Разделяемое пространство

Топологическое пространство с плотным счетным подмножеством

В математике топологическое пространство называется сепарабельным , если оно содержит счетное плотное подмножество ; то есть существует последовательность элементов пространства такая, что каждое непустое открытое подмножество пространства содержит по крайней мере один элемент последовательности. ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$

Как и другие аксиомы счетности , отделимость является «ограничением размера», не обязательно в терминах мощности (хотя при наличии аксиомы Хаусдорфа это действительно так; см. ниже), но в более тонком топологическом смысле. В частности, каждая непрерывная функция на отделимом пространстве, образ которой является подмножеством хаусдорфова пространства, определяется своими значениями на счетном плотном подмножестве.

Сравните разделимость с родственным ей понятием второй счетности , которое в общем случае сильнее, но эквивалентно в классе метризуемых пространств.

Первые примеры

Любое топологическое пространство, которое само по себе конечно или счетно бесконечно, является сепарабельным, поскольку все пространство является счетным плотным подмножеством самого себя. Важным примером несчетного сепарабельного пространства является вещественная прямая , в которой рациональные числа образуют счетное плотное подмножество. Аналогично множество всех векторов длин рациональных чисел, , является счетным плотным подмножеством множества всех векторов длин действительных чисел, ; поэтому для любого , -мерное евклидово пространство является сепарабельным. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {Q} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Простым примером неразделимого пространства является дискретное пространство несчетной мощности.

Дополнительные примеры приведены ниже.

Отделимость против вторичной счетности

Любое пространство, удовлетворяющее второй арифметической счетности , сепарабельно: если — счетная база, выбор любого из непустых дает счетное плотное подмножество. Обратно, метризуемое пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет второй арифметической счетности, что имеет место тогда и только тогда, когда оно является линделефовым . ${\displaystyle \{U_{n}\}}$ ${\displaystyle x_{n}\in U_{n}}$ ${\displaystyle U_{n}}$

Для дальнейшего сравнения этих двух свойств:

• Произвольное подпространство пространства, удовлетворяющего второй счетной функции, удовлетворяет второй счетной функции; подпространства сепарабельных пространств не обязаны быть сепарабельными (см. ниже).
• Любой непрерывный образ сепарабельного пространства сепарабель (Willard 1970, Th. 16.4a); даже фактор пространства, поддающегося вторичной счетности, не обязательно должен быть поддающимся вторичной счетности.
• Произведение не более чем континуума многих сепарабельных пространств сепарабельно (Уиллард 1970, стр. 109, Th 16.4c). Счетное произведение пространств, поддающихся второй счетной стадии, поддается второй счетной стадии, но несчетное произведение пространств, поддающихся второй счетной стадии, не обязано даже поддаваться первой счетной стадии.

Мы можем построить пример отделимого топологического пространства, которое не является счетным по второй арифметике. Рассмотрим любое несчетное множество , выберем несколько и определим топологию как совокупность всех множеств, которые содержат (или являются пустыми). Тогда замыкание — это все пространство ( — это наименьшее замкнутое множество, содержащее ), но каждое множество вида открыто. Следовательно, пространство отделимо, но не может иметь счетной базы. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle {x_{0}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \{x_{0},x\}}$

Мощность

Свойство отделимости само по себе не накладывает никаких ограничений на мощность топологического пространства: любое множество, наделенное тривиальной топологией , отделимо, а также удовлетворяет второй аксиоме счетности, квазикомпактно и связно . «Проблема» тривиальной топологии заключается в ее плохих свойствах отделимости: ее фактор Колмогорова — это одноточечное пространство.

Счетно-первое , сепарабельное хаусдорфово пространство (в частности, сепарабельное метрическое пространство) имеет не более чем континуальную мощность . В таком пространстве замыкание определяется пределами последовательностей, и любая сходящаяся последовательность имеет не более одного предела, поэтому существует сюръективное отображение из множества сходящихся последовательностей со значениями в счетном плотном подмножестве в точки . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle X}$

Сепарабельное хаусдорфово пространство имеет мощность не более , где — мощность континуума. Для этого замыкание характеризуется в терминах пределов баз фильтров : если и , то тогда и только тогда, когда существует база фильтров, состоящая из подмножеств , которая сходится к . Мощность множества таких баз фильтров не более . Более того, в хаусдорфовом пространстве существует не более одного предела для каждой базы фильтров. Следовательно, существует сюръекция, когда ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle z\in {\overline {Y}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S(Y)}$ ${\displaystyle 2^{2^{|Y|}}}$ ${\displaystyle S(Y)\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\overline {Y}}=X.}$

Те же аргументы устанавливают более общий результат: предположим, что топологическое пространство Хаусдорфа содержит плотное подмножество мощности . Тогда имеет мощность не более и мощность не более , если оно поддается первой счетности. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2^{2^{\kappa }}}$ ${\displaystyle 2^{\kappa }}$

Произведение не более чем континуума многих сепарабельных пространств является сепарабельным пространством (Willard 1970, стр. 109, Th 16.4c). В частности, пространство всех функций от действительной прямой до себя, наделенное топологией произведения, является сепарабельным хаусдорфовым пространством мощности . В более общем случае, если — любой бесконечный кардинал, то произведение не более чем пространств с плотными подмножествами размера не более само имеет плотное подмножество размера не более (теорема Хьюитта–Марчевского–Пондичри). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 2^{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Конструктивная математика

Разделимость особенно важна в численном анализе и конструктивной математике , поскольку многие теоремы, которые могут быть доказаны для неразделимых пространств, имеют конструктивные доказательства только для разделимых пространств. Такие конструктивные доказательства могут быть превращены в алгоритмы для использования в численном анализе, и они являются единственными видами доказательств, приемлемыми в конструктивном анализе. Известным примером теоремы такого рода является теорема Хана–Банаха .

Дополнительные примеры

Разделяемые пространства

• Каждое компактное метрическое пространство (или метризуемое пространство) сепарабельно.
• Любое топологическое пространство, являющееся объединением счетного числа отделимых подпространств, отделимо. Вместе эти первые два примера дают другое доказательство того, что -мерное евклидово пространство отделимо. ${\displaystyle n}$
• Пространство всех непрерывных функций из компактного подмножества до действительной прямой сепарабельно. ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Пространства Лебега над мерным пространством, σ-алгебра которого счетно порождена, а мера σ-конечна, являются сепарабельными для любого . ^[1] ${\displaystyle L^{p}\left(X,\mu \right)}$ ${\displaystyle \left\langle X,{\mathcal {M}},\mu \right\rangle }$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$
• Пространство непрерывных вещественных функций на единичном интервале с метрикой равномерной сходимости является сепарабельным пространством, поскольку из аппроксимационной теоремы Вейерштрасса следует , что множество многочленов от одной переменной с рациональными коэффициентами является счетным плотным подмножеством . Теорема Банаха–Мазура утверждает, что любое сепарабельное банахово пространство изометрически изоморфно замкнутому линейному подпространству . ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle C([0,1])}$
• Гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно имеет счетный ортонормированный базис . Отсюда следует, что любое сепарабельное, бесконечномерное гильбертово пространство изометрично пространству квадратично суммируемых последовательностей. ${\displaystyle \ell ^{2}}$
• Примером сепарабельного пространства, не являющегося вторично-счетным, является линия Зоргенфрея , множество действительных чисел, снабженное топологией нижнего предела . ${\displaystyle \mathbb {S} }$
• Сепарабельная σ-алгебра — это σ-алгебра , которая является сепарабельным пространством, если рассматривать ее как метрическое пространство с метрикой для и заданной конечной мерой (и являющейся симметричным оператором разности ). ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A\triangle B)}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \triangle }$

Неразделимые пространства

• Первый несчетный ординал , снабженный своей естественной топологией порядка , не является отделимым. ${\displaystyle \omega _{1}}$
• Банахово пространство всех ограниченных действительных последовательностей с супремум-нормой не является сепарабельным. То же самое справедливо и для . ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$
• Банахово пространство функций ограниченной вариации не является сепарабельным; однако следует отметить, что это пространство имеет очень важные приложения в математике, физике и технике.

Характеристики

• Подпространство сепарабельного пространства не обязательно должно быть сепарабельным (см. плоскость Зоргенфрея и плоскость Мура ), но каждое открытое подпространство сепарабельного пространства сепарабельно (Willard 1970, Th 16.4b). Также каждое подпространство сепарабельного метрического пространства сепарабельно.
• Фактически, каждое топологическое пространство является подпространством сепарабельного пространства той же мощности . Конструкция, добавляющая не более счетного числа точек, дана в (Sierpiński 1952, p. 49); если пространство было хаусдорфовым, то построенное пространство, в которое оно вкладывается, также является хаусдорфовым.
• Множество всех действительных непрерывных функций на сепарабельном пространстве имеет мощность, равную , мощности континуума . Это следует из того, что такие функции определяются своими значениями на плотных подмножествах. ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$
• Из приведенного выше свойства можно вывести следующее: если X — сепарабельное пространство, имеющее несчетное замкнутое дискретное подпространство, то X не может быть нормальным . Это показывает, что плоскость Зоргенфрея не является нормальной.
• Для компактного хаусдорфова пространства X следующие условия эквивалентны:
  1. X — второй счетный элемент.
  2. Пространство непрерывных действительных функций на X с супремум-нормой сепарабельно. ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )}$
  3. X метризуем.

Вложение сепарабельных метрических пространств

• Каждое сепарабельное метрическое пространство гомеоморфно подмножеству гильбертова куба . Это установлено в доказательстве теоремы Урысона о метризации .
• Каждое сепарабельное метрическое пространство изометрично подмножеству (несепарабельного) банахова пространства l ^∞ всех ограниченных действительных последовательностей с супремум-нормой ; это известно как вложение Фреше. (Хейнонен 2003)
• Каждое сепарабельное метрическое пространство изометрично подмножеству C([0,1]), сепарабельному банахову пространству непрерывных функций [0,1] →  R , с супремум-нормой . Это принадлежит Стефану Банаху . (Heinonen 2003)
• Каждое сепарабельное метрическое пространство изометрично подмножеству универсального пространства Урысона .

Для неразделимых пространств :

• Метрическое пространство плотности , равной бесконечному кардиналу α, изометрично подпространству C([0,1] ^α , R ) , пространству действительных непрерывных функций на произведении α копий единичного интервала. (Клейбер и Первин 1969)

Ссылки

1. Дональд Л. Кон (2013). Теория меры. Springer Science+Business Media ., Предложение 3.4.5.
2. Džamonja, Mirna; Kunen, Kenneth (1995). "Properties of the class of measure separable compact spaces" (PDF) . Fundamenta Mathematicae : 262. arXiv : math/9408201 . Bibcode :1994math......8201D. Если является борелевской мерой на , алгебра мер является булевой алгеброй всех борелевских множеств по модулю -null множеств. Если является конечным, то такая алгебра мер также является метрическим пространством, причем расстояние между двумя множествами является мерой их симметрической разности. Тогда мы говорим, что является сепарабельным тогда и только тогда, когда это метрическое пространство сепарабельно как топологическое пространство. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

• Хейнонен, Юха (январь 2003 г.), Геометрические вложения метрических пространств (PDF) , получено 6 февраля 2009 г.

• Келли, Джон Л. (1975), Общая топология , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90125-1, МР  0370454
• Клайбер, Мартин; Первин, Уильям Дж. (1969), «Обобщенная теорема Банаха-Мазура», Bull. Austral. Math. Soc. , 1 (2): 169–173, doi : 10.1017/S0004972700041411
• Серпинский, Вацлав (1952), Общая топология , Математические изложения, № 7, Торонто, Онтарио: Издательство Университета Торонто, MR  0050870
• Стин, Линн Артур ; Зеебах, Дж. Артур-младший (1995) [1978], Контрпримеры в топологии ( переиздание Дувра 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, МР  0507446
• Уиллард, Стивен (1970), Общая топология , Эддисон-Уэсли , ISBN 978-0-201-08707-9, МР  0264581