Гравитация Земли

Гравитация Земли, измеренная миссией NASA GRACE , показывает отклонения от теоретической гравитации идеализированной, гладкой Земли, так называемого земного эллипсоида . Красным показаны области, где гравитация сильнее гладкого, стандартного значения, а синим показаны области, где гравитация слабее ( Анимированная версия ). ^[1]

Гравитация Земли , обозначаемая как g , представляет собой чистое ускорение , которое сообщается объектам из-за совокупного эффекта гравитации (из-за распределения масс внутри Земли ) и центробежной силы (из-за вращения Земли ). ^{[2] [3]} Это векторная величина, направление которой совпадает с отвесом , а сила или величина задаются нормой . ${\displaystyle g=\|{\mathit {\mathbf {g} }}\|}$

В единицах СИ это ускорение выражается в метрах в секунду в квадрате (в символах м / с2 или м·с ⁻² ) или, что эквивалентно, в ньютонах на килограмм (Н/кг или Н·кг ^{−1 ). Вблизи поверхности} Земли ускорение свободного падения с точностью до двух значащих цифр составляет 9,8 м/ ^с2 (32 фута/с2 ⁾ . Это означает, что, игнорируя эффекты сопротивления воздуха , скорость свободно падающего объекта будет увеличиваться примерно на 9,8 метров в секунду (32 фута/с) каждую секунду. Эту величину иногда неформально называют малым g (в отличие от этого, гравитационная постоянная G называется большим G ).

Точная сила гравитации Земли меняется в зависимости от местоположения. Согласованное значение стандартной гравитации составляет 9,80665 м/с ² (32,1740 фут/с ² ) по определению. ^[4] Эта величина обозначается по-разному как g _n , g _e (хотя иногда это означает нормальную гравитацию на экваторе, 9,7803267715 м/с ² (32,087686258 фут/с ² )), ^[5] g ₀ или просто g (что также используется для переменного локального значения).

Вес объекта на поверхности Земли — это направленная вниз сила, действующая на этот объект, определяемая вторым законом движения Ньютона , или F = m a ( сила = масса × ускорение ). Гравитационное ускорение вносит вклад в общее ускорение силы тяжести, но другие факторы, такие как вращение Земли, также вносят свой вклад и, следовательно, влияют на вес объекта. Гравитация обычно не включает гравитационное притяжение Луны и Солнца, которые учитываются с точки зрения приливных эффектов .

Изменение величины

Невращающаяся идеальная сфера однородной плотности массы или плотность которой изменяется только с расстоянием от центра ( сферическая симметрия ) будет создавать гравитационное поле однородной величины во всех точках ее поверхности . Земля вращается и также не является сферически симметричной; скорее, она немного более плоская на полюсах, в то время как выпуклая на экваторе: сплющенный сфероид . Следовательно, существуют небольшие отклонения в величине гравитации по всей ее поверхности.

Гравитация на поверхности Земли изменяется примерно на 0,7%, от 9,7639 м/с ² на горе Невадо Уаскаран в Перу до 9,8337 м/с ² на поверхности Северного Ледовитого океана . ^[6] В крупных городах она колеблется от 9,7806 м/с ^{2 [7]} в Куала-Лумпуре , Мехико и Сингапуре до 9,825 м/с ² в Осло и Хельсинки .

Условное значение

В 1901 году третья Генеральная конференция по мерам и весам определила стандартное ускорение свободного падения для поверхности Земли: g _n  = 9,80665 м/с ² . Оно было основано на измерениях в павильоне Бретей близ Парижа в 1888 году с теоретической поправкой, примененной для преобразования к широте 45° на уровне моря. ^[8] Таким образом, это определение не является значением какого-либо конкретного места или тщательно выработанным средним значением, а соглашением о значении, которое следует использовать, если лучшее фактическое локальное значение неизвестно или неважно. ^[9] Оно также используется для определения единиц килограмм-силы и фунт-силы .

Широта

Различия в гравитации Земли вокруг Антарктического континента.

Поверхность Земли вращается, поэтому она не является инерциальной системой отсчета . На широтах, близких к экватору, внешняя центробежная сила, создаваемая вращением Земли, больше, чем на полярных широтах. Это в небольшой степени противодействует гравитации Земли — до максимума 0,3% на экваторе — и уменьшает кажущееся ускорение падающих объектов вниз.

Вторая важная причина разницы в гравитации на разных широтах заключается в том, что экваториальная выпуклость Земли (которая сама по себе также вызвана центробежной силой вращения) приводит к тому, что объекты на экваторе находятся дальше от центра планеты, чем объекты на полюсах. Сила, вызванная гравитационным притяжением между двумя массами (частью Земли и взвешиваемым объектом), обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Распределение массы также отличается под кем-то на экваторе и под кем-то на полюсе. Конечный результат заключается в том, что объект на экваторе испытывает более слабое гравитационное притяжение, чем объект на одном из полюсов.

В совокупности экваториальная выпуклость и воздействие поверхностной центробежной силы, возникающей из-за вращения, приводят к тому, что гравитация на уровне моря увеличивается примерно с 9,780 м/с2 ^на экваторе до примерно 9,832 м/с2 ^на полюсах, поэтому объект будет весить примерно на 0,5% больше на полюсах, чем на экваторе. ^{[2] [10]}

Высота

Гравитация Земли в зависимости от расстояния от нее, от поверхности до 30 000 км

Гравитация Земли , Марса и Луны на высоте

Гравитация уменьшается с высотой по мере того, как человек поднимается над поверхностью Земли, поскольку большая высота означает большее расстояние от центра Земли. При прочих равных условиях, увеличение высоты от уровня моря до 9000 метров (30000 футов) вызывает уменьшение веса примерно на 0,29%. (Дополнительным фактором, влияющим на кажущийся вес, является уменьшение плотности воздуха на высоте, что уменьшает плавучесть объекта. ^[11] Это увеличит кажущийся вес человека на высоте 9000 метров примерно на 0,08%).

Распространено заблуждение, что астронавты на орбите невесомы, потому что они поднялись достаточно высоко, чтобы избежать земного притяжения. Фактически, на высоте 400 километров (250 миль), что эквивалентно типичной орбите МКС , гравитация все еще составляет около 90% от силы на поверхности Земли. Невесомость на самом деле возникает, потому что объекты на орбите находятся в свободном падении . ^[12]

Влияние высоты земли зависит от плотности земли (см. раздел «Поправка на плиту»). Человек, летящий на высоте 9100 м (30 000 футов) над уровнем моря над горами, будет чувствовать большую гравитацию, чем человек, находящийся на той же высоте, но над морем. Однако человек, стоящий на поверхности Земли, чувствует меньшую гравитацию, когда высота больше.

Следующая формула приблизительно описывает изменение силы тяжести Земли с высотой:

${\displaystyle g_{h}=g_{0}\left({\frac {R_{\mathrm {e} }}{R_{\mathrm {e} }+h}}\right)^{2}}$

Где

• g _h — ускорение свободного падения на высоте h над уровнем моря.
• R _e — средний радиус Земли .
• g ₀ — стандартное ускорение свободного падения .

Формула рассматривает Землю как идеальную сферу с радиально-симметричным распределением массы; более точная математическая трактовка обсуждается ниже.

Глубина

Гравитация в различных внутренних слоях Земли (1 = континентальная кора, 2 = океаническая кора, 3 = верхняя мантия, 4 = нижняя мантия, 5+6 = ядро, A = граница кора-мантия)

Радиальное распределение плотности Земли согласно предварительной референтной модели Земли (PREM). ^[13]

Гравитация Земли согласно предварительной референтной модели Земли (PREM). ^[13] Для сравнения включены две модели сферически симметричной Земли. Темно-зеленая прямая линия соответствует постоянной плотности, равной средней плотности Земли. Светло-зеленая кривая линия соответствует плотности, которая линейно уменьшается от центра к поверхности. Плотность в центре такая же, как в PREM, но поверхностная плотность выбрана таким образом, чтобы масса сферы равнялась массе реальной Земли.

