рог Гавриила

Геометрическая фигура, имеющая бесконечную площадь поверхности, но конечный объем.

3D-иллюстрация рога Гавриила

Усеченное острое гиперболическое тело Торричелли с добавленным цилиндром (красным), используемое в его доказательстве

Рог Гавриила (также называемый трубой Торричелли ) — это тип геометрической фигуры, которая имеет бесконечную площадь поверхности , но конечный объем . Название отсылает к христианской традиции, согласно которой архангел Гавриил трубит в рог, чтобы возвестить о Судном дне . Свойства этой фигуры впервые были изучены итальянским физиком и математиком Эванджелистой Торричелли в 17 веке.

Эти красочные неформальные названия и намек на религию появились позже. ^[1] Собственное название Торричелли можно найти в латинском названии его статьи De solido hyperbolico acuto , написанной в 1643 году, усеченное острое гиперболическое тело , рассеченное плоскостью. ^[2] Том 1, часть 1 его Opera geometrica, опубликованная в следующем году, включала эту статью и второе, более ортодоксальное (на то время) архимедово доказательство его теоремы об объеме усеченного острого гиперболического тела. ^{[2] [3]} Это название использовалось в математических словарях 18-го века, включая «Hyperbolicum Acutum» в словаре Харриса 1704 года и в словаре Стоуна 1726 года, а также французский перевод Solide Hyperbolique Aigu в словаре Д'Аламбера 1751 года. ^[1]

Хотя современники приписывали ему первенство, Торричелли не был первым, кто описал бесконечно длинную форму с конечным объемом или площадью. ^[4] Работа Николая Орема в 14 веке была либо забыта, либо была им неизвестна. ^[4] Орем постулировал такие вещи, как бесконечно длинная форма, построенная путем деления двух квадратов конечной общей площади 2 с помощью геометрического ряда и перестановки частей в фигуру, бесконечно длинную в одном измерении, включающую ряд прямоугольников. ^[5]

Математическое определение

График ${\displaystyle y=1/x}$

Рог Габриэля формируется путем взятия графика с доменом и вращения его в трех измерениях вокруг оси x  . Открытие было сделано с использованием принципа Кавальери до изобретения исчисления , но сегодня исчисление можно использовать для вычисления объема и площади поверхности рога между x = 1 и x = a , где a > 1. ^[6] Используя интегрирование (см. Тело вращения и Поверхность вращения для получения подробной информации), можно найти объем V и площадь поверхности A : $${\displaystyle y={\frac {1}{x}},}$$ ${\displaystyle x\geq 1}$ $${\displaystyle V=\pi \int _{1}^{a}\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}\,\mathrm {d} x=\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right),}$$ $${\displaystyle A=2\pi \int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x>2\pi \int _{1}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=2\pi \cdot \left[\ln x\right]_{1}^{a}=2\pi \ln a.}$$

Значение a может быть сколь угодно большим, но из уравнения видно, что объем части рога между x = 1 и x = a никогда не превысит π ; однако он постепенно приближается к π по мере увеличения a . Математически объем приближается к π по мере того, как a стремится к бесконечности. Используя предельную нотацию исчисления, ^[7] $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }V=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi \cdot \lim _{a\to \infty }\left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi .}$$

Формула площади поверхности выше дает нижнюю границу для площади как 2π, умноженное на натуральный логарифм a . Верхней границы для натурального логарифма a не существует , поскольку a стремится к бесконечности . Это означает, что в этом случае рог имеет бесконечную площадь поверхности. То есть, ^[7] $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }A\geq \lim _{a\to \infty }2\pi \ln a=\infty .}$$

ВОстрое гиперболическое тело

Доказательство Торричелли показало, что объем усеченного острого гиперболического тела и добавленного цилиндра равен объему красного цилиндра с помощью применения неделимых Кавальери, отображающих цилиндры из первого в окружности во втором с диапазоном , который является как высотой последнего цилиндра, так и радиусом основания в первом. ${\textstyle 1/b\geq y\geq 0}$

Первоначальное неисчислительное доказательство Торричелли использовало объект, немного отличающийся от приведенного выше, который был построен путем усечения острого гиперболического тела плоскостью, перпендикулярной оси x  , и расширения его с противоположной стороны этой плоскости цилиндром с тем же основанием. ^[8] В то время как метод исчисления действует путем установки плоскости усечения в и интегрирования вдоль оси x  , Торричелли продолжал, вычисляя объем этого составного тела (с добавленным цилиндром) путем суммирования площадей поверхностей ряда концентрических прямых цилиндров внутри него вдоль оси y  и показывая, что это эквивалентно суммированию площадей внутри другого тела, (конечный) объем которого был известен. ^[9] ${\displaystyle x=1}$

