Синтетическая геометрия (иногда называемая аксиоматической геометрией или даже чистой геометрией ) — это геометрия без использования координат . Она опирается на аксиоматический метод доказательства всех результатов из нескольких основных свойств, первоначально называемых постулатами , а в настоящее время называемых аксиомами .
Термин «синтетическая геометрия» был придуман только после 17-го века и введения Рене Декартом метода координат, который был назван аналитической геометрией . Таким образом, термин «синтетическая геометрия» был введен для обозначения более старых методов, которые до Декарта были единственными известными.
По словам Феликса Кляйна
Синтетическая геометрия изучает фигуры как таковые, не прибегая к формулам, тогда как аналитическая геометрия последовательно использует такие формулы, которые могут быть записаны после принятия соответствующей системы координат. [1]
Первым систематическим подходом для синтетической геометрии являются «Начала » Евклида . Однако в конце XIX века выяснилось, что постулаты Евклида недостаточны для характеристики геометрии. Первая полная система аксиом для геометрии была дана только в конце XIX века Давидом Гильбертом . В то же время выяснилось, что для построения геометрии можно использовать как синтетические, так и аналитические методы. Тот факт, что оба подхода эквивалентны, доказал Эмиль Арти в своей книге «Геометрическая алгебра» .
Из-за этой эквивалентности различие между синтетической и аналитической геометрией больше не используется, за исключением элементарного уровня или для геометрий, которые не связаны ни с каким видом чисел, таких как некоторые конечные геометрии и недезарговская геометрия . [ необходима ссылка ]
Процесс логического синтеза начинается с некоторой произвольной, но определенной отправной точки. Эта отправная точка — введение примитивных понятий или примитивов и аксиом об этих примитивах:
Из заданного набора аксиом синтез осуществляется как тщательно выстроенный логический аргумент. Когда значимый результат доказан строго, он становится теоремой .
Для геометрии не существует фиксированного набора аксиом, поскольку можно выбрать более одного последовательного набора . Каждый такой набор может привести к другой геометрии, в то время как существуют также примеры разных наборов, дающих одну и ту же геометрию. При таком изобилии возможностей больше не уместно говорить о «геометрии» в единственном числе.
Исторически, постулат параллельности Евклида оказался независимым от других аксиом. Простое отбрасывание его дает абсолютную геометрию , а отрицание его дает гиперболическую геометрию . Другие последовательные наборы аксиом могут давать другие геометрии, такие как проективная , эллиптическая , сферическая или аффинная геометрия.
Аксиомы непрерывности и «промежуточности» также являются необязательными, например, дискретные геометрии могут быть созданы путем их отбрасывания или изменения.
Следуя эрлангенской программе Клейна , природу любой данной геометрии можно рассматривать как связь между симметрией и содержанием предложений, а не как стиль развития .
Первоначальная трактовка Евклида оставалась неоспоримой на протяжении более двух тысяч лет, пока одновременные открытия неевклидовых геометрий Гауссом , Больяи , Лобачевским и Риманом в XIX веке не заставили математиков усомниться в основных предположениях Евклида. [3]
Один из ранних французских аналитиков так обобщил синтетическую геометрию:
Расцветом синтетической геометрии можно считать 19 век, когда аналитические методы, основанные на координатах и исчислении, игнорировались некоторыми геометрами, такими как Якоб Штайнер , в пользу чисто синтетического развития проективной геометрии . Например, рассмотрение проективной плоскости, начинающееся с аксиом инцидентности, на самом деле является более широкой теорией (с большим количеством моделей ), чем та, которая обнаруживается, начиная с векторного пространства размерности три. Проективная геометрия на самом деле имеет самое простое и элегантное синтетическое выражение любой геометрии. [5]
В своей программе в Эрлангене Феликс Кляйн преуменьшил напряженность между синтетическими и аналитическими методами:
Близкое аксиоматическое изучение евклидовой геометрии привело к построению четырехугольника Ламберта и четырехугольника Саккери . Эти структуры ввели область неевклидовой геометрии , в которой отрицается аксиома параллельности Евклида. Гаусс , Бойяи и Лобачевский независимо построили гиперболическую геометрию , в которой параллельные прямые имеют угол параллельности , зависящий от их разделения. Это исследование стало широко доступным благодаря модели диска Пуанкаре , в которой движения задаются преобразованиями Мёбиуса . Аналогично Риман , ученик Гаусса, построил риманову геометрию , частным случаем которой является эллиптическая геометрия .
Другой пример касается инверсионной геометрии, разработанной Людвигом Иммануилом Магнусом , которую можно считать синтетической по духу. Тесно связанная операция возвратно-поступательного движения выражает анализ плоскости.
Карл фон Штаудт показал, что алгебраические аксиомы, такие как коммутативность и ассоциативность сложения и умножения, на самом деле являются следствиями инцидентности линий в геометрических конфигурациях . Дэвид Гильберт показал [7] , что конфигурация Дезарга играет особую роль. Дальнейшая работа была проделана Рут Муфанг и ее учениками. Эти концепции стали одним из мотиваторов геометрии инцидентности .
Когда параллельные линии берутся в качестве первичных, синтез производит аффинную геометрию . Хотя евклидова геометрия является как аффинной, так и метрической геометрией , в общем случае аффинные пространства могут не иметь метрики. Дополнительная гибкость, предоставляемая таким образом, делает аффинную геометрию подходящей для изучения пространства-времени , как обсуждалось в истории аффинной геометрии .
В 1955 году Герберт Буземан и Пол Дж. Келли высказали ностальгическую ноту по синтетической геометрии:
Например, в настоящее время в колледжах изучают линейную алгебру , топологию и теорию графов , где предмет развивается из первых принципов, а предложения выводятся с помощью элементарных доказательств . Ожидание замены синтетической геометрии аналитической приводит к потере геометрического содержания. [8]
Сегодня изучающему геометрию доступны и другие аксиомы, помимо аксиом Евклида: см. аксиомы Гильберта и аксиомы Тарского .
Эрнст Кёттер опубликовал в 1901 году (на немецком языке) доклад на тему «Развитие синтетической геометрии от Монжа до Штаудта (1847)» ; [9]
Синтетические доказательства геометрических теорем используют вспомогательные конструкции (например, вспомогательные линии ) и такие понятия, как равенство сторон или углов, подобие и конгруэнтность треугольников. Примеры таких доказательств можно найти в статьях Теорема бабочки , Теорема о биссектрисе угла , Теорема Аполлония , Теорема британского флага , Теорема Чевы , Теорема о равных вписанных окружностях , Теорема геометрического среднего , Формула Герона , Теорема о равнобедренном треугольнике , Закон косинусов и других, ссылки на которые приведены здесь .
В сочетании с вычислительной геометрией была основана вычислительная синтетическая геометрия , имеющая тесную связь, например, с теорией матроидов . Синтетическая дифференциальная геометрия является приложением теории топосов к основам теории дифференцируемых многообразий .