В философии сверхзадача — это счетно бесконечная последовательность операций, которые выполняются последовательно в течение конечного интервала времени. [1] Сверхзадачи называются гиперзадачами, когда число операций становится несчетно бесконечным . Гиперзадача, которая включает в себя одну задачу для каждого порядкового номера, называется ультразадачой . [2] Термин «сверхзадача» был придуман философом Джеймсом Ф. Томсоном , который изобрел лампу Томсона . Термин «гиперзадача» происходит от Кларка и Рида в их одноименной статье. [3]
Происхождение интереса к сверхзадачам обычно приписывают Зенону Элейскому . Зенон утверждал, что движение невозможно . Он рассуждал следующим образом: предположим, что наш зарождающийся «движитель», скажем Ахилл, хочет переместиться из А в В. Чтобы достичь этого, он должен пройти половину расстояния от А до В. Чтобы добраться из середины АВ до В, Ахилл должен пройти половину этого расстояния и т. д. и т. п. Сколько бы раз он ни выполнял одну из этих «перемещающихся» задач, ему остается выполнить еще одну, прежде чем он прибудет в В. Таким образом, согласно Зенону, движение (прохождение ненулевого расстояния за конечное время) является сверхзадачей. Далее Зенон утверждает, что сверхзадачи невозможны (как эта последовательность может быть завершена, если для каждого перемещения предстоит еще одно?). Из этого следует, что движение невозможно.
Аргумент Зенона принимает следующую форму:
Большинство последующих философов отвергают смелое заключение Зенона в пользу здравого смысла. Вместо этого они переворачивают аргумент и принимают его как доказательство от противного, где возможность движения принимается как должное. Они принимают возможность движения и применяют modus tollens ( контрапозитив ) к аргументу Зенона, чтобы прийти к выводу, что либо движение не является сверхзадачей, либо не все сверхзадачи невозможны. [ необходима цитата ]
Сам Зенон также обсуждает идею того, что он называет « Ахиллес и черепаха». Предположим, что Ахиллес — самый быстрый бегун и движется со скоростью 1 м/с. Ахиллес преследует черепаху, животное, известное своей медлительностью, которое движется со скоростью 0,1 м/с. Однако черепаха стартует на 0,9 метра впереди. Здравый смысл, кажется, подсказывает, что Ахиллес догонит черепаху ровно через 1 секунду, но Зенон утверждает, что это не так. Вместо этого он предполагает, что Ахиллес неизбежно должен подойти к точке, с которой черепаха стартовала, но к тому времени, как он этого достигнет, черепаха уже переместится в другую точку. Это продолжается, и каждый раз, когда Ахиллес достигает отметки, где была черепаха, черепаха будет достигать новой точки, которую Ахиллес должен будет догнать; в то время как он начинается с 0,9 метра, он становится дополнительным 0,09 метра, затем 0,009 метра и так далее, до бесконечности. Хотя эти расстояния будут становиться очень маленькими, они останутся конечными, в то время как погоня Ахилла за черепахой станет бесконечной сверхзадачей. Было сделано много комментариев по поводу этого конкретного парадокса; многие утверждают, что он находит лазейку в здравом смысле. [4]
Джеймс Ф. Томсон считал, что движение не является сверхзадачей, и он решительно отрицал, что сверхзадачи возможны. Он рассматривал лампу, которая может быть включена или выключена. В момент времени t = 0 лампа выключена, а выключатель включается в момент t = 1/2 ; после этого выключатель переключается после ожидания в течение половины времени, как и раньше. Томсон спрашивает, каково состояние в момент t = 1 , когда выключатель переключался бесконечно много раз. Он рассуждает, что он не может быть включен, потому что не было времени, когда он впоследствии не был выключен, и наоборот, и приходит к противоречию. Он приходит к выводу, что сверхзадачи невозможны. [5]
Пол Бенасерраф считает, что сверхзадачи, по крайней мере, логически возможны, несмотря на явное противоречие Томсона. Бенасерраф согласен с Томсоном в том, что описанный им эксперимент не определяет состояние лампы при t = 1. Однако он не согласен с Томсоном в том, что тот может вывести из этого противоречие, поскольку состояние лампы при t = 1 не может быть логически определено предыдущими состояниями. [ необходима цитата ]
Большая часть современной литературы исходит от потомков Бенацеррафа, тех, кто молчаливо принимает возможность сверхзадач. Философы, которые отвергают их возможность, склонны отвергать их не на таких основаниях, как у Томсона, а потому, что у них есть сомнения в самом понятии бесконечности. Конечно, есть исключения. Например, Маклафлин утверждает, что лампа Томсона непоследовательна, если ее анализировать с помощью теории внутренних множеств , варианта реального анализа .
