Масштаб (карта)

Отношение расстояния на карте к соответствующему расстоянию на местности

Графический или линейный масштаб. На карте масштаб обычно указывается в числовом виде («1:50 000», например, означает, что один см на карте представляет 50 000 см реального пространства, что составляет 500 метров)

Линейная шкала с номинальным масштабом, выраженным как «1:600 ​​000», что означает, что 1 см на карте соответствует 600 000  см = 6  км на местности. ^[a]

Масштаб карты — это отношение расстояния на карте к соответствующему расстоянию на местности. Эта простая концепция усложняется кривизной земной поверхности, которая заставляет масштаб меняться по всей карте. Из -за этой вариации концепция масштаба приобретает смысл двумя различными способами.

Первый способ — это отношение размера генерирующего шара к размеру Земли. Генерирующий шар — это концептуальная модель, к которой Земля сжимается и с которой проецируется карта . Отношение размера Земли к размеру генерирующего шара называется номинальным масштабом (также называемым главным масштабом или представительной дробью ). На многих картах указывается номинальный масштаб и может даже отображаться линейная шкала (иногда просто называемая «масштабом») для его представления.

Второе отдельное понятие масштаба относится к изменению масштаба на карте. Это отношение масштаба нанесенной на карту точки к номинальному масштабу. В этом случае «масштаб» означает масштабный коэффициент (также называемый масштабом точки или частным масштабом ).

Если область карты достаточно мала, чтобы игнорировать кривизну Земли, например, в плане города, то можно использовать одно значение в качестве масштаба, не вызывая ошибок измерения. На картах, охватывающих большие площади или всю Землю, масштаб карты может быть менее полезным или даже бесполезным для измерения расстояний. Проекция карты становится критически важной для понимания того, как масштаб меняется по всей карте. ^{[1] [2]} Когда масштаб заметно меняется, это можно учесть как масштабный коэффициент. Индикатриса Тиссо часто используется для иллюстрации изменения масштаба точек по всей карте.

История

Основы количественного масштабирования карт восходят к Древнему Китаю с текстовыми свидетельствами того, что идея масштабирования карт была понята во втором веке до нашей эры. Древние китайские геодезисты и картографы имели достаточно технических ресурсов, используемых для создания карт, таких как счетные стержни , угольники плотника , отвесы , компасы для рисования окружностей и визирные трубы для измерения наклона. Системы отсчета, постулирующие зарождающуюся систему координат для определения местоположений, были предложены древними китайскими астрономами, которые разделили небо на различные сектора или лунные ложи. ^[3]

Китайский картограф и географ Пэй Сю из периода Троецарствия создал набор карт больших территорий, которые были нарисованы в масштабе. Он разработал набор принципов, которые подчеркивали важность последовательного масштабирования, направленных измерений и корректировок в измерениях земель на местности, которая была картографирована. ^[3]

Терминология

Представление масштаба

Масштабы карты могут быть выражены словами (лексическая шкала), отношением или дробью. Примеры:

«один сантиметр на сто метров» или 1:10 000 или 1/10 000

«один дюйм к одной миле» или 1:63,360 или 1/63,360

«один сантиметр на тысячу километров» или 1:100 000 000 или 1/100 000 000. (Соотношение обычно сокращается до 1:100M)

Линейная шкала против лексической шкалы

В дополнение к вышесказанному, многие карты имеют одну или несколько (графических) шкал . Например, некоторые современные британские карты имеют три шкалы: для километров, миль и морских миль.

Лексическую шкалу на языке, известном пользователю, может быть проще визуализировать, чем соотношение: если масштаб составляет один дюйм к двум милям и пользователь карты видит две деревни, которые находятся на расстоянии примерно двух дюймов друг от друга на карте, то легко вычислить, что на местности деревни находятся на расстоянии примерно четырех миль друг от друга.

Лексический масштаб может вызвать проблемы , если он выражен на языке, который пользователь не понимает, или в устаревших или плохо определенных единицах. Например, масштаб от одного дюйма до фарлонга ( 1:7920) будет понятен многим пожилым людям в странах, где в школах преподавали имперские единицы . Но масштаб от одного пуса до одной лиги может быть около 1:144 000, в зависимости от выбора картографом множества возможных определений лиги, и только меньшинство современных пользователей будет знакомо с используемыми единицами.

Крупный масштаб, средний масштаб, мелкий масштаб

Контраст с пространственным масштабом .

Мелкомасштабные карты охватывают большие регионы, такие как карты мира , континентов или крупных стран. Другими словами, они показывают большие площади суши на небольшом пространстве. Они называются мелкомасштабными, потому что репрезентативная часть относительно мала.

Крупномасштабные карты показывают меньшие области более подробно, например, карты округов или планы городов. Такие карты называются крупномасштабными, потому что репрезентативная часть относительно велика. Например, план города, который является крупномасштабной картой, может быть в масштабе 1:10 000, тогда как карта мира, которая является мелкомасштабной картой, может быть в масштабе 1:100 000 000.

В следующей таблице описаны типичные диапазоны для этих шкал, но ее не следует считать авторитетной, поскольку стандарта не существует:

Термины иногда используются в абсолютном смысле таблицы, но иногда в относительном смысле. Например, читатель карт, чья работа относится исключительно к картам большого масштаба (как указано в таблице выше), может назвать карту в масштабе 1:500 000 мелкомасштабной.

В английском языке слово large-scale часто используется в значении «extensive». Однако, как объяснялось выше, картографы используют термин «large scale» для обозначения менее обширных карт — тех, которые показывают меньшую площадь. Карты, которые показывают обширную площадь, называются картами «small scale». Это может стать причиной путаницы.

Изменение масштаба

Картографирование больших территорий вызывает заметные искажения, поскольку оно значительно сглаживает искривленную поверхность Земли. То, как распределяются искажения, зависит от проекции карты . Масштаб варьируется по всей карте , и указанный масштаб карты является лишь приблизительным. Это подробно обсуждается ниже.

Крупномасштабные карты с пренебрежением кривизной

Область, в которой Земля может считаться плоской, зависит от точности измерений при съемке . Если измерять только с точностью до метра, то кривизна Земли необнаружима на меридиональном расстоянии около 100 километров (62 мили) и на линии восток-запад около 80 км (на широте 45 градусов). Если измерять с точностью до 1 миллиметра (0,039 дюйма), то кривизна необнаружима на меридиональном расстоянии около 10 км и на линии восток-запад около 8 км. ^[4] Таким образом, план Нью-Йорка с точностью до одного метра или план строительной площадки с точностью до одного миллиметра будут удовлетворять вышеуказанным условиям для пренебрежения кривизной. Их можно обрабатывать с помощью плоскостной съемки и картировать с помощью масштабных чертежей, на которых любые две точки на одном и том же расстоянии на чертеже находятся на том же расстоянии на земле. Истинные расстояния на местности рассчитываются путем измерения расстояния на карте и последующего умножения на обратную дробь масштаба или, что эквивалентно, просто с помощью циркулей для переноса расстояния между точками на карте в шкалу линеек на карте.

Точечная шкала (или конкретная шкала)

Как доказано в теореме Гаусса « Teorea Egregium» , сфера (или эллипсоид) не может быть спроецирована на плоскость без искажения. Это обычно иллюстрируется невозможностью разгладить апельсиновую корку на плоской поверхности, не разорвав и не деформировав ее. Единственным верным представлением сферы в постоянном масштабе является другая сфера, например, глобус .

Учитывая ограниченный практический размер глобусов, мы должны использовать карты для детального картографирования. Карты требуют проекций. Проекция подразумевает искажение: постоянное разделение на карте не соответствует постоянному разделению на местности. Хотя карта может отображать графическую шкалу, масштаб должен использоваться с пониманием того, что он будет точным только на некоторых линиях карты. (Это обсуждается далее в примерах в следующих разделах.)

