Функциональная композиция

Операции над математическими функциями

В математике композиция функций — это операция  ∘  , которая берет две функции f и g и создает функцию h = g  ∘   f такую, что h ( x ) = g ( f ( x )) . В этой операции функция g применяется к результату применения функции f к x . То есть функции f  : X → Y и g  : Y → Z составлены так , чтобы дать функцию, которая отображает x в области X в g ( f ( x )) в кодомене Z . Интуитивно понятно, что если z — функция от y , а y — функция от x , то z — функция от x . Результирующая составная функция обозначается g  ∘  f  : X → Z и определяется как ( g  ∘  f  )( x ) = g ( f ( x )) для всех x в  X . ^{[номер 1]}

Обозначение g  ∘  f читается как « g из f », « g после f », « g в круге f », « g в круге f », « g около f », « g составлено с f », « g после f » , « f затем g », или « g на f », или «композиция g и f ». Интуитивно, составление функций — это процесс объединения, в котором выходные данные функции f подаются на входные данные функции g .

Композиция функций — это частный случай композиции отношений , иногда также обозначаемый . В результате все свойства композиции отношений справедливы для композиции функций, ^[1] например, свойство ассоциативности. ${\displaystyle \circ }$

Композиция функций отличается от умножения функций (если она вообще определена) и имеет совершенно другие свойства; в частности, композиция функций не коммутативна . ^[2]

Примеры

Конкретный пример композиции двух функций.

• Композиция функций на конечном множестве: если f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} и g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)} , то g ∘ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)} , как показано в фигура.
• Состав функций на бесконечном множестве : если f : R → R (где R — множество всех действительных чисел ) определяется как f ( x ) = 2 x + 4 , а g : R → R определяется как g ( x ) = x ³ , тогда:
  ( ж ∘ г )( Икс ) знак равно ж ( г ( Икс )) знак равно ж ( Икс ³ ) знак равно 2 Икс ³ + 4 , и
  ( г ∘ ж )( Икс ) знак равно г ( ж ( Икс )) знак равно г (2 Икс + 4) знак равно (2 Икс + 4) ³ .
• Если высота самолета в момент времени  t равна a ( t ) , а давление воздуха на высоте x равно p ( x ) , то ( p ∘ a )( t ) — это давление вокруг самолета в момент  t .

Характеристики

Композиция функций всегда ассоциативна — свойство, унаследованное от композиции отношений . ^[1] То есть, если f , g и h являются составными, то f ∘ ( g  ∘  h ) = ( f  ∘  g ) ∘ h . ^[3] Поскольку круглые скобки не меняют результат, они обычно опускаются.

В строгом смысле композиция g  ∘  f имеет смысл только в том случае, если кодобласть f равна области определения g ; в более широком смысле достаточно, чтобы первое было несобственным подмножеством второго. ^{[nb 2]} Более того, часто бывает удобно неявно ограничить область определения f так, чтобы f производил только значения в области g . Например, композиция g  ∘  f функций f  : R → (−∞,+9] , определенная формулами f ( x ) = 9 − x ² и g  : [0,+∞) → R , определенная формулами, может быть определена на интервал [−3,+3 ] . ${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$

Композиции двух вещественных функций, абсолютного значения и кубической функции в разных порядках показывают некоммутативность композиции.

Говорят, что функции g и f коммутируют друг с другом, если g  ∘  f = f  ∘  g . Коммутативность — это особое свойство, достигаемое только определенными функциями и часто при особых обстоятельствах. Например, | х | + 3 = | х + 3 | только тогда, когда x ≥ 0 . На фото другой пример.

Композиция взаимно однозначных (инъективных) функций всегда взаимно однозначна. Точно так же композиция онто- (сюръективных) функций всегда есть онто-функции. Отсюда следует, что композиция двух биекций также является биекцией. Обратная функция композиции (считающаяся обратимой) обладает тем свойством, что ( f  ∘  g ) ⁻¹ = g ⁻¹ ∘ f ⁻¹ . ^[4]

Производные композиций, включающих дифференцируемые функции, можно найти с помощью цепного правила . Высшие производные таких функций даются формулой Фаа ди Бруно . ^[3]