В современной терминологии это тело было создано путем построения поверхности вращения функции (для строго положительного b ) ^[9]

${\displaystyle \quad {}y={\begin{cases}{\dfrac {1}{c}},&{\text{where }}0\leq x\leq b,\\{\dfrac {1}{x}},&{\text{where }}b\leq x.\end{cases}}}$

и теорема Торричелли заключалась в том, что его объем равен объему прямого цилиндра с высотой и радиусом : ^{[9] [8]} ${\displaystyle 1/b}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Теорема. Острое гиперболическое тело, бесконечно длинное, рассеченное плоскостью [перпендикулярной] к оси, вместе с цилиндром того же основания равно тому прямому цилиндру, основание которого есть latus versum (то есть ось) гиперболы, а высота равна радиусу основания этого острого тела.

—  De Solido Hyperbolico Acuto . Евангелиста Торричелли. 1643. Перевод Г. Лориа и Г. Вассуры 1919. ^[8]

Торричелли показал, что объем твердого тела может быть выведен из площадей поверхности этой серии концентрических прямых цилиндров, радиусы которых были и высоты . ^[9] Подстановка в формулу площадей поверхности (только сторон) этих цилиндров дает постоянную площадь поверхности для всех цилиндров . ^[9] Это также площадь круга радиуса и вложенные поверхности цилиндров (заполняющие объем тела), таким образом, эквивалентны сложенным площадям кругов радиуса, сложенных от 0 до , и, следовательно, объему вышеупомянутого прямого цилиндра, который, как известно, равен : ^[9] ${\displaystyle 1/b\geq r\geq 0}$ ${\displaystyle h=1/r}$ ${\displaystyle 2\pi r\times h=2\pi r\times 1/r=2\pi }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1/b}$ ${\displaystyle V=\pi r^{2}\times h=\pi ({\sqrt {2}})^{2}\times 1/b=2\pi /b}$

Propterea omnes simul superficies cylindricae, hoc est ipsum Solidum acutum , una cum cylindro base , aequale erit omnibus circulis simul, hoc est cylindro . Quod Erat и т. д. ${\displaystyle ebd}$ ${\displaystyle fedc}$ ${\displaystyle acgh}$

(Следовательно, все поверхности цилиндров, взятые вместе, то есть само острое тело, равны цилиндру основания , которое будет равно всем его окружностям, взятым вместе, то есть цилиндру .) ${\displaystyle EBD}$ ${\displaystyle FEDC}$ ${\displaystyle ACGH}$

—  De Solido Hyperbolico Acuto . Евангелиста Торричелли. 1643. Перевод Жаклин А. Стедалл , 2013. ^[10]

(Объем добавленного цилиндра, конечно, равен , и, таким образом, объем усеченного острого гиперболического тела сам по себе равен . Если , как в выводе современного исчисления, .) ${\displaystyle V_{c}=\pi r^{2}\times h=\pi (1/b)^{2}\times b=\pi /b}$ ${\displaystyle V_{s}=V-V_{c}=2\pi /b-\pi /b=\pi /b}$ ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle V_{s}=\pi }$

В Opera geometrica это одно из двух доказательств объема (усеченного) острого гиперболического тела. ^[3] Использование неделимых Кавальери в этом доказательстве было спорным в то время, а результат шокирующим (Торричелли позже записал, что Жиль де Роберваль пытался опровергнуть его); поэтому, когда Opera geometrica была опубликована, через год после De solido hyperbolico acuto , Торричелли также предоставил второе доказательство, основанное на ортодоксальных архимедовых принципах, показывающее, что прямой цилиндр (высота радиуса ) является как верхней, так и нижней границей объема. ^[3] По иронии судьбы, это было эхом собственной осторожности Архимеда, предоставившего два доказательства, механическое и геометрическое, в своей «Квадратуре параболы» Досифею. ^[11] ${\displaystyle 1/b}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Очевидный парадокс

Когда были открыты свойства рога Гавриила, тот факт, что вращение бесконечно большого сечения плоскости xy  вокруг оси x  порождает объект конечного объема, считался парадоксом . В то время как сечение, лежащее в плоскости xy  , имеет бесконечную площадь, любое другое сечение, параллельное ему, имеет конечную площадь. Таким образом, объем, вычисляемый из «взвешенной суммы» сечений, конечен.

