.gif/1280px-One_positive_frequency_component,_cosine_and_sine,_from_rotating_vector_(fast_animation).gif)
Синусоидальная волна , синусоидальная волна или синусоида (символ: ∿ ) — это периодическая волна , форма волны которой (форма) представляет собой тригонометрическую синусоидальную функцию . В механике , как линейное движение во времени, это простое гармоническое движение ; как и вращение , оно соответствует равномерному круговому движению . Синусоидальные волны часто встречаются в физике , включая ветровые волны , звуковые волны и световые волны, такие как монохроматическое излучение . В инженерии , обработке сигналов и математике анализ Фурье разлагает общие функции на сумму синусоидальных волн различных частот, относительных фаз и величин.
Когда любые две синусоидальные волны одинаковой частоты (но произвольной фазы ) линейно объединяются , в результате получается еще одна синусоидальная волна той же частоты; это свойство уникально среди периодических волн. И наоборот, если какая-то фаза выбрана в качестве нулевой опорной, синусоидальная волна произвольной фазы может быть записана как линейная комбинация двух синусоидальных волн с фазами нуля и четверти цикла, составляющих синуса и косинуса соответственно.
Синусоидальная волна представляет собой одну частоту без гармоник и считается акустически чистым тоном . Добавление синусоидальных волн разных частот приводит к получению другой формы сигнала. Наличие высших гармоник помимо основных вызывает изменение тембра , из-за чего одна и та же музыкальная высота , исполняемая на разных инструментах, звучит по-разному.
Синусоидальные волны произвольной фазы и амплитуды называются синусоидами и имеют общий вид: [1] где:
Синусоиды, существующие как в положении, так и во времени, также имеют:
В зависимости от направления движения они могут иметь вид:
Поскольку синусоидальные волны распространяются без изменения формы в распределенных линейных системах , [ необходимо определение ] они часто используются для анализа распространения волн .
Когда две волны с одинаковой амплитудой и частотой , движущиеся в противоположных направлениях, накладываются друг на друга, создается картина стоячей волны .
На натянутой струне накладывающиеся волны представляют собой волны, отраженные от фиксированных концов струны. Резонансные частоты струны — это единственные возможные стоячие волны струны, которые возникают только для длин волн, которые в два раза превышают длину струны (что соответствует основной частоте ) и ее целочисленному делению (что соответствует высшим гармоникам).
Предыдущее уравнение дает смещение волны в определенный момент времени вдоль одной линии. Это можно было бы, например, считать величиной волны вдоль провода.
В двух или трех пространственных измерениях одно и то же уравнение описывает бегущую плоскую волну, если положение и волновое число интерпретируются как векторы, а их произведение — как скалярное произведение . Для более сложных волн, таких как высота волны воды в пруду после падения камня, необходимы более сложные уравнения.
Французский математик Жозеф Фурье обнаружил, что синусоидальные волны можно суммировать как простые строительные блоки, чтобы аппроксимировать любую периодическую форму волны, включая прямоугольные волны . Эти ряды Фурье часто используются при обработке сигналов и статистическом анализе временных рядов . Затем преобразование Фурье расширило ряд Фурье для обработки общих функций и положило начало области анализа Фурье .
Дифференцирование любой синусоиды по времени можно рассматривать как умножение ее амплитуды на ее угловую частоту и продвижение ее вперед на четверть цикла:
Дифференциатор имеет ноль в начале плоскости комплексной частоты . Усиление его частотной характеристики увеличивается со скоростью +20 дБ на декаду частоты (для величин основной мощности ), такой же положительный наклон, как и полоса задерживания фильтра верхних частот 1- го порядка , хотя дифференциатор не имеет частота среза или плоская полоса пропускания . Фильтр верхних частот n - го порядка приблизительно применяет n -ю производную по времени сигналов , полоса частот которых значительно ниже частоты среза фильтра.
Интегрирование любой синусоиды по времени можно рассматривать как деление ее амплитуды на ее угловую частоту и задержку на четверть цикла:
Константа интегрирования будет равна нулю, если границы интегрирования являются целым числом, кратным периоду синусоиды.
Интегратор имеет полюс в начале плоскости комплексной частоты. Усиление его частотной характеристики падает со скоростью -20 дБ на декаду частоты (для величин основной мощности), такой же отрицательный наклон, как и полоса задерживания фильтра нижних частот 1 -го порядка , хотя интегратор этого не делает. иметь граничную частоту или плоскую полосу пропускания. Фильтр нижних частот n - го порядка примерно выполняет n -ный интеграл по времени сигналов, полоса частот которых значительно превышает частоту среза фильтра.
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}[A\sin(\omega t+\varphi)]&=A\omega \cos(\omega t+\varphi)\\&=A \omega \sin(\omega t+\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\,.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef1d774c1775716120ab0ded159150b63b8c4a2c)