Композиционные моноиды

Предположим, что у вас есть две (или более) функции f : X → X , g : X → X, имеющие одну и ту же область определения и кодомен; их часто называют трансформациями . Тогда можно образовать составленные вместе цепочки преобразований, например f ∘ f ∘ g ∘ f . Такие цепи имеют алгебраическую структуру моноида , называемого моноидом преобразования или ( гораздо реже) композиционным моноидом . В общем, моноиды преобразований могут иметь чрезвычайно сложную структуру. Одним из ярких примеров является кривая де Рама . Множество всех функций f : X → X называется полной полугруппой преобразований ^[5] или симметричной полугруппой ^[6] на  X . (Фактически можно определить две полугруппы в зависимости от того, как определить операцию полугруппы как левую или правую композицию функций. ^[7] ).

Подобие , которое превращает треугольник EFA в треугольник ATB , представляет собой композицию гомотетии H и вращения R  , общим центром которых является  S.  Например, образ A  при вращении  R — это  U  , который можно записать  R ( A ) = U.  А  H ( U ) = B означает, что отображение H преобразует U   в B.  Таким образом,  H ( R ( A )) = ( H ∘ R ) ( A ) = B .  

Если преобразования биективны (и, следовательно, обратимы), то множество всех возможных комбинаций этих функций образует группу преобразований ; и говорят, что группа порождается этими функциями. Фундаментальный результат теории групп, теорема Кэли , по сути, говорит, что любая группа на самом деле является просто подгруппой группы подстановок (с точностью до изоморфизма ). ^[8]

Набор всех биективных функций f : X → X (называемых перестановками ) образует группу относительно композиции функций. Это симметричная группа , которую также иногда называют композиционной группой .

В симметричной полугруппе (всех преобразований) также встречается более слабое, неединственное понятие инверсии (называемое псевдоинверсией), поскольку симметрическая полугруппа является регулярной полугруппой . ^[9]

Функциональные полномочия

Если Y ⊆ X , то f : X → Y может составлять само собой; иногда это обозначается как f ² . То есть:

( ж ∘ ж )(х) знак равно ж ( ж ( Икс )) знак равно ж  ² ( Икс )

( ж ∘ ж ∘ ж )(х) знак равно ж ( ж ( ж ( Икс ))) знак равно ж  ³ ( Икс )

( ж ∘ ж ∘ ж ∘ ж )(х) знак равно ж ( ж ( ж ( ж ( Икс )))) знак равно ж  ⁴ ( Икс )

В более общем смысле, для любого натурального числа n ≥ 2 n - я функциональная степень может быть определена индуктивно как f  ⁿ = f ∘ f  ^{n −1} = f  ^{n −1} ∘ f , обозначение, введенное Гансом Генрихом Бюрманом ^{[ нужна ссылка ] [ 10] [11]} и Джон Фредерик Уильям Гершель . ^{[12] [10] [13] [11]} Повторяющаяся композиция такой функции сама с собой называется итерированной функцией .

• По соглашению f  ⁰ определяется как тождественная карта в области f  , id _X .
• Если Y = X и f : X → X допускает обратную функцию f  ⁻¹ (иногда называемую «минус первая итерация» ^{[ нужна цитация ]} ), отрицательные функциональные степени f  ^{− n} определяются для n > 0 как отрицательная степень обратной функции. функция: ж  ^{- п знак} равно ( ж  ^-1 ) ^п ​​. ^{[12] [10] [11]}

Примечание. Если f принимает свои значения в кольце (в частности, для действительного или комплексного f  ), существует риск путаницы, поскольку f  ⁿ может также обозначать n -кратное произведение  f , например f  ² ( x ) знак равно ж ( Икс ) · ж ( Икс ) . ^[11] Для тригонометрических функций обычно подразумевают последнее, по крайней мере, для положительных показателей. ^[11] Например, в тригонометрии это верхнее индексное обозначение представляет собой стандартное возведение в степень при использовании с тригонометрическими функциями : sin ² ( x ) = sin( x ) · sin( x ) . Однако для отрицательных показателей степени (особенно −1) это, тем не менее, обычно относится к обратной функции, например, tan ⁻¹ = arctan ≠ 1/tan .