Другой подход заключается в том, чтобы рассматривать тело как стопку дисков с уменьшающимися радиусами . Сумма радиусов дает гармонический ряд , который стремится к бесконечности. Однако правильным вычислением является сумма их квадратов. Каждый диск имеет радиус r = 1/ x и площадь π r ² или π/ x ² . Ряд Σ 1/ x расходится , но ряд Σ 1/ x ² сходится . В общем случае для любого действительного ε > 0 ряд Σ 1/ x ^{1+ ε} сходится. (см. Частные значения дзета-функции Римана для получения более подробной информации об этом результате)

Очевидный парадокс стал частью спора о природе бесконечности, в котором участвовали многие ключевые мыслители того времени, включая Томаса Гоббса , Джона Уоллиса и Галилео Галилея . ^[12]

Аналог рога Гавриила в двух измерениях имеет площадь 2, но бесконечный периметр.

Аналогичное явление применимо к длинам и площадям на плоскости. Площадь между кривыми 1/ x ² и −1/ x ² от 1 до бесконечности конечна, но длины двух кривых, очевидно, бесконечны.

В лекции 16 из своих Lectiones 1666 года Исаак Барроу утверждал , что теорема Торричелли ограничила общее изречение Аристотеля (из De Caelo книга 1, часть 6) о том, что «нет пропорции между конечным и бесконечным». ^{[13] [14]} Сам Аристотель, строго говоря, доказывал невозможность физического существования бесконечного тела, а не его невозможность как геометрической абстракции. ^[13] Барроу принимал современную ему точку зрения 17-го века о том, что изречение Аристотеля и другие геометрические аксиомы были (как он сказал в лекции 7) из «некой высшей и универсальной науки», лежащей в основе как математики, так и физики. ^[15] Таким образом, демонстрация Торричелли объекта с отношением между конечным (объемом) и бесконечным (площадью) противоречила этому изречению, по крайней мере частично. ^[15] Объяснение Барроу состояло в том, что изречение Аристотеля все еще справедливо, но только в более ограниченной форме при сравнении вещей одного типа, длины с длиной, площади с площадью, объема с объемом и т. д. ^[15] Оно не справедливо при сравнении вещей двух разных родов (например, площади с объемом), и, таким образом, бесконечная площадь может быть связана с конечным объемом. ^[15]

Другие использовали теорему Торричелли для подкрепления своих собственных философских утверждений, не связанных с математикой с современной точки зрения. ^[16] Игнас-Гастон Парди в 1671 году использовал острое гиперболическое тело, чтобы доказать, что конечные люди могут постичь бесконечность, и продолжил предлагать это как доказательство существования Бога и нематериальных душ. ^{[16] [17]} Поскольку конечная материя не может постичь бесконечность, утверждал Парди, тот факт, что люди могут постичь это доказательство, показывает, что люди должны быть чем-то большим, чем материя, и иметь нематериальные души. ^[17] Напротив, Антуан Арно утверждал, что, поскольку люди воспринимают здесь парадокс, человеческая мысль ограничена в том, что она может постичь, и, таким образом, не способна справиться с задачей опровержения божественных, религиозных истин. ^[16]

Спор Гоббса и Уоллиса на самом деле находился в области математики: Уоллис с энтузиазмом принял новые концепции бесконечности и неделимых, приступив к дальнейшим выводам, основанным на работе Торричелли, и расширил ее, используя арифметику, а не геометрические аргументы Торричелли; и Гоббс утверждал, что, поскольку математика выводится из восприятия реального мира конечных вещей, «бесконечность» в математике может означать только «неопределенный». ^[18] Это привело к написанию каждым из них писем в Королевское общество и в Philosophical Transactions , причем Гоббс в какой-то момент прибегнул к наименованию Уоллиса «сумасшедшим». ^[19] В 1672 году Гоббс попытался переформулировать теорему Торричелли как теорему о конечном теле , которое было бы бесконечно протяженным , в попытке удержать свое утверждение о том, что «естественный свет» (т. е. здравый смысл) говорит нам, что бесконечно длинная вещь должна иметь бесконечный объем. ^[19] Это согласуется с другими утверждениями Гоббса о том, что использование идеи линии нулевой ширины в геометрии было ошибочным, и что идея Кавальери о неделимых была необоснованной. ^[20] Уоллис утверждал, что существуют геометрические фигуры с конечной площадью/объемом, но без центра тяжести, основанные на Торричелли, заявляя, что понимание этого требует большего владения геометрией и логикой, «чем М. Хобс [ sic ] Мастер». ^[21] Он также реструктурировал аргументы в арифметических терминах как суммы арифметических прогрессий , последовательности арифметических бесконечно малых, а не последовательности геометрических неделимых. ^[22]

Орем уже продемонстрировал, что бесконечно длинная форма может иметь конечную площадь, где, по мере того как одно измерение стремится к бесконечно большому, другое измерение стремится к бесконечно малому. ^[23] По словам самого Барроу, «бесконечное уменьшение одного измерения компенсирует бесконечное увеличение другого» ^[23] в случае острого гиперболического тела по уравнению аполлоновой гиперболы . [ ^24] ${\textstyle xy=1}$

Парадокс художника

Поскольку рог имеет конечный объем, но бесконечную площадь поверхности, возникает очевидный парадокс, что рог можно заполнить конечным количеством краски, и все же этой краски будет недостаточно, чтобы покрыть его поверхность. ^[25] Однако этот парадокс снова является лишь очевидным парадоксом, вызванным неполным определением «краски» или использованием противоречивых определений краски для действий заполнения и покраски. ^[26]

Можно было бы постулировать «математическую» краску, которая бесконечно делима (или бесконечно утончаема, или просто имеет нулевую ширину, как геометрические линии нулевой ширины, с которыми боролся Гоббс) и способна перемещаться с бесконечной скоростью, или «физическую» краску со свойствами краски в реальном мире. ^[26] В любом из этих случаев очевидный парадокс исчезает: ^[26]

В случае «математической» краски из этого не следует, что бесконечная площадь поверхности требует бесконечного объема краски, поскольку произведение бесконечной площади поверхности на нулевую толщину краски дает неопределенность . ^[26]

При использовании физической краски для окраски внешней поверхности твердого тела потребуется бесконечное количество краски, поскольку физическая краска имеет ненулевую толщину. Теорема Торричелли не говорит о слое конечной ширины на внешней поверхности твердого тела, который на самом деле имел бы бесконечный объем. Таким образом, нет противоречия между бесконечным объемом краски и бесконечной площадью поверхности для покрытия. ^[26] Также невозможно покрасить внутреннюю часть твердого тела, конечный объем теоремы Торричелли, физической краской, поэтому противоречия не существует. ^[26] Это происходит потому, что физическая краска может заполнить только приближение объема твердого тела. ^{[27] [28]} Молекулы не полностью покрывают трехмерное пространство и оставляют зазоры, и есть точка, где «горловина» твердого тела становится слишком узкой для того, чтобы молекулы краски могли стекать вниз. ^{[26] [27]}

Физическая краска движется с ограниченной скоростью и ей потребуется бесконечное количество времени, чтобы стечь вниз. ^[29] Это также относится к «математической» краске нулевой толщины, если дополнительно не постулировать, что она течет с бесконечной скоростью. ^[29]

Другие различные постулаты «математической» краски, такие как бесконечно быстрая краска, которая становится тоньше с достаточно высокой скоростью, также устраняют парадокс. Для объема краски, поскольку площадь поверхности, которую нужно покрыть , A стремится к бесконечности, толщина краски стремится к нулю. ^[30] Как и в случае с самим твердым телом, бесконечное увеличение площади поверхности, которую нужно покрасить, в одном измерении компенсируется бесконечным уменьшением в другом измерении — толщиной краски. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi /A}$

Конверс

Рене-Франсуа де Слюз однажды иронично заметил, что это тело вращения (полу)циссоиды образует легкий кубок, который даже самый заядлый пьющий не сможет опустошить, потому что само по себе имеет конечный объем, но заключает в себе бесконечный объем. Однако не утверждается, что оно имеет конечную площадь поверхности.

Обратной поверхностью острого гиперболического тела Торричелли является поверхность вращения, имеющая конечную площадь поверхности, но бесконечный объем.

В ответ на теорему Торричелли, узнав о ней от Марена Мерсенна , Христиан Гюйгенс и Рене-Франсуа де Слюз написали друг другу письма о распространении теоремы на другие бесконечно длинные тела вращения; что было ошибочно идентифицировано как нахождение такого обращения. ^[31]

Ян А. ван Маанен, профессор математики в Утрехтском университете , сообщил в 1990-х годах, что однажды на конференции в Кристиансанне он ошибочно заявил , что де Слюз написал Гюйгенсу в 1658 году, что он нашел такую ​​форму: ^[32]

evi Opera Dedicator означает васкулию, размышлять нон великий, quod interim helluo nullus ebibat

(Я привожу размеры стакана (или вазы), который имеет небольшой вес, но который даже самый заядлый пьяница не сможет осушить.)

-  де Слюзе в письме Гюйгенсу, перевод Яна А. ван Маанена ^[32]

в ответ услышали ( Тони Гардинер и Ман-Кынг Сиу из Университета Гонконга ), что любая поверхность вращения с конечной площадью поверхности обязательно будет иметь конечный объем. ^[32]

Профессор ван Маанен понял, что это было неправильное толкование письма де Слуз, и что на самом деле де Слуз сообщал о том, что твердая «кубковая» форма, образованная вращением циссоиды Диокла и ее асимптоты вокруг оси y  , имела конечный объем (и, следовательно, «малый вес») и заключала в себе полость бесконечного объема. ^[33]

Гюйгенс первым показал, что площадь повернутой двумерной фигуры (между циссоидой и ее асимптотой) конечна, вычислив ее площадь как равную 3, умноженным на площадь образующей окружности циссоиды, а де Слюз применил теорему Паппуса о центроиде, чтобы показать, что тело вращения, таким образом, имеет конечный объем, являясь произведением этой конечной площади и конечной орбиты вращения. ^[33] Площадь, подвергаемая вращению, конечна; де Слюз на самом деле ничего не сказал о площади поверхности результирующего повернутого объема. ^[33]

Такое обратное не может произойти (предполагая евклидову геометрию ) при вращении непрерывной функции на замкнутом множестве.

Теорема

Пусть f  : [1, ∞) → [0, ∞) — непрерывно дифференцируемая функция. Обозначим через S тело вращения графика y = f ( x ) вокруг оси x  . Если площадь поверхности S конечна, то конечен и объем.

Доказательство

Так как площадь боковой поверхности A конечна, то предел выше : Следовательно, существует t ₀ такое, что супремум sup{ f ( x ) | x ≥ t ₀ } конечен. Следовательно, должен быть конечным, так как f является непрерывной функцией , что подразумевает, что f ограничена на интервале [1, ∞) . Наконец, объем: Следовательно: если площадь A конечна, то объем V также должен быть конечным. $${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{t\to \infty }\sup _{x\geq t}f(x)^{2}-f(1)^{2}&=\limsup _{t\to \infty }\int _{1}^{t}\left(f(x)^{2}\right)'\,\mathrm {d} x\\&\leq \int _{1}^{\infty }\left|\left(f(x)^{2}\right)'\right|\,\mathrm {d} x=\int _{1}^{\infty }2f(x)\left|f'(x)\right|\,\mathrm {d} x\\&\leq \int _{1}^{\infty }2f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {A}{\pi }}\\&<\infty .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle M=\sup\{f(x)\mid x\geq 1\}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}V&=\int _{1}^{\infty }f(x)\cdot \pi f(x)\,\mathrm {d} x\\&\leq \int _{1}^{\infty }{\frac {M}{2}}\cdot 2\pi f(x)\,\mathrm {d} x\\&\leq {\frac {M}{2}}\cdot \int _{1}^{\infty }2\pi f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {M}{2}}\cdot A.\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Снежинка Коха  – Фрактальная кривая
• Рог Пикара  – конусообразное образование, представляющее «форму» Вселенной согласно данным зонда микроволновой анизотропии Уилкинсона.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Псевдосфера  – Геометрическая поверхность
• Форма Вселенной  – Локальная и глобальная геометрия Вселенной
• Парадоксы Зенона  – Набор философских проблем

