Фаза (волны)

Истекшая доля цикла периодической функции

График одного цикла синусоидальной функции. Фаза для каждого значения аргумента относительно начала цикла отображается внизу в градусах от 0° до 360° и в радианах от 0 до 2π.

В физике и математике фаза (символ φ или φ) волны или другой периодической функции некоторой реальной переменной (например, времени) представляет собой угловую величину , представляющую долю цикла, охватываемую до . Он выражен в таком масштабе , что изменяется на один полный оборот по мере прохождения переменной каждого периода (и прохождения каждого полного цикла). Ее можно измерить в любой угловой единице , например, в градусах или радианах , увеличивая таким образом на 360° или по мере того, как переменная завершает полный период. ^[1] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle t}$

Это соглашение особенно подходит для синусоидальной функции, поскольку ее значение при любом аргументе может быть выражено как синус фазы, умноженный на некоторый коэффициент ( амплитуда синусоиды). ( Вместо синуса можно использовать косинус , в зависимости от того, где считается начало каждого периода.) ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi (t)}$

Обычно при выражении фазы игнорируются целые обороты; так что это также периодическая функция с тем же периодом, что и , которая неоднократно сканирует один и тот же диапазон углов, проходящий через каждый период. Тогда говорят, что он находится «в одной и той же фазе» при двух значениях аргумента и (то есть ), если разница между ними составляет целое число периодов. ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle \varphi (t_{1})=\varphi (t_{2})}$

Числовое значение фазы зависит от произвольного выбора начала каждого периода и от интервала углов, которому должен быть сопоставлен каждый период. ${\displaystyle \varphi (t)}$

Термин «фаза» также используется при сравнении периодической функции со ее сдвинутой версией . Если сдвиг выражается в виде доли периода, а затем масштабируется до угла, охватывающего весь оборот, можно получить сдвиг фазы , сдвиг фазы или разность фаз относительно . Если является «канонической» функцией для класса сигналов, как и для всех синусоидальных сигналов, то называется начальной фазой . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \sin(t)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$

Математическое определение

Пусть – периодический сигнал (т. е. функция одной действительной переменной), а – его период (т. е. наименьшее положительное действительное число такое, что для всех ). Тогда фаза при любом аргументе равна ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F(t+T)=F(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$

$${\displaystyle \varphi (t)=2\pi \left[\!\!\left[{\frac {t-t_{0}}{T}}\right]\!\!\right]}$$

Здесь обозначает дробную часть действительного числа, отбрасывая его целую часть; то есть, ; и представляет собой произвольное «исходное» значение аргумента, которое считается началом цикла. ${\displaystyle [\![\,\cdot \,]\!]\!\,}$ ${\displaystyle [\![x]\!]=x-\left\lfloor x\right\rfloor \!\,}$ ${\displaystyle t_{0}}$

Эту концепцию можно визуализировать, представив часы со стрелкой, которая вращается с постоянной скоростью, делая полный оборот каждую секунду и указывая прямо вверх во времени . Фаза — это угол от положения 12:00 до текущего положения стрелки в момент времени , измеренный по часовой стрелке . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle t}$

Концепция фазы наиболее полезна, когда начало координат выбирается на основе особенностей . Например, для синусоиды удобным выбором является любая, где значение функции меняется от нуля до положительного. ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$

Приведенная выше формула дает фазу как угол в радианах между 0 и . Чтобы получить фазу как угол между и , вместо этого используется ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle -\pi }$ ${\displaystyle +\pi }$

$${\displaystyle \varphi (t)=2\pi \left(\left[\!\!\left[{\frac {t-t_{0}}{T}}+{\frac {1}{2}}\right]\!\!\right]-{\frac {1}{2}}\right)}$$

Фаза, выраженная в градусах (от 0° до 360° или от -180° до +180°), определяется таким же образом, за исключением «360°» вместо «2π».