Приблизительное значение силы тяжести на расстоянии r от центра Земли можно получить, предположив, что плотность Земли сферически симметрична. Сила тяжести зависит только от массы внутри сферы радиусом r . Все внешние воздействия компенсируются вследствие закона обратных квадратов гравитации. Другим следствием является то, что сила тяжести такая же, как если бы вся масса была сосредоточена в центре. Таким образом, гравитационное ускорение на этом радиусе равно ^[14]

${\displaystyle g(r)=-{\frac {GM(r)}{r^{2}}}.}$

где G — гравитационная постоянная , а M ( r ) — общая масса, заключенная в радиусе r . Если бы у Земли была постоянная плотность ρ , масса была бы M ( r ) = (4/3) πρr ³ , а зависимость силы тяжести от глубины была бы

${\displaystyle g(r)={\frac {4\pi }{3}}G\rho r.}$

Гравитация g′ на глубине d определяется как g′ = g (1 − d / R ) , где g — ускорение силы тяжести на поверхности Земли, d — глубина, а R — радиус Земли . Если бы плотность уменьшалась линейно с увеличением радиуса от плотности ρ ₀ в центре до ρ ₁ на поверхности, то ρ ( r ) = ρ ₀ − ( ρ ₀ − ρ ₁ ) r / R , и зависимость была бы следующей:

${\displaystyle g(r)={\frac {4\pi }{3}}G\rho _{0}r-\pi G\left(\rho _{0}-\rho _{1}\right){\frac {r^{2}}{R}}.}$

Фактическая зависимость плотности и силы тяжести от глубины, выведенная из времени распространения сейсмических волн (см. уравнение Адамса–Вильямсона ), показана на графиках ниже.

Местный рельеф и геология

Местные различия в топографии (например, наличие гор), геологии (например, плотность горных пород поблизости) и более глубокой тектонической структуре вызывают локальные и региональные различия в гравитационном поле Земли, известные как гравитационные аномалии . ^[15] Некоторые из этих аномалий могут быть очень обширными, приводя к повышению уровня моря и рассинхронизации маятниковых часов.

Изучение этих аномалий составляет основу гравитационной геофизики . Колебания измеряются высокочувствительными гравиметрами , вычитается влияние рельефа и других известных факторов, и из полученных данных делаются выводы. Такие методы сейчас используются разведчиками для поиска месторождений нефти и полезных ископаемых . Более плотные породы (часто содержащие минеральные руды ) вызывают более высокие, чем обычно, локальные гравитационные поля на поверхности Земли. Менее плотные осадочные породы вызывают противоположное.

Карта недавней вулканической активности и распространения хребтов. Области, где NASA GRACE измерил гравитацию, которая оказалась сильнее теоретической, имеют сильную корреляцию с позициями вулканической активности и распространения хребтов.

Существует сильная корреляция между картой гравитации Земли, полученной с помощью NASA GRACE, и местами недавней вулканической активности, распространения хребтов и вулканов: эти регионы имеют более сильную гравитацию, чем предсказывает теория.

Другие факторы

В воздухе или воде объекты испытывают поддерживающую выталкивающую силу, которая уменьшает кажущуюся силу гравитации (измеренную по весу объекта). Величина эффекта зависит от плотности воздуха (и, следовательно, давления воздуха) или плотности воды соответственно; см. Кажущийся вес для получения подробной информации.

Гравитационное воздействие Луны и Солнца ( также являющееся причиной приливов ) оказывает очень небольшое влияние на кажущуюся силу гравитации Земли в зависимости от их относительного положения; типичные изменения составляют 2 мкм/с2 ⁽ 0,2 мГал ) в течение дня.

Направление

Отвес определяет локальное вертикальное направление.

Ускорение силы тяжести — векторная величина , имеющая направление в дополнение к величине . В сферически симметричной Земле сила тяжести будет направлена ​​прямо к центру сферы. Поскольку фигура Земли немного более плоская, следовательно, существуют значительные отклонения в направлении силы тяжести: по сути, разница между геодезической широтой и геоцентрической широтой . Меньшие отклонения, называемые вертикальным отклонением , вызваны локальными аномалиями массы, такими как горы.

Сравнительные значения по всему миру

Существуют инструменты для расчета силы гравитации в различных городах по всему миру. ^[16] Влияние широты можно четко увидеть на примере гравитации в городах, расположенных на высоких широтах: Анкоридж (9,826 м/с ² ), Хельсинки (9,825 м/с ² ), которая примерно на 0,5% больше, чем в городах вблизи экватора: Куала-Лумпур (9,776 м/с ² ). Влияние высоты можно увидеть в Мехико (9,776 м/с ² ; высота 2240 метров (7350 футов)), а также сравнив Денвер (9,798 м/с ² ; 1616 метров (5302 фута)) с Вашингтоном, округ Колумбия (9,801 м/с ² ; 30 метров (98 футов)), оба из которых находятся около 39° с.ш. Измеренные значения можно получить из Физических и математических таблиц Т.М. Ярвуда и Ф. Касла, Macmillan, пересмотренное издание 1970 г. ^[17]

Математические модели

Если местность находится на уровне моря, мы можем оценить ускорение по широте для Геодезической системы отсчета 1980 года : ${\displaystyle g\{\phi \}}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}g\{\phi \}&=9.780327\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1+0.0053024\,\sin ^{2}\phi -0.0000058\,\sin ^{2}2\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1+0.0052792\,\sin ^{2}\phi +0.0000232\,\sin ^{4}\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1.0053024-0.0053256\,\cos ^{2}\phi +0.0000232\,\cos ^{4}\phi \right),\\&=9.780327\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}\,\,\left(1.0026454-0.0026512\,\cos 2\phi +0.0000058\,\cos ^{2}2\phi \right)\end{aligned}}}$

Это Международная формула гравитации 1967 года, Формула геодезической системы отсчета 1967 года, уравнение Гельмерта или формула Клеро . ^[18]

Альтернативной формулой для g как функции широты является формула эллипсоидальной гравитации WGS ( Всемирная геодезическая система ) 84 : ^[19]

${\displaystyle g\{\phi \}=\mathbb {G} _{e}\left[{\frac {1+k\sin ^{2}\phi }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}\right],\,\!}$

где,

• ${\displaystyle a,\,b}$— экваториальная и полярная полуоси соответственно;
• ${\displaystyle e^{2}=1-(b/a)^{2}}$— эксцентриситет сфероида , возведенный в квадрат;
• ${\displaystyle \mathbb {G} _{e},\,\mathbb {G} _{p}\,}$— определенная сила тяжести на экваторе и полюсах соответственно;
• ${\displaystyle k={\frac {b\,\mathbb {G} _{p}-a\,\mathbb {G} _{e}}{a\,\mathbb {G} _{e}}}}$(константа формулы);

тогда, где , ^[19] ${\displaystyle \mathbb {G} _{p}=9.8321849378\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}}$

${\displaystyle g\{\phi \}=9.7803253359\,\,\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} ^{-2}\left[{\frac {1+0.001931852652\,\sin ^{2}\phi }{\sqrt {1-0.0066943799901\,\sin ^{2}\phi }}}\right]}$.

где полуоси Земли равны:

${\displaystyle a=6378137.0\,\,{\mbox{m}}}$

${\displaystyle b=6356752.314245\,\,{\mbox{m}}}$

Разница между формулой WGS-84 и уравнением Гельмерта составляет менее 0,68 мкм·с ⁻² .

Для получения гравитационных аномалий применяются дополнительные сокращения (см.: Гравитационная аномалия#Вычисление ).

Оценкагиз закона всемирного тяготения

Согласно закону всемирного тяготения , сила, действующая на тело со стороны силы тяготения Земли, определяется по формуле

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=\left(G{\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}\right)m}$

где r — расстояние между центром Земли и телом (см. ниже), и здесь мы принимаем — массу Земли, а m — массу тела. ${\displaystyle M_{\oplus }}$

Кроме того, второй закон Ньютона , F = ma , где m — масса, а a — ускорение, говорит нам, что

${\displaystyle F=mg}$

Сравнивая две формулы, видно, что:

${\displaystyle g=G{\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}}$

Итак, чтобы найти ускорение свободного падения на уровне моря, подставим значения гравитационной постоянной G , массы Земли (в килограммах) m _{1 и} радиуса Земли (в метрах) r , чтобы получить значение g : ^[20]

${\displaystyle g=G{\frac {M_{\oplus }}{r^{2}}}=6.674\cdot 10^{-11}\mathrm {{m}^{3}\,{kg}^{-1}{s}^{-2}} \times {\frac {6\times 10^{24}\mathrm {kg} }{(6.4\times 10^{6}\mathrm {m} )^{2}}}=9+{\frac {795}{2^{10}}}\approx 9.77637\,\mathrm {{m}\,{s}^{-2}} }$

Эта формула работает только из-за математического факта, что гравитация однородного сферического тела, измеренная на его поверхности или над ней, такая же, как если бы вся его масса была сосредоточена в точке в его центре. Это то, что позволяет нам использовать радиус Земли для r .

Полученное значение приблизительно согласуется с измеренным значением g . Разница может быть связана с несколькими факторами, упомянутыми выше в разделе «Изменение величины»:

• Земля не однородна
• Земля не является идеальной сферой, и для ее радиуса следует использовать среднее значение.
• Это расчетное значение g включает только истинную гравитацию. Оно не включает уменьшение силы ограничения, которое мы воспринимаем как уменьшение гравитации из-за вращения Земли, и часть гравитации, противодействующей центробежной силе.

Существуют значительные неопределенности в значениях r и m ₁ , используемых в этом расчете, а значение G также довольно сложно измерить точно.

Если известны G , g и r , то обратный расчет даст оценку массы Земли. Этот метод использовал Генри Кавендиш .

Измерение

Измерение силы тяжести Земли называется гравиметрией .

Спутниковые измерения

Карта гравитационных аномалий от GRACE

В настоящее время статические и изменяющиеся во времени параметры гравитационного поля Земли определяются с помощью современных спутниковых миссий, таких как GOCE , CHAMP , Swarm , GRACE и GRACE-FO . ^{[21] [22]} Параметры низшей степени, включая сплюснутость Земли и движение геоцентра, лучше всего определяются с помощью спутниковой лазерной локации . ^[23]

Крупномасштабные гравитационные аномалии могут быть обнаружены из космоса, как побочный продукт спутниковых гравитационных миссий, например, GOCE . Эти спутниковые миссии направлены на восстановление подробной модели гравитационного поля Земли, обычно представленной в форме сферически-гармонического расширения гравитационного потенциала Земли, но также производятся альтернативные представления, такие как карты волнистости геоида или гравитационных аномалий.

Эксперимент по восстановлению гравитации и климату (GRACE) состоял из двух спутников, которые обнаружили гравитационные изменения по всей Земле. Также эти изменения можно было представить как временные вариации гравитационной аномалии. Лаборатория по восстановлению гравитации и внутреннему строению (GRAIL) также состояла из двух космических аппаратов, вращающихся вокруг Луны, которые вращались вокруг нее в течение трех лет, прежде чем сойти с орбиты в 2015 году.

Смотрите также

• Портал наук о Земле

• Вторая космическая скорость  – понятие в небесной механике
  • Утечка атмосферы  – потеря планетарных атмосферных газов в космическом пространстве.
• Фигура Земли  – Размер и форма, используемые для моделирования Земли в геодезии.
• Геопотенциал  – энергия, связанная с гравитацией Земли.
  • Геопотенциальная модель  – Теоретическое описание гравиметрической формы Земли.Pages displaying short descriptions of redirect targets
  • Аномалия Буге  – Тип аномалии силы тяжести
• Гравитация Луны
• Гравитационное ускорение  – изменение скорости только под действием силы тяжести.
• Гравитация  – притяжение масс и энергии
• Гравитационная аномалия  – разница между идеальным и наблюдаемым ускорением свободного падения в определенном месте.
• Гравитация Марса  – Гравитационная сила, оказываемая планетой Марс.
• Закон всемирного тяготения Ньютона  – Классическое утверждение о гравитации как силе
• Вертикальное отклонение  – мера смещения направленной вниз гравитационной силы из-за близлежащей массы.

Ссылки

1. NASA/JPL/University of Texas Center for Space Research. "PIA12146: GRACE Global Gravity Animation". Фотожурнал . NASA Jet Propulsion Laboratory . Получено 30 декабря 2013 г.
2. Boynton, Richard (2001). "Точное измерение массы" (PDF) . Sawe Paper No. 3147 . Арлингтон, Техас: SAWE, Inc. Архивировано из оригинала (PDF) 27 февраля 2007 г. . Получено 22 декабря 2023 г. .
3. Хофманн-Велленхоф, Б.; Мориц, Х. (2006). Физическая геодезия (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3-211-33544-4.§ 2.1: «Полная сила, действующая на тело, покоящееся на поверхности Земли, является равнодействующей силы тяготения и центробежной силы вращения Земли и называется силой тяжести».
4. Международное бюро мер и веса (1901). «Декларация относительно единства масс и определения веса; valeur Conventionnelle de g _n ». Comptes Rendus des Séances de la Troisième Conférence· Générale des Poids et Mesures (на французском языке). Париж: Готье-Виллар. п. 68. Имя, принятое в Международной службе мер и веса для оценки нормального ускорения человека, составляет 980 665 см/сек², но это санкционировано в соответствии с некоторыми законодательными актами. Декларация относительно единства массы и определения веса; valeur Conventionnelle de G _N.
5. Мориц, Хельмут (2000). "Геодезическая система отсчета 1980". Журнал геодезии . 74 (1): 128–133. doi :10.1007/s001900050278. S2CID  195290884. Получено 26 июля 2023 г. γe = 9,780 326 7715 м/с² нормальная сила тяжести на экваторе
6. Хирт, Кристиан; Классенс, Стен; Фехер, Томас; Кун, Михаэль; Пайл, Роланд; Рексер, Мориц (28 августа 2013 г.). «Новая сверхвысокоразрешающая картина гравитационного поля Земли». Geophysical Research Letters . 40 (16): 4279–4283. Bibcode : 2013GeoRL..40.4279H. doi : 10.1002/grl.50838. hdl : 20.500.11937/46786 . S2CID  54867946.
7. «Wolfram|Alpha Gravity in Kuala Lumpur», Wolfram Alpha, доступ получен в ноябре 2020 г.
8. Терри Куинн (2011). От артефактов к атомам: BIPM и поиск окончательных стандартов измерений . Oxford University Press . стр. 127. ISBN 978-0-19-530786-3.
9. Резолюция 3-й ГКМВ (1901), стр. 70 (в см/с ² ). BIPM – Резолюция 3-й ГКМВ