В некоторых случаях, когда для данной функции f уравнение g ∘ g = f имеет единственное решение g , эту функцию можно определить как функциональный квадратный корень из f , а затем записать как g = f  ^1/2 .

В более общем смысле, когда g ⁿ = f имеет единственное решение для некоторого натурального числа n > 0 , тогда f  ^{m / n} можно определить как g ^m .

При дополнительных ограничениях эту идею можно обобщить так, что количество итераций станет непрерывным параметром; в этом случае такая система называется потоком , заданным через решения уравнения Шредера . Итерационные функции и потоки естественным образом возникают при изучении фракталов и динамических систем .

Чтобы избежать двусмысленности, некоторые математики ^{[ нужна ссылка ]} предпочитают использовать ∘ для обозначения композиционного значения, записывая f ^{∘ n} ( x ) для n -й итерации функции f ( x ) , как, например, f ^∘3 ( x ) значение ж ( ж ( ж ( x ))) . С той же целью Бенджамин Пирс ^{[14] [11]} использовал f ^{[ n ]} ( x ) , тогда как вместо этого Альфред Прингшейм и Жюль Молк предложили ⁿ f ( x ) . ^{[15] [11] [количество 3]}

Альтернативные обозначения

Многие математики, особенно в теории групп , опускают символ композиции, записывая gf вместо g ∘ f . ^[16]

В середине 20 века некоторые математики решили, что написание « g ∘ f  » означает «сначала применить f , затем применить g » слишком запутанно, и решили изменить обозначения. Они пишут « xf  » вместо « f ( x ) » и « ( xf ) g » вместо « g ( f ( x )) ». ^[17] В некоторых областях это может быть более естественным и казаться более простым, чем запись функций слева — например, в линейной алгебре , когда x — вектор-строка , а f и g обозначают матрицы , а композиция осуществляется путем умножения матриц . Эта альтернативная нотация называется постфиксной нотацией . Порядок важен, поскольку композиция функций не обязательно является коммутативной (например, умножение матриц). Последовательные преобразования, применяемые и составляющие вправо, согласуются с последовательностью чтения слева направо.

Математики, использующие постфиксную нотацию, могут писать « fg », что означает сначала применить f , а затем применить g , в соответствии с порядком появления символов в постфиксной нотации, что делает обозначение « fg » неоднозначным. Ученые-компьютерщики могут писать для этого « f  ; g ^{», [18]} тем самым устраняя неоднозначность порядка композиции. Чтобы отличить левый оператор композиции от текстовой точки с запятой, в обозначении Z для обозначения левой композиции отношений используется символ ⨾ . ^[19] Поскольку все функции являются бинарными отношениями , правильно использовать [жирную] точку с запятой и для композиции функций ( более подробную информацию об этом обозначении см. в статье о композиции отношений ).

Оператор композиции

Учитывая функцию  g , оператор композиции C _g определяется как оператор , который отображает функции в функции следующим образом:

$${\displaystyle C_{g}f=f\circ g.}$$

Композиционные операторы изучаются в области теории операторов .

В языках программирования

Композиция функций в той или иной форме встречается во многих языках программирования .

Многомерные функции

Частичная композиция возможна для многомерных функций . Функция, возникающая при замене некоторого аргумента x _i функции f функцией g , в некоторых контекстах компьютерной инженерии называется композицией f и g и обозначается f | _{х я = г}

$${\displaystyle f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$$

Когда g является простой константой b , композиция вырождается в (частичную) оценку, результат которой также известен как ограничение или кофактор . ^[20]

$${\displaystyle f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$$

В общем, композиция многомерных функций может включать в себя несколько других функций в качестве аргументов, как в определении примитивно-рекурсивной функции . Учитывая f , n -арную функцию, и n m -арные функции g ₁ , ..., g _n , композиция f с g ₁ , ..., g _n , является m -арной функцией

$${\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m})).}$$

Иногда это называют обобщенной композицией или суперпозицией f с g ₁ , ... , g _n . ^[21] Частичная композиция только с одним аргументом, упомянутая ранее, может быть реализована на основе этой более общей схемы, установив все функции аргумента, кроме одной, в качестве подходящим образом выбранных функций проекции . Здесь g ₁ , ..., g _n можно рассматривать как одну векторную/ кортежную функцию в этой обобщенной схеме, и в этом случае это в точности стандартное определение композиции функций. ^[22]