Последствия

В любом из приведенных выше определений фаза периодического сигнала также является периодической с тем же периодом : ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \varphi (t+T)=\varphi (t)\quad \quad {\text{ for all }}t.}$$

Фаза равна нулю в начале каждого периода; то есть

$${\displaystyle \varphi (t_{0}+kT)=0\quad \quad {\text{ for any integer }}k.}$$

Более того, при любом выборе начала координат значение сигнала для любого аргумента зависит только от его фазы при . А именно, можно написать , где – функция угла, определенная только для одного полного оборота и описывающая изменение как диапазонов за один период. ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F(t)=f(\varphi (t))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$

Фактически, каждый периодический сигнал определенной формы можно выразить как ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle F(t)=A\,w(\varphi (t))}$$

${\displaystyle w}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle w}$

Добавление и сравнение этапов

Поскольку фазы представляют собой углы, любые полные обороты обычно следует игнорировать при выполнении арифметических операций над ними. То есть сумму и разность двух фаз (в градусах) следует вычислять по формулам

$${\displaystyle 360\,\left[\!\!\left[{\frac {\alpha +\beta }{360}}\right]\!\!\right]\quad \quad {\text{ and }}\quad \quad 360\,\left[\!\!\left[{\frac {\alpha -\beta }{360}}\right]\!\!\right]}$$

190° + 200°190 + 200 = 39030 − 50 = − 20

Аналогичные формулы справедливы и для радианов, но вместо 360. ${\displaystyle 2\pi }$

Сдвиг фазы

Иллюстрация фазового сдвига. Горизонтальная ось представляет собой угол (фазу), который увеличивается со временем.

Фазовращатель с использованием модулятора IQ

Разность фаз двух периодических сигналов и называется разностью фаз или фазовым сдвигом относительно . ^[1] При значениях, когда разность равна нулю, два сигнала считаются синфазными; в противном случае они не совпадают по фазе друг с другом. ${\displaystyle \varphi (t)=\varphi _{G}(t)-\varphi _{F}(t)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$

В аналогии с часами каждый сигнал представлен стрелкой (или указателем) одних и тех же часов, вращающихся с постоянной, но, возможно, с разной скоростью. Разность фаз представляет собой угол между двумя стрелками, измеренный по часовой стрелке.

Разность фаз особенно важна, когда два сигнала суммируются в результате физического процесса, например, двух периодических звуковых волн, излучаемых двумя источниками и записываемых вместе микрофоном. Обычно это имеет место в линейных системах, когда справедлив принцип суперпозиции .

Для аргументов , когда разность фаз равна нулю, два сигнала будут иметь одинаковый знак и будут усиливать друг друга. Говорят, что происходит конструктивное вмешательство . При аргументах , когда фазы разные, значение суммы зависит от формы сигнала. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

Для синусоиды

Для синусоидальных сигналов, когда разность фаз составляет 180° ( радиан), говорят, что фазы противоположны и что сигналы находятся в противофазе . Тогда сигналы имеют противоположные знаки и возникает деструктивная интерференция . ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle \pi }$И наоборот, обращение фазы или инверсия фазы подразумевает сдвиг фазы на 180 градусов. ^[2]

Когда разность фаз составляет четверть оборота (прямой угол, +90° = π/2 или -90° = 270° = -π/2 = 3π/2 ), синусоидальные сигналы иногда называют квадратурными , например , синфазные и квадратурные составляющие составного сигнала или даже разных сигналов (например, напряжения и тока). ${\displaystyle \varphi (t)}$

Если частоты разные, разность фаз увеличивается линейно с аргументом . Периодические смены подкрепления и противодействия вызывают явление, называемое избиением . ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle t}$

Для смещенных сигналов

Разность фаз особенно важна при сравнении периодического сигнала со его сдвинутой и, возможно, масштабированной версией . То есть предположим, что для некоторых констант и все . Предположим также, что начало координат для вычисления фазы также было смещено. В этом случае разность фаз является константой (независимой от ), называемой «сдвигом фазы» или «сдвигом фазы» относительно . В аналогии с часами эта ситуация соответствует тому, что две стрелки вращаются с одинаковой скоростью, так что угол между ними постоянен. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(t)=\alpha \,F(t+\tau )}$ ${\displaystyle \alpha ,\tau }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$