Пусть P будет точкой с широтой и долготой на сфере (или эллипсоиде ). ​​Пусть Q будет соседней точкой и пусть будет углом между элементом PQ и меридианом в точке P: этот угол является азимутальным углом элемента PQ. Пусть P' и Q' будут соответствующими точками на проекции. Угол между направлением P'Q' и проекцией меридиана является пеленгом . В общем случае . Комментарий: это точное различие между азимутом (на поверхности Земли) и пеленгом (на карте) не соблюдается повсеместно, многие авторы используют эти термины почти как взаимозаменяемые. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha \neq \beta }$

Определение: точечная шкала в точке P представляет собой отношение двух расстояний P'Q' и PQ в пределе, когда Q приближается к P. Запишем это как

${\displaystyle \mu (\lambda ,\,\varphi ,\,\alpha )=\lim _{Q\to P}{\frac {P'Q'}{PQ}},}$

где обозначение указывает на то, что точечная шкала является функцией положения P, а также направления элемента PQ.

Определение: если P и Q лежат на одном меридиане , то меридиональная шкала обозначается как . ${\displaystyle (\alpha =0)}$ ${\displaystyle h(\lambda ,\,\varphi )}$

Определение: если P и Q лежат на одной параллели , то параллельная шкала обозначается как . ${\displaystyle (\alpha =\pi /2)}$ ${\displaystyle k(\lambda ,\,\varphi )}$

Определение: если точечная шкала зависит только от положения, а не от направления, то мы говорим, что она изотропна , и условно обозначаем ее значение в любом направлении коэффициентом параллельной шкалы . ${\displaystyle k(\lambda ,\varphi )}$

Определение: Проекция карты называется конформной, если угол между парой линий, пересекающихся в точке P, равен углу между проецируемыми линиями в проецируемой точке P' для всех пар линий, пересекающихся в точке P. Конформная карта имеет изотропный масштабный фактор. Наоборот, изотропные масштабные факторы по всей карте подразумевают конформную проекцию.

Изотропия масштаба подразумевает, что малые элементы растягиваются одинаково во всех направлениях, то есть форма малого элемента сохраняется. Это свойство ортоморфизма (от греческого «правильная форма»). Квалификация «малый» означает, что при некоторой заданной точности измерения не может быть обнаружено никаких изменений в масштабном факторе по элементу. Поскольку конформные проекции имеют изотропный масштабный фактор, их также называют ортоморфными проекциями . Например, проекция Меркатора является конформной, поскольку она построена так, чтобы сохранять углы, а ее масштабный фактор является изотропным, функцией только широты: Меркатор сохраняет форму в малых областях.

Определение: на конформной проекции с изотропным масштабом точки, имеющие одинаковое значение масштаба, могут быть соединены для формирования изомасштабных линий . Они не нанесены на карты для конечных пользователей, но они фигурируют во многих стандартных текстах. (См. Snyder ^[1] страницы 203—206.)

Представительная фракция (РФ) или основная шкала

Существуют два соглашения, используемые при записи уравнений любой заданной проекции. Например, равнопрямоугольная цилиндрическая проекция может быть записана как

картографы:        ${\displaystyle x=a\lambda }$       ${\displaystyle y=a\varphi }$

математики:       ${\displaystyle x=\lambda }$       ${\displaystyle y=\varphi }$

Здесь мы примем первое из этих соглашений (следуя использованию в обзорах Снайдера). Очевидно, что приведенные выше уравнения проекций определяют положения на огромном цилиндре, обернутом вокруг Земли, а затем развернутом. Мы говорим, что эти координаты определяют проекционную карту , которую следует логически отличать от фактических напечатанных (или просматриваемых) карт. Если определение точечного масштаба в предыдущем разделе дано в терминах проекционной карты, то можно ожидать, что масштабные коэффициенты будут близки к единице. Для нормальных касательных цилиндрических проекций масштаб вдоль экватора равен k=1, и в целом масштаб изменяется по мере удаления от экватора. Анализ масштаба на проекционной карте представляет собой исследование изменения k от его истинного значения единицы.

Фактические печатные карты производятся с проекционной карты с постоянным масштабированием, обозначенным отношением, например, 1:100M (для карт всего мира) или 1:10000 (для планов городов). Чтобы избежать путаницы при использовании слова «масштаб», эта постоянная доля масштаба называется представительной долей (RF) печатной карты и должна быть идентифицирована с отношением, напечатанным на карте. Фактические координаты печатной карты для равнопромежуточной цилиндрической проекции:

печатная карта:        ${\displaystyle x=(RF)a\lambda }$       ${\displaystyle y=(RF)a\varphi }$

Это соглашение позволяет четко различать внутреннее масштабирование проекции и масштабирование редукции.

С этого момента мы игнорируем RF и работаем с проекционной картой.

Визуализация балльной шкалы: индикатриса Tissot

Проекция тройника Винкеля с индикатрисой деформации Тиссо

Рассмотрим небольшой круг на поверхности Земли с центром в точке P на широте и долготе . Поскольку точечный масштаб меняется в зависимости от положения и направления, проекция круга на проекцию будет искажена. Тиссо доказал, что, пока искажение не слишком велико, круг станет эллипсом на проекции. В общем случае размер, форма и ориентация эллипса будут меняться по проекции. Наложение этих эллипсов искажения на проекцию карты передает способ, которым точечный масштаб изменяется по карте. Эллипс искажения известен как индикатриса Тиссо . Показанный здесь пример - это проекция трипеля Винкеля , стандартная проекция для карт мира, созданная Национальным географическим обществом . Минимальное искажение наблюдается на центральном меридиане на широтах 30 градусов (север и юг). (Другие примеры ^{[5] [6]} ). ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \lambda }$

Точечная шкала для нормальных цилиндрических проекций сферы

Ключом к количественному пониманию масштаба является рассмотрение бесконечно малого элемента на сфере. На рисунке показана точка P на широте и долготе на сфере. Точка Q находится на широте и долготе . Прямые PK и MQ являются дугами меридианов длиной , где — радиус сферы, а — в радианах. Прямые PM и KQ являются дугами параллельных окружностей длиной с в радианах. При выводе точечного свойства проекции в точке P достаточно взять бесконечно малый элемент PMQK поверхности: в пределе Q, стремящегося к P, такой элемент стремится к бесконечно малому плоскому прямоугольнику. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \varphi +\delta \varphi }$ ${\displaystyle \lambda +\delta \lambda }$ ${\displaystyle a\,\delta \varphi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (a\cos \varphi )\delta \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Бесконечно малые элементы на сфере и нормальная цилиндрическая проекция

Нормальные цилиндрические проекции сферы имеют и равны функции только широты. Следовательно, бесконечно малый элемент PMQK на сфере проецируется в бесконечно малый элемент P'M'Q'K', который является точным прямоугольником с основанием и высотой  . Сравнивая элементы на сфере и проекцию, мы можем немедленно вывести выражения для масштабных коэффициентов на параллелях и меридианах. (Обработка масштаба в общем направлении может быть найдена ниже.) ${\displaystyle x=a\lambda }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }$ ${\displaystyle \delta y}$

параллельный масштабный коэффициент   ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

меридиональный масштабный фактор  ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}={\dfrac {y'(\varphi )}{a}}}$

Обратите внимание, что параллельный масштабный фактор не зависит от определения, поэтому он одинаков для всех нормальных цилиндрических проекций. Полезно отметить, что ${\displaystyle k=\sec \varphi }$ ${\displaystyle y(\varphi )}$

на широте 30 градусов параллельная шкала равна ${\displaystyle k=\sec 30^{\circ }=2/{\sqrt {3}}=1.15}$

на широте 45 градусов параллельная шкала равна ${\displaystyle k=\sec 45^{\circ }={\sqrt {2}}=1.414}$

на широте 60 градусов параллельная шкала равна ${\displaystyle k=\sec 60^{\circ }=2}$

на широте 80 градусов параллельная шкала равна ${\displaystyle k=\sec 80^{\circ }=5.76}$

на широте 85 градусов параллельная шкала равна ${\displaystyle k=\sec 85^{\circ }=11.5}$

Следующие примеры иллюстрируют три нормальные цилиндрические проекции, и в каждом случае изменение масштаба в зависимости от положения и направления иллюстрируется с помощью индикатрисы Тиссо .

Три примера нормальной цилиндрической проекции

Равнопрямоугольная проекция

Эквидистантная проекция с индикатрисой деформации Тиссо

Равнопромежуточная проекция ^[1] [ ^{2] [4],} также известная как Plate Carrée (по-французски «плоский квадрат») или (что несколько вводит в заблуждение) равнопромежуточная проекция, определяется как

${\displaystyle x=a\lambda ,}$   ${\displaystyle y=a\varphi ,}$

где — радиус сферы, — долгота от центрального меридиана проекции (здесь взят гринвичский меридиан в точке ), а — широта. Обратите внимание, что и указаны в радианах (полученных путем умножения градусной меры на коэффициент /180). Долгота находится в диапазоне , а широта — в диапазоне . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$

Поскольку предыдущий раздел дает ${\displaystyle y'(\varphi )=1}$

параллельная шкала,  ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

меридиональная шкала ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,1}$

Расчет балльной шкалы в произвольном направлении см. в приложении.

Рисунок иллюстрирует индикатрису Тиссо для этой проекции. На экваторе h=k=1 и круговые элементы не искажены при проекции. На более высоких широтах круги искажаются в эллипс, полученный растяжением только в параллельном направлении: в меридиональном направлении искажения нет. Отношение большой оси к малой оси равно . Очевидно, что площадь эллипса увеличивается во столько же раз. ${\displaystyle \sec \varphi }$

Поучительно рассмотреть использование шкал линеек, которые могут появиться в печатной версии этой проекции. Масштаб истинный (k=1) на экваторе, так что умножение его длины на печатной карте на обратную величину RF (или основной масштаб) дает фактическую окружность Земли. Шкала линейки на карте также нарисована в истинном масштабе, так что перенос расстояния между двумя точками на экваторе на шкалу линейки даст правильное расстояние между этими точками. То же самое верно и для меридианов. На параллели, отличной от экватора, масштаб таков, что когда мы переносим расстояние с параллели на шкалу линейки, мы должны разделить расстояние шкалы линейки на этот коэффициент, чтобы получить расстояние между точками при измерении вдоль параллели (что не является истинным расстоянием вдоль большого круга ). На линии с азимутом, скажем, 45 градусов ( ) масштаб непрерывно меняется с широтой, и перенос расстояния вдоль линии на шкалу линейки не дает расстояния, связанного с истинным расстоянием каким-либо простым способом. (Но см. приложение). Даже если бы можно было вычислить расстояние вдоль этой линии постоянного плоского угла, его релевантность сомнительна, поскольку такая линия на проекции соответствует сложной кривой на сфере. По этим причинам линейные шкалы на мелкомасштабных картах следует использовать с крайней осторожностью. ${\displaystyle \sec \varphi }$ ${\displaystyle \beta =45^{\circ }}$

проекция Меркатора

Проекция Меркатора с индикатрисой деформации Тиссо . (Искажение неограниченно увеличивается на более высоких широтах)

Проекция Меркатора отображает сферу в прямоугольник (бесконечной протяженности в -направлении) с помощью уравнений ^{[1] [2] [4]} ${\displaystyle y}$

${\displaystyle x=a\lambda \,}$

${\displaystyle y=a\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]}$

где a, и такие же, как в предыдущем примере. Поскольку масштабные коэффициенты: ${\displaystyle \lambda \,}$ ${\displaystyle \varphi \,}$ ${\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }$

параллельная шкала      ${\displaystyle k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi .}$

меридиональная шкала    ${\displaystyle h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\sec \varphi .}$

В математическом дополнении показано, что точечный масштаб в произвольном направлении также равен , поэтому масштаб изотропен (одинаков во всех направлениях), его величина увеличивается с широтой как . На диаграмме Тиссо каждый бесконечно малый круговой элемент сохраняет свою форму, но все больше увеличивается с увеличением широты. ${\displaystyle \sec \varphi }$ ${\displaystyle \sec \varphi }$

Равновеликая проекция Ламберта

Нормальная цилиндрическая равновеликая проекция Ламберта с индикатрисой деформации Тиссо

Равновеликая проекция Ламберта отображает сферу в конечный прямоугольник с помощью уравнений ^{[1] [2] [4]}

${\displaystyle x=a\lambda \qquad \qquad y=a\sin \varphi }$

где a, и такие же, как в предыдущем примере. Поскольку масштабные коэффициенты ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle y'(\varphi )=\cos \varphi }$

параллельная шкала       ${\displaystyle \quad k\;=\;{\dfrac {\delta x}{a\cos \varphi \,\delta \lambda \,}}=\,\sec \varphi \qquad \qquad {}}$

меридиональная шкала    ${\displaystyle \quad h\;=\;{\dfrac {\delta y}{a\,\delta \varphi \,}}=\,\cos \varphi }$

Ниже приведен расчет балльной шкалы в произвольном направлении.

Вертикальные и горизонтальные масштабы теперь компенсируют друг друга (hk=1), и на диаграмме Тиссо каждый бесконечно малый круговой элемент искажается в эллипс той же площади, что и неискаженные круги на экваторе.

Графики масштабных коэффициентов

График показывает изменение масштабных коэффициентов для трех приведенных выше примеров. Верхний график показывает изотропную функцию масштаба Меркатора: масштаб на параллели такой же, как и масштаб на меридиане. Другие графики показывают масштабный коэффициент меридиана для равнопрямоугольной проекции (h=1) и для равновеликой проекции Ламберта. Эти последние две проекции имеют параллельный масштаб, идентичный масштабу проекции Меркатора. Для Ламберта обратите внимание, что параллельный масштаб (как Меркатор A) увеличивается с широтой, а меридиональный масштаб (C) уменьшается с широтой таким образом, что hk=1, гарантируя сохранение площади.

Изменение масштаба в проекции Меркатора

Точечная шкала Меркатора равна единице на экваторе, поскольку она такова, что вспомогательный цилиндр, используемый в ее построении, является касательным к Земле на экваторе. По этой причине обычную проекцию следует называть касательной проекцией. Масштаб изменяется с широтой как . Поскольку стремится к бесконечности по мере приближения к полюсам, карта Меркатора сильно искажается на высоких широтах, и по этой причине проекция совершенно не подходит для карт мира (если только мы не обсуждаем навигацию и локсодромные линии ). Однако на широте около 25 градусов значение составляет около 1,1, поэтому проекция Меркатора имеет точность в пределах 10% в полосе шириной 50 градусов с центром на экваторе. Более узкие полосы лучше: полоса шириной 16 градусов (с центром на экваторе) имеет точность в пределах 1% или 1 части на 100. ${\displaystyle k=\sec \varphi }$ ${\displaystyle \sec \varphi }$ ${\displaystyle \sec \varphi }$

Стандартный критерий для хороших крупномасштабных карт заключается в том, что точность должна быть в пределах 4 частей на 10 000, или 0,04%, что соответствует . Поскольку достигает этого значения в градусах (см. рисунок ниже, красная линия). Следовательно, касательная проекция Меркатора является высокоточной в пределах полосы шириной 3,24 градуса с центром на экваторе. Это соответствует расстоянию с севера на юг около 360 км (220 миль). В пределах этой полосы проекция Меркатора очень хороша, высокоточна и сохраняет форму, поскольку она конформна (сохраняет угол). Эти наблюдения побудили к разработке поперечных проекций Меркатора, в которых меридиан рассматривается «как экватор» проекции, так что мы получаем точную карту в пределах узкого расстояния от этого меридиана. Такие карты хороши для стран, выровненных почти с севера на юг (например, Великобритания ), и набор из 60 таких карт используется для универсальной поперечной проекции Меркатора (UTM) . Обратите внимание, что в обеих этих проекциях (основанных на различных эллипсоидах) уравнения преобразования для x и y, а также выражение для масштабного коэффициента являются сложными функциями как широты, так и долготы. ${\displaystyle k=1.0004}$ ${\displaystyle \sec \varphi }$ ${\displaystyle \varphi =1.62}$

Изменение масштаба вблизи экватора для касательной (красная) и секущей (зеленая) проекций Меркатора.

Секущие, или модифицированные, проекции

Сравнение касательной и секущей цилиндрической, конической и азимутальной картографических проекций со стандартными параллелями, показанными красным цветом

Основная идея секущей проекции заключается в том, что сфера проецируется на цилиндр, который пересекает сферу по двум параллелям, скажем, северной и южной. Очевидно, что масштаб теперь верен на этих широтах, тогда как параллели под этими широтами сжимаются проекцией, и их (параллельный) масштабный коэффициент должен быть меньше единицы. Результатом является то, что отклонение масштаба от единицы уменьшается в более широком диапазоне широт. ${\displaystyle \varphi _{1}}$

В качестве примера, одна из возможных секущих проекций Меркатора определяется как

${\displaystyle x=0.9996a\lambda \qquad \qquad y=0.9996a\ln \left(\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right).}$

Числовые множители не изменяют форму проекции, но это означает, что масштабные коэффициенты изменяются:

секущая шкала Меркатора,    ${\displaystyle \quad k\;=0.9996\sec \varphi .}$

Таким образом

• масштаб на экваторе 0,9996,
• масштаб равен k  = 1 на широте, заданной как где так что градусы, ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \sec \varphi _{1}=1/0.9996=1.00004}$ ${\displaystyle \varphi _{1}=1.62}$
• k=1,0004 на широте, заданной для которой градусов. Таким образом, проекция имеет , то есть точность 0,04%, на более широкой полосе 4,58 градуса (по сравнению с 3,24 градусами для касательной формы). ${\displaystyle \varphi _{2}}$ ${\displaystyle \sec \varphi _{2}=1.0004/0.9996=1.0008}$ ${\displaystyle \varphi _{2}=2.29}$ ${\displaystyle 1<k<1.0004}$

Это иллюстрирует нижняя (зеленая) кривая на рисунке предыдущего раздела.

Такие узкие зоны высокой точности используются в проекции UTM и британской OSGB, обе из которых являются секущей, поперечной Меркатора на эллипсоиде с масштабом на центральном меридиане, постоянным в . Линии изошкалы с представляют собой слегка изогнутые линии примерно в 180 км к востоку и западу от центрального меридиана. Максимальное значение масштабного коэффициента составляет 1,001 для UTM и 1,0007 для OSGB. ${\displaystyle k_{0}=0.9996}$ ${\displaystyle k=1}$

Линии единичного масштаба на широте (северной и южной), где цилиндрическая проекционная поверхность пересекает сферу, являются стандартными параллелями секущей проекции. ${\displaystyle \varphi _{1}}$

В то время как узкая полоса с важна для высокоточного картографирования в крупном масштабе, для карт мира используются гораздо более широко разнесенные стандартные параллели для контроля изменения масштаба. Примерами являются ${\displaystyle |k-1|<0.0004}$

• Берманн со стандартными параллелями на 30 с.ш., 30 ю.ш.
• Равновеликая площадь Галла со стандартными параллелями 45 с.ш., 45 ю.ш.

Изменение масштаба для равновеликих проекций Ламберта (зеленый) и Галла (красный).

Графики масштаба для последнего показаны ниже в сравнении с коэффициентами масштаба равных площадей Ламберта. В последнем случае экватор является одной стандартной параллелью, а масштаб параллели увеличивается от k=1, чтобы компенсировать уменьшение масштаба меридиана. Для Галла масштаб параллели уменьшается на экваторе (до k=0,707), в то время как масштаб меридиана увеличивается (до k=1,414). Это приводит к грубому искажению формы в проекции Галла-Петерса. (На глобусе Африка примерно такой же длины, как и ширины). Обратите внимание, что масштабы меридиана и параллели равны единице на стандартных параллелях.