Набор финитарных операций на некотором базовом множестве X называется клоном , если он содержит все проекции и замкнут относительно обобщенной композиции. Обратите внимание, что клон обычно содержит операции различной сложности . ^[21] Понятие коммутации также находит интересное обобщение в многомерном случае; Говорят, что функция f арности n коммутирует с функцией g арности m , если f является гомоморфизмом, сохраняющим g , и наоборот, т. е.: ^[21]

$${\displaystyle f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm})).}$$

Унарная операция всегда коммутирует сама с собой, но это не обязательно относится к бинарной операции (или операции более высокой арности). Бинарная операция (или более высокой арности), коммутирующая сама с собой, называется медиальной или энтропической . ^[21]

Обобщения

Композиция может быть обобщена на произвольные бинарные отношения . Если R ⊆ X × Y и S ⊆ Y × Z — два бинарных отношения, то их композиция R ∘ S — это отношение, определяемое как {( x , z ) ∈ X × Z  : ∃ y ∈ Y . ( Икс , y ) ∈ р ∧ ( y , z ) ∈ S } . Рассматривая функцию как частный случай бинарного отношения (а именно функциональных отношений ), композиция функций удовлетворяет определению композиции отношений. Маленький кружок R ∘ S использовался для инфиксного обозначения композиции отношений , а также функций. Однако при использовании для представления композиции функций текстовая последовательность меняется на противоположную, чтобы соответствующим образом проиллюстрировать различные последовательности операций. ${\displaystyle (g\circ f)(x)\ =\ g(f(x))}$

Композиция определяется таким же образом для частичных функций , и теорема Кэли имеет аналог, называемый теоремой Вагнера-Престона . ^[23]

Категория множеств с функциями как морфизмами является прототипической категорией . Аксиомы категории фактически основаны на свойствах (а также определении) композиции функций. ^[24] Структуры, заданные композицией, аксиоматизируются и обобщаются в теории категорий с использованием концепции морфизма как теоретико-категорной замены функций. Обратный порядок композиции в формуле ( f  ∘  g ) ⁻¹ = ( g ⁻¹ ∘ f  ⁻¹ ) применяется для композиции отношений с использованием обратных отношений и, следовательно, в теории групп . Эти структуры образуют категории кинжала .

Типография

Символ композиции ∘ кодируется как U+2218 ∘ RING OPERATOR ( ∘, ∘ ); информацию о похожих символах Юникода см. в статье « Символ степени ». В TeX так написано .\circ

Смотрите также

• Сюжет-паутина – графический прием функциональной композиции.
• Комбинаторная логика
• Композиционное кольцо , формальная аксиоматизация операции композиции.
• Поток (математика)
• Функциональная композиция (информатика)
• Функция случайной величины , распределение функции случайной величины
• Функциональная декомпозиция
• Функциональный квадратный корень
• Функция высшего порядка
• Бесконечные композиции аналитических функций
• Итерированная функция
• Лямбда-исчисление

Примечания

1. Некоторые авторы вместо этого используют f  ∘  g  : X → Z , определенное как ( f  ∘  g  )( x ) = g ( f ( x ) ) . Это часто встречается при использовании постфиксной записи , особенно если функции представлены показателями степени, как, например, при изучении групповых действий . См. Диксон, Джон Д.; Мортимер, Брайан (1996). Группы перестановок. Спрингер. п. 5. ISBN 0-387-94599-7.
2. Строгий смысл используется, например , в теории категорий , где отношение подмножества моделируется явно с помощью функции включения .
3. Обозначение ⁿ f ( x ) Альфреда Прингсхайма и Жюля Молка (1907) для обозначения функциональных композиций не следует путать с обозначением ⁿ x Рудольфа фон Биттер Рюкера (1982) , введенным Гансом Маурером (1901) и Рубеном. Луи Гудстейн (1947) для тетрации или с преднадстрочной записью ⁿ x Дэвида Паттерсона Эллермана (1995) для корней .

