В теории относительности собственное ускорение [1] — это физическое ускорение (т. е. измеряемое ускорение, например, акселерометром ) , испытываемое объектом. Таким образом, это ускорение относительно свободно падающего или инерциального наблюдателя, который на мгновение находится в покое относительно измеряемого объекта. Поэтому гравитация не вызывает собственного ускорения, поскольку та же самая гравитация действует одинаково на инерциального наблюдателя. Как следствие, все инерциальные наблюдатели всегда имеют собственное ускорение, равное нулю.
Собственное ускорение контрастирует с координатным ускорением , которое зависит от выбора систем координат и, следовательно, от выбора наблюдателей (см. три-ускорение в специальной теории относительности ).
В стандартных инерциальных координатах специальной теории относительности для однонаправленного движения собственное ускорение представляет собой скорость изменения собственной скорости по отношению к координатному времени .
В инерциальной системе отсчета, в которой объект на мгновение находится в состоянии покоя, собственный 3-вектор ускорения в сочетании с нулевой временной компонентой дает 4-ускорение объекта , что делает величину собственного ускорения лоренц-инвариантной . Таким образом, эта концепция полезна: (i) с ускоренными системами координат , (ii) при релятивистских скоростях и (iii) в искривленном пространстве-времени .
В ускоряющейся ракете после запуска или даже в ракете, стоящей на стартовой площадке, надлежащее ускорение — это ускорение, ощущаемое пассажирами, и которое описывается как g-сила (которая не является силой, а скорее ускорением; см. эту статью для более подробного обсуждения), создаваемая только транспортным средством. [2] «Ускорение силы тяжести» (участвующее в «силе тяжести») никогда не способствует надлежащему ускорению ни при каких обстоятельствах, и, таким образом, надлежащее ускорение, ощущаемое наблюдателями, стоящими на земле, обусловлено механической силой от земли , а не «силой» или «ускорением» гравитации. Если убрать землю и позволить наблюдателю свободно падать, наблюдатель испытает координатное ускорение, но не надлежащее ускорение, и, следовательно, не будет g-силы. Как правило, объекты в состоянии инерциального движения, также называемом свободным падением или баллистической траекторией (включая объекты на орбите), не испытывают надлежащего ускорения (пренебрегая небольшими приливными ускорениями для инерциальных траекторий в гравитационных полях). Это состояние также известно как « нулевая гравитация » («zero-g») или «свободное падение», и оно создает ощущение невесомости .
Собственное ускорение сводится к координатному ускорению в инерциальной системе координат в плоском пространстве-времени (т. е. при отсутствии гравитации), при условии, что величина собственной скорости объекта [3] (импульс на единицу массы) намного меньше скорости света c . Только в таких ситуациях координатное ускорение полностью ощущается как g-сила (т. е. собственное ускорение, также определяемое как такое, которое производит измеримый вес).
В ситуациях, когда гравитация отсутствует, но выбранная система координат не является инерциальной, а ускоряется вместе с наблюдателем (например, ускоренная система отсчета ускоряющейся ракеты или система, зафиксированная на объектах в центрифуге), то силы перегрузки и соответствующие собственные ускорения, ощущаемые наблюдателями в этих системах координат, вызваны механическими силами, которые сопротивляются их весу в таких системах. Этот вес, в свою очередь, создается фиктивными силами или «силами инерции», которые появляются во всех таких ускоренных системах координат, в некоторой степени подобно весу, создаваемому «силой тяжести» в системах, где объекты зафиксированы в пространстве относительно гравитирующего тела (как на поверхности Земли).
Полная (механическая) сила, которая рассчитывается для создания надлежащего ускорения для массы, находящейся в состоянии покоя в системе координат, которая имеет надлежащее ускорение, по закону Ньютона F = m a , называется надлежащей силой . Как было показано выше, надлежащая сила равна противодействующей силе реакции, которая измеряется как «рабочий вес» объекта (т. е. его вес, измеренный устройством, таким как пружинные весы, в вакууме, в системе координат объекта). Таким образом, надлежащая сила, действующая на объект, всегда равна и противоположна его измеренному весу.
При удерживании карусели, вращающейся с постоянной угловой скоростью, наблюдатель испытывает радиально внутреннее ( центростремительное ) собственное ускорение из-за взаимодействия между поручнем и рукой наблюдателя. Это отменяет радиально внешнее геометрическое ускорение, связанное с их вращающейся системой координат . Это внешнее ускорение (с точки зрения вращающейся системы) станет координатным ускорением, когда они отпустят руку, заставив их улететь по траектории с нулевым собственным ускорением ( геодезической ). Неускоренные наблюдатели, конечно, в своей системе просто видят, что их равные собственные и координатные ускорения исчезают, когда они отпустят руку.
