Распределение с толстым хвостом

Распределение вероятностей с высокой асимметрией или эксцессом

Распределение с толстым хвостом — это распределение вероятностей , которое демонстрирует большую асимметрию или эксцесс относительно нормального или экспоненциального распределения . ^{[ когда определяется как? ]} В общепринятом использовании термины «толстый хвост» и «тяжелый хвост» иногда являются синонимами; «толстый хвост» иногда также определяется как подмножество «тяжелого хвоста». Различные исследовательские сообщества отдают предпочтение одному или другому в основном по историческим причинам и могут иметь различия в точном определении любого из них.

Распределения с толстыми хвостами эмпирически встречались в различных областях: физике , науках о Земле, экономике и политологии. Класс распределений с толстыми хвостами включает те, чьи хвосты затухают подобно степенному закону , что является общей точкой отсчета при их использовании в научной литературе. Однако распределения с толстыми хвостами также включают другие медленно затухающие распределения, такие как логнормальное . [ ^1]

Крайний случай: степенное распределение

Самый крайний случай толстого хвоста — это распределение, хвост которого затухает по степенному закону .

Разнообразие распределений Коши для различных параметров местоположения и масштаба. Распределения Коши являются примерами распределений с толстыми хвостами.

То есть, если дополнительное кумулятивное распределение случайной величины X можно выразить как ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle \Pr \left\{\ X>x\ \right\}\sim x^{-\alpha }\quad }$что касается ${\displaystyle \quad x\to \infty \quad }$ ${\displaystyle \quad \alpha >0\;,}$

то говорят, что распределение имеет толстый хвост, если . Для таких значений дисперсия и асимметрия хвоста математически не определены (специальное свойство степенного распределения), и, следовательно, больше, чем любое нормальное или экспоненциальное распределение. Для значений утверждение о толстом хвосте более неоднозначно, потому что в этом диапазоне параметров дисперсия, асимметрия и эксцесс могут быть конечными, в зависимости от точного значения и, таким образом, потенциально меньше, чем нормальный или экспоненциальный хвост с высокой дисперсией. Эта неоднозначность часто приводит к разногласиям о том, что именно является распределением с толстым хвостом, а что нет. Для момента бесконечно, поэтому для каждого степенного распределения некоторые моменты не определены. ^[2] ${\displaystyle \alpha <2}$ ${\displaystyle \ \alpha >2\ ,}$ ${\displaystyle \ \alpha \ ,}$ ${\displaystyle \ k>\alpha -1\ ,}$ ${\displaystyle \ k^{\mathsf {th}}\ }$

Примечание

Здесь обозначение тильды « » означает, что хвост распределения убывает по степенному закону; более технически это относится к асимптотической эквивалентности функций – то есть их отношение асимптотически стремится к константе. ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle \sim }$

Толстые хвосты и искажения оценки риска

Полет Леви из распределения Коши по сравнению с броуновским движением (ниже). Центральные события более распространены, а редкие события более экстремальны в распределении Коши, чем в броуновском движении. Одно событие может составлять 99% от общей вариации, отсюда и «неопределенная дисперсия».

Полет Леви из нормального распределения ( броуновское движение ).

По сравнению с распределениями с толстыми хвостами, в нормальном распределении события, которые отклоняются от среднего на пять или более стандартных отклонений («события 5-сигма»), имеют меньшую вероятность, что означает, что в нормальном распределении экстремальные события менее вероятны, чем для распределений с толстыми хвостами. Распределения с толстыми хвостами, такие как распределение Коши (и все другие устойчивые распределения, за исключением нормального распределения ), имеют «неопределенную сигму» (более технически, дисперсия не определена).

