }{x \choose k}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}}$$ $${\displaystyle H_{x}=\psi (x+1)+\gamma ,}$$ $${\displaystyle H_{x,2}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{x \choose k}H_{k}.}$$

Ряд Тейлора для гармонических чисел — это ряд Тейлора для дигамма-функции ( — дзета-функция Римана ). $${\displaystyle H_{x}=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\zeta (k)\;x^{k-1}\quad {\text{ for }}|x|<1}$$ ${\displaystyle \zeta }$

Альтернативная, асимптотическая формулировка

При попытке аппроксимировать  H _x для комплексного числа  x эффективно сначала вычислить  H _m для некоторого большого целого числа  m . Использовать это как аппроксимацию для значения  H _{m + x} . Затем использовать рекурсивное соотношение H _n = H _{n −1} + 1/ n назад  m раз, чтобы развернуть его до аппроксимации для  H _x . Более того, это аппроксимация точна в пределе, когда  m стремится к бесконечности.

В частности, для фиксированного целого числа  n имеет место следующее: $${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+n}-H_{m}\right]=0.}$$

Если  n не является целым числом, то невозможно сказать, является ли это уравнение истинным, поскольку мы еще не (в этом разделе) определили гармонические числа для нецелых чисел. Однако мы получаем уникальное расширение гармонических чисел на нецелые числа, настаивая на том, что это уравнение продолжает выполняться, когда произвольное целое число  n заменяется произвольным комплексным числом  x ,

$${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+x}-H_{m}\right]=0\,.}$$Поменяв местами две стороны этого уравнения и вычтя их из  H _x, получим $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m}-(H_{m+x}-H_{x})\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)-\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{x+k}}\right)\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{m}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{x+k}}\right)=x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(x+k)}}\,.\end{aligned}}}$$

Этот бесконечный ряд сходится для всех комплексных чисел  x, за исключением отрицательных целых чисел, которые не сходятся, поскольку попытка использовать рекурсивное соотношение H _n = H _{n −1} + 1/ n в обратном направлении через значение  n = 0 включает деление на ноль. По этой конструкции функция, определяющая гармоническое число для комплексных значений, является единственной функцией, которая одновременно удовлетворяет (1) H ₀ = 0 , (2) H _x = H _{x −1} + 1/ x для всех комплексных чисел  x, за исключением неположительных целых чисел, и (3) lim _{m →+∞} ( H _{m + x} − H _m ) = 0 для всех комплексных значений  x .

Эту последнюю формулу можно использовать, чтобы показать, что где  γ — константа Эйлера–Маскерони или, в более общем случае, для каждого  n имеем: $${\displaystyle \int _{0}^{1}H_{x}\,dx=\gamma ,}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{n}H_{x}\,dx=n\gamma +\ln(n!).}$$

Специальные значения для дробных аргументов

Существуют следующие специальные аналитические значения для дробных аргументов между 0 и 1, заданные интегралом $${\displaystyle H_{\alpha }=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{\alpha }}{1-x}}\,dx\,.}$$

Дополнительные значения могут быть получены из рекуррентного соотношения или из соотношения отражения. $${\displaystyle H_{\alpha }=H_{\alpha -1}+{\frac {1}{\alpha }}\,,}$$ $${\displaystyle H_{1-\alpha }-H_{\alpha }=\pi \cot {(\pi \alpha )}-{\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{1-\alpha }}\,.}$$

Например: $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\frac {1}{2}}&=2-2\ln 2\\H_{\frac {1}{3}}&=3-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln 3\\H_{\frac {2}{3}}&={\frac {3}{2}}+{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln 3\\H_{\frac {1}{4}}&=4-{\frac {\pi }{2}}-3\ln 2\\H_{\frac {3}{4}}&={\frac {4}{3}}+{\frac {\pi }{2}}-3\ln 2\\H_{\frac {1}{6}}&=6-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\pi -2\ln 2-{\frac {3}{2}}\ln 3\\H_{\frac {1}{8}}&=8-{\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\pi -4\ln {2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(\ln \left(2+{\sqrt {2}}\right)-\ln \left(2-{\sqrt {2}}\right)\right)\\H_{\frac {1}{12}}&=12-\left(1+{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)\pi -3\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln {3}+{\sqrt {3}}\ln \left(2-{\sqrt {3}}\right)\end{aligned}}}$$

Которые вычисляются с помощью теоремы Гаусса о дигамме , которая по сути утверждает, что для положительных целых чисел p и q , где p < q $${\displaystyle H_{\frac {p}{q}}={\frac {q}{p}}+2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {q-1}{2}}\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi pk}{q}}\right)\ln \left({\sin \left({\frac {\pi k}{q}}\right)}\right)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {\pi p}{q}}\right)-\ln \left(2q\right)}$$

Связь с дзета-функцией Римана

Некоторые производные дробных гармонических чисел задаются формулой $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n}H_{x}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}n!\left[\zeta (n+1)-H_{x,n+1}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,2}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}(n+1)!\left[\zeta (n+2)-H_{x,n+2}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,3}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}{\frac {1}{2}}(n+2)!\left[\zeta (n+3)-H_{x,n+3}\right].\end{aligned}}}$$

И используя ряд Маклорена , мы имеем для x < 1, что $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{n}\zeta (n+1)\\[5pt]H_{x,2}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)x^{n}\zeta (n+2)\\[5pt]H_{x,3}&={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)(n+2)x^{n}\zeta (n+3).\end{aligned}}}$$