Математическое приложение

Бесконечно малые элементы на сфере и нормальная цилиндрическая проекция

Для нормальных цилиндрических проекций геометрия бесконечно малых элементов дает

${\displaystyle {\text{(a)}}\quad \tan \alpha ={\frac {a\cos \varphi \,\delta \lambda }{a\,\delta \varphi }},}$

${\displaystyle {\text{(b)}}\quad \tan \beta ={\frac {\delta x}{\delta y}}={\frac {a\,\delta \lambda }{\delta y}}.}$

Соотношение между углами и равно ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\text{(c)}}\quad \tan \beta ={\frac {a\sec \varphi }{y'(\varphi )}}\tan \alpha .\,}$

Для проекции Меркатора : углы сохраняются. (Неудивительно, поскольку это соотношение используется для вывода проекции Меркатора). Для равнопромежуточной проекции и проекции Ламберта мы имеем и соответственно, поэтому соотношение между и зависит от широты  . Обозначим точечный масштаб в точке P, когда бесконечно малый элемент PQ образует угол с меридианом, через Он задается отношением расстояний: ${\displaystyle y'(\varphi )=a\sec \varphi }$ ${\displaystyle \alpha =\beta }$ ${\displaystyle y'(\varphi )=a}$ ${\displaystyle y'(\varphi )=a\cos \varphi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \alpha \,}$ ${\displaystyle \mu _{\alpha }.}$

${\displaystyle \mu _{\alpha }=\lim _{Q\to P}{\frac {P'Q'}{PQ}}=\lim _{Q\to P}{\frac {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}{\sqrt {a^{2}\,\delta \varphi ^{2}+a^{2}\cos ^{2}\varphi \,\delta \lambda ^{2}}}}.}$

Подставляя и подставляя и из уравнений (а) и (б) соответственно, получаем ${\displaystyle \delta x=a\,\delta \lambda }$ ${\displaystyle \delta \varphi }$ ${\displaystyle \delta y}$

${\displaystyle \mu _{\alpha }(\varphi )=\sec \varphi \left[{\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}\right].}$

Для проекций, отличных от Меркатора, мы должны сначала вычислить из и с помощью уравнения (c), прежде чем мы сможем найти . Например, равнопрямоугольная проекция имеет так что ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mu _{\alpha }}$ ${\displaystyle y'=a}$

${\displaystyle \tan \beta =\sec \varphi \tan \alpha .\,}$

Если мы рассмотрим линию постоянного наклона на проекции, то как соответствующее значение , так и масштабный коэффициент вдоль линии являются сложными функциями . Не существует простого способа перенести общее конечное разделение на шкалу линейки и получить значимые результаты. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \varphi }$

Символ отношения

Хотя двоеточие часто используется для выражения отношений, в Unicode можно использовать символ, специфичный для отношений, слегка приподнятый: U+ 2236 ∶ RATIO ( ∶ ).

Смотрите также

• Географическое расстояние
• Шкала (аналитический инструмент)
• Масштаб (соотношение)
• Масштабирование (геометрия)
• Пространственный масштаб
• О точности в науке

Примечания

1. Текст «1 см = 6 км» является злоупотреблением обозначением знака равенства ; строго говоря, 1  см = 0,00001  км, согласно определению метрических префиксов .

Ссылки

1. Снайдер, Джон П. (1987). Картографические проекции — рабочее руководство. Профессиональная статья Геологической службы США 1395. Типография правительства США, Вашингтон, округ КолумбияЭту статью можно загрузить со страниц USGS. Она дает полную информацию о большинстве проекций вместе с вводными разделами, но не выводит ни одну из проекций из первых принципов. Вывод всех формул для проекций Меркатора можно найти в The Mercator Projections .
2. Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections , Джон П. Снайдер, 1993, стр. 5-8, ISBN 0-226-76747-7 . Это обзор практически всех известных проекций с древности до 1993 года. 
3. Selin, Helaine (2008). Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в не-западных культурах . Springer (опубликовано 17 марта 2008 г.). стр. 567. ISBN 978-1402049606.
4. Осборн, Питер (2013), Проекции Меркатора , doi :10.5281/zenodo.35392. (Дополнения: файлы Maxima и код и рисунки Latex) {{citation}}: Внешняя ссылка в |postscript=( помощь )CS1 maint: postscript (link)
5. Примеры индикатрисы Тиссо. Некоторые иллюстрации индикатрисы Тиссо, примененные к различным проекциям, отличным от обычной цилиндрической.
6. Дополнительные примеры индикатрисы Тиссо на Wikimedia Commons.