Свободная частица

Частица, не связанная внешней силой

В физике свободная частица — это частица, которая в некотором смысле не связана внешней силой или, что эквивалентно, не находится в области, где ее потенциальная энергия меняется. В классической физике это означает, что частица находится в пространстве «без поля». В квантовой механике это означает, что частица находится в области однородного потенциала, обычно равного нулю в интересующей нас области, поскольку потенциал может быть произвольно равен нулю в любой точке пространства.

Классическая свободная частица

Классическая свободная частица характеризуется фиксированной скоростью v . Импульс определяется выражением , а кинетическая энергия (равная полной энергии) — выражением, где m — масса частицы, а v — вектор скорости частицы. $${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$$ $${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}}$$

Квантовая свободная частица

Распространение волн де Бройля в 1d - действительная часть комплексной амплитуды - синяя, мнимая - зеленая. Вероятность (показанная как непрозрачность цвета ) нахождения частицы в заданной точке x распространяется подобно волновой форме, нет определенного положения частицы. По мере увеличения амплитуды выше нуля кривизна уменьшается, поэтому снова уменьшается, и наоборот - результатом является переменная амплитуда: волна. Вверху: Плоская волна . Внизу: Волновой пакет .

Математическое описание

Свободная частица с массой в нерелятивистской квантовой механике описывается свободным уравнением Шредингера : ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)}$$

где ψ — волновая функция частицы в положении r и времени t . Решение для частицы с импульсом p или волновым вектором k , при угловой частоте ω или энергии E , задается комплексной плоской волной :

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$$

с амплитудой A и имеет два различных правила в зависимости от его массы:

1. если частица имеет массу : (или эквивалент ). ${\displaystyle m}$ ${\textstyle \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}}$ ${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$
2. если частица является безмассовой частицей: . ${\displaystyle \omega =kc}$

Спектр собственных значений бесконечно вырожден, поскольку каждому собственному значению E > 0 соответствует бесконечное число собственных функций, соответствующих различным направлениям . ${\displaystyle \mathbf {p} }$

Применяются соотношения Де Бройля : , . Поскольку потенциальная энергия (утверждается) равна нулю, полная энергия E равна кинетической энергии, которая имеет ту же форму, что и в классической физике: ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$ ${\displaystyle E=\hbar \omega }$

$${\displaystyle E=T\,\rightarrow \,{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega }$$

Что касается всех свободных или связанных квантовых частиц , то здесь действуют принципы неопределенности Гейзенберга . Очевидно, что поскольку плоская волна имеет определенный импульс (определенную энергию), вероятность нахождения местоположения частицы равномерна и пренебрежимо мала во всем пространстве. Другими словами, волновая функция не нормализуется в евклидовом пространстве, эти стационарные состояния не могут соответствовать физически реализуемым состояниям . ^[1] ${\textstyle \Delta p_{x}\Delta x\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

Измерения и расчеты

Условие нормировки волновой функции гласит, что если волновая функция принадлежит квантовому пространству состояний ^[2], то интеграл функции плотности вероятности $${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} ^{3}),}$$ $${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2},}$$

где * обозначает комплексное сопряжение , по всему пространству — вероятность нахождения частицы во всем пространстве, которая должна быть равна единице, если частица существует: Состояние свободной частицы, заданное решениями в виде плоских волн, не нормализуется как для любого фиксированного времени . Однако, используя волновые пакеты , состояния можно выразить как функции, которые нормализуются . $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d^{3}\mathbf {r} =1.}$$ $${\displaystyle Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\notin L^{2}(\mathbb {R} ^{3}),}$$ ${\displaystyle t}$

Интерпретация волновой функции для одной частицы со спином 0 в одном измерении. Показанные волновые функции непрерывны, конечны, однозначны и нормализованы. Цветовая непрозрачность (%) частиц соответствует плотности вероятности (которая может измеряться в %) нахождения частицы в точках на оси x.

Волновой пакет

Используя теорему об обращении Фурье , волновую функцию свободной частицы можно представить в виде суперпозиции собственных функций импульса или волнового пакета : ^[3] где и — преобразование Фурье « достаточно хорошей » начальной волновой функции . $${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathrm {all\,\mathbf {k} \,space} }{\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega (\mathbf {k} )t)}d^{3}\mathbf {k} ,}$$ $${\displaystyle \omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} ^{2}}{2m}},}$$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,0)}$

Ожидаемое значение импульса p для комплексной плоской волны равно

$${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\left\langle \psi \left|-i\hbar \nabla \right|\psi \right\rangle =\hbar \mathbf {k} ,}$$

а для общего волнового пакета это

$${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\int _{\mathrm {all\,space} }\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)(-i\hbar \nabla )\psi (\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} =\int _{\mathrm {all\,{\textbf {k}}\,space} }\hbar \mathbf {k} |{\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )|^{2}d^{3}\mathbf {k} .}$$

Ожидаемое значение энергии E равно

$${\displaystyle \langle E\rangle =\left\langle \psi \left|-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right|\psi \right\rangle =\int _{\text{all space}}\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right)\psi (\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} .}$$

Групповая скорость и фазовая скорость

Распространение волнового пакета, с движением одного пика, закрашенного фиолетовым цветом. Пики движутся с фазовой скоростью, в то время как весь пакет движется с групповой скоростью.

