Сопрягаемая матрица

В линейной алгебре сопряженная матрица квадратной матрицы A $,$ adj $(A)$ , является транспонированной ее матрицей сомножителей . ^[1]^[2] Иногда ее называют сопряженной матрицей , ^[3]^[4] или «присоединенной», ^[5] , хотя обычно это относится к другому понятию — сопряженному оператору , который для матрицы является сопряженным транспонированным оператором .

Произведение матрицы на ее сопряженную матрицу дает диагональную матрицу (элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю), диагональные элементы которой являются определителем исходной матрицы:

\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A}) = \det (\mathbf {A}) \ mathbf {I},

где $I$ — единичная матрица того же размера, что и $A.$ Следовательно, мультипликативная обратная матрица обратимой матрицы может быть найдена путем деления ее сопряженной матрицы на ее определитель.

Определение

Адъюгат A является транспонированной матрицей кофактора $C$ матрицы $A$ , $$

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.

Более подробно, предположим, что R — это унитальное + коммутативное кольцо, а A — матрица n × n с элементами из R. (i, j)-минор $матрицы$ A , обозначаемый M ij $,$ является $определителем матрицы ($ n $-$ $1) \times (n$ − 1 ) , $которая$ $получается$ в результате удаления $строки$ $i$ $и$ $столбца$ $j$ матрицы $A.$ Матрица $сомножителей$ матрицы $A$ — это матрица $C$ размера n $\times$ $n$ $,$ $элемент$ $($ $i$ $,$ $j$ $)$ $которой$ является сомножителем ( $i$ $,$ $j$ $)$ $матрицы$ A $,$ который является $($ $i$ $,$ $j$ $)$ -минором, умноженным на знаковый множитель:

\mathbf {C} =\left((-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij} \right)_{1\leq i,j\leq n}.

Сопряжение $A$ является транспонированной матрицей $C$ , то есть матрицей $n \times n$ $, элемент (i, j)$ которой является сомножителем $(j, i)$ матрицы $A$ ,

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}=\left((-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ji}\right)_{1\leq i,j\leq n}.

Важное последствие

Сопряжение определяется так, что произведение $A$ с его сопряжением дает диагональную матрицу , диагональные элементы которой являются определителем $det(A)$ . То есть,

\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {I} ,

где $I$ — единичная матрица $n \times n$ . Это следствие разложения определителя по Лапласу.

$Приведенная$ выше формула подразумевает один из фундаментальных результатов в матричной алгебре, что $A$ обратим тогда и только тогда, когда $det(A)$ является обратимым элементом R . Когда это выполняется, уравнение выше дает

{\begin{aligned}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )&=\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1},\\\mathbf {A} ^{-1}&=\det(\mathbf {A} )^{-1}\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).\end{aligned}}

Примеры

1 × 1 общая матрица

Так как определитель матрицы 0 × 0 равен 1, то адъюгат любой матрицы 1 × 1 ( комплексный скаляр) равен . Заметим, что $\mathbf {I} ={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$ $\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {A} \mathbf {I} =(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} .$

Общая матрица 2 × 2

Присоединённая матрица 2 × 2

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}

является

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}}.

Путем прямого вычисления,

\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{bmatrix}ad-bc&0\\0&ad-bc\end{bmatrix}}=(\det \mathbf {A} )\mathbf {I} .

В этом случае также верно, что $det$ ( $adj$ ( A )) = $det$ ( A ) и, следовательно, $adj$ ( $adj$ ( A )) = A .

Общая матрица 3 × 3

Рассмотрим матрицу 3 × 3

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}.

Его матрица кофакторов имеет вид

\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{3}\\c_{1}&c_{3}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}\\\\-{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\c_{1}&c_{3}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}\\\\+{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}},

где

{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=\det \!{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}.

Его сопряжение является транспонированной матрицей его кофактора,

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}+{\begin{vmatrix}b_{2}&b_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{3}\\c_{1}&c_{3}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\c_{1}&c_{3}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}b_{1}&b_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\c_{1}&c_{2}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\end{bmatrix}}.

Числовая матрица 3 × 3

В качестве конкретного примера у нас есть

\operatorname {adj} \!{\begin{bmatrix}-3&2&-5\\-1&0&-2\\3&-4&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-8&18&-4\\-5&12&-1\\4&-6&2\end{bmatrix}}.

Легко проверить, что сопряженное число равно обратному значению определителя, $-6$ .

−1 во второй строке, третьем столбце адъюгата вычисляется следующим образом. Элемент (2,3) адъюгата является сомножителем (3,2) матрицы A. Этот сомножитель вычисляется с использованием подматрицы, $полученной$ путем удаления третьей строки и второго столбца исходной матрицы A ,

{\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}.

Сомножитель (3,2) представляет собой знак, умноженный на определитель этой подматрицы:

(-1)^{3+2}\operatorname {det} \!{\begin{bmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{bmatrix}}=-(-3\cdot -2--5\cdot -1)=-1,

и это (2,3) запись адъюгата.

Характеристики

Для любой матрицы $A размером$ $n \times n$ элементарные вычисления показывают, что адъюгаты обладают следующими свойствами:

$\operatorname {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I}$ , где — единичная матрица . $\mathbf {I}$
$\operatorname {adj} (\mathbf {0} )=\mathbf {0}$ , где — нулевая матрица , за исключением того, что если , то . $\mathbf {0}$ $n=1$ $\operatorname {adj} (\mathbf {0} )=\mathbf {I}$
$\operatorname {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )$ для любого скаляра $c$ .
$\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}$ .
$\det(\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=(\det \mathbf {A} )^{n-1}$ .
Если A обратим, то . Отсюда следует, что: $\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}$
- $adj(A)$ обратим с обратным $(det A) -1 A$ .
- $прил(А -1) = прил(А) -1$ .
$adj(A)$ является полиномом по элементам $A$ . В частности, над действительными или комплексными числами адъюгат является гладкой функцией элементов $A$ .

Над комплексными числами,

$\operatorname {adj} ({\overline {\mathbf {A} }})={\overline {\operatorname {adj} (\mathbf {A} )}}$ , где черта обозначает комплексное сопряжение .
$\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{*})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{*}$ , где звездочка обозначает сопряженное транспонирование .

Предположим, что $B$ — это еще одна матрица $n \times n . Тогда$

\operatorname {adj} (\mathbf {AB} )=\operatorname {adj} (\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} ).

Это можно доказать тремя способами. Один способ, действительный для любого коммутативного кольца, — это прямое вычисление с использованием формулы Коши–Бине . Второй способ, действительный для действительных или комплексных чисел, — сначала заметить, что для обратимых матриц $A$ и $B$ ,

\operatorname {adj} (\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=(\det \mathbf {B} )\mathbf {B} ^{-1}(\det \mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}=(\det \mathbf {AB} )(\mathbf {AB} )^{-1}=\operatorname {adj} (\mathbf {AB} ).

Поскольку каждая необратимая матрица является пределом обратимых матриц, непрерывность сопряженной матрицы означает, что формула остается верной, когда одна из матриц $A$ или $B$ необратима.

Следствием предыдущей формулы является то, что для любого неотрицательного целого числа $k$ ,

\operatorname {adj} (\mathbf {A} ^{k})=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )^{k}.

Если $A$ обратим, то приведенная выше формула справедлива и для отрицательных $k$ .

Из идентичности

(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )(\mathbf {A} +\mathbf {B} ),

мы выводим

\mathbf {A} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {B} =\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {A} .

Предположим, что $A$ коммутирует с $B.$ Умножение тождества $AB = BA$ слева и справа на $adj(A)$ доказывает, что

\det(\mathbf {A} )\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {B} =\det(\mathbf {A} )\mathbf {B} \operatorname {adj} (\mathbf {A} ).

Если $A$ обратим, это означает, что $adj(A)$ также коммутирует с $B.$ В действительных или комплексных числах непрерывность означает, что $adj(A)$ коммутирует с $B,$ даже если $A$ необратим.

Наконец, существует более общее доказательство, чем второе доказательство, которое требует только, чтобы матрица n × n имела записи над полем с по крайней мере 2 n + 1 элементами (например, матрица 5 × 5 над целыми числами по модулю 11). $det(A + t I)$ является многочленом от t со степенью не выше n , поэтому он имеет не более n корней . Обратите внимание, что ij -й элемент $adj((A + t I)(B))$ является многочленом не выше порядка n , и аналогично для $adj(A + t I) adj(B)$ . Эти два многочлена в ij -м элементе совпадают по крайней мере по n + 1 точкам, так как у нас есть по крайней мере n + 1 элементов поля, где $A + t I$ обратим, и мы доказали тождество для обратимых матриц. Многочлены степени n , которые совпадают по n + 1 точкам, должны быть идентичны (вычтите их друг из друга, и у вас будет n + 1 корней для многочлена степени не выше n — противоречие, если только их разность не тождественно равна нулю). Поскольку два многочлена идентичны, они принимают одно и то же значение для каждого значения t . Таким образом, они принимают одно и то же значение при t = 0.

Используя приведенные выше свойства и другие элементарные вычисления, легко показать, что если $A$ обладает одним из следующих свойств, то $adj A$ также обладает им:

Если $A$ кососимметричен , то $adj($ $A$ $)$ кососимметричен для четных n и симметричен для нечетных n . Аналогично, если $A$ косоэрмитово , то $adj($ $A$ $)$ косоэрмитово для четных n и эрмитово для нечетных n .

Если $A$ обратим, то, как отмечено выше, существует формула для $adj(A)$ в терминах определителя и обратного элемента $A.$ Когда $A$ необратим, адъюгат удовлетворяет различным, но тесно связанным формулам.

Если $rk(A) \leq n - 2$ , то $adj(A) = 0$ .
Если $rk(A) = n - 1$ , то $rk(adj(A)) = 1$ . (Некоторый минор не равен нулю, поэтому $adj(A)$ не равен нулю и, следовательно, имеет ранг не менее одного; тождество $adj(A) A = 0$ подразумевает, что размерность нулевого пространства adj ( $A) не$ менее $n - 1$ , поэтому его ранг не более одного.) Отсюда следует, что $adj(A) = α xy T$ , где $α$ — скаляр, а $x$ и $y$ — векторы, такие что $Ax = 0$ и $A T y = 0$ .

Подстановка столбцов и правило Крамера

Разбиение $A$ на векторы-столбцы :

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}.

Пусть $b$ — вектор-столбец размера $n$ . Зафиксируем $1 \leq i \leq n$ и рассмотрим матрицу, образованную заменой столбца $i$ матрицы $A$ на $b$ :

(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}&\cdots &\mathbf {a} _{i-1}&\mathbf {b} &\mathbf {a} _{i+1}&\cdots &\mathbf {a} _{n}\end{bmatrix}}.

Лаплас расширяет определитель этой матрицы по столбцу $i$ . Результатом является элемент $i$ произведения $adj(A) b$ . Собирая эти определители для различных возможных $i,$ получаем равенство векторов-столбцов

\left(\det(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )\right)_{i=1}^{n}=\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {b} .

Эта формула имеет следующее конкретное следствие. Рассмотрим линейную систему уравнений

\mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} .

Предположим, что $A$ невырожденный . Умножая эту систему слева на $adj($ $A$ $)$ и деля на определитель, получаем

\mathbf {x} ={\frac {\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\mathbf {b} }{\det \mathbf {A} }}.

Применение предыдущей формулы к этой ситуации приводит к правилу Крамера :

x_{i}={\frac {\det(\mathbf {A} {\stackrel {i}{\leftarrow }}\mathbf {b} )}{\det \mathbf {A} }},

где $x i$ — это $i$ -я запись $x$ .

Характеристический многочлен

Пусть характеристический многочлен $A$ равен

p(s)=\det(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=\sum _{i=0}^{n}p_{i}s^{i}\in R[s].

Первая разделенная разность p $является$ симметричным многочленом степени $n - 1$ ,

\Delta p(s,t)={\frac {p(s)-p(t)}{s-t}}=\sum _{0\leq j+k<n}p_{j+k+1}s^{j}t^{k}\in R[s,t].

Умножим $s I - A$ на его сопряженное число. Поскольку $p (A) = 0$ по теореме Кэли–Гамильтона , некоторые элементарные манипуляции показывают,

\operatorname {adj} (s\mathbf {I} -\mathbf {A} )=\Delta p(s\mathbf {I} ,\mathbf {A} ).

В частности, резольвента A определяется $как$

R(z;\mathbf {A} )=(z\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1},

и по приведенной выше формуле это равно

R(z;\mathbf {A} )={\frac {\Delta p(z\mathbf {I} ,\mathbf {A} )}{p(z)}}.

Формула Якоби

Присоединяемое число также появляется в формуле Якоби для производной определителя. Если $A (t)$ непрерывно дифференцируемо , то

{\frac {d(\det \mathbf {A} )}{dt}}(t)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (\mathbf {A} (t))\mathbf {A} '(t)\right).

Отсюда следует, что полная производная определителя является транспонированной производной адъюгата:

d(\det \mathbf {A} )_{\mathbf {A} _{0}}=\operatorname {adj} (\mathbf {A} _{0})^{\mathsf {T}}.

Формула Кэли–Гамильтона

Пусть $p A (t)$ — характеристический многочлен $A.$ Теорема Кэли –Гамильтона утверждает, что

p_{\mathbf {A} }(\mathbf {A} )=\mathbf {0} .

Разделение постоянного члена и умножение уравнения на $adj(A)$ дает выражение для адъюгата, которое зависит только от $A$ и коэффициентов $p A (t)$ . Эти коэффициенты могут быть явно представлены в терминах следов степеней $A$ с использованием полных экспоненциальных полиномов Белла . Результирующая формула имеет вид

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\sum _{s=0}^{n-1}\mathbf {A} ^{s}\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n-1}}\prod _{\ell =1}^{n-1}{\frac {(-1)^{k_{\ell }+1}}{\ell ^{k_{\ell }}k_{\ell }!}}\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{\ell })^{k_{\ell }},

где $n$ — размерность $A$ , а сумма берется по $s$ и всем последовательностям $k l \geq 0,$ удовлетворяющим линейному диофантову уравнению

s+\sum _{\ell =1}^{n-1}\ell k_{\ell }=n-1.

Для случая 2 × 2 это дает

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {I} _{2}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )-\mathbf {A} .

Для случая 3 × 3 это дает

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\mathbf {I} _{3}\!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)-\mathbf {A} (\operatorname {tr} \mathbf {A} )+\mathbf {A} ^{2}.

Для случая 4 × 4 это дает

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{6}}\mathbf {I} _{4}\!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{3}-3\operatorname {tr} \mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}+2\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{3}\right)-{\frac {1}{2}}\mathbf {A} \!\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)+\mathbf {A} ^{2}(\operatorname {tr} \mathbf {A} )-\mathbf {A} ^{3}.

Эта же формула непосредственно следует из конечного шага алгоритма Фаддеева–Леверье $,$ который эффективно определяет характеристический многочлен A.

В общем случае сопряженную матрицу произвольной размерности N можно вычислить по правилу Эйнштейна.

(\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))_{i_{N}}^{j_{N}}={\frac {1}{(N-1)!}}\epsilon _{i_{1}i_{2}\ldots i_{N}}\epsilon ^{j_{1}j_{2}\ldots j_{N}}A_{j_{1}}^{i_{1}}A_{j_{2}}^{i_{2}}\ldots A_{j_{N-1}}^{i_{N-1}}

Связь с внешними алгебрами

Адъюгат можно рассматривать в абстрактных терминах, используя внешние алгебры . Пусть $V$ будет $n$ -мерным векторным пространством . Внешнее произведение определяет билинейное спаривание

V\times \wedge ^{n-1}V\to \wedge ^{n}V.

Абстрактно, изоморфен R , $и$ при любом таком изоморфизме внешнее произведение является совершенным спариванием . Следовательно, это дает изоморфизм $\wedge ^{n}V$

\phi \colon V\ {\xrightarrow {\cong }}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V).

Явно, это спаривание отправляет $v \in V$ в , где $\phi _{\mathbf {v} }$

\phi _{\mathbf {v} }(\alpha )=\mathbf {v} \wedge \alpha .

Предположим, что $T : V \to V$ — линейное преобразование . Обратный прогон $(n - 1)$ -й внешней степенью $T$ индуцирует морфизм пространств $Hom$ . Сопряжённое с $T$ — это композиция

V\ {\xrightarrow {\phi }}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ {\xrightarrow {(\wedge ^{n-1}T)^{*}}}\ \operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}V,\wedge ^{n}V)\ {\xrightarrow {\phi ^{-1}}}\ V.

Если $V = R n$ снабжено своим каноническим базисом $e 1, \dots, e n$ , и если матрица $T$ в этом базисе равна $A$ , то сопряженное матрице $T$ является сопряженным матрицей $A$ . Чтобы понять, почему, приведем базис $\wedge ^{n-1}\mathbf {R} ^{n}$

\{\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\}_{k=1}^{n}.

Зафиксируем базисный вектор $e i$ из $R n$ . Изображение $e i$ под ним определяется тем, куда он посылает базисные векторы: $\phi$

\phi _{\mathbf {e} _{i}}(\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n})={\begin{cases}(-1)^{i-1}\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},&{\text{if}}\ k=i,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

На базисных векторах $(n - 1)$ -я внешняя степень $T$ равна

\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto \sum _{k=1}^{n}(\det A_{jk})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{k}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}.

Каждый из этих членов отображается в ноль при , за исключением члена $k$ $=$ $i$ . Таким образом, обратный путь — это линейное преобразование, для которого $\phi _{\mathbf {e} _{i}}$ $\phi _{\mathbf {e} _{i}}$

\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n}\mapsto (-1)^{i-1}(\det A_{ji})\mathbf {e} _{1}\wedge \dots \wedge \mathbf {e} _{n},

то есть, это равно

\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\phi _{\mathbf {e} _{j}}.

Применение обратного преобразования показывает, что сопряженное преобразование $T$ является линейным преобразованием, для которого $\phi$

\mathbf {e} _{i}\mapsto \sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}(\det A_{ji})\mathbf {e} _{j}.

Следовательно , его матричное представление является сопряженным к $A.$

Если $V$ наделено внутренним произведением и формой объема, то отображение $φ$ может быть разложено далее. В этом случае $φ$ можно понимать как композицию оператора звезды Ходжа и дуализации. В частности, если $ω$ — форма объема, то она вместе со внутренним произведением определяет изоморфизм

\omega ^{\vee }\colon \wedge ^{n}V\to \mathbf {R} .

Это индуцирует изоморфизм

\operatorname {Hom} (\wedge ^{n-1}\mathbf {R} ^{n},\wedge ^{n}\mathbf {R} ^{n})\cong \wedge ^{n-1}(\mathbf {R} ^{n})^{\vee }.

Вектор $v$ в $R n$ соответствует линейному функционалу

(\alpha \mapsto \omega ^{\vee }(\mathbf {v} \wedge \alpha ))\in \wedge ^{n-1}(\mathbf {R} ^{n})^{\vee }.

По определению оператора звезды Ходжа этот линейный функционал является дуальным к $* v$ . То есть, $ω \lor \circ φ$ равно $v \mapsto * v \lor$ .

Высшие адъюгаты

Пусть $A$ — матрица $n \times n$ , и зафиксируем $r \geq 0.$ r $-$ $й$ высший адъюгат A — это матрица, обозначаемая $adj$ $r$ $A$ , элементы которой индексируются подмножествами $I$ и $J размера$ $r$ из ${1, ...,$ $m$ $}$ ^[^{требуется ссылка}^] . Пусть $I$ $c$ и $J$ $c$ обозначают дополнения к $I$ и $J$ , соответственно. Также пусть обозначает подматрицу $A$ , содержащую те строки и столбцы, индексы которых находятся в $I$ $c$ и $J$ $c$ , соответственно. Тогда элемент $($ $I$ $,$ $J$ $)$ $adj$ $r$ $A$ равен ${\textstyle {\binom {n}{r}}\!\times \!{\binom {n}{r}}}$ $\mathbf {A} _{I^{c},J^{c}}$

(-1)^{\sigma (I)+\sigma (J)}\det \mathbf {A} _{J^{c},I^{c}},

где $σ(I)$ и $σ(J)$ — сумма элементов $I$ и $J$ соответственно.

Основные свойства высших адъюгатов включают ^{[ необходима ссылка ]} :

$прил 0 (А) = определ А$ .
$прил 1 (А) = прил А$ .
$прил. n (A) = 1$ .
$прил р (BA) знак равно прил р (А) прил р (B)$ .
$\operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )C_{r}(\mathbf {A} )=C_{r}(\mathbf {A} )\operatorname {adj} _{r}(\mathbf {A} )=(\det \mathbf {A} )I_{\binom {n}{r}}$ , где $C r (A)$ обозначает $r$ -ю составную матрицу .

Высшие адъюгаты можно определить в абстрактных алгебраических терминах аналогично обычному адъюгату, подставляя и вместо и соответственно. $\wedge ^{r}V$ $\wedge ^{n-r}V$ $V$ $\wedge ^{n-1}V$

Итерированные адъюгаты

Итеративное взятие сопряженной матрицы A $k$ раз дает

\overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} } ^{k}(\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )^{\frac {(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}}\mathbf {A} ^{(-1)^{k}},

\det(\overbrace {\operatorname {adj} \dotsm \operatorname {adj} } ^{k}(\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{k}}.

Например,

\operatorname {adj} (\operatorname {adj} (\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} .

\det(\operatorname {adj} (\operatorname {adj} (\mathbf {A} )))=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{2}}.

Смотрите также

Ссылки

^ Гантмахер, Ф. Р. (1960). Теория матриц. Т. 1. Нью-Йорк: Челси. С. 76–89. ISBN 0-8218-1376-5.
^ Стрэнг, Гилберт (1988). "Раздел 4.4: Приложения определителей" . Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.). Харкорт Брейс Йованович. стр. 231–232. ISBN 0-15-551005-3.
^ Claeyssen, JCR (1990). «О прогнозировании реакции неконсервативных линейных вибрирующих систем с использованием динамических матричных решений». Журнал звука и вибрации . 140 (1): 73–84. Bibcode : 1990JSV...140...73C. doi : 10.1016/0022-460X(90)90907-H.
^ Чен, В.; Чен, В.; Чен, Й.Дж. (2004). «Подход на основе характеристической матрицы для анализа резонансных кольцевых решетчатых устройств». IEEE Photonics Technology Letters . 16 (2): 458–460. Bibcode : 2004IPTL...16..458C. doi : 10.1109/LPT.2003.823104.
^ Хаусхолдер, Олстон С. (2006). Теория матриц в численном анализе . Dover Books on Mathematics. стр. 166–168. ISBN 0-486-44972-6.

Библиография

Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон (2013), Матричный анализ , второе издание. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон (1991), Темы анализа матриц . Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1

Внешние ссылки

Справочное руководство по матрице
Онлайн-калькулятор матриц (определитель, трек, обратная матрица, сопряженная матрица, транспонированная матрица) Вычислить сопряженную матрицу до 8-го порядка
"Сопряженное число { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } }". Wolfram Alpha .