Аналогично, стоя на невращающейся планете (и на Земле для практических целей), наблюдатели испытывают собственное ускорение вверх из-за нормальной силы, действующей со стороны Земли на подошву их обуви. Это отменяет геометрическое ускорение вниз из-за выбора системы координат (так называемой системы координат [4] ). Это ускорение вниз становится координатным, если они непреднамеренно сходят со скалы на траекторию с нулевым собственным ускорением (геодезическую или дождевую систему координат).
Геометрические ускорения (из-за члена связи в ковариантной производной системы координат ниже) действуют на каждый грамм нашего существа , в то время как собственные ускорения обычно вызываются внешней силой. Вводные курсы физики часто рассматривают нисходящее (геометрическое) ускорение гравитации как вызванное пропорциональной массе силой . Это, наряду с усердным избеганием неускоренных систем отсчета, позволяет им рассматривать собственное и координатное ускорение как одно и то же.
Даже тогда, если объект сохраняет постоянное собственное ускорение из состояния покоя в течение длительного периода в плоском пространстве-времени, наблюдатели в системе покоя увидят, что координатное ускорение объекта уменьшается по мере того, как его координатная скорость приближается к скорости света. Тем не менее, скорость, с которой растет собственная скорость объекта, остается постоянной.
Таким образом, различие между собственным ускорением и ускорением координат [5] позволяет отслеживать опыт ускоренных путешественников с различных неньютоновских точек зрения. Эти точки зрения включают ускоренные системы координат (например, карусель), высокие скорости (где собственное и координатное время различаются) и искривленное пространство-время (например, связанное с гравитацией на Земле).
На низких скоростях в инерциальных системах координат ньютоновской физики собственное ускорение просто равно координатному ускорению a = d 2 x /d t 2 . Однако, как было рассмотрено выше, оно отличается от координатного ускорения, если кто-то выбирает (вопреки совету Ньютона) описывать мир с точки зрения ускоренной системы координат, например, автомобиля, ускоряющегося из состояния покоя, или камня, вращаемого в рогатке. Если кто-то выбирает признать, что гравитация вызвана кривизной пространства-времени (см. ниже), собственное ускорение отличается от координатного ускорения в гравитационном поле .
Например, объект, подвергающийся физическому или собственному ускорению a o, будет восприниматься наблюдателями в системе координат, испытывающей постоянное ускорение a как имеющий координатное ускорение: Таким образом, если объект ускоряется вместе с системой координат, наблюдатели, зафиксированные в системе координат, вообще не увидят ускорения.
Аналогично, объект, испытывающий физическое или собственное ускорение a o, будет виден наблюдателям в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью ω, как имеющий координатное ускорение: В уравнении выше в правой части есть три члена геометрического ускорения. Первый член «центробежное ускорение» зависит только от радиального положения r , а не от скорости нашего объекта, второй член «ускорение Кориолиса» зависит только от скорости объекта во вращающейся системе отсчета v rot , но не от его положения, а третий член «ускорение Эйлера» зависит только от положения и скорости изменения угловой скорости системы отсчета.
В каждом из этих случаев физическое или собственное ускорение отличается от координатного ускорения, поскольку на последнее может влиять ваш выбор системы координат, а также физические силы, действующие на объект. Те компоненты координатного ускорения, которые не вызваны физическими силами (такими как прямой контакт или электростатическое притяжение), часто приписываются (как в ньютоновском примере выше) силам, которые: (i) действуют на каждый грамм объекта, (ii) вызывают независимые от массы ускорения и (iii) не существуют со всех точек зрения. Такие геометрические (или несобственные) силы включают в себя силы Кориолиса , силы Эйлера , силы g , центробежные силы и (как мы увидим ниже) силы тяжести .
Отношения собственного ускорения к координатному ускорению в указанном срезе плоского пространства-времени следуют [6] из метрического уравнения Минковского для плоского пространства ( c d τ ) 2 = ( c d t ) 2 − (d x ) 2 . Здесь одна система отсчета из линеек и синхронизированных часов определяет положение карты x и время карты t соответственно, часы движущегося объекта определяют собственное время τ , а «d» перед координатой означает бесконечно малое изменение. Эти отношения позволяют решать различные проблемы «инжиниринга любой скорости», хотя и только с точки зрения наблюдателя, расширенная система карты которого определяет одновременность.
