Скаляр Кречмана

В теории лоренцевых многообразий , особенно в контексте приложений к общей теории относительности , скаляр Кречмана является квадратичным скалярным инвариантом . Его представил Эрих Кречманн . ^[1]

Определение

Инвариант Кречмана равен ^{[1] [2]}

${\displaystyle K=R_{abcd}\,R^{abcd}}$

где – тензор кривизны Римана , – символ Кристоффеля . Поскольку это сумма квадратов компонентов тензора, это квадратичный инвариант. ${\displaystyle R^{a}{}_{bcd}=\partial _{c}\Gamma ^{a}{}_{db}-\partial _{d}\Gamma ^{a}{}_{cb}+\Gamma ^{a}{}_{ce}\Gamma ^{e}{}_{db}-\Gamma ^{a}{}_{de}\Gamma ^{e}{}_{cb}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Соглашение Эйнштейна о суммировании с повышенными и пониженными индексами используется выше и на протяжении всей статьи. Явное выражение суммирования:

${\displaystyle K=R_{abcd}\,R^{abcd}=\sum _{a=0}^{3}\sum _{b=0}^{3}\sum _{c=0}^{3}\sum _{d=0}^{3}R_{abcd}\,R^{abcd}{\text{ with }}R^{abcd}=\sum _{i=0}^{3}g^{ai}\,\sum _{j=0}^{3}g^{bj}\,\sum _{k=0}^{3}g^{ck}\,\sum _{\ell =0}^{3}g^{d\ell }\,R_{ijk\ell }.\,}$

Примеры

Для черной дыры Шварцшильда с массой скаляр Кречмана равен ^[1] ${\displaystyle M}$

${\displaystyle K={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}\,.}$

где гравитационная постоянная. ${\displaystyle G}$

Для общего пространства-времени FRW с метрикой

${\displaystyle ds^{2}=-\mathrm {d} t^{2}+{a(t)}^{2}\left({\frac {\mathrm {d} r^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\,\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}\right),}$

скаляр Кречмана

${\displaystyle K={\frac {12\left[a(t)^{2}a''(t)^{2}+\left(k+a'(t)^{2}\right)^{2}\right]}{a(t)^{4}}}.}$

Связь с другими инвариантами

Другой возможный инвариант (который использовался, например, при написании гравитационного члена лагранжиана для некоторых теорий гравитации более высокого порядка ) - это

${\displaystyle C_{abcd}\,C^{abcd}}$

где – тензор Вейля , тензор конформной кривизны, который также является полностью бесследовой частью тензора Римана. В размерностях это связано с инвариантом Кречмана соотношением ^[3] ${\displaystyle C_{abcd}}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle R_{abcd}\,R^{abcd}=C_{abcd}\,C^{abcd}+{\frac {4}{d-2}}R_{ab}\,R^{ab}-{\frac {2}{(d-1)(d-2)}}R^{2}}$

где – тензор кривизны Риччи , – скалярная кривизна Риччи (полученная путем последовательного снятия следов тензора Римана). Тензор Риччи исчезает в вакуумном пространстве-времени (например, в упомянутом выше решении Шварцшильда), и, следовательно, здесь тензор Римана и тензор Вейля совпадают, как и их инварианты. ${\displaystyle R^{ab}}$ ${\displaystyle R}$

Инварианты калибровочной теории

Скаляр Кречмана и скаляр Черна-Понтрягина

${\displaystyle R_{abcd}\,{{}^{\star }\!R}^{abcd}}$

где – левый двойственный тензор Римана, математически аналогичны (в некоторой степени физически аналогичны) известным инвариантам тензора электромагнитного поля ${\displaystyle {{}^{\star }R}^{abcd}}$

${\displaystyle F_{ab}\,F^{ab},\;\;F_{ab}\,{{}^{\star }\!F}^{ab}.}$

Обобщая калибровочную теорию электромагнетизма на общую неабелеву калибровочную теорию, первый из этих инвариантов равен ${\displaystyle U(1)}$

${\displaystyle {\text{Tr}}(F_{ab}F^{ab})}$,

выражение, пропорциональное лагранжиану Янга-Миллса . Вот кривизна ковариантной производной , а – форма следа . Скаляр Кречмана возникает из-за того, что связность находится в расслоении фреймов . ${\displaystyle F_{ab}}$ ${\displaystyle {\text{Tr}}}$

Смотрите также

• Инварианты Карминати-Макленагана для набора инвариантов
• Классификация электромагнитных полей , подробнее об инвариантах тензора электромагнитного поля.
• Инвариант кривизны для инвариантов кривизны в римановой и псевдоримановой геометрии в целом.
• Инвариант кривизны (общая теория относительности)
• Разложение Риччи , подробнее о тензоре Римана и Вейля

Рекомендации

1. Ричард К. Генри (2000). «Скаляр Кречмана для черной дыры Керра-Ньюмана». Астрофизический журнал . 535 (1). Американское астрономическое общество: 350–353. arXiv : astro-ph/9912320v1 . Бибкод : 2000ApJ...535..350H. дои : 10.1086/308819. S2CID  119329546.
2. Грён и Хервик 2007, стр. 219.
3. Керубини, Кристиан; Бини, Донато; Капоцциелло, Сальваторе; Руффини, Ремо (2002). «Скалярные инварианты второго порядка тензора Римана: приложения к пространству-времени черных дыр». Международный журнал современной физики Д. 11 (6): 827–841. arXiv : gr-qc/0302095v1 . Бибкод : 2002IJMPD..11..827C. дои : 10.1142/S0218271802002037. ISSN  0218-2718. S2CID  14587539.

дальнейшее чтение

• Грон, Эйвинд ; Хервик, Сигбьёрн (2007), Общая теория относительности Эйнштейна , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-69199-2
• Б. Ф. Шютц (2009), Первый курс общей теории относительности (второе издание) , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-88705-2
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип. С .; Уиллер, Джон А. (1973), Гравитация , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0