Если сверхзадачи возможны, то истинность или ложность неизвестных предложений теории чисел, таких как гипотеза Гольдбаха , или даже неразрешимых предложений может быть определена за конечное время путем поиска методом грубой силы множества всех натуральных чисел. Однако это противоречило бы тезису Чёрча-Тьюринга . Некоторые утверждают, что это создает проблему для интуиционизма , поскольку интуиционист должен различать вещи, которые на самом деле не могут быть доказаны (потому что они слишком длинные или сложные; например, «Любопытный вывод» Булоса [ 6] ), но тем не менее считаются «доказуемыми», и те, которые доказуемы методом бесконечной грубой силы в указанном выше смысле.
Некоторые утверждали, что лампа Томсона физически невозможна, поскольку она должна иметь части, движущиеся со скоростью, превышающей скорость света (например, выключатель лампы). Адольф Грюнбаум предполагает, что лампа могла бы иметь полоску провода, которая при поднятии разрывает цепь и выключает лампу; затем эту полоску можно было бы поднимать на меньшее расстояние каждый раз, когда лампу нужно выключить, поддерживая постоянную скорость.
Однако такая конструкция в конечном итоге потерпит неудачу, поскольку в конечном итоге расстояние между контактами станет настолько малым, что позволит электронам перепрыгнуть через зазор, не давая цепи вообще разорваться. Тем не менее, для того, чтобы человек или любое устройство восприняли или воздействовали на состояние лампы, необходимо провести некоторое измерение, например, свет от лампы должен будет достичь глаза или датчика.
Любое такое измерение займет фиксированный промежуток времени, каким бы малым он ни был, и, следовательно, в какой-то момент измерение состояния станет невозможным. Поскольку состояние при t=1 невозможно определить даже в принципе, то не имеет смысла говорить о том, что лампа включена или выключена.
Были предложены и другие физически возможные сверхзадачи. В одном предложении один человек (или сущность) считает вверх от 1, занимая бесконечное количество времени, в то время как другой человек наблюдает это из системы отсчета, где это происходит в конечном пространстве времени. Для счетчика это не сверхзадача, но для наблюдателя — является. (Теоретически это может произойти из-за замедления времени , например, если наблюдатель падает в черную дыру , наблюдая за счетчиком, положение которого фиксировано относительно сингулярности.)
Густаво Э. Ромеро в статье «Крах сверхзадач» [7] утверждает, что любая попытка выполнить сверхзадачу приведет к образованию черной дыры , что сделает сверхзадачи физически невозможными.
Влияние сверхзадач на теоретическую информатику послужило толчком к появлению новых и интересных работ, например, работы Хэмкинса и Льюиса «Бесконечная машина Тьюринга». [8]
Предположим, что есть банка, вмещающая бесконечное количество шариков, и бесконечный набор шариков, помеченных числами 1, 2, 3 и т. д. В момент времени t = 0 шарики с 1 по 10 помещаются в банку, а шарик 1 вынимается. В момент времени t = 0,5 шарики с 11 по 20 помещаются в банку, а шарик 2 вынимается; в момент времени t = 0,75 шарики с 21 по 30 помещаются в банку, а шарик 3 вынимается; и вообще в момент времени t = 1 − 0,5 n шарики с 10 n + 1 по 10 n + 10 помещаются в банку, а шарик n + 1 вынимается. Сколько шариков находится в банке в момент времени t = 1?
Один аргумент утверждает, что в банке должно быть бесконечно много шариков, потому что на каждом шаге до t = 1 количество шариков увеличивается по сравнению с предыдущим шагом и делает это неограниченно. Второй аргумент, однако, показывает, что банка пуста. Рассмотрим следующий аргумент: если банка не пуста, то в банке должен быть шарик. Допустим, что этот шарик помечен номером n . Но в момент времени t = 1 − 0,5 n - 1 n - й шарик был вынут, поэтому шарик n не может быть в банке. Это противоречие, поэтому банка должна быть пустой. Парадокс Росса–Литтлвуда заключается в том, что здесь у нас есть два, казалось бы, совершенно хороших аргумента с совершенно противоположными выводами.
Значительный интерес вызвал «Парадокс богов» Дж. А. Бенардете : [9]
Человек проходит милю от точки α. Но есть бесконечное множество богов, каждый из которых, неизвестный другим, намеревается помешать ему. Один из них воздвигнет барьер, чтобы остановить его дальнейшее продвижение, если он достигнет точки в полмили, второй — если он достигнет точки в четверть мили, третий — если он пройдет одну восьмую мили, и так далее до бесконечности. Поэтому он даже не может начать, потому что, какое бы короткое расстояние он ни прошел, его уже остановит барьер. Но в этом случае никакой барьер не поднимется, так что нет ничего, что могло бы помешать ему отправиться в путь. Он был вынужден оставаться там, где он находится, из-за одних лишь невыполненных намерений богов. [10]
— М. Кларк, Парадоксы от А до Я
Вдохновленный парадоксом Дж. А. Бенардете относительно бесконечной серии убийц [11], Дэвид Чалмерс описывает парадокс следующим образом:
Существует счетное множество мрачных жнецов, по одному на каждое положительное целое число. Мрачный жнец 1 расположен убить вас косой в 13:00, если и только если вы все еще живы (иначе его коса остается неподвижной на протяжении всего времени), на что уйдет 30 минут. Мрачный жнец 2 расположен убить вас косой в 12:30, если и только если вы все еще живы, на что уйдет 15 минут. Мрачный жнец 3 расположен убить вас косой в 12:15 и так далее. Вы все еще живы незадолго до 12:00, вы можете умереть только из-за движения косы мрачного жнеца, и после смерти вы остаетесь мертвым. На первый взгляд, эта ситуация кажется возможной — каждый жнец кажется возможным индивидуально и внутренне, и кажется разумным объединить отдельных людей с различными внутренними свойствами в одну ситуацию. Но небольшое размышление показывает, что описанная ситуация противоречива. Я не могу дожить до любого момента после 12 часов дня (смерть схватит меня первой), но меня нельзя убить (чтобы смерть с косой n убила меня, я должен был пережить смерть с косой n +1, что невозможно). [12]
Он приобрел значение в философии благодаря использованию его в аргументации в пользу конечного прошлого, тем самым имея отношение к космологическому аргументу Калама . [13] [14] [15] [16]
Предложенная Э. Брайаном Дэвисом [ 17], эта машина может в течение получаса создать точную копию самой себя, которая в два раза меньше ее и способна к удвоенной скорости репликации. Эта копия, в свою очередь, создаст еще более быструю версию самой себя с теми же характеристиками, что приведет к сверхзадаче, которая завершится через час. Если, кроме того, машины создадут канал связи между родительской и дочерней машинами, который обеспечивает последовательно более высокую пропускную способность, и машины способны выполнять простую арифметику, машины могут быть использованы для выполнения доказательств методом грубой силы неизвестных гипотез. Однако Дэвис также указывает, что - из-за фундаментальных свойств реальной вселенной, таких как квантовая механика , тепловой шум и теория информации - его машина на самом деле не может быть построена.