Метрика Рейсснера – Нордстрема

Сферически-симметричная метрика с электрическим зарядом

В физике и астрономии метрика Рейсснера -Нордстрема представляет собой статическое решение уравнений поля Эйнштейна-Максвелла , которое соответствует гравитационному полю заряженного, невращающегося сферически-симметричного тела массы M. Аналогичное решение для заряженного вращающегося тела дается метрикой Керра – Ньюмана .

Метрика была открыта между 1916 и 1921 годами Гансом Рейсснером , ^[1] Германом Вейлем , ^[2] Гуннаром Нордстремом ^[3] и Джорджем Баркером Джеффри ^[4] независимо друг от друга. ^[5]

Метрика

В сферических координатах метрика Рейсснера-Нордстрема (т.е. элемент линии ) — это где — скорость света , — собственное время, — координата времени (измеренная стационарными часами на бесконечности), — радиальная координата, — сферическая координата. углы, и – радиус Шварцшильда тела, определяемый формулой и – характерный масштаб длины, определяемый формулой Здесь – электрическая постоянная . ${\displaystyle (t,r,\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,d\tau ^{2}=\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2},}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$ ${\displaystyle r_{\text{s}}}$ ${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$ ${\displaystyle r_{Q}}$ ${\displaystyle r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \varepsilon _{0}c^{4}}}.}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

Полная масса центрального тела и его неприводимая масса связаны соотношением ^{[6] [7]} ${\displaystyle M_{\rm {irr}}={\frac {c^{2}}{G}}{\sqrt {\frac {r_{+}^{2}}{2}}}\ \to \ M={\frac {Q^{2}}{16\pi \varepsilon _{0}GM_{\rm {irr}}}}+M_{\rm {irr}}.}$

Разница между и обусловлена ​​эквивалентностью массы и энергии , в результате чего энергия электрического поля также вносит вклад в общую массу. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{\rm {irr}}}$

В пределе, когда заряд (или, что то же самое, масштаб длины ) стремится к нулю, восстанавливается метрика Шварцшильда . Тогда классическая ньютоновская теория гравитации может быть восстановлена ​​в пределе, когда это отношение стремится к нулю. В пределе, когда оба и стремятся к нулю, метрика становится метрикой Минковского для специальной теории относительности . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle r_{Q}}$ ${\displaystyle r_{\text{s}}/r}$ ${\displaystyle r_{Q}/r}$ ${\displaystyle r_{\text{s}}/r}$

На практике это соотношение зачастую крайне мало. Например, радиус Шварцшильда Земли составляет примерно 9  мм (3/8  дюйма ), тогда как радиус орбиты спутника на геостационарной орбите примерно в четыре миллиарда раз больше — 42 164  км (26 200  миль ). Даже на поверхности Земли поправки к ньютоновской гравитации составляют лишь одну миллиардную часть. Это соотношение становится большим только вблизи черных дыр и других сверхплотных объектов, таких как нейтронные звезды . ${\displaystyle r_{\text{s}}/r}$ ${\displaystyle r}$

Заряженные черные дыры

Хотя заряженные черные дыры с r _Q  ≪ r _s похожи на черную дыру Шварцшильда , они имеют два горизонта: горизонт событий и внутренний горизонт Коши . ^[8] Как и в случае с метрикой Шварцшильда, горизонты событий пространства-времени расположены там, где метрическая составляющая расходится; то есть где ${\displaystyle g_{rr}}$

$${\displaystyle 1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}=-{\frac {1}{g_{rr}}}=0.}$$

Это уравнение имеет два решения:

$${\displaystyle r_{\pm }={\frac {1}{2}}\left(r_{\rm {s}}\pm {\sqrt {r_{\rm {s}}^{2}-4r_{\rm {Q}}^{2}}}\right).}$$

Эти концентрические горизонты событий вырождаются за 2 r _Q  = r _s , что соответствует экстремальной черной дыре . Черные дыры с 2 r _Q  > r _s не могут существовать в природе, поскольку если заряд больше массы, то не может быть физического горизонта событий (слагаемое под квадратным корнем становится отрицательным). ^[9] Объекты с зарядом, превышающим их массу, могут существовать в природе, но они не могут коллапсировать в черную дыру, а если бы и могли, то продемонстрировали бы голую сингулярность . ^[10] Теории с суперсимметрией обычно гарантируют, что такие «суперэкстремальные» черные дыры не могут существовать.