Для дробных аргументов от 0 до 1 и для a > 1, $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1/a}&={\frac {1}{a}}\left(\zeta (2)-{\frac {1}{a}}\zeta (3)+{\frac {1}{a^{2}}}\zeta (4)-{\frac {1}{a^{3}}}\zeta (5)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,2}&={\frac {1}{a}}\left(2\zeta (3)-{\frac {3}{a}}\zeta (4)+{\frac {4}{a^{2}}}\zeta (5)-{\frac {5}{a^{3}}}\zeta (6)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,3}&={\frac {1}{2a}}\left(2\cdot 3\zeta (4)-{\frac {3\cdot 4}{a}}\zeta (5)+{\frac {4\cdot 5}{a^{2}}}\zeta (6)-{\frac {5\cdot 6}{a^{3}}}\zeta (7)+\cdots \right).\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Оценщик Уоттерсона
• D Таджимы
• Проблема коллекционера купонов
• проблема джипа
• проблема 100 заключенных
• Дзета-функция Римана
• Список сумм обратных величин
• Частота ложных открытий # Процедура Бенджамини – Йекутиэли
• Проблема укладки блоков

Примечания

1. Кнут, Дональд (1997). Искусство программирования (3-е изд.). Addison-Wesley. стр. 75–79. ISBN 0-201-89683-4.
2. Джон Х., Конвей; Ричард К., Гай (1995). Книга чисел . Коперник.
3. Грэм, Рональд Л.; Кнут, Дональд Э.; Паташник, Орен (1994). Конкретная математика . Эддисон-Уэсли.
4. Weisstein, Eric W. "Harmonic Number". mathworld.wolfram.com . Получено 2024-09-30 .
5. Сэндифер, К. Эдвард (2007), Как это сделал Эйлер, MAA Spectrum, Математическая ассоциация Америки, стр. 206, ISBN 9780883855638.
6. Weisstein, Eric W. (2003). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics . Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC. стр. 3115. ISBN 978-1-58488-347-0.
7. Эйзенштейн, Фердинанд Готхольд Макс (1850). «Eine neue Gattung zahlentheoretischer Funktionen, welche von zwei Elementen ahhängen und durch gewisse Linee Funktional-Gleichungen Definirt Werden». Берихте Кенигль. Преуβ. Акад. Висс. Берлин . 15 : 36–42.
8. Эсваратасан, Арулаппах; Левин, Юджин (1991). "p-интегральные гармонические суммы". Дискретная математика . 91 (3): 249–257. doi : 10.1016/0012-365X(90)90234-9 .
9. Boyd, David W. (1994). "P-адическое исследование частичных сумм гармонического ряда". Experimental Mathematics . 3 (4): 287–302. CiteSeerX 10.1.1.56.7026 . doi :10.1080/10586458.1994.10504298. 
10. Санна, Карло (2016). «О p-адической оценке гармонических чисел» (PDF) . Журнал теории чисел . 166 : 41–46. doi : 10.1016/j.jnt.2016.02.020 . hdl :2318/1622121.
11. Чэнь, Юн-Гао; У, Бин-Лин (2017). «О некоторых свойствах гармонических чисел». Журнал теории чисел . 175 : 66–86. doi :10.1016/j.jnt.2016.11.027.
12. Джеффри Лагариас (2002). «Элементарная проблема, эквивалентная гипотезе Римана». Amer. Math. Monthly . 109 (6): 534–543. arXiv : math.NT/0008177 . doi :10.2307/2695443. JSTOR  2695443.
13. EO Tuck (1964). «Некоторые методы для потоков мимо тупых тонких тел». J. Fluid Mech . 18 (4): 619–635. Bibcode : 1964JFM....18..619T. doi : 10.1017/S0022112064000453. S2CID  123120978.
14. Sesma, J. (2017). «Повторный взгляд на римские гармонические числа». Журнал теории чисел . 180 : 544–565. arXiv : 1702.03718 . doi : 10.1016/j.jnt.2017.05.009. ISSN  0022-314X.
15. Лёб, Дэниел Э.; Рота, Джан-Карло (1989). «Формальные степенные ряды логарифмического типа». Успехи математики . 75 (1): 1–118. doi : 10.1016/0001-8708(89)90079-0 . ISSN  0001-8708.

Ссылки

• Артур Т. Бенджамин; Грегори О. Престон; Дженнифер Дж. Куинн (2002). "Встреча Стирлинга с гармоническими числами" (PDF) . Mathematics Magazine . 75 (2): 95–103. CiteSeerX  10.1.1.383.722 . doi :10.2307/3219141. JSTOR  3219141. Архивировано из оригинала (PDF) 2009-06-17 . Получено 2005-08-08 .
• Дональд Кнут (1997). "Раздел 1.2.7: Гармонические числа". Искусство программирования . Том 1: Фундаментальные алгоритмы (Третье изд.). Эддисон-Уэсли. С. 75–79. ISBN 978-0-201-89683-1.
• Эд Сандифер, Как это сделал Эйлер — Оценка проблемы Базеля Архивировано 13 мая 2005 г. на Wayback Machine (2003)
• Пауль, Питер ; Шнайдер, Карстен (2003). «Компьютерные доказательства нового семейства тождеств гармонических чисел» (PDF) . Adv. Appl. Math . 31 (2): 359–378. doi :10.1016/s0196-8858(03)00016-2.
• Вэньчан Чу (2004). "Тождество биномиальных коэффициентов, связанное с гипотезой Бёкерса о числах Апери" (PDF) . Электронный журнал комбинаторики . 11 : N15. doi : 10.37236/1856 .
• Айхан Дил; Иштван Мезо (2008). «Симметричный алгоритм для гипергармонических чисел и чисел Фибоначчи». Прикладная математика и вычисления . 206 (2): 942–951. arXiv : 0803.4388 . doi : 10.1016/j.amc.2008.10.013. S2CID  12130670.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гармоническое число». MathWorld .

В данной статье использованы материалы из Harmonic number на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .