Теорема Фробениуса (дифференциальная топология)

О нахождении максимального множества решений системы однородных линейных уравнений в частных производных первого порядка

1-форма d z − y d x . на R ³ максимально нарушает предположение теоремы Фробениуса. Эти плоскости кажутся закрученными вдоль оси y . Она не интегрируема, в чем можно убедиться, нарисовав бесконечно малый квадрат в плоскости xy и следуя по пути вдоль 1-форм. Путь не вернется к той же z-координате после одного цикла.

В математике теорема Фробениуса дает необходимые и достаточные условия для нахождения максимального множества независимых решений переопределенной системы однородных линейных уравнений в частных производных первого порядка . В современных геометрических терминах , для заданного семейства векторных полей теорема дает необходимые и достаточные условия интегрируемости для существования слоения на максимальные интегральные многообразия , касательные расслоения которых натянуты на заданные векторные поля. Теорема обобщает теорему существования для обыкновенных дифференциальных уравнений, которая гарантирует, что одно векторное поле всегда порождает интегральные кривые ; Фробениус дает условия совместности, при которых интегральные кривые r векторных полей зацепляются в координатные сетки на r -мерных интегральных многообразиях. Теорема является основополагающей в дифференциальной топологии и исчислении на многообразиях .

Контактная геометрия изучает 1-формы, максимально нарушающие предположения теоремы Фробениуса. Пример показан справа.

Введение

Одноформенная версия

Предположим, что нам нужно найти траекторию частицы в подмножестве трехмерного пространства, но мы не знаем ее формулу траектории. Вместо этого мы знаем только, что ее траектория удовлетворяет , где — гладкие функции . Таким образом, наша единственная уверенность заключается в том, что если в какой-то момент времени частица находится в точке , то ее скорость в этот момент ограничена в плоскости уравнением ${\displaystyle adx+bdy+cdz=0}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$ $${\displaystyle a(x_{0},y_{0},z_{0})[x-x_{0}]+b(x_{0},y_{0},z_{0})[y-y_{0}]+c(x_{0},y_{0},z_{0})[z-z_{0}]=0}$$

Другими словами, мы можем нарисовать «локальную плоскость» в каждой точке трехмерного пространства, и мы знаем, что траектория частицы должна быть касательной к локальной плоскости в любой момент времени.

Если у нас есть два уравнения , то мы можем нарисовать две локальные плоскости в каждой точке, и их пересечение в общем случае будет прямой, что позволит нам однозначно решить кривую, начинающуюся в любой точке. Другими словами, с двумя 1-формами мы можем расслаивать область на кривые. $${\displaystyle {\begin{cases}adx+bdy+cdz=0\\a'dx+b'dy+c'dz=0\end{cases}}}$$

Если у нас есть только одно уравнение , то мы могли бы расслаиваться на поверхности, в этом случае мы можем быть уверены, что кривая, начинающаяся на определенной поверхности, должна быть ограничена для блуждания внутри этой поверхности. Если нет, то кривая, начинающаяся в любой точке, может закончиться в любой другой точке в . ${\displaystyle adx+bdy+cdz=0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Можно представить, что вы начинаете с облака маленьких плоскостей и простегиваете их вместе, чтобы сформировать полную поверхность. Главная опасность заключается в том, что если мы простегиваем маленькие плоскости по две за раз, мы можем пойти по циклу и вернуться к тому, с чего начали, но с небольшим смещением. Если это произойдет, то мы получим не двухмерную поверхность, а трехмерный шарик. Пример показан на диаграмме справа.