10. "Curious About Astronomy?". Корнелльский университет . Архивировано из оригинала 28 июля 2013 года . Получено 22 декабря 2023 года .
11. «Я чувствую себя «легче», когда нахожусь на горе, но так ли это?», FAQ Национальной физической лаборатории
12. «G's in the Machine» Архивировано 21 сентября 2020 г. в Wayback Machine , NASA, см. «Примечание редактора № 2»
13. AM Dziewonski, DL Anderson (1981). "Предварительная справочная модель Земли" (PDF) . Physics of the Earth and Planetary Interiors . 25 (4): 297–356. Bibcode :1981PEPI...25..297D. doi :10.1016/0031-9201(81)90046-7. ISSN  0031-9201.
14. Типлер, Пол А. (1999). Физика для ученых и инженеров (4-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman/Worth Publishers. С. 336–337. ISBN 9781572594913.
15. Уоттс, AB; Дейли, SF (май 1981). «Длинноволновая гравитация и топографические аномалии». Annual Review of Earth and Planetary Sciences . 9 : 415–418. Bibcode : 1981AREPS...9..415W. doi : 10.1146/annurev.ea.09.050181.002215.
16. Виджет гравитационных полей по состоянию на 25 октября 2012 г. – WolframAlpha
17. Т. М. Ярвуд и Ф. Касл, Физические и математические таблицы , переработанное издание, Macmillan and Co LTD, Лондон и Бейзингсток, напечатано в Великобритании издательством The University Press, Глазго, 1970, стр. 22 и 23.
18. Международная формула гравитации Архивировано 20 августа 2008 г. на Wayback Machine
19. "Department of Defense World Geodetic System 1984 ― Its Definition and Relationships with Local Geodetic Systems, NIMA TR8350.2, 3rd ed., Tbl. 3.4, Eq. 4-1" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2014-04-11 . Получено 2015-10-15 .
20. "Гравитация". www.ncert.nic . Получено 2022-01-25 .
21. Мейер, Ульрих; Сосница, Кшиштоф; Арнольд, Даниэль; Дале, Кристоф; Таллер, Даниэла; Дах, Рольф; Ягги, Адриан (22 апреля 2019 г.). «Определение и комбинирование SLR, GRACE и гравитационного поля роя». Дистанционное зондирование . 11 (8): 956. Bibcode : 2019RemS...11..956M. doi : 10.3390/rs11080956 . hdl : 10281/240694 .
22. Tapley, Byron D.; Watkins, Michael M.; Flechtner, Frank; Reigber, Christoph; Bettadpur, Srinivas; Rodell, Matthew; Sasgen, Ingo; Famiglietti, James S.; Landerer, Felix W.; Chambers, Don P.; Reager, John T.; Gardner, Alex S.; Save, Himanshu; Ivins, Erik R.; Swenson, Sean C.; Boening, Carmen; Dahle, Christoph; Wiese, David N.; Dobslaw, Henryk; Tamisiea, Mark E.; Velicogna, Isabella (май 2019 г.). «Вклад GRACE в понимание изменения климата». Nature Climate Change . 9 (5): 358–369. Bibcode :2019NatCC...9..358T. doi : 10.1038/s41558-019-0456-2. PMC 6750016. PMID  31534490 . 
23. Сошница, Кшиштоф; Ягги, Адриан; Мейер, Ульрих; Таллер, Даниэла; Бойтлер, Герхард; Арнольд, Даниэль; Дах, Рольф (октябрь 2015 г.). «Изменяющееся во времени гравитационное поле Земли со спутников SLR». Journal of Geodesy . 89 (10): 945–960. Bibcode : 2015JGeod..89..945S. doi : 10.1007/s00190-015-0825-1 .

Внешние ссылки

• Калькулятор высоты и гравитации
• GRACE – Эксперимент по восстановлению гравитации и климату Архивировано 2009-12-01 на Wayback Machine
• Данные высокого разрешения GGMplus (2013)
• Модель геоида 2011 года Potsdam Gravity Potato