Отделяемое расширение

В теории поля , разделе алгебры , алгебраическое расширение поля называется сепарабельным расширением , если для каждого минимальный многочлен над $F$ является сепарабельным многочленом ( т. е. его формальная производная не является нулевым многочленом , или, что эквивалентно, он не имеет повторных корней ни в одном поле расширения). ^[1] Существует также более общее определение, которое применяется, когда $E$ не обязательно является алгебраическим над $F.$ Расширение, которое не является сепарабельным, называется несепарабельным . $E/F$ $\альфа \in E$ $\альфа$

Каждое алгебраическое расширение поля нулевой характеристики отделимо , и каждое алгебраическое расширение конечного поля отделимо. ^[2] Из этого следует, что большинство расширений, рассматриваемых в математике, отделимы. Тем не менее, понятие отделимости важно, так как существование неотделимых расширений является основным препятствием для расширения многих теорем, доказанных в нулевой характеристике, на ненулевую характеристику. Например, фундаментальная теорема теории Галуа является теоремой о нормальных расширениях , которая остается верной в ненулевой характеристике только в том случае, если расширения также предполагаются отделимыми. ^[3]

Противоположное понятие, чисто неотделимое расширение , также возникает естественным образом, поскольку каждое алгебраическое расширение может быть разложено единственным образом как чисто неотделимое расширение отделимого расширения. Алгебраическое расширение полей ненулевой характеристики $p$ является чисто неотделимым расширением тогда и только тогда, когда для каждого минимальный многочлен над $F$ не является отделимым многочленом, или, что эквивалентно, для каждого элемента $x$ из $E$ существует положительное целое число $k$ такое, что . ^[4] $E/F$ $\alpha \in E\setminus F$ $\alpha$ $x^{p^{k}}\in F$

Простейшим нетривиальным примером (чисто) неотделимого расширения является , поля рациональных функций от неопределенного x с коэффициентами в конечном поле . Элемент имеет минимальный многочлен , имеющий и p -кратный корень, как . Это простое алгебраическое расширение степени p , как , но оно не является нормальным расширением , поскольку группа Галуа тривиальна . $E=\mathbb {F} _{p}(x)\supseteq F=\mathbb {F} _{p}(x^{p})$ $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /(p)$ $x\in E$ $f(X)=X^{p}-x^{p}\in F[X]$ $f'(X)=0$ $f(X)=(X-x)^{p}\in E[X]$ $E=F[x]$ ${\text{Gal}}(E/F)$

Неформальное обсуждение

Произвольный многочлен $f$ с коэффициентами в некотором поле $F$ называется имеющим различные корни или свободным от квадратов , если он имеет корни $deg f$ в некотором поле расширения . Например, многочлен $g$ $($ $X$ $) =$ $X$ $2$ $- 1$ имеет ровно $deg$ $g$ $= 2$ корня в комплексной плоскости ; а именно $1$ и $-1$ , и, следовательно, имеет различные корни. С другой стороны, многочлен $h$ $($ $X$ $) = ($ $X$ $- 2)$ $2$ , который является квадратом непостоянного многочлена, не имеет различных корней, так как его степень равна двум, а $2$ — его единственный корень. $E\supseteq F$

Каждый многочлен может быть разложен на линейные множители над алгебраическим замыканием поля его коэффициентов. Следовательно, многочлен не имеет различных корней тогда и только тогда, когда он делится на квадрат многочлена положительной степени. Это имеет место тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель многочлена и его производной не является константой. Таким образом, для проверки того, является ли многочлен свободным от квадратов, нет необходимости явно рассматривать какое-либо расширение поля или вычислять корни.

В этом контексте случай неприводимых многочленов требует некоторой осторожности. Априори может показаться, что делимость на квадрат невозможна для неприводимого многочлена , который не имеет непостоянных делителей, кроме себя самого. Однако неприводимость зависит от окружающего поля, и многочлен может быть неприводимым над $F$ и приводимым над некоторым расширением $F$ . Аналогично, делимость на квадрат зависит от окружающего поля. Если неприводимый многочлен $f$ над $F$ делится на квадрат над некоторым расширением поля, то (согласно обсуждению выше) наибольший общий делитель $f$ и его производной $f'$ не является константой. Обратите внимание, что коэффициенты $f'$ принадлежат тому же полю, что и коэффициенты $f$ , а наибольший общий делитель двух многочленов не зависит от окружающего поля, поэтому наибольший общий делитель $f$ и $f'$ имеет коэффициенты в $F$ . Поскольку $f$ неприводим в $F$ , этот наибольший общий делитель обязательно сам $f$ . Поскольку степень $f'$ строго меньше степени $f$ , то производная $f$ равна нулю, что подразумевает, что характеристика поля является простым числом $p$ , и $f$ можно записать

f(x)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{pi}.

Полином, такой как этот, формальная производная которого равна нулю, называется неотделимым . Полиномы, которые не являются неотделимыми, называются отделимыми . Отделимое расширение — это расширение, которое может быть создано отделимыми элементами , то есть элементами, минимальные полиномы которых отделимы.

Разделимые и неразделимые многочлены

Неприводимый многочлен f $в$ F $[X] является$ отделимым тогда и только тогда, когда он имеет различные корни в любом расширении F $($ то есть, если его можно разложить на различные линейные множители над алгебраическим замыканием F $) .$ [ ^5] Пусть $f$ в $F [X]$ является неприводимым многочленом, а $f'$ его формальной производной . Тогда следующие условия являются эквивалентными для того, чтобы неприводимый многочлен $f$ был отделимым:

Если $E$ является расширением $F,$ в котором $f$ является произведением линейных множителей, то никакой квадрат этих множителей не делит $f$ в $E [X]$ (то есть $f$ является свободным от квадратов над $E$ ). ^[6]
Существует расширение $E$ F такое, что $f$ имеет $deg($ $f$ $)$ попарно различных корней в $E$ . ^[6 $]$
Константа $1$ является полиномиальным наибольшим общим делителем f $и$ f $' .$ [ ^7]
Формальная производная $f'$ от $f$ не является нулевым многочленом. ^[8]
Либо характеристика $F$ равна нулю, либо характеристика равна $p$ , и $f$ не имеет вида $\textstyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{pi}.$

Так как формальная производная положительного многочлена степени может быть равна нулю, только если поле имеет простую характеристику, для того, чтобы неприводимый многочлен не был отделимым, его коэффициенты должны лежать в поле простой характеристики. В более общем случае неприводимый (ненулевой) многочлен $f$ в $F [X]$ не отделим, если и только если характеристика $F$ является (ненулевым) простым числом $p$ , и $f (X)= g (X p$ ) для некоторого неприводимого многочлена $g$ в $F [X]$ . ^[9] Повторное применение этого свойства приводит к тому, что на самом деле для неотрицательного целого числа $n$ и некоторого отделимого неприводимого многочлена $g$ в $F$ $[$ $X$ $]$ (где предполагается, что $F$ имеет простую характеристику p ). ^[10] $f(X)=g(X^{p^{n}})$

Если эндоморфизм Фробениуса F $не$ является сюръективным, то существует элемент , который не является $p$ -й степенью элемента $F$ . В этом случае многочлен неприводим и неотделим. Наоборот, если существует неотделим неприводимый (ненулевой) многочлен в $F$ $[$ $X$ $]$ , то эндоморфизм Фробениуса F $не$ может быть автоморфизмом , поскольку в противном случае мы имели бы для некоторых , и многочлен $f$ разлагался бы как ^[11] $x\mapsto x^{p}$ $a\in F$ $X^{p}-a$ $\textstyle f(X)=\sum a_{i}X^{ip}$ $a_{i}=b_{i}^{p}$ $b_{i}$ $\textstyle \sum a_{i}X^{ip}=\left(\sum b_{i}X^{i}\right)^{p}.$

Если $K$ — конечное поле простой характеристики p , и если $X$ — неопределенность , то поле рациональных функций над $K$ , $K (X)$ , обязательно несовершенно , а многочлен $f (Y)= Y p - X$ неотделим (его формальная производная по Y равна 0). ^[1] В более общем случае, если F — любое поле (ненулевой) простой характеристики, для которого эндоморфизм Фробениуса не является автоморфизмом, F обладает неотделимым алгебраическим расширением. ^[12]

Поле F совершенно тогда и только тогда, когда все неприводимые многочлены отделимы. Отсюда следует, что $F$ совершенно тогда и только тогда, когда либо $F$ имеет нулевую характеристику, либо $F$ имеет (ненулевую) простую характеристику $p$ и эндоморфизм Фробениуса поля $F$ является автоморфизмом. Это включает в себя любое конечное поле.

Отдельные элементы и отделимые расширения

Пусть — расширение поля. Элемент отделим над $F,$ если он алгебраичен над $F$ , и его минимальный многочлен отделим (минимальный многочлен элемента обязательно неприводим). $E\supseteq F$ $\alpha \in E$

Если отделимы над $F$ , то и отделимы над F . $\alpha ,\beta \in E$ $\alpha +\beta$ $\alpha \beta$ $1/\alpha$

Таким образом , множество всех элементов в $E,$ $отделимых$ над $F,$ образует подполе $E$ , называемое отделимым замыканием F в $E.$ ^[13]

Отделимое замыкание $F$ в алгебраическом замыкании F называется просто отделимым замыканием $F.$ Как и алгебраическое $замыкание$ , оно единственно с точностью до изоморфизма, и в общем случае этот изоморфизм не является единственным.

Расширение поля является сепарабельным , если $E$ является сепарабельным замыканием $F$ в $E.$ Это имеет место тогда и только тогда, когда $E$ порождается над $F$ сепарабельными элементами. $E\supseteq F$

Если являются расширениями полей, то $E$ отделимо над $F$ тогда и только тогда, когда E $отделимо$ над $L$ и $L$ отделимо над $F.$ ^[14] $E\supseteq L\supseteq F$

Если — конечное расширение (то есть E $—$ векторное пространство $F$ конечной размерности ), то следующие утверждения эквивалентны. $E\supseteq F$

$E$ отделимонад $F.$
$E=F(a_{1},\ldots ,a_{r})$ где — отделимые элементы $E.$ $a_{1},\ldots ,a_{r}$
$E=F(a)$ где $a$ — отделимый элемент $E.$
Если $K$ — алгебраическое замыкание $F$ , то существует ровно столько гомоморфизмов полей E $в$ K $,$ которые фиксируют $F.$ $[E:F]$
Для любого нормального расширения $K$ поля $F$ , содержащего $E$ , существует ровно столько гомоморфизмов поля $E$ в $K$ , которые фиксируют $F.$ $[E:F]$

Эквивалентность 3. и 1. известна как теорема о примитивном элементе или теорема Артина о примитивных элементах . Свойства 4. и 5. являются основой теории Галуа и, в частности, фундаментальной теоремы теории Галуа .

Отделимые расширения внутри алгебраических расширений

Пусть будет алгебраическим расширением полей характеристики $p$ . Отделимое замыкание $F$ в $E$ равно Для каждого элемента существует положительное целое число $k$ такое, что и, таким образом, $E$ является чисто неотделимым расширением S. Отсюда следует, что $S$ является единственным промежуточным полем, которое отделимо над $F$ и над которым $E$ $является$ чисто неотделимым . ^[15] $E\supseteq F$ $S=\{\alpha \in E\mid \alpha {\text{ is separable over }}F\}.$ $x\in E\setminus S$ $x^{p^{k}}\in S,$

Если — конечное расширение , его степень $[$ $E$ $:$ $F$ $]$ является произведением степеней $[$ $S$ $:$ $F$ $]$ и $[$ $E$ $:$ $S$ $]$ . Первая, часто обозначаемая $[$ $E$ $:$ $F$ $]$ $sep$ , называется отделимой частью $[$ $E$ $:$ $F$ $]$ или $E\supseteq F$ отделимая степень E $/ F;$ последняя называетсянеотделимой частьюстепени илинеотделимая степень .^[16]Неотделимая степень равна 1 в нулевой характеристике и степени $p$ в характеристике $p > 0.$ [^17]

С другой стороны, произвольное алгебраическое расширение может не обладать промежуточным расширением $K$ , которое было бы чисто неотделимым над $F$ и над которым $E$ было бы отделимо . Однако такое промежуточное расширение может существовать, если, например, является нормальным расширением конечной степени (в этом случае $K$ является фиксированным полем группы Галуа $E$ над $F$ ). Предположим, что такое промежуточное расширение существует, и $[$ $E$ $:$ $F$ $]$ конечно, тогда $[$ $S$ $:$ $F$ $] = [$ $E$ $:$ $K$ $]$ , где $S$ является отделимым замыканием $F$ в $E$ . ^[18] Известные доказательства этого равенства используют тот факт, что если является чисто неотделимым расширением, и если $f$ является отделимым неприводимым многочленом в $F$ $[$ $X$ $]$ , то $f$ остается неприводимым в K [ X ] ^[19] ). Это равенство подразумевает, что если $[$ $E$ $:$ $F$ $]$ конечно, а $U$ — промежуточное поле между $F$ и $E$ , то $[$ $E$ $:$ $F$ $]$ $sep$ $= [$ $E$ $:$ $U$ $]$ $sep$ $\cdot[$ $U$ $:$ $F$ $]$ $sep$ . ^[20] $E\supseteq F$ $E\supseteq F$ $K\supseteq F$

Сепарабельное замыкание $F sep$ поля $F$ — это сепарабельное замыкание $F$ в алгебраическом замыкании F. Это максимальное расширение Галуа $поля F.$ По $определению$ , $F$ совершенно тогда и только тогда, когда его сепарабельное и алгебраическое замыкания совпадают.

Отделимость трансцендентных расширений

Проблемы отделимости могут возникнуть при работе с трансцендентными расширениями . Это обычно имеет место в алгебраической геометрии над полем простой характеристики, где функциональное поле алгебраического многообразия имеет степень трансцендентности над основным полем, равную размерности многообразия.

Для определения отделимости трансцендентного расширения естественно использовать тот факт, что каждое расширение поля является алгебраическим расширением чисто трансцендентного расширения . Это приводит к следующему определению.