Фазовая скорость определяется как скорость, с которой распространяется решение плоской волны, а именно:

$${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\hbar k}{2m}}={\frac {p}{2m}}.}$$

Обратите внимание, что это не скорость классической частицы с импульсом ; скорее, это половина классической скорости. ${\displaystyle {\frac {p}{2m}}}$ ${\displaystyle p}$

Между тем, предположим, что исходная волновая функция представляет собой волновой пакет , преобразование Фурье которого сосредоточено вблизи определенного волнового вектора . Тогда групповая скорость плоской волны определяется как ${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ $${\displaystyle v_{g}=\nabla \omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m}}={\frac {\mathbf {p} }{m}},}$$

что согласуется с формулой для классической скорости частицы. Групповая скорость — это (приблизительная) скорость, с которой распространяется весь волновой пакет, в то время как фазовая скорость — это скорость, с которой движутся отдельные пики в волновом пакете. ^[4] Рисунок иллюстрирует это явление, при этом отдельные пики в волновом пакете распространяются со скоростью, составляющей половину скорости всего пакета.

Распространение волнового пакета

Понятие групповой скорости основано на линейном приближении к дисперсионному соотношению вблизи определенного значения . ^[5] В этом приближении амплитуда волнового пакета движется со скоростью, равной групповой скорости, не изменяя форму . Этот результат является приближением, которое не может уловить некоторые интересные аспекты эволюции свободной квантовой частицы. В частности, ширина волнового пакета, измеряемая неопределенностью положения, линейно растет со временем для больших времен. Это явление называется распространением волнового пакета для свободной частицы. ${\displaystyle \omega (k)}$ ${\displaystyle k}$

В частности, несложно вычислить точную формулу для неопределенности как функции времени, где — оператор положения. Работая в одном пространственном измерении для простоты, имеем: ^[6] где — волновая функция времени ноль. Выражение в скобках во втором члене в правой части — это квантовая ковариация и . ${\displaystyle \Delta _{\psi (t)}X}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle (\Delta _{\psi (t)}X)^{2}={\frac {t^{2}}{m^{2}}}(\Delta _{\psi _{0}}P)^{2}+{\frac {2t}{m}}\left(\left\langle {\tfrac {1}{2}}({XP+PX})\right\rangle _{\psi _{0}}-\left\langle X\right\rangle _{\psi _{0}}\left\langle P\right\rangle _{\psi _{0}}\right)+(\Delta _{\psi _{0}}X)^{2},}$$ ${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$

Таким образом, для больших положительных времен неопределенность в растет линейно, причем коэффициент при равен . Если импульс начальной волновой функции сильно локализован, волновой пакет будет распространяться медленно, и приближение групповой скорости останется хорошим в течение длительного времени. Интуитивно этот результат говорит, что если начальная волновая функция имеет очень четко определенный импульс, то частица имеет четко определенную скорость и будет (в хорошем приближении) распространяться с этой скоростью в течение длительного времени. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (\Delta _{\psi _{0}}P)/m}$ ${\displaystyle \psi _{0}}$

Релятивистская квантовая свободная частица

Существует ряд уравнений, описывающих релятивистские частицы: см. релятивистские волновые уравнения .

Смотрите также

• Волновой пакет
• Групповая скорость
• Частица в коробке
• Конечный квадратный колодец
• Дельта-потенциал

Примечания

1. "Лекция 9" (PDF) .
2. Бланшар и Брюнинг 2015, стр. 210.
3. Холл 2013 Раздел 4.1
4. Холл 2013 Разделы 4.3 и 4.4
5. Холл 2013 Уравнение 4.24
6. Холл 2013 Предложение 4.10

Ссылки

• Бланшар, Филипп; Брюнинг, Эрвин (2015). «Математические методы в физике». Прогресс в математической физике . Cham: Springer International Publishing. doi : 10.1007/978-3-319-14045-2. ISBN 978-3-319-14044-5. ISSN  1544-9998.
• Квантовая механика , Э. Аберс, редактор Пирсона, Эддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0 
• Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание) , Р. Эйсберг, Р. Резник, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0 
• Стационарные состояния , А. Холден, College Physics Monographs (США), Oxford University Press, 1971, ISBN 0-19-851121-3 
• Холл, Брайан С. (2013), Квантовая теория для математиков , Graduate Texts in Mathematics, т. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158
• Квантовая механика Демистифицирована , Д. Макмахон, McGraw Hill (США), 2006, ISBN 0-07-145546 9 
• Элементарная квантовая механика , Н. Ф. Мотт, Wykeham Science, Wykeham Press (Taylor & Francis Group), 1972, ISBN 0-85109-270-5 
• Квантовая механика , Э. Заарур, Й. Пелег, Р. Пнини, Очерки Шаума, Mc Graw Hill (США), 1998, ISBN 007-0540187 

Дальнейшее чтение

• Новая квантовая вселенная , Т. Хей, П. Уолтерс, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-56457-1 . 
• Квантовая теория поля , Д. Макмахон, McGraw Hill (США), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8 
• Квантовая механика , Э. Заарур, Й. Пелег, Р. Пнини, Schaum's Easy Outlines Crash Course, Mc Graw Hill (США), 2006, ISBN 978-007-145533-6