Локально интегрируемая функция

Функция, интегрируемая на своей области определения

В математике локально интегрируемая функция ( иногда также называемая локально суммируемой функцией ) ^[1] — это функция , которая интегрируема (то есть ее интеграл конечен) на каждом компактном подмножестве своей области определения . Важность таких функций заключается в том, что их функциональное пространство похоже на пространства L p , но его члены не обязаны удовлетворять каким-либо ограничениям роста на их поведение на границе своей области определения (на бесконечности, если область определения неограничена): другими словами, локально интегрируемые функции могут расти сколь угодно быстро на границе области определения, но при этом ими можно управлять так же, как и обычными интегрируемыми функциями.

Определение

Стандартное определение

Определение 1. [ ^2] Пусть Ω — открытое множество в евклидовом пространстве , а f  : Ω → — измеримая по Лебегу функция . Если f на Ω такова, что ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

т.е. ее интеграл Лебега конечен на всех компактных подмножествах K из Ω , ^[3] тогда f называется локально интегрируемой . Множество всех таких функций обозначается как L _1,loc (Ω) :

${\displaystyle L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega )={\bigl \{}f\colon \Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable}}:f|_{K}\in L_{1}(K)\ \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}{\bigr \}},}$

где обозначает ограничение f на множество K.​ ${\textstyle \left.f\right|_{K}}$

Классическое определение локально интегрируемой функции включает в себя только понятия теории меры и топологические ^[4] и может быть абстрактно перенесено на комплекснозначные функции на топологическом пространстве с мерой ( X , Σ, μ ) : ^[5] однако, поскольку наиболее распространенным применением таких функций является теория распределений на евклидовых пространствах, ^[2] все определения в этом и следующих разделах явно касаются только этого важного случая.

Альтернативное определение

Определение 2. [ ^6] Пусть Ω — открытое множество в евклидовом пространстве . Тогда функция f  : Ω → такая, что ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

для каждой тестовой функции φ ∈ C ∞
с (Ω) называется локально интегрируемой , а множество таких функций обозначается L _1,loc (Ω) . Здесь C ∞
с (Ω) обозначает множество всех бесконечно дифференцируемых функций φ  : Ω → ${\displaystyle \mathbb {R} }$ с компактным носителем, содержащимся в Ω .

Это определение берет свое начало в подходе к теории меры и интегрирования, основанном на концепции непрерывного линейного функционала на топологическом векторном пространстве , разработанном школой Николя Бурбаки : ^[7] оно также принято Стрихартцем (2003) и Мазьей и Шапошниковой (2009, стр. 34). ^[8] Это «теоретико-распределенное» определение эквивалентно стандартному, как доказывает следующая лемма:

Лемма 1. Заданная функция f  : Ω → ${\displaystyle \mathbb {C} }$ локально интегрируема согласно определению 1 тогда и только тогда, когда она локально интегрируема согласно определению 2 , т.е.

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compact}}\quad \Longleftrightarrow \quad \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty \quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).}$

ДоказательствоЛемма 1

Если часть : Пусть φ ∈ C ∞
с (Ω) — тестовая функция. Она ограничена своей супремум-нормой || φ || _∞ , измерима и имеет компактный носитель , назовем его K . Следовательно

${\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq \|\varphi \|_{\infty }\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<\infty }$

по определению 1 .

Только если часть : Пусть K — компактное подмножество открытого множества Ω . Сначала построим тестовую функцию φ _K ∈ C ∞
с (Ω), которая мажорирует индикаторную функцию χ _K для K. Обычное заданное расстояние ^[9] между K и границей ∂Ω строго больше нуля, т.е.

${\displaystyle \Delta :=d(K,\partial \Omega )>0,}$

следовательно, можно выбрать действительное число δ такое, что Δ > 2 δ > 0 (если ∂Ω — пустое множество, то Δ = ∞ ). Пусть K _δ и K _{2 δ} обозначают замкнутую δ -окрестность и 2 δ -окрестность K , соответственно. Они также компактны и удовлетворяют

${\displaystyle K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega ,\qquad d(K_{\delta },\partial \Omega )=\Delta -\delta >\delta >0.}$

Теперь используем свертку , чтобы определить функцию φ _K  : Ω → ${\displaystyle \mathbb {R} }$ по формуле

${\displaystyle \varphi _{K}(x)={\chi _{K_{\delta }}\ast \varphi _{\delta }(x)}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{K_{\delta }}(y)\,\varphi _{\delta }(x-y)\,\mathrm {d} y,}$

где φ _δ — смягчитель, построенный с использованием стандартного положительного симметричного . Очевидно, φ _K неотрицателен в том смысле, что φ _K ≥ 0 , бесконечно дифференцируем, и его носитель содержится в K _{2 δ} , в частности, он является тестовой функцией. Поскольку φ _K ( x ) = 1 для всех x ∈ K , мы имеем, что χ _K ≤ φ _K .

