Форма объема

Дифференциальная форма

В математике объемная форма или форма верхнего порядка — это дифференциальная форма степени, равной размерности дифференцируемого многообразия . Таким образом, на многообразии размерности объемная форма является -формой . Это элемент пространства сечений линейного расслоения , обозначаемый как . Многообразие допускает нигде не исчезающую объемную форму тогда и только тогда, когда оно ориентируемо. Ориентируемое многообразие имеет бесконечно много объемных форм, поскольку умножение объемной формы на нигде не исчезающую вещественную функцию дает другую объемную форму. На неориентируемых многообразиях вместо этого можно определить более слабое понятие плотности . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }^{n}(T^{*}M)}$ ${\displaystyle \Omega ^{n}(M)}$

Форма объема предоставляет средство для определения интеграла функции на дифференцируемом многообразии. Другими словами, форма объема дает меру, относительно которой функции могут быть интегрированы соответствующим интегралом Лебега . Абсолютное значение формы объема является элементом объема , который также известен по-разному как скрученная форма объема или псевдообъемная форма . Она также определяет меру, но существует на любом дифференцируемом многообразии, ориентируемом или нет.

Кэлеровы многообразия , будучи комплексными многообразиями , естественно ориентированы и, таким образом, обладают формой объема. В более общем смысле, th внешняя степень симплектической формы на симплектическом многообразии является формой объема. Многие классы многообразий имеют канонические формы объема: они имеют дополнительную структуру, которая позволяет выбирать предпочтительную форму объема. Ориентированные псевдоримановы многообразия имеют связанную каноническую форму объема. ${\displaystyle n}$

Ориентация

Далее речь пойдет только об ориентируемости дифференцируемых многообразий (это более общее понятие, определенное на любом топологическом многообразии).

Многообразие является ориентируемым, если оно имеет атлас координат, все функции перехода которого имеют положительные определители Якоби . Выбор максимального такого атласа является ориентацией на Форма объема на естественным образом порождает ориентацию, поскольку атлас координатных карт на , которые отправляются в положительное кратное евклидовой формы объема ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.}$

Объемная форма также позволяет указать предпочтительный класс кадров на основе касательных векторов, если ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle (X_{1},\ldots ,X_{n})}$ $${\displaystyle \omega \left(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}\right)>0.}$$

На совокупность всех правых фреймов действует группа общих линейных отображений в размерностях с положительным определителем. Они образуют главное подрасслоение линейного фреймового расслоения и , таким образом, ориентация, связанная с формой объема, дает каноническую редукцию фреймового расслоения к подрасслоению со структурной группой То есть, форма объема порождает -структуру на Очевидно , что более значительная редукция возможна при рассмотрении фреймов, которые имеют ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n).}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle M.}$

Таким образом, объемная форма также порождает -структуру . И наоборот, при наличии -структуры можно восстановить объемную форму, наложив ( 1 ) для специальных линейных фреймов, а затем решив для требуемой -формы , потребовав однородности в ее аргументах. ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \omega }$

Многообразие ориентируемо тогда и только тогда, когда оно имеет нигде не исчезающую объемную форму. Действительно, является деформационным ретрактом, поскольку где положительные действительные числа вложены как скалярные матрицы. Таким образом, каждая -структура сводится к -структуре, а -структуры совпадают с ориентациями на Более конкретно, тривиальность детерминантного расслоения эквивалентна ориентируемости, а линейное расслоение тривиально тогда и только тогда, когда оно имеет нигде не исчезающую секцию. Таким образом, существование объемной формы эквивалентно ориентируемости. ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)\to \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}=\mathrm {SL} \times \mathbb {R} ^{+},}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} ^{+}(n)}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \Omega ^{n}(M)}$

Отношение к мерам

При заданной форме объема на ориентированном многообразии плотность является псевдоформой объема на неориентированном многообразии, полученной путем забывания ориентации. Плотности также могут быть определены более обобщенно на неориентируемых многообразиях. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle |\omega |}$

Любая псевдоформа объема (и, следовательно, любая форма объема) определяет меру на борелевских множествах следующим образом: ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \mu _{\omega }(U)=\int _{U}\omega .}$$

Разница в том, что мера может быть интегрирована по (борелевскому) подмножеству , а объемная форма может быть интегрирована только по ориентированной ячейке. В исчислении с одной переменной запись рассматривается как объемная форма, а не просто мера, и указывает «интегрировать по ячейке с противоположной ориентацией, иногда обозначаемой ». ${\textstyle \int _{b}^{a}f\,dx=-\int _{a}^{b}f\,dx}$ ${\displaystyle dx}$ ${\textstyle \int _{b}^{a}}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle {\overline {[a,b]}}}$

Кроме того, общие меры не обязательно должны быть непрерывными или гладкими: они не обязательно должны определяться формой объема, или, выражаясь более формально, их производная Радона–Никодима относительно данной формы объема не обязательно должна быть абсолютно непрерывной .

Дивергенция

При наличии объемной формы на можно определить дивергенцию векторного поля как единственную скалярную функцию, обозначаемую как удовлетворяющую , где обозначает производную Ли вдоль , а обозначает внутреннее произведение или левое сжатие вдоль Если — векторное поле с компактным носителем и — многообразие с границей , то из теоремы Стокса следует , что является обобщением теоремы о дивергенции . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {div} X,}$ $${\displaystyle (\operatorname {div} X)\omega =L_{X}\omega =d(X\mathbin {\!\rfloor } \omega ),}$$ ${\displaystyle L_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\mathbin {\!\rfloor } \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \int _{M}(\operatorname {div} X)\omega =\int _{\partial M}X\mathbin {\!\rfloor } \omega ,}$$

Соленоидальные векторные поля — это поля с Из определения производной Ли следует, что форма объема сохраняется при течении соленоидального векторного поля. Таким образом, соленоидальные векторные поля — это как раз те поля, которые имеют сохраняющие объем потоки. Этот факт хорошо известен, например, в механике жидкости , где дивергенция поля скорости измеряет сжимаемость жидкости, которая, в свою очередь, представляет собой степень сохранения объема вдоль потоков жидкости. ${\displaystyle \operatorname {div} X=0.}$

Особые случаи

Группы Ли

Для любой группы Ли естественная форма объема может быть определена с помощью переноса. То есть, если является элементом , то левоинвариантная форма может быть определена с помощью , где является левым переносом. Как следствие, каждая группа Ли является ориентируемой. Эта форма объема единственна с точностью до скаляра, а соответствующая мера известна как мера Хаара . ${\displaystyle \omega _{e}}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}T_{e}^{*}G,}$ ${\displaystyle \omega _{g}=L_{g^{-1}}^{*}\omega _{e},}$ ${\displaystyle L_{g}}$

Симплектические многообразия

Любое симплектическое многообразие (или, на самом деле, любое почти симплектическое многообразие ) имеет естественную форму объема. Если является -мерным многообразием с симплектической формой, то нигде не равен нулю вследствие невырожденности симплектической формы. Как следствие, любое симплектическое многообразие является ориентируемым (на самом деле, ориентированным). Если многообразие является как симплектическим, так и римановым, то две формы объема совпадают, если многообразие является кэлеровым . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle \omega ^{n}}$

Риманова объемная форма

Любое ориентированное псевдориманово (включая риманово ) многообразие имеет естественную форму объема. В локальных координатах ее можно выразить как где — 1-формы , образующие положительно ориентированный базис для кокасательного расслоения многообразия. Здесь — абсолютное значение определителя матричного представления метрического тензора на многообразии. $${\displaystyle \omega ={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}}$$ ${\displaystyle dx^{i}}$ ${\displaystyle |g|}$

Форма объема обозначается по-разному: $${\displaystyle \omega =\mathrm {vol} _{n}=\varepsilon ={\star }(1).}$$

Здесь есть звезда Ходжа , таким образом, последняя форма подчеркивает, что объемная форма является дуальной по Ходжу постоянной форме отображения на многообразии, которая равна тензору Леви-Чивиты ${\displaystyle {\star }}$ ${\displaystyle {\star }(1),}$ ${\displaystyle \varepsilon .}$

Хотя греческая буква часто используется для обозначения формы объема, это обозначение не является универсальным; символ часто несет в себе множество других значений в дифференциальной геометрии (например, симплектическая форма). ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Инварианты формы объема

Формы объема не являются уникальными; они образуют торсор над неисчезающими функциями на многообразии следующим образом. При наличии неисчезающей функции на и формы объема есть форма объема на Наоборот, при наличии двух форм объема их отношение есть неисчезающая функция (положительная, если они определяют одинаковую ориентацию, отрицательная, если они определяют противоположные ориентации). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle f\omega }$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle \omega ,\omega ',}$

В координатах они обе просто являются ненулевой функцией, умноженной на меру Лебега , а их отношение является отношением функций, которое не зависит от выбора координат. По сути, это производная Радона–Никодима от относительно На ориентированном многообразии пропорциональность любых двух объемных форм можно рассматривать как геометрическую форму теоремы Радона–Никодима . ${\displaystyle \omega '}$ ${\displaystyle \omega .}$

Нет местной структуры

Объемная форма на многообразии не имеет локальной структуры в том смысле, что на малых открытых множествах невозможно различить заданную объемную форму и объемную форму на евклидовом пространстве (Кобаяши, 1972). То есть, для каждой точки в существует открытая окрестность и диффеоморфизм на открытое множество в такой, что объемная форма на является обратным протягиванием вдоль ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$ ${\displaystyle \varphi .}$

Как следствие, если и являются двумя многообразиями, каждое из которых имеет объемные формы , то для любых точек существуют открытые окрестности и и отображение такое , что объемная форма на ограничении на окрестность возвращается к объемной форме на ограничении на окрестность : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \omega _{M},\omega _{N},}$ ${\displaystyle m\in M,n\in N,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f^{*}\omega _{N}\vert _{V}=\omega _{M}\vert _{U}.}$

В одном измерении это можно доказать следующим образом: если задана объемная форма, то стандартная мера Лебега возвращается к : Конкретно , в высших измерениях для любой заданной точки существует окрестность, локально гомеоморфная , и можно применить ту же процедуру. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ $${\displaystyle f(x):=\int _{0}^{x}\omega .}$$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega =f^{*}dx.}$ ${\displaystyle \omega =f'\,dx.}$ ${\displaystyle m\in M,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1},}$

Глобальная структура: объем

Объемная форма на связном многообразии имеет единственный глобальный инвариант, а именно (общий) объем, обозначаемый , который инвариантен относительно отображений, сохраняющих объемную форму; он может быть бесконечным, например, для меры Лебега на На несвязном многообразии объем каждой связной компоненты является инвариантом. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu (M),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

В символах, если — гомеоморфизм многообразий, который тянется обратно к то, и многообразия имеют одинаковый объем. ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle \omega _{N}}$ ${\displaystyle \omega _{M},}$ $${\displaystyle \mu (N)=\int _{N}\omega _{N}=\int _{f(M)}\omega _{N}=\int _{M}f^{*}\omega _{N}=\int _{M}\omega _{M}=\mu (M)\,}$$

Формы объема также могут быть вытянуты обратно под покрывающие отображения , в этом случае они умножают объем на мощность слоя (формально, путем интегрирования вдоль слоя). В случае бесконечного листового покрытия (такого как ), форма объема на многообразии конечного объема вытягивается обратно к форме объема на многообразии бесконечного объема. ${\displaystyle \mathbb {R} \to S^{1}}$

Смотрите также

• Цилиндрическая система координат § Линейные и объемные элементы
• Мера (математика)  – Обобщение массы, длины, площади и объема.
• Метрика Пуанкаре дает обзор формы объема на комплексной плоскости
• Сферическая система координат § Интеграция и дифференциация в сферических координатах

Ссылки

• Кобаяши, С. (1972), Группы преобразований в дифференциальной геометрии , Классика математики, Springer, ISBN 3-540-58659-8, OCLC  31374337.
• Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях , Рединг, Массачусетс: WA Benjamin, Inc., ISBN 0-8053-9021-9.