Синтетическая геометрия (иногда называемая аксиоматической геометрией или даже чистой геометрией ) — это геометрия без использования координат . Он опирается на аксиоматический метод для доказательства всех результатов из нескольких основных свойств, первоначально называемых постулатами , а в настоящее время называемых аксиомами .
Термин «синтетическая геометрия» был придуман только после 17 века и введения Рене Декартом координатного метода, который получил название аналитической геометрии . Поэтому термин «синтетическая геометрия» был введен для обозначения более старых методов, которые до Декарта были единственными известными.
По словам Феликса Кляйна
Синтетическая геометрия — это та, которая изучает фигуры как таковые, не прибегая к формулам, тогда как аналитическая геометрия последовательно пользуется такими формулами, которые можно записать после принятия соответствующей системы координат. [1]
Первым систематическим подходом к синтетической геометрии являются « Начала » Евклида . Однако в конце XIX века выяснилось, что постулаты Евклида недостаточны для характеристики геометрии. Первая полная система аксиом геометрии была дана лишь в конце 19 века Давидом Гильбертом . При этом оказалось, что для построения геометрии можно использовать как синтетические методы, так и аналитические методы. Тот факт, что оба подхода эквивалентны, был доказан Эмилем Артином в его книге «Геометрическая алгебра» .
Из-за этой эквивалентности различие между синтетической и аналитической геометрией больше не используется, за исключением элементарного уровня или для геометрий, которые не связаны с какими-либо числами, таких как некоторые конечные геометрии и недесаргова геометрия . [ нужна цитата ]
Процесс логического синтеза начинается с некоторой произвольной, но определенной отправной точки. Этой отправной точкой является введение примитивных понятий или примитивов и аксиом об этих примитивах:
На основе заданного набора аксиом синтез осуществляется как тщательно построенный логический аргумент. Когда важный результат строго доказан, он становится теоремой .
Для геометрии не существует фиксированного набора аксиом, поскольку можно выбрать более одного последовательного набора . Каждый такой набор может привести к разной геометрии, хотя есть также примеры разных наборов, дающих одну и ту же геометрию. При таком изобилии возможностей уже неуместно говорить о «геометрии» в единственном числе.
Исторически постулат о параллельности Евклида оказался независимым от других аксиом. Простое отбрасывание дает абсолютную геометрию , а отрицание дает гиперболическую геометрию . Другие непротиворечивые наборы аксиом могут давать другие геометрии, такие как проективная , эллиптическая , сферическая или аффинная геометрия.
Аксиомы непрерывности и «между» также не являются обязательными, например, дискретную геометрию можно создать, отбросив или изменив ее.
Следуя эрлангенской программе Клейна , природу любой данной геометрии можно рассматривать как связь между симметрией и содержанием предложений, а не стилем развития.
Оригинальная трактовка Евклида оставалась неоспоримой более двух тысяч лет, пока одновременное открытие неевклидовой геометрии Гауссом , Бояи , Лобачевским и Риманом в 19 веке не заставило математиков подвергнуть сомнению основные предположения Евклида. [3]
Один из первых французских аналитиков так резюмировал синтетическую геометрию:
Расцветом синтетической геометрии можно считать XIX век, когда некоторые геометры, такие как Якоб Штайнер , игнорировали аналитические методы, основанные на координатах и исчислении , в пользу чисто синтетического развития проективной геометрии . Например, рассмотрение проективной плоскости , исходя из аксиом инцидентности, на самом деле представляет собой более широкую теорию (с большим количеством моделей ), чем та, которую можно получить, начиная с векторного пространства размерности три. Проективная геометрия фактически представляет собой самое простое и элегантное синтетическое выражение любой геометрии. [5]
В своей программе в Эрлангене Феликс Кляйн преуменьшил противоречие между синтетическими и аналитическими методами:
Тщательное аксиоматическое изучение евклидовой геометрии привело к построению четырехугольника Ламберта и четырехугольника Саккери . Эти структуры открыли область неевклидовой геометрии , где аксиома параллельности Евклида отрицается. Гаусс , Бояи и Лобачевский независимо друг от друга построили гиперболическую геометрию , где параллельные прямые имеют угол параллельности , зависящий от их разделения. Это исследование стало широко доступным благодаря модели диска Пуанкаре , в которой движения задаются преобразованиями Мёбиуса . Точно так же Риман , ученик Гаусса, построил риманову геометрию , частным случаем которой является эллиптическая геометрия .
Другой пример касается инверсной геометрии , предложенной Людвигом Иммануилом Магнусом , которую можно считать синтетической по духу. Тесно связанная операция возвратно-поступательного движения выражает анализ плоскости.
Карл фон Штаудт показал, что алгебраические аксиомы, такие как коммутативность и ассоциативность сложения и умножения, на самом деле являются следствием падения прямых в геометрические конфигурации . Давид Гильберт показал [7] , что конфигурация Дезарга играет особую роль. Дальнейшую работу проделали Рут Муфанг и ее ученики. Эти концепции были одним из мотиваторов геометрии инцидентности .
Когда параллельные линии принимаются в качестве основных, синтез создает аффинную геометрию . Хотя евклидова геометрия является одновременно аффинной и метрической геометрией , в общих аффинных пространствах может отсутствовать метрика. Дополнительная гибкость, предоставляемая таким образом, делает аффинную геометрию подходящей для изучения пространства-времени , как обсуждалось в истории аффинной геометрии .
В 1955 году Герберт Буземан и Пол Дж. Келли высказали ностальгическую ноту по синтетической геометрии:
Например, исследования в колледже теперь включают линейную алгебру , топологию и теорию графов , где предмет развивается на основе основных принципов, а предложения выводятся с помощью элементарных доказательств . Ожидание замены синтетической геометрии аналитической приводит к потере геометрического содержания. [8]
Сегодняшнему изучающему геометрию доступны аксиомы, отличные от аксиом Евклида: см. аксиомы Гильберта и аксиомы Тарского .
Эрнст Кёттер опубликовал (немецкий) отчет в 1901 году «Развитие синтетической геометрии от Монжа до Штаудта (1847)» ; [9]
Синтетические доказательства геометрических теорем используют вспомогательные конструкции (например, вспомогательные линии ) и такие понятия, как равенство сторон или углов, подобие и равенство треугольников. Примеры таких доказательств можно найти в статьях « Теорема о бабочке » , « Теорема о биссектрисе угла » , «Теорема Аполлония» , «Теорема о британском флаге» , « Теорема Чевы» , « Теорема о равных вписанных окружностях» , « Теорема о среднем геометрическом» , «Формула Герона », « Теорема о равнобедренном треугольнике» , «Закон косинусов » и других, которые связаны здесь .
В сочетании с вычислительной геометрией создана вычислительная синтетическая геометрия, имеющая тесную связь, например, с теорией матроидов . Синтетическая дифференциальная геометрия — это приложение теории топоса к основам теории дифференцируемых многообразий .