Пусть f — локально интегрируемая функция согласно определению 2. Тогда

${\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }|f|\chi _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }|f|\varphi _{K}\,\mathrm {d} x<\infty .}$

Поскольку это справедливо для любого компактного подмножества K из Ω , функция f локально интегрируема согласно определению 1. □

Обобщение: локальноп-интегрируемые функции

Определение 3. [ ^10] Пусть Ω — открытое множество в евклидовом пространстве , а f  : Ω → — измеримая по Лебегу функция. Если для заданного p с 1 ≤ p ≤ +∞ f удовлетворяет условию ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x<+\infty ,}$

т.е. она принадлежит L _p ( K ) для всех компактных подмножеств K из Ω , тогда f называется локально p - интегрируемой или также p - локально интегрируемой . ^[10] Множество всех таких функций обозначается как L p _{, loc} (Ω) :

${\displaystyle L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} {\text{ measurable }}\left|\ f|_{K}\in L_{p}(K),\ \forall \,K\subset \Omega ,K{\text{ compact}}\right.\right\}.}$

Альтернативное определение, полностью аналогичное данному для локально интегрируемых функций, может быть дано и для локально p -интегрируемых функций: оно также может быть и доказано эквивалентным определению в этом разделе. ^[11] Несмотря на их кажущуюся большую общность, локально p -интегрируемые функции образуют подмножество локально интегрируемых функций для каждого p такого, что 1 < p ≤ +∞ . ^[12]

Обозначение

Помимо различных глифов , которые могут использоваться для заглавной буквы «L», ^[13] существует несколько вариантов обозначения множества локально интегрируемых функций

• ${\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ),}$принятый (Хёрмандер 1990, стр. 37), (Штрихартц 2003, стр. 12–13) и (Владимиров 2002, стр. 3).
• ${\displaystyle L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),}$принято (Мазья, Поборчи 1997, с. 4) и Мазья, Шапошникова (2009, с. 44).
• ${\displaystyle L_{p}(\Omega ,\mathrm {loc} ),}$принято (Мазья 1985, с. 6) и (Мазья 2011, с. 2).

Характеристики

Лп ,местоявляется полным метрическим пространством для всехп≥ 1

Теорема 1. [ ^14] L _{p ,loc} является полным метризуемым пространством : его топология может быть порождена следующей метрикой :

${\displaystyle d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}}\qquad u,v\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ),}$

где { ω _k } _{k ≥1} — семейство непустых открытых множеств, такое, что

• ω _k ⊂⊂ ω _{k +1} , что означает, что ω _k компактно включено в ω _{k +1} , т.е. это множество, имеющее компактное замыкание, строго включенное в множество более высокого индекса.
• ∪ _k ω _k = Ω .
• ${\displaystyle \scriptstyle {\Vert \cdot \Vert _{p,\omega _{k}}}\to \mathbb {R} ^{+}}$, k ∈ — индексированное семейство полунорм , определяемое как ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\Vert u\Vert _{p,\omega _{k}}}=\left(\int _{\omega _{k}}|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} x\right)^{1/p}\qquad \forall \,u\in L_{p,\mathrm {loc} }(\Omega ).}$

В работах (Gilbarg & Trudinger 2001, стр. 147), (Maz'ya & Poborchi 1997, стр. 5), (Maz'ja 1985, стр. 6) и (Maz'ya 2011, стр. 2) эта теорема сформулирована, но не доказана на формальной основе: ^[15] полное доказательство более общего результата, включающего ее, можно найти в (Meise & Vogt 1997, стр. 40).

Лпявляется подпространствомЛ1,местоположениедля всехп≥ 1

Теорема 2. Каждая функция f, принадлежащая L _p (Ω) , 1 ≤ p ≤ +∞ , где Ω — открытое подмножество , локально интегрируема. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Доказательство . Случай p = 1 тривиален, поэтому в дальнейшем доказательстве предполагается, что 1 < p ≤ +∞ . Рассмотрим характеристическую функцию χ _K компактного подмножества K множества Ω : тогда при p ≤ + ∞

${\displaystyle \left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|K|^{1/q}<+\infty ,}$

где

• q — положительное число , такое что 1/ p + 1/ q = 1 для заданного 1 ≤ p ≤ +∞
• | K | — мера Лебега компактного множества K

Тогда для любого f, принадлежащего L p ₍ Ω) , по неравенству Гёльдера произведение fχ _K интегрируемо , т.е. принадлежит L ₁ (Ω) и

${\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,}$

поэтому

${\displaystyle f\in L_{1,\mathrm {loc} }(\Omega ).}$

Обратите внимание, что поскольку справедливо следующее неравенство

${\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\chi _{K}\|_{p}|K|^{1/q}<+\infty ,}$

Теорема верна и для функций f, принадлежащих только пространству локально p -интегрируемых функций, поэтому из теоремы вытекает также следующий результат.

Следствие 1. Всякая функция из , , локально интегрируема, т.е. принадлежит . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L_{p,loc}(\Omega )}$ ${\displaystyle 1<p\leq \infty }$ ${\displaystyle L_{1,loc}(\Omega )}$

Примечание: Если является открытым подмножеством , которое также ограничено, то имеет место стандартное включение , которое имеет смысл, учитывая указанное выше включение . Но первое из этих утверждений неверно, если не ограничено; тогда по-прежнему верно, что для любого , но не то, что . Чтобы увидеть это, обычно рассматривают функцию , которая входит в , но не входит в для любого конечного . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle L_{1}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1,loc}(\Omega )}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L_{p}(\Omega )\subset L_{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle u(x)=1}$ ${\displaystyle L_{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L_{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle p}$

Л1,местоположениеэто пространство плотностей абсолютно непрерывных мер

Теорема 3. Функция f является плотностью абсолютно непрерывной меры тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle f\in L_{1,loc}}$

Доказательство этого результата набросано в (Schwartz 1998, p. 18). Перефразируя ее утверждение, эта теорема утверждает, что каждая локально интегрируемая функция определяет абсолютно непрерывную меру и наоборот, что каждая абсолютно непрерывная мера определяет локально интегрируемую функцию: это также, в рамках абстрактной теории меры, форма важной теоремы Радона–Никодима, приведенной Станиславом Саксом в его трактате. ^[16]

Примеры

• Постоянная функция 1, определенная на вещественной прямой, локально интегрируема, но не глобально интегрируема, поскольку вещественная прямая имеет бесконечную меру. В более общем смысле, константы , непрерывные функции ^[17] и интегрируемые функции локально интегрируемы. ^[18]
• Функция для x ∈ (0, 1) локально, но не глобально интегрируема на (0, 1). Она локально интегрируема, поскольку любое компактное множество K ⊆ (0, 1) имеет положительное расстояние от 0, и, следовательно, f ограничена на K. Этот пример подкрепляет первоначальное утверждение о том, что локально интегрируемые функции не требуют выполнения условий роста вблизи границы в ограниченных областях. ${\displaystyle f(x)=1/x}$
• Функция

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}\quad x\in \mathbb {R} }$

не является локально интегрируемой в x = 0 : она действительно локально интегрируема вблизи этой точки, поскольку ее интеграл по любому компактному множеству, не включающему ее, конечен. Формально говоря, : ^[19] однако, эта функция может быть расширена до распределения в целом как главное значение Коши . ^[20] ${\displaystyle 1/x\in L_{1,loc}(\mathbb {R} \setminus 0)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• Предыдущий пример поднимает вопрос: всякая ли функция, локально интегрируемая в Ω ⊊, допускает расширение на целое как распределение? Ответ отрицательный, и контрпример дает следующая функция: ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{1/x}&x\neq 0,\\0&x=0,\end{cases}}}$

не определяет никакого распределения на . ^[21] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• Следующий пример, аналогичный предыдущему, представляет собой функцию, принадлежащую L _1,loc (  \ 0), которая служит элементарным контрпримером в применении теории распределений к дифференциальным операторам с нерегулярными сингулярными коэффициентами : ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}k_{1}e^{1/x^{2}}&x>0,\\0&x=0,\\k_{2}e^{1/x^{2}}&x<0,\end{cases}}}$

где k ₁ и k ₂ — комплексные константы , является общим решением следующего элементарного нефуксова дифференциального уравнения первого порядка

${\displaystyle x^{3}{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}+2f=0.}$

Опять же, это не определяет никакого распределения в целом , если k ₁ или k ₂ не равны нулю: единственным глобальным распределительным решением такого уравнения является, следовательно, нулевое распределение, и это показывает, как в этой ветви теории дифференциальных уравнений нельзя ожидать, что методы теории распределений будут иметь тот же успех, достигнутый в других ветвях той же теории, в частности, в теории линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. ^[22] ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Приложения

Локально интегрируемые функции играют важную роль в теории распределений и встречаются в определении различных классов функций и функциональных пространств , таких как функции ограниченной вариации . Более того, они появляются в теореме Радона–Никодима, характеризуя абсолютно непрерывную часть каждой меры.

Смотрите также

• Компактный набор
• Распределение (математика)
• Теорема плотности Лебега
• Теорема дифференциации Лебега
• Интеграл Лебега
• пространство ЛП

Примечания

1. По данным Гельфанда и Шилова (1964, с. 3).
2. См., например, (Шварц 1998, стр. 18) и (Владимиров 2002, стр. 3).
3. Другой небольшой вариант этого определения, выбранный Владимировым (2002, стр. 1), состоит в требовании только того, чтобы K ⋐ Ω (или, используя обозначения Гилбарга и Трудингера (2001, стр. 9), K ⊂⊂ Ω ), что означает, что K строго включено в Ω , т.е. это множество, имеющее компактное замыкание, строго включенное в данное объемлющее множество.
4. Понятие компактности, очевидно, должно быть определено на данном абстрактном мерном пространстве.
5. Этот подход был разработан, например, Кафьеро (1959, стр. 285–342) и Саксом (1937, глава I), без явного рассмотрения локально интегрируемого случая.
6. См., например (Strichartz 2003, стр. 12–13).
7. Этот подход был высоко оценен Шварцем (1998, стр. 16–17), который также отметил его полезность, однако используя Определение 1 для определения локально интегрируемых функций.
8. Обратите внимание, что Мазья и Шапошникова явно определяют только «локализованную» версию пространства Соболева W ^{k , p} (Ω) , тем не менее явно утверждая, что тот же метод используется для определения локализованных версий всех других банаховых пространств, используемых в цитируемой книге: в частности, L _{p ,loc} (Ω) вводится на странице 44.
9. Не путать с расстоянием Хаусдорфа .
10. См., например (Владимиров 2002, с. 3) и (Мазья, Поборчи 1997, с. 4).
11. Как отмечалось в предыдущем разделе, именно такой подход приняли Мазья и Шапошникова (2009), не вдаваясь в элементарные детали.
12. Точнее, они образуют векторное подпространство L 1 _,loc (Ω) : см. следствие 1 к теореме 2 .
13. См., например (Владимиров 2002, с. 3), где использован каллиграфический ℒ .
14. См. (Gilbarg & Trudinger 2001, стр. 147), (Maz'ya & Poborchi 1997, стр. 5) для изложения этих результатов, а также краткие заметки в (Maz'ja 1985, стр. 6) и (Maz'ya 2011, стр. 2).
15. Гилбарг и Трудингер (2001, стр. 147) и Мазья и Поборчи (1997, стр. 5) лишь очень кратко описывают метод доказательства, тогда как в (Мазья 1985, стр. 6) и (Мазья 2011, стр. 2) он предполагается как известный результат, с которого начинается последующее развитие.
16. Согласно Саксу (1937, стр. 36), « Если E — множество конечной меры или, в более общем смысле, сумма последовательности множеств конечной меры ( μ ) , то для того, чтобы аддитивная функция множества ( 𝔛 ) на E была абсолютно непрерывной на E , необходимо и достаточно, чтобы эта функция множества была неопределенным интегралом некоторой интегрируемой функции точки E ». Предполагая, что ( μ ) — мера Лебега, можно считать эти два утверждения эквивалентными.
17. См., например (Хёрмандер 1990, стр. 37).
18. См. (Стрихартц 2003, стр. 12).
19. См. (Шварц 1998, стр. 19).
20. См. (Владимиров 2002. С. 19–21).
21. См. (Владимиров 2002, с. 21).
22. Краткое обсуждение этого примера см. в (Шварц 1998, стр. 131–132).

Ссылки

• Кафьеро, Федерико (1959), Misura e integrazione , Mongrafie matematiche del Consiglio Nazionale delle Ricerche (на итальянском языке), vol. 5, Рим : Edizioni Cremonese, стр. VII+451, MR  0215954, Zbl  0171.01503«Мера и интеграция» ( так гласит английский перевод названия) — окончательная монография по теории интеграции и меры: рассмотрение предельного поведения интеграла различных видов последовательностей структур, связанных с мерой (измеримые функции, измеримые множества , меры и их комбинации) является в некоторой степени убедительным.
• Гельфанд, И.М .; Шилов, Г.Е. (1964) [1958], Обобщенные функции. Т. I: Свойства и операции, Нью-Йорк–Лондон: Academic Press , стр. xviii+423, ISBN 978-0-12-279501-5, MR  0166596, Zbl  0115.33101. Переведенная с оригинального русского издания 1958 года Евгением Салетаном, эта важная монография по теории обобщенных функций , посвященная как распределениям, так и аналитическим функционалам.
• Гилбарг, Дэвид ; Трудингер, Нил С. (2001) [1998], Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка, Classics in Mathematics (пересмотренное 3-е издание 2-го изд.), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. xiv+517, ISBN 3-540-41160-7, MR  1814364, Zbl  1042.35002.
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, vol. 256 (2-е изд.), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк : Springer-Verlag , стр. xii+440, ISBN 0-387-52343-X, MR  1065136, Zbl  0712.35001(также доступно как ISBN 3-540-52343-X ). 
• Мазья, Владимир Г. (1985), Пространства Соболева , Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. xix + 486, ISBN 3-540-13589-8, MR  0817985, Zbl  0692.46023(также доступно как ISBN 0-387-13589-8 ). 
• Мазья, Владимир Георгиевич (2011) [1985], Пространства Соболева. С приложениями к эллиптическим уравнениям в частных производных. , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 342 (2-е исправленное и дополненное издание), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. xxviii + 866, ISBN 978-3-642-15563-5, MR  2777530, Zbl  1217.46002.
• Мазья, Владимир Г.; Поборчи, Сергей В. (1997), Дифференцируемые функции на плохих доменах , Сингапур–Нью-Джерси–Лондон–Гонконг: World Scientific , стр. xx+481, ISBN 981-02-2767-1, MR  1643072, Zbl  0918.46033.
• Мазья Владимир Георгиевич ; Шапошникова, Татьяна О. (2009), Теория множителей Соболева. С приложениями к дифференциальным и интегральным операторам, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, vol. 337, Гейдельберг : Springer-Verlag , стр. xiii+609, ISBN. 978-3-540-69490-8, MR  2457601, Zbl  1157.46001.
• Мейс, Рейнхольд; Фогт, Дитмар (1997), Введение в функциональный анализ , Oxford Graduate Texts in Mathematics, т. 2, Оксфорд: Clarendon Press , стр. x+437, ISBN 0-19-851485-9, MR  1483073, Zbl  0924.46002.
• Сакс, Станислав (1937), Теория интеграла, Monografie Matematyczne, vol. 7 (2-е изд.), Варшава – Львов : GE Stechert & Co., стр. VI+347, JFM  63.0183.05, MR  0167578, Zbl  0017.30004. Перевод на английский язык выполнен Лоренсом Чисхолмом Янгом с двумя дополнительными примечаниями Стефана Банаха : номер Mathematical Reviews относится к изданию Dover Publications 1964 года, которое по сути является переизданием.
• Шварц, Лоран (1998) [1966], Теория распределений , Публикации Института математики Страсбургского университета (на французском языке) (Новое издание), Париж: Hermann Éditeurs, стр. xiii + 420, ISBN 2-7056-5551-4, MR  0209834, Zbl  0149.09501.
• Стрихартц, Роберт С. (2003), Руководство по теории распределений и преобразованиям Фурье (2-е печатное издание), River Edge, NJ : World Scientific Publishers , стр. x+226, ISBN 981-238-430-8, MR  2000535, Zbl  1029.46039.
• Владимиров, В.С. (2002), Методы теории обобщенных функций, Аналитические методы и специальные функции, т. 6, Лондон–Нью-Йорк: Taylor & Francis , стр. XII+353, ISBN 0-415-27356-0, MR  2012831, Zbl  1078.46029Монография по теории обобщенных функций , написанная с прицелом на их приложения к нескольким комплексным переменным и математической физике , как это принято у Автора.

Внешние ссылки

• Роуленд, Тодд. "Локально интегрируемая". MathWorld .
• Виноградова, И.А. (2001) [1994], "Локально интегрируемая функция", Энциклопедия математики , Издательство EMS

В данной статье использованы материалы из статьи «Локально интегрируемая функция» на сайте PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .