В геометрии ромбоикосододекаэдр — архимедово тело , одно из тринадцати выпуклых изогональных непризматических тел , построенных из двух или более типов граней правильных многоугольников .
Он имеет 20 правильных треугольных граней, 30 квадратных граней, 12 правильных пятиугольных граней, 60 вершин и 120 ребер .
Иоганн Кеплер в «Гармониях мира » (1618) назвал этот многогранник ромбоикосододекаэдром , что является сокращением от усеченного икосододекаэдрического ромба , а икосододекаэдрический ромб был его названием для ромбического триаконтаэдра . [1] [2] Существуют различные усечения ромбического триаконтаэдра в топологический ромбоикосододекаэдр: в первую очередь его ректификация (слева), которая создает однородное тело (в центре), и ректификация двойного икосододекаэдра (справа), который является ядром двойного соединения .
Для ромбоикосододекаэдра с длиной ребра a площадь его поверхности и объем равны:
Если расширить икосододекаэдр , отодвинув грани от начала координат на нужную величину, не меняя ориентацию или размер граней, и залатать квадратные отверстия в результате, то получится ромбоикосододекаэдр. Следовательно, он имеет то же количество треугольников, что и икосаэдр, и то же количество пятиугольников, что и додекаэдр , с квадратом на каждом ребре каждого из них.
В качестве альтернативы, если вы расширите каждый из пяти кубов, отодвинув грани от начала координат на нужную величину и повернув каждый из пяти на 72° так, чтобы они были равноудалены друг от друга, не меняя ориентацию или размер граней, и залатаете пятиугольные и треугольные отверстия в результате, вы получите ромбоикосододекаэдр. Следовательно, он имеет то же количество квадратов, что и пять кубов.
Два кластера граней билунабиротонды , луночки ( каждая луночка, имеющая два треугольника, примыкающих к противоположным сторонам одного квадрата), могут быть выровнены с конгруэнтным участком граней на ромбоикосододекаэдре. Если две билунабиротонды выровнены таким образом на противоположных сторонах ромбоикосододекаэдра, то куб можно поместить между билунабиротондами в самом центре ромбоикосододекаэдра.
Ромбикосидодекаэдр имеет такое же расположение вершин, как и малый звездчатый усеченный додекаэдр , а также однородные соединения из шести или двенадцати пентаграммных призм .
Наборы Zometool для создания геодезических куполов и других многогранников используют прорезные шары в качестве соединителей. Шары представляют собой «расширенные» ромбоикосододекаэдры, в которых квадраты заменены прямоугольниками. Расширение выбрано таким образом, чтобы получившиеся прямоугольники были золотыми прямоугольниками .
Двенадцать из 92 тел Джонсона получены из ромбоикосододекаэдра, четыре из них вращением одного или нескольких пятиугольных куполов : гиратный , парабигиратный , метабигиратный и тригиратный ромбоикосододекаэдр . Еще восемь могут быть получены путем удаления до трех куполов, иногда также вращением одного или нескольких других куполов.
Декартовы координаты вершин ромбоикосододекаэдра с длиной ребра 2 и центром в начале координат являются четными перестановками : [3]
где φ = 1 + √ 5/2 — это золотое сечение . Следовательно, радиус описанной окружности этого ромбоикосододекаэдра — это общее расстояние этих точек от начала координат, а именно √ φ 6 +2 = √ 8φ+7 для длины ребра 2. Для единичной длины ребра R нужно разделить пополам, что дает
Ромбикосидодекаэдр имеет шесть специальных ортогональных проекций , центрированных на вершине, на двух типах ребер и трех типах граней: треугольники, квадраты и пятиугольники. Последние два соответствуют плоскостям Коксетера A 2 и H 2 .
Ромбоикосододекаэдр также может быть представлен в виде сферической мозаики и спроецирован на плоскость с помощью стереографической проекции . Эта проекция является конформной , сохраняющей углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются как дуги окружностей на плоскость.
Этот многогранник топологически связан как часть последовательности косоугольных многогранников с вершинной фигурой (3.4.n.4), которая продолжается как мозаики гиперболической плоскости . Эти вершинно-транзитивные фигуры имеют (*n32) зеркальную симметрию .
Существует 12 связанных тел Джонсона , 5 из которых являются убывающими, а 8 включают вращения:
Ромбикосидодекаэдр имеет общее расположение вершин с тремя невыпуклыми однородными многогранниками : малым звездчатым усеченным додекаэдром , малым додекоикосододекаэдром (имеющим общие треугольные и пятиугольные грани) и малым ромбододекаэдром (имеющим общие квадратные грани).
Расположение вершин также совпадает с расположением одинаковых соединений из шести или двенадцати пентаграммных призм .
В математической области теории графов ромбоикосододекаэдрический граф — это граф вершин и рёбер ромбоикосододекаэдра, одного из архимедовых тел . Он имеет 60 вершин и 120 рёбер и является квартикальным графом архимедовым графом . [5]
Unus igitur Trigonicus cum duobus Tetragonicis и uno Pentagonico, минус эффективность 4 прямых мышц и совпадение 20 Trigonicum, 30 Tetragonis и 12 Pentagonis, in unum Hexacontadyhedron, quod appello Rhombicoſidodecaëdron, ſeu sectum Rhombum Icoſidododecaëdricum.