Разделяющий базис трансцендентности расширения — это базис трансцендентности $T$ расширения $E$ , такой что $E$ является разделяемым алгебраическим расширением $F$ $($ $T$ $)$ . Конечно порождённое расширение поля является разделяемым тогда и только тогда, когда оно имеет разделяющий базис трансцендентности; расширение, которое не является конечно порождённым, называется разделяемым, если каждое конечно порождённое подрасширение имеет разделяющий базис трансцендентности. ^[21] $E\supseteq F$

Пусть будет расширением поля характеристической экспоненты $p$ (то есть $p$ $= 1$ в нулевой характеристике, а в противном случае $p$ является характеристикой). Следующие свойства эквивалентны: $E\supseteq F$

$E$ является отделимым расширением $F$ ,
$E^{p}$ и $F$ линейно не пересекаются над $F^{p},$
$F^{1/p}\otimes _{F}E$ уменьшается ,
$L\otimes _{F}E$ уменьшается для каждого расширения поля $L$ из $E$ ,

где обозначает тензорное произведение полей , — поле $p$ -х степеней элементов поля $F$ (для любого поля $F$ ), а — поле, полученное присоединением к $F$ корня $p$ -й степени всех его элементов (подробнее см . в разделе «Сепарабельная алгебра» ). $\otimes _{F}$ $F^{p}$ $F^{1/p}$

Дифференциальные критерии

Разделимость может быть изучена с помощью выводов . Пусть $E$ — конечно порожденное расширение поля F. $Обозначая$ E -векторное $пространство$ F $-линейных$ выводов $E$ , имеем $\operatorname {Der} _{F}(E,E)$

\dim _{E}\operatorname {Der} _{F}(E,E)\geq \operatorname {tr.deg} _{F}E,

и равенство выполняется тогда и только тогда, когда E сепарабельно над F (здесь «tr.deg» обозначает степень трансцендентности ).

В частности, если является алгебраическим расширением, то тогда и только тогда, когда является отделимым. ^[22] $E/F$ $\operatorname {Der} _{F}(E,E)=0$ $E/F$

Пусть будет базисом и . Тогда является отделимой алгебраической над тогда и только тогда, когда матрица обратима. В частности, когда , эта матрица обратима тогда и только тогда, когда является разделяющим базисом трансцендентности. $D_{1},\ldots ,D_{m}$ $\operatorname {Der} _{F}(E,E)$ $a_{1},\ldots ,a_{m}\in E$ $E$ $F(a_{1},\ldots ,a_{m})$ $D_{i}(a_{j})$ $m=\operatorname {tr.deg} _{F}E$ $\{a_{1},\ldots ,a_{m}\}$

Примечания

^ ab Isaacs, стр. 281
^ Айзекс, Теорема 18.11, стр. 281
^ Айзекс, Теорема 18.13, стр. 282
^ Айзекс, стр. 298
^ Айзекс, стр. 280
^ ab Isaacs, Лемма 18.7, стр. 280
^ Айзекс, Теорема 19.4, стр. 295
^ Айзекс, Следствие 19.5, стр. 296
^ Айзекс, Следствие 19.6, стр. 296
^ Айзекс, Следствие 19.9, стр. 298
^ Айзекс, Теорема 19.7, стр. 297
^ Айзекс, стр. 299
^ Айзекс, Лемма 19.15, стр. 300
^ Айзекс, Следствие 18.12, стр. 281 и Следствие 19.17, стр. 301
^ Айзекс, Теорема 19.14, стр. 300
^ Айзекс, стр. 302
^ Ланг 2002, Следствие V.6.2
^ Айзекс, Теорема 19.19, стр. 302
^ Айзекс, Лемма 19.20, стр. 302
^ Айзекс, Следствие 19.21, стр. 303
^ Фрид и Джарден (2008) стр.38
^ Фрид и Джарден (2008) стр.49

Ссылки

Борель, А. Линейные алгебраические группы , 2-е изд.
PM Cohn (2003). Основы алгебры
Фрид, Майкл Д.; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Том. 11 (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 978-3-540-77269-9. Збл 1145.12001.
I. Martin Isaacs (1993). Алгебра, аспирантский курс (1-е изд.). Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-19002-2.
Капланский, Ирвинг (1972). Поля и кольца . Чикагские лекции по математике (Второе издание). Издательство Чикагского университета. С. 55–59. ISBN 0-226-42451-0. Збл 1001.16500.
Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, г-н 1878556
М. Нагата (1985). Коммутативная теория поля: новое издание, Shokabo. (японский) [1]
Сильверман, Джозеф (1993). Арифметика эллиптических кривых . Springer. ISBN 0-387-96203-4.

Внешние ссылки

"сепарабельное расширение поля k", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]