В результате, когда данные возникают из базового распределения с толстыми хвостами, втискивание в модель риска «нормального распределения» и оценка сигмы на основе (обязательно) конечного размера выборки занижают истинную степень сложности прогнозирования (и риска). Многие — в частности, Бенуа Мандельброт, а также Нассим Талеб — отметили этот недостаток модели нормального распределения и предположили, что распределения с толстыми хвостами, такие как стабильные распределения, управляют доходностью активов, часто встречающейся в финансах . ^{[3] [4] [5]}

Модель ценообразования опционов Блэка -Шоулза основана на нормальном распределении. Если распределение на самом деле имеет толстый хвост, то модель будет недооценивать опционы , которые находятся далеко вне денег , поскольку событие в 5 или 7 сигм гораздо более вероятно, чем предсказывает нормальное распределение. ^[6]

Применение в экономике

В финансах толстые хвосты часто встречаются, но считаются нежелательными из-за дополнительного риска , который они подразумевают. Например, инвестиционная стратегия может иметь ожидаемую доходность через год, которая в пять раз превышает ее стандартное отклонение. При условии нормального распределения вероятность ее провала (отрицательная доходность) составляет менее одного на миллион; на практике она может быть выше. Нормальные распределения, которые возникают в финансах, как правило, таковы, потому что факторы, влияющие на стоимость или цену актива, математически «хорошо себя ведут», и центральная предельная теорема предусматривает такое распределение. Однако травмирующие события «реального мира» (такие как нефтяной шок, крупное корпоративное банкротство или резкое изменение политической ситуации) обычно не являются математически хорошими .

Исторические примеры включают крах Уолл-стрит 1929 года , Черный понедельник (1987) , пузырь доткомов , финансовый кризис 2007–2008 годов , мгновенный крах 2010 года , крах фондового рынка 2020 года и отмену привязки некоторых валют. ^[7]

Толстые хвосты в распределениях рыночной доходности также имеют поведенческое происхождение (чрезмерный оптимизм или пессимизм инвесторов, приводящий к значительным движениям рынка) и поэтому изучаются в поведенческих финансах .

В маркетинге часто встречающееся правило 80-20 (например, «20% клиентов приносят 80% дохода») является проявлением распределения с толстым хвостом, лежащего в основе данных. ^[8]

«Толстые хвосты» также наблюдаются на товарных рынках или в индустрии звукозаписи , особенно на фонографических рынках . Функция плотности вероятности для логарифма еженедельных изменений продаж записей является высоко лептокуртичной и характеризуется более узким и большим максимумом и более толстым хвостом, чем в случае нормального распределения. С другой стороны, это распределение имеет только один толстый хвост, связанный с ростом продаж из-за продвижения новых записей, которые попадают в чарты. ^[9]

Смотрите также

• Риск хвоста
• Теория черного лебедя
• Семь состояний случайности
• Распределение Талеба

Ссылки

1. Бахат; Рабинович; Фрид (2005). Растяжение горных пород при растяжении. Springer.
2. Томас, Микош (1999). Регулярная вариационная субэкспоненциальность и ее применение в теории вероятностей (PDF) . eurandom.tue.nl (Отчет). Центр семинаров в области стохастики, кафедра математики и компьютерных наук. Эйндховен, Нидерланды: Эйндховенский технологический университет .
3. Талеб, НН (2007). Черный лебедь . Random House и Penguin. ISBN 9781400063512.
4. Мандельброт, Б. (1997). Фракталы и масштабирование в финансах: разрыв, концентрация, риск . Springer.
5. Мандельброт, Б. (1963). «Изменение некоторых спекулятивных цен» (PDF) . The Journal of Business . 36 (4): 394. doi :10.1086/294632.
6. Стивен Р. Данбар, Ограничения модели Блэка-Шоулза, Стохастические процессы и передовые математические финансы 2009 http://www.math.unl.edu/~sdunbar1/MathematicalFinance/Lessons/BlackScholes/Limitations/limitations.xml Архивировано 26 января 2014 г. на Wayback Machine
7. Дэш, Ян В. (2004). Количественные финансы и управление рисками: подход физика. World Scientific Pub.
8. Кох, Ричард, 1950- (2008). Принцип 80/20: секрет достижения большего меньшими средствами (пересм. и обновленное издание). Нью-Йорк: Doubleday. ISBN 9780385528313. OCLC  429075591.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
9. Буда, А. (2012). «Существует ли поп-музыка? Иерархическая структура на фонографических рынках». Physica A. 391 ( 21): 5153–5159. doi :10.1016/j.physa.2012.05.057.

Внешние ссылки

• Примеры «толстых хвостов» в финансовых временных рядах
• Распределение с толстым хвостом - Джон А. Робб Архивировано 17.03.2017 на Wayback Machine