Рекомендации

1. Веллеман, Дэниел Дж. (2006). Как это доказать: структурированный подход. Издательство Кембриджского университета . п. 232. ИСБН 978-1-139-45097-3.
2. «3.4: Состав функций». Математика LibreTexts . 16 января 2020 г. Проверено 28 августа 2020 г.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Композиция». mathworld.wolfram.com . Проверено 28 августа 2020 г.
4. Роджерс, Нэнси (2000). Учимся рассуждать: введение в логику, множества и отношения. Джон Уайли и сыновья . стр. 359–362. ISBN 978-0-471-37122-9.
5. Холлингс, Кристофер (2014). Математика за железным занавесом: история алгебраической теории полугрупп. Американское математическое общество . п. 334. ИСБН 978-1-4704-1493-1.
6. Грийе, Пьер А. (1995). Полугруппы: введение в теорию структуры. ЦРК Пресс . п. 2. ISBN 978-0-8247-9662-4.
7. Домёси, Пал; Неханив, Кристофер Л. (2005). Алгебраическая теория автоматных сетей: Введение. СИАМ. п. 8. ISBN 978-0-89871-569-9.
8. Картер, Натан (9 апреля 2009 г.). Теория визуальных групп. МАА. п. 95. ИСБН 978-0-88385-757-1.
9. Ганюшкин, Александр; Мазорчук, Владимир (2008). Классические полугруппы конечного преобразования: введение. Springer Science & Business Media . п. 24. ISBN 978-1-84800-281-4.
10. Гершель, Джон Фредерик Уильям (1820). «Часть III. Раздел I. Примеры прямого метода разностей». Сборник примеров приложений исчисления конечных разностей . Кембридж, Великобритания: Отпечатано Дж. Смитом, продано компанией J. Deighton & sons. С. 1–13 [5–6]. Архивировано из оригинала 04 августа 2020 г. Проверено 4 августа 2020 г.[1] (Примечание. Здесь Гершель ссылается на свою работу 1813 года и упоминает более старую работу Ганса Генриха Бюрмана .)
11. Каджори, Флориан (1952) [март 1929]. «§472. Степень логарифма / §473. Повторные логарифмы / §533. Обозначения Джона Гершеля для обратных функций / §535. Сохранение конкурирующих обозначений для обратных функций / §537. Степени тригонометрических функций». История математических обозначений. Том. 2 (3-е исправленное издание выпуска 1929 г., 2-е изд.). Чикаго, США: Издательская компания «Открытый суд» . стр. 108, 176–179, 336, 346. ISBN . 978-1-60206-714-1. Проверено 18 января 2016 г. […] §473. Повторные логарифмы […] Отметим здесь символику, использованную Прингсхаймом и Молком в их совместной статье в энциклопедии : « ² log _b  a = log _b (log _b  a ), …, ^{k +1} log _b  a = log _b ( ^k log _b  а )». ^[а] […] §533. Обозначения Джона Гершеля для обратных функций sin ⁻¹  x , tan ⁻¹  x и т. д. были опубликованы им в лондонском журнале Philosophical Transactions за 1813 год. Он говорит (стр. 10): «Эти обозначения потому . ^-1  e не следует понимать как 1/cos.e  , а то, что обычно пишут так, как arc (cos.= e )». Он признает, что некоторые авторы используют cos. ^m  A вместо (cos.  A ) ^m , но он оправдывает свои собственные обозначения, указывая, что, поскольку d ²  x , Δ ³  x , Σ ²  x означают dd  x , ΔΔΔ  x , ΣΣ  x , мы должны писать sin. ²  раза за грех. грех.  х , лог. ³  х для журнала. бревно. бревно.  Икс . Точно так же, как мы пишем d ^{− n}  V=∫ ⁿ  V, мы можем аналогично написать sin. ⁻¹  x = дуга (sin.= x ), лог. ⁻¹  x .