Слабая производная

Обобщение производной функции

В математике слабая производная — это обобщение понятия производной функции ( сильной производной ) для функций, не предполагаемых дифференцируемыми , а только интегрируемыми , т. е. лежащими в пространстве Lp . ${\displaystyle L^{1}([a,b])}$

Метод интегрирования по частям утверждает, что для дифференцируемых функций и мы имеем ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)\varphi '(x)\,dx&={\Big [}u(x)\varphi (x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)\varphi (x)\,dx.\\[6pt]\end{aligned}}}$$

Функция u ', являющаяся слабой производной u , по существу определяется требованием, чтобы это уравнение выполнялось для всех бесконечно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль в граничных точках ( ). ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)=0}$

Определение

Пусть — функция в пространстве Лебега . Мы говорим, что в — слабая производная от , если ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle L^{1}([a,b])}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L^{1}([a,b])}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)\,dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)\,dt}$

для всех бесконечно дифференцируемых функций с . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)=0}$

Обобщая на размерности, если и находятся в пространстве локально интегрируемых функций для некоторого открытого множества , и если является мультииндексом , мы говорим, что является -слабой производной от , если ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L_{\text{loc}}^{1}(U)}$ ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \alpha ^{\text{th}}}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi ,}$

для всех , то есть для всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в . Здесь определяется как ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D^{\alpha }\varphi }$ $${\displaystyle D^{\alpha }\varphi ={\frac {\partial ^{|\alpha |}\varphi }{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.}$$

Если имеет слабую производную, то это часто записывается так, поскольку слабые производные единственны (по крайней мере, вплоть до множества меры нуль , см. ниже). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle D^{\alpha }u}$

Примеры

• Функция абсолютного значения , которая не дифференцируема в , имеет слабую производную, известную как функция знака , и задается формулой Это не единственная слабая производная для u : любой w , который равен v почти всюду, также является слабой производной для u . Например, определение v (0) выше можно заменить любым желаемым действительным числом. Обычно существование множественных решений не является проблемой, поскольку функции считаются эквивалентными в теории пространств L p и пространств Соболева, если они равны почти всюду. ${\displaystyle u:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{+},u(t)=|t|}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle v:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ $${\displaystyle v(t)={\begin{cases}1&{\text{if }}t>0;\\[6pt]0&{\text{if }}t=0;\\[6pt]-1&{\text{if }}t<0.\end{cases}}}$$
• Характеристическая функция рациональных чисел нигде не дифференцируема, но имеет слабую производную. Поскольку мера Лебега рациональных чисел равна нулю, то является слабой производной от . Обратите внимание, что это согласуется с нашей интуицией, поскольку при рассмотрении в качестве члена пространства Lp отождествляется с нулевой функцией. ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$ $${\displaystyle \int 1_{\mathbb {Q} }(t)\varphi (t)\,dt=0.}$$ ${\displaystyle v(t)=0}$ ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$ ${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }}$
• Функция Кантора c не имеет слабой производной, несмотря на то, что она дифференцируема почти всюду. Это происходит потому, что любая слабая производная c должна была бы быть равна почти всюду классической производной c , которая равна нулю почти всюду. Но нулевая функция не является слабой производной c , как можно увидеть, сравнив ее с подходящей тестовой функцией . Более теоретически, c не имеет слабой производной, потому что ее распределительная производная , а именно распределение Кантора , является сингулярной мерой и, следовательно, не может быть представлена ​​функцией. ${\displaystyle \varphi }$

Характеристики

Если две функции являются слабыми производными одной и той же функции, то они равны, за исключением множества с нулевой мерой Лебега , т. е. они равны почти всюду . Если мы рассмотрим классы эквивалентности функций, такие, что две функции эквивалентны, если они равны почти всюду, то слабая производная будет единственной.

Кроме того, если u дифференцируема в общепринятом смысле, то ее слабая производная идентична (в указанном выше смысле) ее обычной (сильной) производной. Таким образом, слабая производная является обобщением сильной. Более того, классические правила для производных сумм и произведений функций справедливы и для слабой производной.

Расширения

Эта концепция приводит к определению слабых решений в пространствах Соболева , которые полезны для задач дифференциальных уравнений и в функциональном анализе .

Смотрите также

• Субдеривативный
• Лемма Вейля (уравнение Лапласа)

Ссылки

• Гилбарг, Д.; Трудингер, Н. (2001). Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка . Берлин: Springer. стр. 149. ISBN 3-540-41160-7.
• Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения с частными производными . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 242. ISBN 0-8218-0772-2.
• Кнабнер, Питер; Ангерманн, Лутц (2003). Численные методы для эллиптических и параболических уравнений в частных производных . Нью-Йорк: Springer. С. 53. ISBN 0-387-95449-X.