Электромагнитный потенциал _

$${\displaystyle A_{\alpha }=(Q/r,0,0,0).}$$

Если в теорию включены магнитные монополи, то обобщение, включающее магнитный заряд P , получается путем замены Q ² на Q ² + P ² в метрике и включения члена P  cos  θ  dφ в электромагнитный потенциал. ^{[ нужны разъяснения ]}

Гравитационное замедление времени

Гравитационное замедление времени вблизи центрального тела определяется выражением

$${\displaystyle \gamma ={\sqrt {|g^{tt}|}}={\sqrt {\frac {r^{2}}{Q^{2}+(r-2M)r}}},}$$

$${\displaystyle v_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\gamma ^{2}-1}}{\gamma }}.}$$

Символы Кристоффеля

Символы Кристоффеля

$${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}=\sum _{s=0}^{3}\ {\frac {g^{is}}{2}}\left({\frac {\partial g_{js}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g_{sk}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g_{jk}}{\partial x^{s}}}\right)}$$

$${\displaystyle \{0,\ 1,\ 2,\ 3\}\to \{t,\ r,\ \theta ,\ \varphi \}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{tr}^{t}&={\frac {Mr-Q^{2}}{r(Q^{2}+r^{2}-2Mr)}}\\[6pt]\Gamma _{tt}^{r}&={\frac {(Mr-Q^{2})\left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r^{5}}}\\[6pt]\Gamma _{rr}^{r}&=-{\frac {Q^{2}-Mr}{r(Q^{2}-2Mr+r^{2})}}\\[6pt]\Gamma _{\theta \theta }^{r}&=-{\frac {r^{2}-2Mr+Q^{2}}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \varphi }^{r}&=-{\frac {\sin ^{2}\theta \left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\theta r}^{\theta }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \varphi }^{\theta }&=-\sin \theta \cos \theta \\[6pt]\Gamma _{\varphi r}^{\varphi }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma _{\varphi \theta }^{\varphi }&=\cot \theta \end{aligned}}}$$

Зная символы Кристоффеля, можно вычислить геодезические пробной частицы. ^{[11] [12]}

Тетрадная форма

Вместо работы в голономном базисе можно выполнять эффективные вычисления с тетрадой . ^[13] Позвольте быть набором одноформ с внутренним индексом Минковского , таким, что . Метрику Рейсснера можно описать тетрадой ${\displaystyle {\bf {e}}_{I}=e_{\mu I}}$ ${\displaystyle I\in \{0,1,2,3\}}$ ${\displaystyle \eta ^{IJ}e_{\mu I}e_{\nu J}=g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\bf {e}}_{0}=G^{1/2}\,dt}$,

${\displaystyle {\bf {e}}_{1}=G^{-1/2}\,dr}$,

${\displaystyle {\bf {e}}_{2}=r\,d\theta }$

${\displaystyle {\bf {e}}_{3}=r\sin \theta \,d\varphi }$

где . Параллельная транспортировка тетрады захватывается соединением one-forms . Они имеют только 24 независимых компонента по сравнению с 40 компонентами . Связи могут быть решены путем проверки уравнения Картана , где левая часть — это внешняя производная тетрады, а правая часть — произведение клина . ${\displaystyle G(r)=1-r_{s}r^{-1}+r_{Q}^{2}r^{-2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{IJ}=-{\boldsymbol {\omega }}_{JI}=\omega _{\mu IJ}=e_{I}^{\nu }\nabla _{\mu }e_{J\nu }}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$ ${\displaystyle d{\bf {e}}_{I}={\bf {e}}^{J}\wedge {\boldsymbol {\omega }}_{IJ}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{10}={\frac {1}{2}}\partial _{r}G\,dt}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{20}={\boldsymbol {\omega }}_{30}=0}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{21}=-G^{1/2}\,d\theta }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{31}=-\sin \theta G^{1/2}d\varphi }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{32}=-\cos \theta \,d\varphi }$

Тензор Римана можно построить как совокупность двух форм с помощью второго уравнения Картана, которое снова использует внешнюю производную и клиновое произведение. Этот подход значительно быстрее, чем традиционные вычисления с помощью ; обратите внимание, что существует только четыре ненулевых компонента по сравнению с девятью ненулевыми компонентами . ${\displaystyle {\bf {R}}_{IJ}=R_{\mu \nu IJ}}$ ${\displaystyle {\bf {R}}_{IJ}=d{\boldsymbol {\omega }}_{IJ}+{\boldsymbol {\omega }}_{IK}\wedge {\boldsymbol {\omega }}^{K}{}_{J},}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{IJ}}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$

Уравнения движения

^[14]

Из-за сферической симметрии метрики систему координат всегда можно выровнять таким образом, чтобы движение пробной частицы было ограничено плоскостью, поэтому для краткости и без ограничения общности мы используем θ вместо φ . В безразмерных натуральных единицах G  =  M  =  c  =  K  = 1 движение электрически заряженной частицы с зарядом q определяется выражением

$${\displaystyle {\ddot {x}}^{i}=-\sum _{j=0}^{3}\ \sum _{k=0}^{3}\ \Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}_{k}}}$$

$${\displaystyle {\ddot {t}}={\frac {\ 2(Q^{2}-Mr)}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {r}}{\dot {t}}+{\frac {qQ}{(r^{2}-2mr+Q^{2})}}\ {\dot {r}}}$$

$${\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})(Q^{2}-Mr)\ {\dot {t}}^{2}}{r^{5}}}+{\frac {(Mr-Q^{2}){\dot {r}}^{2}}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}+{\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})\ {\dot {\theta }}^{2}}{r}}+{\frac {qQ(r^{2}-2mr+Q^{2})}{r^{4}}}\ {\dot {t}}}$$

$${\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {2\ {\dot {\theta }}\ {\dot {r}}}{r}}.}$$

Все полные производные относятся к собственному времени . ${\displaystyle {\dot {a}}={\frac {da}{d\tau }}}$

Константы движения определяются решениями уравнения в частных производных ^[15] ${\displaystyle S(t,{\dot {t}},r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }},\varphi ,{\dot {\varphi }})}$

$${\displaystyle 0={\dot {t}}{\dfrac {\partial S}{\partial t}}+{\dot {r}}{\frac {\partial S}{\partial r}}+{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial \theta }}+{\ddot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}+{\ddot {r}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {r}}}}+{\ddot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}}$$

$${\displaystyle S_{1}=1=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,{\dot {t}}^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,{\dot {r}}^{2}-r^{2}\,{\dot {\theta }}^{2}.}$$

Разделимое уравнение

$${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2}{r}}{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}=0}$$

$${\displaystyle S_{2}=L=r^{2}{\dot {\theta }};}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2(Mr-Q^{2})}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}=0}$$

^[16]

$${\displaystyle S_{3}=E={\frac {{\dot {t}}(r^{2}-2Mr+Q^{2})}{r^{2}}}+{\frac {qQ}{r}}.}$$

Подстановка и в дает радиальное уравнение ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle S_{1}}$

$${\displaystyle c\int d\,\tau =\int {\frac {r^{2}\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.}$$

Умножив под знаком интеграла на, получим орбитальное уравнение ${\displaystyle S_{2}}$

$${\displaystyle c\int Lr^{2}\,d\theta =\int {\frac {L\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.}$$

Полное замедление времени между пробной частицей и наблюдателем на бесконечности равно

$${\displaystyle \gamma ={\frac {q\ Q\ r^{3}+E\ r^{4}}{r^{2}\ (r^{2}-2r+Q^{2})}}.}$$

Первые производные и контравариантные компоненты локальной 3-скорости связаны соотношением ${\displaystyle {\dot {x}}^{i}}$ ${\displaystyle v^{i}}$

$${\displaystyle {\dot {x}}^{i}={\frac {v^{i}}{\sqrt {(1-v^{2})\ |g_{ii}|}}},}$$

$${\displaystyle {\dot {r}}={\frac {v_{\parallel }{\sqrt {r^{2}-2M+Q^{2}}}}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}}$$

$${\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {v_{\perp }}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}.}$$

Удельная орбитальная энергия

$${\displaystyle E={\frac {\sqrt {Q^{2}-2rM+r^{2}}}{r{\sqrt {1-v^{2}}}}}+{\frac {qQ}{r}}}$$

удельный относительный угловой момент

$${\displaystyle L={\frac {v_{\perp }\ r}{\sqrt {1-v^{2}}}}}$$

${\displaystyle v_{\parallel }}$ ${\displaystyle v_{\perp }}$

$${\displaystyle v={\sqrt {v_{\perp }^{2}+v_{\parallel }^{2}}}={\sqrt {\frac {(E^{2}-1)r^{2}-Q^{2}-r^{2}+2rM}{E^{2}r^{2}}}}.}$$

Альтернативная формулировка метрики

Метрику можно выразить в форме Керра – Шилда следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\\[5pt]f&={\frac {G}{r^{2}}}\left[2Mr-Q^{2}\right]\\[5pt]\mathbf {k} &=(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {x}{r}},{\frac {y}{r}},{\frac {z}{r}}\right)\\[5pt]k_{0}&=1.\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что k — единичный вектор . Здесь M — постоянная масса объекта, Q — постоянный заряд объекта, а η — тензор Минковского .