=c ^​​x . Несколько лет спустя Гершель объяснил, что в 1813 году он использовал f ⁿ ( x ), f ^{− n} ( x ), sin. ⁻¹  x и т. д., «как он тогда впервые предположил. Однако в течение этих нескольких месяцев ему стала известна работа немецкого аналитика Бурмана , в которой то же самое объясняется значительно раньше. Однако он [Бурман], похоже, не заметил удобства применения этой идеи к обратным функциям tan ⁻¹и т. д., и при этом он, по-видимому, вообще не осведомлен об обратном исчислении функций, которое оно порождает». Гершель добавляет: «Симметрия этого обозначения и, прежде всего, новые и наиболее обширные взгляды, которые оно открывает на природу аналитических операций. кажется, допускают его универсальное принятие». ^[b] […] §535. Сохранение конкурирующих обозначений для обратной функции. — […] Использование обозначений Гершеля претерпело небольшие изменения в книгах Бенджамина Пирса , чтобы устранить главное возражение. им; Пирс писал: «cos ^[−1]  x » , «log ^[−1]  x ». ^[c] […] §537. Степени тригонометрических функций. — Для обозначения, скажем, использовались три основных обозначения квадрат греха  x , а именно (sin  x ) ² , sin  x ² , sin ²  x . В настоящее время преобладающим обозначением является sin ²  x , хотя первое с наименьшей вероятностью будет неправильно истолковано. В случае sin ²  x два интерпретации напрашиваются сами собой: во-первых, sin  x · sin  x , во-вторых, ^[d] sin (sin  x ). Поскольку функции последнего типа обычно не проявляются, опасность неправильной интерпретации гораздо меньше, чем в случае log ²  x , где log  x · log  x и log (log  x ) часто встречаются в анализе. […] Обозначение sin ⁿ  x для (sin  x ) ⁿ широко использовалось и в настоящее время является преобладающим. […](xviii+367+1 страница, включая 1 страницу дополнений) (Примечание. ISBN и ссылка на перепечатку 2-го издания Cosimo, Inc., Нью-Йорк, США, 2013 г.)
12. Гершель, Джон Фредерик Уильям (1813) [1812-11-12]. «О замечательном применении теоремы Котса». Философские труды Лондонского королевского общества . Лондон: Лондонское королевское общество , напечатано W. Bulmer and Co., Кливленд-Роу, Сент-Джеймс, продано Г. и У. Николом, Pall-Mall. 103 (Часть 1): 8–26 [10]. дои : 10.1098/rstl.1813.0005. JSTOR  107384. S2CID  118124706.
13. Пеано, Джузеппе (1903). Formulaire mathématique (на французском языке). Том. IV. п. 229.
14. Пирс, Бенджамин (1852). Кривые, функции и силы . Том. Я (новая ред.). Бостон, США. п. 203.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
15. Прингсхайм, Альфред ; Молк, Жюль (1907). Энциклопедия чистых и прикладных математических наук (на французском языке). Том. И. п. 195. Часть I.
16. Иванов, Олег А. (1 января 2009 г.). Оживление математики: Руководство для учителей и студентов. Американское математическое общество . стр. 217–. ISBN 978-0-8218-4808-1.
17. Галье, Жан (2011). Дискретная математика. Спрингер. п. 118. ИСБН 978-1-4419-8047-2.
18. Барр, Майкл; Уэллс, Чарльз (1998). Теория категорий для информатики (PDF) . п. 6. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 23 августа 2014 г.(Примечание. Это обновленная и бесплатная версия книги, первоначально опубликованной Prentice Hall в 1990 году под номером ISBN 978-0-13-120486-7 .) 
19. ISO/IEC 13568:2002(E), стр. 23
20. Брайант, RE (август 1986 г.). «Алгоритмы логической минимизации для синтеза СБИС» (PDF) . Транзакции IEEE на компьютерах . С-35 (8): 677–691. дои : 10.1109/tc.1986.1676819. S2CID  10385726.
21. Бергман, Клиффорд (2011). Универсальная алгебра: основы и избранные темы. ЦРК Пресс . стр. 79–80, 90–91. ISBN 978-1-4398-5129-6.
22. Турлакис, Джордж (2012). Теория вычислений. Джон Уайли и сыновья . п. 100. ИСБН 978-1-118-31533-0.
23. Липскомб, С. (1997). Симметричные инверсные полугруппы . Математические обзоры и монографии AMS. п. хв. ISBN 0-8218-0627-0.
24. Хилтон, Питер; Ву, Ел-Чан (1989). Курс современной алгебры. Джон Уайли и сыновья . п. 65. ИСБН 978-0-471-50405-4.

Внешние ссылки

• «Композитная функция», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Композиция функций», Брюс Этвуд, Демонстрационный проект Wolfram , 2007.