Если единая форма интегрируема, то петли точно замыкаются на себя, и каждая поверхность будет двумерной. Теорема Фробениуса утверждает, что это происходит именно тогда, когда по всей области, где . Обозначение определено в статье об единой форме . ${\displaystyle \omega \wedge d\omega =0}$ ${\displaystyle \omega :=adx+bdy+cdz}$

В ходе разработки аксиоматической термодинамики Каратеодори доказал, что если является интегрируемой одномерной формой на открытом подмножестве , то для некоторых скалярных функций на подмножестве. Это обычно называется теоремой Каратеодори в аксиоматической термодинамике. ^{[1] [2]} Это можно доказать интуитивно, сначала построив маленькие плоскости согласно , простегав их вместе в слоение, а затем присвоив каждой поверхности в слоении скалярную метку. Теперь для каждой точки , определим как скалярную метку поверхности, содержащей точку . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega =fdg}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g(p)}$ ${\displaystyle p}$

Для каждой точки p, одна форма визуализируется как стопка параллельных плоскостей. Плоскости простегиваются вместе, но с "неравномерной толщиной". С масштабированием в каждой точке, будет иметь "равномерную толщину" и станет точным дифференциалом. ${\displaystyle \omega (p)}$ ${\displaystyle \omega }$

Теперь, является одноформой, которая имеет точно такие же плоскости, как . Однако она имеет "равномерную толщину" везде, в то время как может иметь "неравномерную толщину". Это можно исправить скалярным масштабированием с помощью , что дает . Это проиллюстрировано справа. ${\displaystyle dg}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega =fdg}$

Несколько одноформ

В своей наиболее элементарной форме теорема решает задачу нахождения максимального множества независимых решений регулярной системы линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка . Пусть

${\displaystyle \left\{f_{k}^{i}:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} \ :\ 1\leq i\leq n,1\leq k\leq r\right\}}$

быть набором функций C 1 с r < n и таким, что матрица (  f^я
_к ) имеет ранг r при оценке в любой точке R ⁿ . Рассмотрим следующую систему уравнений в частных производных для функции C ² u  : R ⁿ → R :

${\displaystyle (1)\quad {\begin{cases}L_{1}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{1}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{1}\cdot \nabla u=0\\L_{2}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{2}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{2}\cdot \nabla u=0\\\qquad \cdots \\L_{r}u\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{i}f_{r}^{i}(x){\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}={\vec {f}}_{r}\cdot \nabla u=0\end{cases}}}$

Ищутся условия существования набора решений u ₁ , ..., u _{n − r} таких, что градиенты ∇ u ₁ , ..., ∇ u _{n − r} линейно независимы .

Теорема Фробениуса утверждает, что эта задача допускает локальное решение ^[3] тогда и только тогда, когда операторы L _k удовлетворяют определенному условию интегрируемости, известному как инволютивность . В частности, они должны удовлетворять соотношениям вида

${\displaystyle L_{i}L_{j}u(x)-L_{j}L_{i}u(x)=\sum _{k}c_{ij}^{k}(x)L_{k}u(x)}$

для 1 ≤ i , j ≤ r и всех C ² функций u , и для некоторых коэффициентов c ^k _ij ( x ), которым разрешено зависеть от x . Другими словами, коммутаторы [ Li , L _j ] должны лежать в линейной оболочке L _k в каждой точке. Условие инволютивности является обобщением коммутативности частных производных. Фактически, стратегия доказательства теоремы Фробениуса состоит в формировании линейных комбинаций среди операторов _{Li так} , чтобы полученные операторы действительно коммутировали, а затем в показе, что существует система координат y _{i ,} для которой это в точности частные производные по y ₁ , ..., y _r .

От анализа к геометрии

Несмотря на то, что система переопределена, обычно существует бесконечно много решений. Например, система дифференциальных уравнений

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}=0\\{\frac {\partial f}{\partial y}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}=0\end{cases}}}$

явно допускает множественные решения. Тем не менее, эти решения все еще имеют достаточную структуру, чтобы их можно было полностью описать. Первое наблюдение заключается в том, что даже если f ₁ и f ₂ являются двумя различными решениями, поверхности уровня f ₁ и f ₂ должны перекрываться. Фактически, поверхности уровня для этой системы являются плоскостями в R ³ вида x − y + z = C , где C — константа. Второе наблюдение заключается в том, что, как только поверхности уровня известны, все решения могут быть заданы в терминах произвольной функции. Поскольку значение решения f на поверхности уровня является константой по определению, определим функцию C ( t ) следующим образом:

${\displaystyle f(x,y,z)=C(t){\text{ whenever }}x-y+z=t.}$

Наоборот, если задана функция C ( t ) , то каждая функция f, заданная этим выражением, является решением исходного уравнения. Таким образом, из-за существования семейства поверхностей уровня решения исходного уравнения находятся во взаимно однозначном соответствии с произвольными функциями одной переменной.