Квантовые гравитационные поправки к метрике

В некоторых подходах к квантовой гравитации классическая метрика Рейсснера – Нордстрема получает квантовые поправки. Примером этого может служить подход эффективной теории поля, впервые предложенный Барвинским и Вилковиским. ^{[17] [18] [19] [20]} Во втором порядке по кривизне классическое действие Эйнштейна-Гильберта дополняется локальными и нелокальными членами:

${\displaystyle \Gamma =\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,{\bigg (}{\frac {R}{16\pi G_{N}}}+c_{1}(\mu )R^{2}+c_{2}(\mu )R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }+c_{3}(\mu )R_{\mu \nu \rho \sigma }R^{\mu \nu \rho \sigma }{\bigg )}-\int d^{4}x{\sqrt {-g}}{\bigg [}\alpha R\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R+\beta R_{\mu \nu }\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R^{\mu \nu }+\gamma R_{\mu \nu \rho \sigma }\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R^{\mu \nu \rho \sigma }{\bigg ]},}$

( отменяется с помощью и отменяется с помощью .) ${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }}$ ${\displaystyle R^{\mu \nu \rho \sigma }}$ ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle R^{\mu \nu }}$

где – энергетическая шкала. Точные значения коэффициентов неизвестны, так как они зависят от характера ультрафиолетовой теории квантовой гравитации. С другой стороны, коэффициенты поддаются вычислению. ^[21] Оператор имеет интегральное представление ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ ${\displaystyle \ln \left(\Box /\mu ^{2}\right)}$

${\displaystyle \ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)=\int _{0}^{+\infty }ds\,\left({\frac {1}{\mu ^{2}+s}}-{\frac {1}{\Box +s}}\right).}$

Новые дополнительные члены в действии подразумевают модификацию классического решения. Квантовая скорректированная метрика Рейсснера – Нордстрема до порядка была найдена Кампосом Дельгадо: ^[22] ${\displaystyle {\mathcal {O}}(G^{2})}$

${\displaystyle ds^{2}=-f(r)dt^{2}+{\frac {1}{g(r)}}dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2},}$

где

${\displaystyle f(r)=1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{r^{2}}}-{\frac {32\pi G^{2}Q^{2}}{r^{4}}}{\bigg [}c_{2}+4c_{3}+2\left(\beta +4\gamma \right)\left(\ln \left(\mu r\right)+\gamma _{E}-{\frac {3}{2}}\right){\bigg ]},}$

${\displaystyle g(r)=1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{r^{2}}}-{\frac {64\pi G^{2}Q^{2}}{r^{4}}}{\Big [}c_{2}+4c_{3}+2\left(\beta +4\gamma \right)\left(\ln \left(\mu r\right)+\gamma _{E}-2\right){\Big ]}.}$