В однонаправленном случае, т. е. когда ускорение объекта параллельно или антипараллельно его скорости в пространственно-временном срезе наблюдателя, собственное ускорение α и координатное ускорение a связаны [7] через фактор Лоренца γ соотношением α = γ 3 a . Следовательно, изменение собственной скорости w=dx/dτ является интегралом собственного ускорения по времени отображения t , т. е. Δ w = α Δ t для постоянного α . На низких скоростях это сводится к хорошо известному соотношению между координатной скоростью и координатным ускорением, умноженным на время отображения, т. е. Δ v = a Δ t .
Для постоянного однонаправленного собственного ускорения аналогичные соотношения существуют между быстротой η и прошедшим собственным временем Δ τ , а также между фактором Лоренца γ и пройденным расстоянием Δ x . Для определенности: где различные параметры скорости связаны соотношением
Эти уравнения описывают некоторые последствия ускоренного перемещения на высокой скорости. Например, представьте себе космический корабль, который может разогнать своих пассажиров до «1 ge» (10 м/с 2 или около 1,0 светового года в год в квадрате) на полпути к месту назначения, а затем замедлить их до «1 ge» на оставшейся половине пути, чтобы обеспечить искусственную гравитацию, подобную земной, от точки A до точки B за кратчайшее возможное время. [8] [9] Для расстояния на карте Δ x AB первое уравнение выше предсказывает средний фактор Лоренца (от его единичного значения покоя) γ mid = 1 + α (Δ x AB /2)/c 2 . Следовательно, время прохождения пути туда и обратно на дорожных часах составит Δ τ = 4( c / α ) cosh −1 ( γ mid ) , в течение которого время, прошедшее на часах на карте, составит Δ t = 4( c / α ) sinh[cosh −1 ( γ mid )] .
Этот воображаемый космический корабль мог бы предложить круговые путешествия к Проксиме Центавра продолжительностью около 7,1 лет путешественника (~12 лет по земным часам), круговые путешествия к центральной черной дыре Млечного Пути продолжительностью около 40 лет (~54 000 лет по земным часам) и круговые путешествия к галактике Андромеды продолжительностью около 57 лет (более 5 миллионов лет по земным часам). К сожалению, поддерживать ускорение в 1 g в течение многих лет легче сказать, чем сделать, как показано на рисунке справа с максимальным отношением полезной нагрузки к массе запуска.
На языке общей теории относительности компоненты 4-вектора ускорения объекта A (величина которого есть собственное ускорение) связаны с элементами 4-скорости через ковариантную производную D по собственному времени τ :
Здесь U — это 4-скорость объекта , а Γ представляет собой 64 коэффициента связи системы координат или символы Кристоффеля . Обратите внимание, что греческие индексы принимают четыре возможных значения, а именно 0 для оси времени и 1–3 для пространственных осей координат, и что повторяющиеся индексы используются для указания суммирования по всем значениям этого индекса. Траектории с нулевым собственным ускорением называются геодезическими .
Левая часть этого набора из четырех уравнений (по одному для времениподобного и трех пространственноподобных значений индекса λ) представляет собой 3-вектор собственного ускорения объекта, объединенный с нулевым компонентом времени, как это видно с точки зрения опорной или бухгалтерской системы координат, в которой объект находится в состоянии покоя. Первый член в правой части перечисляет скорость, с которой изменяются времениподобные (энергия/ mc2 ) и пространственноподобные (импульс/ m2 ) компоненты 4-скорости объекта U за единицу времени τ по дорожным часам.
Давайте решим для этого первого члена справа, поскольку на низких скоростях его пространственноподобные компоненты представляют собой координатное ускорение. В более общем случае, когда этот первый член стремится к нулю, координатное ускорение объекта стремится к нулю. Это дает
Таким образом, как показано на примере первых двух анимаций выше, ускорение координат стремится к нулю всякий раз, когда собственное ускорение точно отменяется членом связи (или геометрического ускорения ) в крайнем правом углу. [10] Внимание: этот член может быть суммой до шестнадцати отдельных членов, зависящих от скорости и положения, поскольку повторяющиеся индексы μ и ν по соглашению суммируются по всем парам их четырех допустимых значений.
Вышеуказанное уравнение также предлагает некоторую перспективу относительно сил и принципа эквивалентности . Рассмотрим локальные координаты бухгалтера [4] для метрики (например, локальную тетраду Лоренца [5], подобную той, по которой глобальные системы позиционирования предоставляют информацию) для описания времени в секундах и пространства в единицах расстояния вдоль перпендикулярных осей. Если мы умножим приведенное выше уравнение на массу покоя движущегося объекта m и разделим на фактор Лоренца γ = d t /d τ , пространственноподобные компоненты выражают скорость изменения импульса для этого объекта с точки зрения координат, используемых для описания метрики.
Это в свою очередь может быть разбито на части из-за собственных и геометрических компонентов ускорения и силы. Если мы далее умножим компонент времени на скорость света c и определим координатную скорость как v = d x /d t , мы получим выражение для скорости изменения энергии:
Здесь a o — это ускорение, вызванное собственными силами, а a g — это, по умолчанию, геометрическое ускорение, которое мы видим приложенным к объекту из-за выбора нашей системы координат. На низких скоростях эти ускорения объединяются, чтобы создать координатное ускорение, например, a = d 2 x /d t 2 , тогда как для однонаправленного движения с любой скоростью величина a o равна собственному ускорению α, как в разделе выше, где α = γ 3 a, когда a g равно нулю. В общем случае выражение этих ускорений и сил может быть сложным.
Тем не менее, если мы используем это разложение для описания коэффициента связи (Γ) выше в терминах геометрических сил, то движение объектов с точки зрения любой системы координат (по крайней мере, на низких скоростях) можно рассматривать как локально ньютоновское. Это уже обычная практика, например, с центробежной силой и гравитацией. Таким образом, принцип эквивалентности распространяет локальную полезность законов Ньютона на ускоренные системы координат и за их пределы.
Для наблюдателей с низкой скоростью, удерживаемых на фиксированном радиусе от центра сферической планеты или звезды, координатное ускорение a оболочки приблизительно связано с собственным ускорением a o соотношением: где радиус Шварцшильда планеты или звезды r s = 2 GM / c 2 . По мере того, как радиус наблюдателя оболочки приближается к радиусу Шварцшильда, собственное ускорение a o , необходимое для того, чтобы удержать его от падения, становится невыносимым.
С другой стороны, при r ≫ r s необходима направленная вверх собственная сила всего лишь GMm / r 2 , чтобы не допустить ускорения вниз. На поверхности Земли это становится: где g — ускорение вниз 9,8 м/с 2 из-за силы тяжести, а — единичный вектор в радиально-внешнем направлении от центра гравитирующего тела. Таким образом, здесь необходима направленная наружу собственная сила mg , чтобы не допустить ускорения вниз.
Уравнения пространства-времени этого раздела позволяют рассмотреть все отклонения между собственным и координатным ускорением в одном вычислении. Например, давайте вычислим символы Кристоффеля : [11] для метрики Шварцшильда в дальней координате ( c d τ ) 2 = (1− r s / r )( c d t ) 2 − (1/(1− r s / r ))d r 2 − r 2 d θ 2 − ( r sin θ ) 2 d φ 2 , где r s — радиус Шварцшильда 2 GM / c 2 . Результирующий массив коэффициентов становится:
Из этого вы можете получить собственное ускорение системы отсчета, установив ускорение координат равным нулю и, таким образом, потребовав, чтобы собственное ускорение отменило геометрическое ускорение неподвижного объекта, то есть . Это пока не решает проблему, поскольку координаты Шварцшильда в искривленном пространстве-времени являются координатами бухгалтера [4], но не координатами локального наблюдателя. Однако величина вышеуказанного 4-вектора собственного ускорения, а именно , является именно тем, что нам нужно, то есть восходящим инвариантным к системе отсчета собственным ускорением, необходимым для противодействия нисходящему геометрическому ускорению, ощущаемому обитателями поверхности планеты.
Частным случаем приведенного выше набора символов Кристоффеля является сферический набор координат в плоском пространстве , полученный путем установки r s или M выше в ноль:
Из этого мы можем получить, например, центролепестковое собственное ускорение, необходимое для отмены центробежного геометрического ускорения объекта, движущегося с постоянной угловой скоростью ω = d φ /d τ на экваторе, где θ = π /2 . Формирование той же 4-векторной суммы, что и выше, для случая d θ /d τ и d r /d τ ноль не дает ничего, кроме классического ускорения для вращательного движения, приведенного выше, т.е. так, что a o = ω 2 r . Эффекты Кориолиса также присутствуют в этих коэффициентах связи и аналогичным образом возникают только из геометрии системы координат.