В этом случае фазовый сдвиг — это просто сдвиг аргумента , выраженный как часть общего периода (в терминах операции по модулю ) двух сигналов и затем масштабированный до полного оборота: ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \varphi =2\pi \left[\!\!\left[{\frac {\tau }{T}}\right]\!\!\right].}$$

Если является «каноническим» представителем класса сигналов, как и для всех синусоидальных сигналов, то фазовый сдвиг называется просто начальной фазой . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \sin(t)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$

Следовательно, когда два периодических сигнала имеют одинаковую частоту, они всегда находятся в фазе или всегда в противофазе. С физической точки зрения такая ситуация обычно возникает по многим причинам. Например, два сигнала могут представлять собой периодическую звуковую волну, записанную двумя микрофонами в разных местах. Или, наоборот, это могут быть периодические звуковые волны, создаваемые двумя отдельными динамиками из одного и того же электрического сигнала и записываемые одним микрофоном. Это может быть радиосигнал , достигающий приемной антенны по прямой линии, и его копия, отраженная от большого здания неподалеку.

Хорошо известным примером разности фаз является длина теней, видимых в разных точках Земли. В первом приближении, если длина, наблюдаемая в данный момент в одном месте, и длина, наблюдаемая одновременно в 30° по долготе к западу от этой точки, то разность фаз между двумя сигналами составит 30° (при условии, что , в каждом сигнале каждый период начинается, когда тень самая короткая). ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle G}$

Для синусоиды одинаковой частоты

Для синусоидальных сигналов (и некоторых других форм сигналов, таких как квадратные или симметричные треугольные) сдвиг фазы на 180° эквивалентен сдвигу фазы на 0° с отрицанием амплитуды. Когда два сигнала с этими формами сигналов, одинаковым периодом и противоположными фазами складываются вместе, сумма либо равна нулю, либо представляет собой синусоидальный сигнал с одинаковым периодом и фазой, амплитуда которого представляет собой разность исходных амплитуд. ${\displaystyle F+G}$

Фазовый сдвиг косинусоидальной функции относительно синусоидальной функции составляет +90°. Отсюда следует, что для двух синусоидальных сигналов с одинаковой частотой и амплитудой и , и имеет фазовый сдвиг +90° относительно , ​​сумма представляет собой синусоидальный сигнал с той же частотой, с амплитудой и фазовым сдвигом от , такой, что ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F+G}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle -90^{\circ }<\varphi <+90^{\circ }}$ ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle C={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\quad \quad {\text{ and }}\quad \quad \sin(\varphi )=B/C.}$$

Синфазные сигналы

Несинфазные сигналы

Представление сравнения фаз. ^[3]

Слева: реальная часть плоской волны , движущаяся сверху вниз. Справа: та же волна после того, как центральная часть претерпела фазовый сдвиг, например, пройдя через стекло другой толщины, чем остальные части.

Не в фазе AE

Реальный пример разности звуковых фаз — трель индейской флейты . Амплитуда различных гармонических составляющих одной и той же продолжительной ноты на флейте преобладает в разные моменты фазового цикла. Разницу фаз между различными гармониками можно наблюдать на спектрограмме звука трельной флейты. ^[4]

Сравнение фаз

Сравнение фаз — это сравнение фазы двух сигналов, обычно одной и той же номинальной частоты. Целью сравнения фаз по времени и частоте обычно является определение сдвига частоты (разницы между циклами сигнала) относительно опорного значения. ^[3]

Сравнение фаз можно произвести, подключив два сигнала к двухканальному осциллографу . Осциллограф отобразит два синусоидальных сигнала, как показано на рисунке справа. На соседнем изображении верхний синусоидальный сигнал представляет собой тестовую частоту , а нижний синусоидальный сигнал представляет собой опорный сигнал.

Если бы две частоты были абсолютно одинаковыми, их фазовое соотношение не изменилось бы, и на дисплее осциллографа обе выглядели бы неподвижными. Поскольку две частоты не совсем одинаковы, опорный сигнал кажется неподвижным, а тестовый сигнал перемещается. Измеряя скорость движения тестового сигнала, можно определить смещение между частотами.

Вертикальные линии проведены через точки, где каждый синусоидальный сигнал проходит через ноль. В нижней части рисунка показаны столбцы, ширина которых представляет разность фаз между сигналами. В этом случае разность фаз увеличивается, что указывает на то, что тестовый сигнал имеет более низкую частоту, чем опорный. ^[3]

Формула фазы колебания или периодического сигнала

Фаза простого гармонического колебания или синусоидального сигнала является значением в следующих функциях: ${\textstyle \varphi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=A\cos(2\pi ft+\varphi )\\y(t)&=A\sin(2\pi ft+\varphi )=A\cos \left(2\pi ft+\varphi -{\tfrac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}$$

амплитудойчастотойфазойфаза» ${\textstyle A}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle T={\frac {1}{f}}}$ ${\textstyle {\frac {T}{4}}}$ ${\textstyle t}$

• Он может ссылаться на указанную ссылку, например , и в этом случае мы бы сказали , что фаза is и фаза is . ${\textstyle \cos(2\pi ft)}$ ${\textstyle x(t)}$ ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle y(t)}$ ${\textstyle \varphi -{\frac {\pi }{2}}}$
• Он может ссылаться на , и в этом случае мы бы сказали , что имеем ту же фазу , но относительно своих конкретных ссылок. ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle x(t)}$ ${\textstyle y(t)}$
• В контексте сигналов связи изменяющийся во времени угол или его главное значение называется мгновенной фазой , часто просто фазой . ${\textstyle 2\pi ft+\varphi }$

Абсолютная фаза

Абсолютная фаза — это фаза сигнала относительно некоторого стандарта (строго говоря, фаза всегда относительна). В той степени, в которой этот стандарт принят всеми сторонами, можно говорить об абсолютной фазе в конкретной области применения.

Смотрите также

• Абсолютная фаза
• Фаза переменного тока
• Синфазные и квадратурные составляющие
• Мгновенная фаза
• Кривая Лиссажу
• Отмена фазы
• Фазовая проблема
• Фазовый спектр
• Фазовая скорость
• Фазор
• Поляризация (волны)
• Когерентность (физика) — качество волны, позволяющее отображать четко определенные фазовые соотношения в различных областях ее области определения.
• Преобразование Гильберта — метод изменения фазы на 90°.
• Фазовый сдвиг отражения — изменение фазы, которое происходит, когда волна отражается от границы от быстрой среды к медленной среде.

Рекомендации

1. Баллоу, Глен (2005). Справочник для звукорежиссеров (3-е изд.). Focal Press, Gulf Professional Publishing. п. 1499. ИСБН 978-0-240-80758-4.
2. «Федеральный стандарт 1037C: Глоссарий телекоммуникационных терминов» .
3. Время и частота от А до Я (12 мая 2010 г.). «Фаза». Нист . Национальный институт стандартов и технологий (NIST) . Проверено 12 июня 2016 г.Этот контент был скопирован и вставлен с веб-страницы NIST и находится в свободном доступе .
4. Клинт Госс; Барри Хиггинс (2013). «Триль». Флутопедия . Проверено 06 марта 2013 г.

Внешние ссылки

• «Что такое фаза?». Профессор Джеффри Хасс. « Букварь по акустике », раздел 8. Университет Индианы , 2003 г. См. Также: (страницы с 1 по 3, 2013 г.)
• Фазовый угол, разность фаз, временная задержка и частота
• ECE 209: Источники фазового сдвига. Обсуждаются источники фазового сдвига во временной области в простых линейных, инвариантных во времени схемах.
• JavaScript с открытым исходным кодом по физике HTML5
• Java-апплет разности фаз