Теорема Фробениуса позволяет установить аналогичное соответствие для более общего случая решений (1). Предположим, что u ₁ , ..., u _n−r являются решениями задачи (1), удовлетворяющими условию независимости градиентов. Рассмотрим множества уровня ^[4] ( u ₁ , ..., u _n−r ) как функции со значениями в R ^n−r . Если v ₁ , ..., v _n−r является другим таким набором решений, можно показать (используя некоторую линейную алгебру и теорему о среднем значении ), что это имеет то же самое семейство множеств уровня, но с возможно другим выбором констант для каждого множества. Таким образом, даже если независимые решения (1) не являются уникальными, уравнение (1) тем не менее определяет уникальное семейство множеств уровня. Так же, как и в случае примера, общие решения u уравнения (1) находятся во взаимно однозначном соответствии с (непрерывно дифференцируемыми) функциями на семействе множеств уровня. ^[5]

Множества уровня, соответствующие максимальным независимым множествам решений (1), называются интегральными многообразиями , поскольку функции на совокупности всех интегральных многообразий соответствуют в некотором смысле константам интегрирования . Как только известна одна из этих констант интегрирования, известно и соответствующее решение.

Теорема Фробениуса на современном языке

Теорему Фробениуса можно переформулировать более экономно на современном языке. Первоначальная версия теоремы Фробениуса была сформулирована в терминах систем Пфаффа , которые сегодня можно перевести на язык дифференциальных форм . Альтернативная формулировка, которая несколько более интуитивна, использует векторные поля .

Формулировка с использованием векторных полей

В формулировке векторного поля теорема утверждает, что подрасслоение касательного расслоения многообразия интегрируемо (или инволютивно) тогда и только тогда, когда оно возникает из регулярного слоения . В этом контексте теорема Фробениуса связывает интегрируемость со слоением; для формулировки теоремы оба понятия должны быть четко определены .

Начнем с того, что произвольное гладкое векторное поле на многообразии определяет семейство кривых , его интегральные кривые (для интервалов ). Это решения , которое является системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка , разрешимость которой гарантируется теоремой Пикара–Линделёфа . Если векторное поле нигде не равно нулю, то оно определяет одномерное подрасслоение касательного расслоения , а интегральные кривые образуют регулярное слоение . Таким образом, одномерные подрасслоения всегда интегрируемы. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u:I\to M}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\dot {u}}(t)=X_{u(t)}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Если подрасслоение имеет размерность больше единицы, необходимо наложить условие. Говорят, что подрасслоение касательного расслоения интегрируемо (или инволютивно ), если для любых двух векторных полей и , принимающих значения в , скобка Ли также принимает значения в . Это понятие интегрируемости нужно определить только локально; то есть существование векторных полей и и их интегрируемость нужно определить только на подмножествах . ${\displaystyle E\subset TM}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$

Существует несколько определений фолиации . Здесь мы используем следующее:

Определение. P -мерное, класса C ^r слоение n -мерного многообразия M есть разложение M в объединение непересекающихся связных подмногообразий { L _α } _{α∈ A} , называемых слоями слоения, со следующим свойством: каждая точка в M имеет окрестность U и систему локальных, класса C ^r координат x =( x ¹ , ⋅⋅⋅, x ⁿ ) : U → R ⁿ таких, что для каждого слоя L _α компоненты U ∩ L _α описываются уравнениями x ^{p +1} =constant, ⋅⋅⋅, x ⁿ =constant. Слоение обозначается как ={ L _α } _{α∈ A} . ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Тривиально, любое слоение определяет интегрируемое подрасслоение, поскольку если и является листом слоения, проходящим через то является интегрируемым. Теорема Фробениуса утверждает, что обратное также верно: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle N\subset M}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E_{p}=T_{p}N}$

Учитывая приведенные выше определения, теорема Фробениуса утверждает, что подрасслоение интегрируемо тогда и только тогда, когда подрасслоение возникает из регулярного слоения . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$

Формулировка дифференциальных форм

Пусть U — открытое множество в многообразии M , Ω ¹ ( U ) — пространство гладких дифференцируемых 1-форм на U , а F — подмодуль Ω 1 ( U ) ранга r , причем ранг постоянен по значению над U. Теорема Фробениуса утверждает, что F интегрируем тогда и только тогда, когда для ^{каждого} p из U слой F p _{порождается} r точными дифференциальными формами .

Геометрически теорема утверждает, что интегрируемый модуль 1 -форм ранга r есть то же самое, что и слоение коразмерности r . Соответствие определению в терминах векторных полей, данному во введении, следует из тесной связи между дифференциальными формами и производными Ли . Теорема Фробениуса является одним из основных инструментов для изучения векторных полей и слоений.

Таким образом, существуют две формы теоремы: одна, которая работает с распределениями , то есть гладкими подрасслоениями D касательного расслоения TM ; и другая, которая работает с подрасслоениями градуированного кольца Ω( M ) всех форм на M . Эти две формы связаны двойственностью. Если D — гладкое касательное распределение на M , то аннулятор D , I ( D ) состоит из всех форм (для любого ) таких, что ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k}(M)}$ ${\displaystyle k\in \{1,\dots ,\operatorname {dim} M\}}$

${\displaystyle \alpha (v_{1},\dots ,v_{k})=0}$

для всех . Множество I ( D ) образует подкольцо и, по сути, идеал в Ω( M ) . Более того, используя определение внешней производной , можно показать, что I ( D ) замкнуто относительно внешнего дифференцирования (является дифференциальным идеалом ) тогда и только тогда, когда D инволютивно. Следовательно, теорема Фробениуса принимает эквивалентную форму, что I ( D ) замкнуто относительно внешнего дифференцирования тогда и только тогда, когда D интегрируемо. ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{k}\in D}$

Обобщения

Эту теорему можно обобщить различными способами.

Бесконечные измерения

Одно бесконечномерное обобщение таково. ^[7] Пусть X и Y — банаховы пространства , а A ⊂ X , B ⊂ Y — пара открытых множеств . Пусть

${\displaystyle F:A\times B\to L(X,Y)}$

быть непрерывно дифференцируемой функцией декартова произведения (которая наследует дифференцируемую структуру от своего включения в X × Y ) в пространство L ( X , Y ) непрерывных линейных преобразований X в Y . Дифференцируемое отображение u  : A → B является решением дифференциального уравнения

${\displaystyle (1)\quad y'=F(x,y)}$

если

${\displaystyle \forall x\in A:\quad u'(x)=F(x,u(x)).}$

Уравнение (1) полностью интегрируемо , если для каждого существует окрестность U точки x ₀ такая, что (1) имеет единственное решение u ( x ), определенное на U , такое, что u ( x ₀ )= y ₀ . ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in A\times B}$

Условия теоремы Фробениуса зависят от того, является ли лежащее в основе поле R или C. Если это R , то предположим, что F непрерывно дифференцируемо. Если это C , то предположим, что F дважды непрерывно дифференцируемо. Тогда (1) полностью интегрируемо в каждой точке A × B тогда и только тогда, когда

${\displaystyle D_{1}F(x,y)\cdot (s_{1},s_{2})+D_{2}F(x,y)\cdot (F(x,y)\cdot s_{1},s_{2})=D_{1}F(x,y)\cdot (s_{2},s_{1})+D_{2}F(x,y)\cdot (F(x,y)\cdot s_{2},s_{1})}$

для всех s ₁ , s ₂ ∈ X. Здесь D ₁ (соответственно D ₂ ) обозначает частную производную по первой (соответственно второй) переменной; скалярное произведение обозначает действие линейного оператора F ( x , y ) ∈ L ( X , Y ) , а также действия операторов D ₁ F ( x , y ) ∈ L ( X , L ( X , Y )) и D ₂ F ( x , y ) ∈ L ( Y , L ( X , Y )) .

Банаховы многообразия

Бесконечномерная версия теоремы Фробениуса справедлива также для банаховых многообразий . ^[8] Утверждение по сути то же самое, что и конечномерная версия.

Пусть M — банахово многообразие класса не ниже C ² . Пусть E — подрасслоение касательного расслоения M . Расслоение E инволютивно , если для каждой точки p ∈ M и пары сечений X и Y множества E , определенных в окрестности точки p , скобка Ли множеств X и Y , вычисленная в точке p , лежит в E _p :

${\displaystyle [X,Y]_{p}\in E_{p}}$

С другой стороны, E интегрируемо , если для каждого p ∈ M существует погруженное подмногообразие φ  : N → M , образ которого содержит p , такое, что дифференциал φ является изоморфизмом TN с φ ⁻¹ E .

Теорема Фробениуса утверждает, что подрасслоение E интегрируемо тогда и только тогда, когда оно инволютивно.

Голоморфные формы

Утверждение теоремы остается верным для голоморфных 1-форм на комплексных многообразиях — многообразиях над C с биголоморфными функциями перехода . ^[9]

В частности, если r линейно независимых голоморфных 1-форм на открытом множестве в C ⁿ такие, что ${\displaystyle \omega ^{1},\dots ,\omega ^{r}}$

${\displaystyle d\omega ^{j}=\sum _{i=1}^{r}\psi _{i}^{j}\wedge \omega ^{i}}$

для некоторой системы голоморфных 1-форм ψ^джи
_я, 1 ≤ i , j ≤ r , то существуют голоморфные функции f _i ^j и g ⁱ такие, что на возможно меньшей области определения

${\displaystyle \omega ^{j}=\sum _{i=1}^{r}f_{i}^{j}dg^{i}.}$

Этот результат справедлив локально в том же смысле, что и другие версии теоремы Фробениуса. В частности, тот факт, что он был сформулирован для областей в C ^{n ,} не является ограничительным.

Формы высшего образования

Утверждение не обобщается на формы более высокой степени, хотя имеется ряд частных результатов, таких как теорема Дарбу и теорема Картана-Келера .

История

Несмотря на то, что теорема названа в честь Фердинанда Георга Фробениуса , ее впервые доказали Альфред Клебш и Федор Деана . Деана первым установил достаточные условия для теоремы, а Клебш разработал необходимые условия. Фробениус применил теорему к пфаффовым системам , тем самым проложив путь для ее использования в дифференциальной топологии.

Приложения

• В классической механике интегрируемость уравнений связей системы определяет, является ли система голономной или неголономной .
• В микроэкономической теории теорема Фробениуса может быть использована для доказательства существования решения проблемы интегрируемости функций спроса .

Аксиоматическая термодинамика Каратеодори

В классической термодинамике теорема Фробениуса может быть использована для построения энтропии и температуры в формализме Каратеодори. ^{[1] [10]}

В частности, Каратеодори рассматривал термодинамическую систему (конкретно можно представить себе поршень газа), которая может взаимодействовать с внешним миром либо посредством теплопроводности (например, поджигая поршень), либо посредством механической работы (толкая поршень). Затем он определил «адиабатический процесс» как любой процесс, который может пройти система без теплопроводности, и определил отношение « адиабатической доступности » таким образом: если система может перейти из состояния A в состояние B после адиабатического процесса, то адиабатически доступна из . Запишите это как . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\succeq B}$

Теперь предположим, что

• Для любой пары состояний выполняется хотя бы одно из и . ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A\succeq B}$ ${\displaystyle B\succeq A}$
• Для любого состояния и любой окрестности существует состояние в окрестности, такое, что адиабатически недоступно из . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Затем мы можем разбить пространство состояний на подмножества состояний, которые взаимно адиабатически доступны. При умеренных предположениях о гладкости каждое подмножество является многообразием коразмерности 1. Назовем эти многообразия «адиабатическими поверхностями». ${\displaystyle \succeq }$

Согласно первому закону термодинамики , существует скалярная функция («внутренняя энергия») на пространстве состояний, такая, что где — возможные способы выполнения механической работы над системой. Например, если система представляет собой баллон с идеальным газом, то . ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle dU=\delta W+\delta Q=\sum _{i}X_{i}dx_{i}+\delta Q}$$ ${\displaystyle X_{1}dx_{1},...,X_{n}dx_{n}}$ ${\displaystyle \delta W=-pdV}$

Теперь определим одну форму в пространстве состояний Теперь, поскольку адиабатические поверхности касаются в каждой точке пространства состояний, является интегрируемой, поэтому по теореме Каратеодори существуют две скалярные функции в пространстве состояний, такие что . Это функции температуры и энтропии с точностью до мультипликативной константы. $${\displaystyle \omega :=dU-\sum _{i}X_{i}dx_{i}}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle T,S}$ ${\displaystyle \omega =TdS}$

Подставляя законы идеального газа и отмечая, что расширение Джоуля является (необратимым) адиабатическим процессом, мы можем исправить знак и найти, что означает . То есть энтропия сохраняется в обратимых адиабатических процессах и увеличивается во время необратимых адиабатических процессов. ${\displaystyle dS}$ ${\displaystyle A\succeq B}$ ${\displaystyle S(A)\leq S(B)}$

Смотрите также

• Условия интегрируемости дифференциальных систем
• Теорема о выпрямлении домена
• Теорема Ньюлендера-Ниренберга

Примечания

1. Buchdahl, HA (апрель 1949 г.). «О неограниченной теореме Каратеодори и ее применении в трактовке второго закона термодинамики». American Journal of Physics . 17 (4): 212–218. Bibcode : 1949AmJPh..17..212B. doi : 10.1119/1.1989552. ISSN  0002-9505.
2. Каратеодори, К. (1909). «Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik». Математические Аннален . 67 (3): 355–386. дои : 10.1007/BF01450409. ISSN  0025-5831.
3. Здесь локально означает внутри достаточно малых открытых подмножеств R ⁿ . В дальнейшем, когда мы говорим о решении, мы имеем в виду локальное решение.
4. Множество уровней — это подмножество R ^{n ,} соответствующее местоположению:

   ( u1 _, ..., un _{− r )} = ( c1 _, ... _, cn _{− r} ) ,

   для некоторых констант c _i .
5. Понятие непрерывно дифференцируемой функции на семействе множеств уровня можно сделать строгим с помощью теоремы о неявной функции .
6. Лоусон, Х. Блейн (1974), «Слоения», Бюллетень Американского математического общества , 80 (3): 369–418, ISSN  0040-9383, Zbl  0293.57014
7. Дьедонне, Ж (1969). "Гл. 10.9". Основы современного анализа . Academic Press. ISBN 9780122155307.
8. Ланг, С. (1995). "Гл. VI: Теорема Фробениуса". Дифференциальные и римановы многообразия . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94338-1.
9. Кобаяси, С .; Номидзу, К. (2009) [1969]. "Приложение 8". Основы дифференциальной геометрии . Библиотека классических произведений Wiley. Том 2. Wiley. ISBN 978-0-471-15732-8. Збл  0175.48504.
10. Buchdahl, HA (1 марта 1960 г.). «Концепции классической термодинамики». American Journal of Physics . 28 (3): 196–201. Bibcode : 1960AmJPh..28..196B. doi : 10.1119/1.1935102. ISSN  0002-9505.

Ссылки

• Лоусон, Х. Б. (1977). Качественная теория слоений . Американское математическое общество, серия CBMS. Т. 27. AMS.
• Абрахам, Ральф. ; Марсден, Джерролд Э. (2008) [1978]. "2.2.26 Теорема Фробениуса". Основы механики (2-е изд.). Американское математическое общество. стр. 93. ISBN 9780821844380.
• Клебш, А. (1866). «Ueber die simultane Integration Linear Partieller Differentialgleichungen». Дж. Рейн. Энджью. Математика. (Крель) . 1866 (65): 257–268. дои : 10.1515/crll.1866.65.257. S2CID  122439486.
• Дина, Ф. (1840). «Über die Bedingungen der Integrabilitat…» Дж. Рейн Ангью. Математика . 20 : 340–350. дои : 10.1515/crll.1840.20.340. S2CID  120057555.
• Фробениус, Г. (1877). «Über das Pfaffsche Проблема». Дж. Рейн Анжью. Математика . 1877 (82): 230–315. дои : 10.1515/crll.1877.82.230. S2CID  119848431.