Смотрите также

• Электрон черной дыры

Примечания

1. Рейсснер, Х. (1916). «Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie». Аннален дер Физик (на немецком языке). 50 (9): 106–120. Бибкод : 1916АнП...355..106Р. дои : 10.1002/andp.19163550905.
2. Вейль, Х. (1917). «Теория гравитации». Аннален дер Физик (на немецком языке). 54 (18): 117–145. Бибкод : 1917АнП...359..117Вт. дои : 10.1002/andp.19173591804.
3. Нордстрем, Г. (1918). «Об энергии гравитационного поля в теории Эйнштейна». Верхандл. Конинкл. Нед. Акад. Wetenschap., Afdel. Натюрк., Амстердам . 26 : 1201–1208. Бибкод : 1918KNAB...20.1238N.
4. Джеффри, Великобритания (1921). «Поле электрона по теории гравитации Эйнштейна». Учеб. Р. Сок. Лонд. А. _ 99 (697): 123–134. Бибкод : 1921RSPSA..99..123J. дои : 10.1098/rspa.1921.0028 .
5. Большое мышление
6. Тибо Дамур : Черные дыры: энергетика и термодинамика, S. 11 и далее.
7. Ашгар Квадир: Отталкивание Рейсснера Нордстрема
8. Чандрасекхар, С. (1998). Математическая теория черных дыр (переиздание). Издательство Оксфордского университета . п. 205. ИСБН 0-19850370-9. Архивировано из оригинала 29 апреля 2013 года . Проверено 13 мая 2013 г. И, наконец, тот факт, что решение Рейсснера-Нордстрема имеет два горизонта: внешний горизонт событий и внутренний «горизонт Коши», обеспечивает удобный мост к изучению решения Керра в последующих главах.
9. Эндрю Гамильтон: Геометрия Рейсснера Нордстрема (Каса Колорадо)
10. Картер, Брэндон . Глобальная структура семейства гравитационных полей Керра. Архивировано 22 июня 2020 г. в Wayback Machine , Physical Review , стр. 174.
11. Леонард Сасскинд : Теоретический минимум: геодезика и гравитация, ( Лекция по общей теории относительности 4 , временная метка: 34 минуты 18 секунд)
12. Ева Хакманн, Хунсяо Сюй: Движение заряженных частиц в пространстве-времени Керра – Ньюмана
13. Уолд, Общая теория относительности
14. Нордебо, Джонатан. «Метрика Рейсснера-Нордстрема» (PDF) . дива-портал . Проверено 8 апреля 2021 г.
15. Смит, Б. Р. младший (2009). «Уравнения в частных производных первого порядка в классической динамике». Являюсь. Дж. Физ . 77 (12): 1147–1153. Бибкод : 2009AmJPh..77.1147S. дои : 10.1119/1.3223358.
16. Миснер, CW; и другие. (1973). Гравитация . WH Freeman Co., стр. 656–658. ISBN 0-7167-0344-0.
17. Барвинский, Вилковиский, А.О., Г.А. (1983). «Обобщенная техника Швингера-ДеВитта и уникальное эффективное действие в квантовой гравитации». Физ. Летт. Б. _ 131 (4–6): 313–318. Бибкод : 1983PhLB..131..313B. дои : 10.1016/0370-2693(83)90506-3.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
18. Барвинский, Вилковиский, А.О., Г.А. (1985). «Обобщенный метод Швингера-ДеВитта в калибровочных теориях и квантовой гравитации». Физ. Представитель . 119 (1): 1–74. Бибкод : 1985PhR...119....1B. дои : 10.1016/0370-1573(85)90148-6.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
19. Барвинский, Вилковиский, А.О., Г.А. (1987). «За пределами техники Швингера-Дьюитта: преобразование петель в деревья и входные токи». Нукл. Физ. Б. _ 282 : 163–188. Бибкод : 1987NuPhB.282..163B. дои : 10.1016/0550-3213(87)90681-X.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
20. Барвинский, Вилковиский, А.О., Г.А. (1990). «Ковариантная теория возмущений. 2: Второй порядок по кривизне. Общие алгоритмы». Нукл. Физ. Б. _ 333 : 471–511. дои : 10.1016/0550-3213(90)90047-H.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
21. Донохью, Джон Ф. (2014). «Нелокальные квантовые эффекты в космологии: квантовая память, нелокальные уравнения FLRW и избежание сингулярностей». Физ. Преподобный Д. 89 (10): 10. arXiv : 1402.3252 . Бибкод : 2014PhRvD..89j4062D. doi : 10.1103/PhysRevD.89.104062. S2CID  119110865.
22. Кампос Дельгадо, Рубен (2022). «Квантовые гравитационные поправки к энтропии черной дыры Райснера-Нордстрема». Евро. Физ. Джей Си . 82 (3): 272. arXiv : 2201.08293 . Бибкод : 2022EPJC...82..272C. дои : 10.1140/epjc/s10052-022-10232-0 . S2CID  247824137.

Рекомендации

• Адлер, Р.; Базен, М.; Шиффер, М. (1965). Введение в общую теорию относительности . Нью-Йорк: Книжная компания McGraw-Hill. стр. 395–401. ISBN 978-0-07-000420-7.
• Уолд, Роберт М. (1984). Общая теория относительности. Чикаго: Издательство Чикагского университета. стр. 158, 312–324. ISBN 978-0-226-87032-8. Проверено 27 апреля 2013 г.

Внешние ссылки

• диаграммы пространства-времени, включая диаграмму Финкельштейна и диаграмму Пенроуза Эндрю Дж. С. Гамильтона.
• «Частица, движущаяся вокруг двух экстремальных черных дыр», Энрике Зелени, Демонстрационный проект Вольфрама .