Ссылки

1. Mancosu 1999, стр. 243.
2. Struik 1969, стр. 227.
3. Bressoud 2021, стр. 29.
4. Манкосу 1999, с. 239–241.
5. Król 2018, стр. 83.
6. Хавил 2007, стр. 83–87.
7. Fleron 1999.
8. Struik 1969, стр. 229.
9. Bressoud 2021, стр. 28.
10. Уоллис 2013, стр. xvi.
11. Манкосу 1999, стр. 143.
12. Хавил 2007, стр. 82–91.
13. Mancosu 1999, стр. 139.
14. Манкосу 1999, стр. 239.
15. Mancosu 1999, стр. 140.
16. Mancosu 1999, стр. 142.
17. Jones 2008, стр. 118.
18. Манкосу 1999, стр. 145–146.
19. Манкосу 1999, стр. 146–147.
20. Манкосу 1999, стр. 148.
21. Манкосу 1999, стр. 146.
22. Уоллис 2013, стр. xvi – xvii.
23. Mancosu 1999, стр. 241.
24. Манкосу 1999, стр. 130.
25. Нахин 2021, стр. xxxi.
26. Нахин 2021, с. xxxii.
27. Pickover 2008, стр. 458.
28. де Пиллис 2002, стр. 140–141.
29. Chang 2012, стр. 30.
30. Климчук и Стэйплс 2013, стр. 64–65.
31. ван Маанен 1995, стр. 87–88.
32. van Maanen 1995, стр. 88.
33. van Maanen 1995, стр. 88–89.

Справочная библиография

• Брессо, Дэвид М. (2021). Переупорядоченное исчисление: история больших идей . Princeton University Press. ISBN 9780691218786.
• Чанг, Марк (2012). Парадоксы в научном выводе . CRC Press. ISBN 9781466509863.
• де Пиллис, Джон (2002). 777 математических тем для разговора . Cambridge University Press. ISBN 9780883855409.
• Флерон, Джулиан Ф. (1999). «Свадебный торт Габриэля». The College Mathematics Journal . 30 (1): 35–38. doi :10.2307/2687201. JSTOR  2687201.
• Havil, Julian (2007). В тупике!: математическое доказательство неправдоподобных идей. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12056-0.
• Джонс, Мэтью Л. (2008). Хорошая жизнь в научной революции: Декарт, Паскаль, Лейбниц и воспитание добродетели . Издательство Чикагского университета. ISBN 9780226409566.
• Климчук, Сергей; Стэплс, Сьюзен (2013). Парадоксы и софизмы в исчислении . Американское математическое общество. ISBN 9781614441106.
• Król, Zbigniew (2018). "Основные интуиции относительно концепции бесконечности в математике с исторической и теологической точки зрения". В Szatkowski, Mirosław (ред.). God, Time, Infinity . Philosophische Analyse. Том 75. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 9783110592030.
• Манкосу, Паоло (1999). «Парадоксы бесконечности». Философия математики и математическая практика в семнадцатом веке . Oxford University Press. ISBN 9780195132441.
• Нахин, Пол Дж. (2021). Когда меньше — лучше: как математики открыли множество умных способов сделать вещи настолько маленькими (или настолько большими), насколько это возможно . Научная библиотека Принстона. Том 118. Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691218762.
• Пиковер, Клиффорд (2008). От Архимеда до Хокинга: законы науки и великие умы, стоящие за ними . OUP USA. ISBN 9780195336115.
• Struik, DJ (1969). A Source Book in Mathematics, 1200–1800 . Source Books in the History of the Sciences. Vol. 11. Harvard University Press. ISBN 9780674823556.
• ван Маанен, Ян А. (1995). «Аллювиальные отложения, конические сечения и неправильные стекла, или история математики, применяемая в классе». В Swetz, Frank (ред.). Учитесь у Мастеров! . Материалы для учебных занятий. Том 3. Cambridge University Press. ISBN 9780883857038. ISSN  1557-5918.
• Уоллис, Джон (2013). «Введение». В Стедалл, Жаклин А. (ред.). Арифметика бесконечно малых . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Springer Science & Business Media. ISBN 9781475743128.

Дальнейшее чтение

• Ройер, Мелвин (2012). «Другие вещи Габриэля». PRIMUS: Проблемы, ресурсы и вопросы в бакалавриате по математике . 22 (4): 338–351. doi :10.1080/10511970.2010.517601. S2CID  119721808.
• Флерон, Джулиан Ф. "Свадебный торт Габриэля" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2016-12-13.
• Линч, Марк. «Парадоксальное ведро с краской».
• Лав, Уильям П. (январь 1989 г.). «Сверхтвердые тела: твердые тела с конечным объемом и бесконечными поверхностями». Учитель математики . 82 (1): 60–65. doi :10.5951/MT.82.1.0060. JSTOR  27966098.

Внешние ссылки

• Труба Торричелли на PlanetMath
• Вайсштейн, Эрик В. «Рог Гавриила». MathWorld .
• «Рог Гавриила» Джона Снайдера, Демонстрационный проект Вольфрама , 2007.
• Рог Гавриила: понимание твердого тела с конечным объемом и бесконечной площадью поверхности, Жан С. Джозеф.