переписка Шимуры

В теории чисел соответствие Шимуры — это соответствие между модулярными формами F полуцелого веса k +1/2 и модулярными формами f четного веса 2 k , открытое Горо Шимурой  (1973). Оно обладает тем свойством, что собственное значение оператора Гекке T _{n ²} на F равно собственному значению T _n на f .

Пусть будет голоморфной формой параболы с весом и характером . Для любого простого числа p , пусть ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (2k+1)/2}$ ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)n^{-s}=\prod _{p}(1-\omega _{p}p^{-s}+(\chi _{p})^{2}p^{2k-1-2s})^{-1}\ ,}$

где 's — собственные значения операторов Гекке, определяемые p . ${\displaystyle \omega _{p}}$ ${\displaystyle T(p^{2})}$

Используя функциональное уравнение L-функции , Шимура показал , что

${\displaystyle F(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)q^{n}}$

является голоморфной модулярной функцией с весом 2k и характером . ${\displaystyle \chi ^{2}}$

Доказательство Шимуры использует свертку Ранкина-Сельберга с тета-рядами для различных характеров Дирихле, а затем применяет обратную теорему Вейля . ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle \theta _{\psi }(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\psi (n)n^{\nu }e^{2i\pi n^{2}z}\ ({\scriptstyle \nu ={\frac {1-\psi (-1)}{2}}})}$ ${\displaystyle \psi }$

Смотрите также

• Тета-соответствие

Ссылки

• Бамп, Д. (2001) [1994], «Соответствие Шимуры», Энциклопедия математики , EMS Press
• Шимура, Горо (1973), «О модулярных формах половинного целого веса», Annals of Mathematics , вторая серия, 97 (3): 440–481, doi :10.2307/1970831, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970831, MR  0332663