Двойная система

В математике дуальная система , дуальная пара или дуальность над полем — это тройка, состоящая из двух векторных пространств и , над и невырожденным билинейным отображением . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }$

В математике дуальность является изучением дуальных систем и важна в функциональном анализе . Дуальность играет важную роль в квантовой механике , поскольку имеет обширные приложения к теории гильбертовых пространств .

Определение, обозначения и соглашения

Сочетания

Аспаривание илипаранад полем— это тройка, которая также может быть обозначена каксостоящая из двух векторных пространствинадибилинейного отображения,называемогобилинейным отображением, связанным с спариванием,^[1]отображениемспариванияили его билинейной формой . Приведенные здесь примеры описывают только случаи, когда— это либодействительные числа, либокомплексные числа, но математическая теория является общей. ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle (X,Y,b),}$ ${\displaystyle b(X,Y),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle b:X\times Y\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Для каждого , определяем и для каждого определяем Каждый является линейным функционалом на и каждый является линейным функционалом на . Поэтому оба образуют векторные пространства линейных функционалов . ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(x,\,\cdot \,):\,&Y&&\to &&\,\mathbb {K} \\&y&&\mapsto &&\,b(x,y)\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle y\in Y,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}b(\,\cdot \,,y):\,&X&&\to &&\,\mathbb {K} \\&x&&\mapsto &&\,b(x,y).\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle b(X,\,\cdot \,):=\{b(x,\,\cdot \,):x\in X\}\qquad {\text{ and }}\qquad b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\},}$$

Обычной практикой является написание вместо , в котором в некоторых случаях сопряжение может быть обозначено как , а не . Однако в этой статье будет зарезервировано использование для канонической карты оценки (определенной ниже), чтобы избежать путаницы для читателей, не знакомых с этой темой. ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle b(x,y)}$ ${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$ ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Двойные пары

Спаривание называется ${\displaystyle (X,Y,b)}$двойная система , адвойная пара , ^[2] илидвойственность относительноявляетсяли билинейная форма невырожденной , что означает, что она удовлетворяет следующим двум аксиомам разделения: ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle b}$

1. ${\displaystyle Y}$ разделяет (различает) точки : если таково, что то ; или, что эквивалентно, для всех ненулевых , отображение не является тождественным (т.е. существует такое, что для каждого ); ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,)=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$ ${\displaystyle x\in X}$
2. ${\displaystyle X}$ разделяет (различает) точки : если таково, что то ; или, что эквивалентно, для всех ненулевых отображение не является тождественным (т.е. существует такое , что для каждого ). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,y)=0}$ ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle b(x,y)\neq 0}$ ${\displaystyle y\in Y}$

В этом случае невырожден , и можно сказать, что помещает и в двойственность (или, избыточно, но явно, в разделенную двойственность ), и называется двойственным сопряжением тройки . ^{[1] [2]} ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$

Всего подмножеств

Подмножество называется​ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$всего, если для каждого,подразумевается Общее подмножествоопределяется аналогично (см. сноску).^{[примечание 1]}Таким образом,разделяет точкитогда и только тогда, когдаявляется полным подмножеством, и аналогично для. ${\displaystyle x\in X}$ $${\displaystyle b(x,s)=0\quad {\text{ for all }}s\in S}$$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Ортогональность

Векторы и ортогональны , записываются , если . Два подмножества и ортогональны , записываются , если ; то есть, если для всех и . Определение подмножества, ортогонального вектору , определяется аналогично . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\perp y}$ ${\displaystyle b(x,y)=0}$ ${\displaystyle R\subseteq X}$ ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle R\perp S}$ ${\displaystyle b(R,S)=\{0\}}$ ${\displaystyle b(r,s)=0}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle s\in S}$

Ортогональное дополнение или аннулятор подмножества равно Таким образом, является полным подмножеством тогда и только тогда, когда равно . ${\displaystyle R\subseteq X}$ $${\displaystyle R^{\perp }:=\{y\in Y:R\perp y\}:=\{y\in Y:b(R,y)=\{0\}\}}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R^{\perp }}$ ${\displaystyle \{0\}}$

Полярные наборы

При наличии тройки, определяющей сопряжение над , абсолютное полярное множество или полярное множество подмножества является множеством: Симметрично , абсолютное полярное множество или полярное множество подмножества обозначается и определяется как ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle A^{\circ }:=\left\{y\in Y:\sup _{x\in A}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ $${\displaystyle B^{\circ }:=\left\{x\in X:\sup _{y\in B}|b(x,y)|\leq 1\right\}.}$$

Чтобы использовать бухгалтерский учет, который помогает отслеживать антисимметрию двух сторон дуальности, абсолютную полярную подмножество можно также назвать абсолютной преполярной или преполярной и тогда ее можно обозначить как ^[3] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ }.}$

Поляра обязательно является выпуклым множеством, содержащим , где если сбалансировано, то так же и если является векторным подпространством , то так же является векторным подпространством ^[4] ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle 0\in Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B^{\circ }}$ ${\displaystyle Y.}$

Если является векторным подпространством , то и это также равно действительной поляре . Если то биполяр , обозначаемый , является полярой ортогонального дополнения , т.е. множества Аналогично, если то биполяр . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A^{\circ }=A^{\perp }}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\circ \circ }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{\circ }\left(A^{\perp }\right).}$ ${\displaystyle B\subseteq Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{\circ \circ }:=\left({}^{\circ }B\right)^{\circ }.}$

Двойственные определения и результаты

Для данного спаривания определите новое спаривание , где для всех и . ^[1] ${\displaystyle (X,Y,b),}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle d(y,x):=b(x,y)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in Y}$

В теории двойственности существует последовательная идея о том, что любое определение для пары имеет соответствующее двойственное определение для этой пары. ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (Y,X,d).}$

Соглашение и определение : Если дано любое определение для пары, то можно получить двойственное определение , применив его к этой паре. Эти соглашения применимы также к теоремам. ${\displaystyle (X,Y,b),}$ ${\displaystyle (Y,X,d).}$

Например, если « различает точки » (соответственно, « является полным подмножеством ») определено так, как указано выше, то это соглашение немедленно приводит к двойственному определению « различает точки » (соответственно, « является полным подмножеством »). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

Следующая запись используется практически повсеместно и позволяет нам избежать назначения символа ${\displaystyle d.}$

Соглашение и обозначения : Если определение и его обозначения для пары зависят от порядка и (например, определение топологии Макки на ), то изменение порядка и затем подразумевает, что определение применяется к (продолжая тот же пример, топология фактически будет обозначать топологию ). ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \tau (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle \tau (Y,X,b)}$ ${\displaystyle \tau (Y,X,d)}$

В качестве другого примера, как только слабая топология на определена, обозначена как , то это двойственное определение будет автоматически применено к сопряжению , чтобы получить определение слабой топологии на , и эта топология будет обозначена как , а не . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,d)}$

Идентификация ${\displaystyle (X,Y)}$с ${\displaystyle (Y,X)}$

Хотя это технически неверно и является злоупотреблением обозначениями, в данной статье мы будем придерживаться почти повсеместного соглашения рассматривать пары взаимозаменяемо с и также обозначать через ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle (Y,X,d)}$ ${\displaystyle (Y,X,b).}$

Примеры

Ограничение спаривания

Предположим, что является парой, является векторным подпространством и является векторным подпространством . Тогда ограничение на является парой Если является двойственностью, то ограничение может не быть двойственностью (например, если и ). ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle M\times N}$ ${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right).}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle Y\neq \{0\}}$ ${\displaystyle N=\{0\}}$

В этой статье будет использоваться общепринятая практика обозначения ограничения ${\displaystyle \left(M,N,b{\big \vert }_{M\times N}\right)}$ ${\displaystyle (M,N,b).}$

Каноническая двойственность в векторном пространстве

Предположим, что является векторным пространством, и пусть обозначает алгебраическое сопряженное пространство ( то есть пространство всех линейных функционалов на ). Существует каноническая двойственность , где которая называется оценочным отображением или естественным или каноническим билинейным функционалом на Обратите внимание, в частности, что для любого это просто другой способ обозначения ; то есть ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$ ${\displaystyle c\left(x,x^{\prime }\right)=\left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x),}$ ${\displaystyle X\times X^{\#}.}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\#},}$ ${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle x^{\prime }}$ ${\displaystyle c\left(\,\cdot \,,x^{\prime }\right)=x^{\prime }(\,\cdot \,)=x^{\prime }.}$

Если — векторное подпространство , то ограничение на называется каноническим спариванием , а если это спаривание является дуальностью, то оно называется канонической дуальностью . Очевидно, всегда различает точки , поэтому каноническое спаривание является дуальной системой тогда и только тогда, когда разделяет точки Следующее обозначение теперь почти повсеместно используется в теории дуальности. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$ ${\displaystyle X\times N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X.}$

Карта оценки будет обозначена (а не ) и будет записана вместо ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle =x^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \langle X,N\rangle }$ ${\displaystyle (X,N,c).}$

Предположение : Как это принято, если — векторное пространство и — векторное пространство линейных функционалов на , то, если не указано иное, предполагается, что они связаны с каноническим спариванием. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \langle X,N\rangle .}$

Если является векторным подпространством , то различает точки (или, что эквивалентно, является дуальностью) тогда и только тогда, когда различает точки или, что эквивалентно, если является тотальным (то есть, для всех подразумевает ). ^[1] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (X,N,c)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n(x)=0}$ ${\displaystyle n\in N}$ ${\displaystyle x=0}$

Каноническая двойственность в топологическом векторном пространстве

Предположим, что есть топологическое векторное пространство (TVS) с непрерывным сопряженным пространством. Тогда ограничение канонической двойственности на × определяет спаривание, для которого разделяет точки Если разделяет точки (что верно, например, если есть хаусдорфово локально выпуклое пространство), то это спаривание образует двойственность. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\#},c\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X,X^{\prime },c{\big \vert }_{X\times X^{\prime }}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Предположение : Как это обычно делается, всякий раз, когда есть TVS, то, если не указано иное, будет предполагаться без комментариев, что он связан с каноническим сопряжением. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$

Полярные и двойные TVS

Следующий результат показывает, что непрерывные линейные функционалы на TVS — это в точности те линейные функционалы, которые ограничены в окрестности начала координат.

Теорема ^[1]  —  Пусть TVS с алгебраическим сопряжением и пусть — базис окрестностей в начале координат. При канонической двойственности непрерывное сопряженное пространство является объединением всех при пробегах по (где поляры берутся в ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N^{\circ }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X^{\#}}$

Пространства внутренних произведений и комплексно-сопряженные пространства

Предгильбертово пространство является дуальным спариванием тогда и только тогда, когда является векторным пространством над или имеет размерность Здесь предполагается, что полуторалинейная форма сопряженно однородна по своей второй координате и однородна по своей первой координате. ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

• Если — действительное гильбертово пространство , то образует двойственную систему. ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$
• Если — комплексное гильбертово пространство , то образует двойственную систему тогда и только тогда, когда Если — нетривиально, то даже не образует спаривания, поскольку скалярное произведение полуторалинейно, а не билинейно. ^[1] ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \operatorname {dim} H=0.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$

Предположим, что — комплексное предгильбертово пространство со скалярным умножением, обозначаемым, как обычно, сопоставлением или точкой. Определим отображение , где правая часть использует скалярное умножение Пусть обозначает комплексно-сопряженное векторное пространство , где обозначает аддитивную группу (поэтому сложение векторов в идентично сложению векторов в ), но отображением является скалярное умножение в (вместо скалярного умножения, которым наделено ). ${\displaystyle (H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ${\displaystyle \cdot .}$ $${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,:\mathbb {C} \times H\to H\quad {\text{ by }}\quad c\perp x:={\overline {c}}x,}$$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle (H,+)}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\overline {H}}}$ ${\displaystyle \,\cdot \,\perp \,\cdot \,}$ ${\displaystyle H}$

Карта , определяемая как , линейна в обеих координатах ^{[примечание 2]} и, таким образом, образует двойственную пару. ${\displaystyle b:H\times {\overline {H}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle b(x,y):=\langle x,y\rangle }$ ${\displaystyle \left(H,{\overline {H}},\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$

Другие примеры

• Предположим, что и для всех пусть Тогда есть спаривание такое, что различает точки , но не различает точки Более того, ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\in X{\text{ and }}\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\in Y,}$ $${\displaystyle b\left(\left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right)\right):=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}.}$$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:X\perp y\}=\{(0,0,z):z\in \mathbb {R} \}.}$
• Пусть (где такое, что ), и Тогда — двойственная система. ${\displaystyle 0<p<\infty ,}$ ${\displaystyle X:=L^{p}(\mu ),}$ ${\displaystyle Y:=L^{q}(\mu )}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$ ${\displaystyle b(f,g):=\int fg\,\mathrm {d} \mu .}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$
• Пусть и — векторные пространства над одним и тем же полем. Тогда билинейная форма помещает и в двойственность. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle b\left(x\otimes y,x^{*}\otimes y^{*}\right)=\left\langle x^{\prime },x\right\rangle \left\langle y^{\prime },y\right\rangle }$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X^{\#}\times Y^{\#}}$
• Пространство последовательностей и его бета-дуальное с билинейным отображением, определенным как для, образуют дуальную систему. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y:=X^{\beta }}$ ${\displaystyle \langle x,y\rangle :=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle y\in X^{\beta }}$

Слабая топология

Предположим, что является парой векторных пространств над Если тогда слабая топология на , индуцированная (и ), является слабейшей топологией TVS на , обозначенной или просто делающей все отображения непрерывными как ранги над ^[1] Если из контекста не ясно, то следует предположить, что это все из , в этом случае она называется слабой топологией на (индуцированной ). Обозначение или (если не возникает путаницы) просто используется для обозначения наделенного слабой топологией Важно отметить, что слабая топология полностью зависит от функции обычной топологии на и структуры векторного пространства , но не от алгебраических структур ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sigma (X,S,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,S),}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,y):X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{\sigma (X,S,b)},}$ ${\displaystyle X_{\sigma (X,S)},}$ ${\displaystyle X_{\sigma }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,S,b).}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Аналогично, если тогда двойственное определение слабой топологии на индуцируется ( и ), что обозначается просто как или (см. сноску для получения подробной информации). ^{[примечание 3]} ${\displaystyle R\subseteq X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma (Y,R,b)}$ ${\displaystyle \sigma (Y,R)}$

Определение и обозначения : Если " " присоединено к топологическому определению (например , -сходится, -ограничен и т. д.), то это означает, что определение, когда первое пространство (т. е . ) несет топологию. Упоминание или даже и может быть опущено, если не возникает путаницы. Так, например, если последовательность в " -сходится" или "слабо сходится", то это означает, что она сходится в , тогда как если бы это была последовательность в , то это означало бы, что она сходится в ). ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}(S),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$

Топология локально выпукла, поскольку она определяется семейством полунорм, определяемых как пробегает ^[1] Если и является сетью в , то - сходится к , если сходится к в ^[1] Сеть - сходится к тогда и только тогда, когда для всех сходится к Если является последовательностью ортонормированных векторов в гильбертовом пространстве, то слабо сходится к 0, но не сходится по норме к 0 (или любому другому вектору). ^[1] ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle p_{y}:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p_{y}(x):=|b(x,y)|,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y\in Y,}$ ${\displaystyle b\left(x_{i},y\right)}$ ${\displaystyle b(x,y).}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$

Если — спаривание и — собственное векторное подпространство такого, что — дуальная пара, то строго грубее , чем ^[1] ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X,N,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,N,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b).}$

Ограниченные подмножества

Подмножество является -ограниченным тогда и только тогда , когда ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ $${\displaystyle \sup _{}|b(S,y)|<\infty \quad {\text{ for all }}y\in Y,}$$ ${\displaystyle |b(S,y)|:=\{b(s,y):s\in S\}.}$

Хаусдорфовость

Если это пара, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle (X,Y,b)}$

1. ${\displaystyle X}$различает точки ; ${\displaystyle Y}$
2. Отображение определяет инъекцию из в алгебраическое сопряженное пространство ; ^[1] ${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$
3. ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$Хаусдорф . ^[1 ]

Теорема о слабом представлении

Следующая теорема имеет фундаментальное значение для теории двойственности, поскольку она полностью характеризует непрерывное двойственное пространство ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$

Теорема о слабом представлении ^[1]  —  Пусть — спаривание над полем Тогда непрерывное сопряженное пространство — это Кроме того, ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} .}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ $${\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}.}$$

1. Если — непрерывный линейный функционал на , то существует такой , что ; если такой существует, то он уникален тогда и только тогда, когда различает точки ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f=b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$
   • Обратите внимание, что различает ли точки или нет , не зависит от конкретного выбора ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y.}$
2. Непрерывное двойственное пространство можно отождествить с факторпространством, где ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle Y/X^{\perp },}$ ${\displaystyle X^{\perp }:=\{y\in Y:b(x,y)=0{\text{ for all }}x\in X\}.}$
   • Это верно независимо от того, различает ли точки или различает ли точки ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$

Следовательно, непрерывное двойственное пространство есть ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ $${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))^{\prime }=b(\,\cdot \,,Y):=\left\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\right\}.}$$

Что касается канонического спаривания, если — TVS, непрерывное двойственное пространство которого разделяет точки на (т. е. такое, что является хаусдорфовым, что подразумевает, что также обязательно является хаусдорфовым), то непрерывное двойственное пространство для равно множеству всех отображений «оценки в точке», которые ранжируются по (т. е. отображению, которое отправляет в ). Обычно это записывается как Этот очень важный факт заключается в том, почему результаты для полярных топологий на непрерывных двойственных пространствах, такие как сильная двойственная топология на , например, также часто могут быть применены к исходному TVS ; например, отождествление с означает, что топология на вместо этого может рассматриваться как топология на Более того, если наделено топологией, которая тоньше , чем , то непрерывное двойственное пространство для обязательно будет содержать в качестве подмножества. Так, например, когда наделено сильной двойственной топологией (и поэтому обозначается как ), то что (помимо прочего) позволяет наделить топологией подпространства , индуцированной на нем, скажем, сильной двойственной топологией (эта топология также называется сильной двойственной топологией и появляется в теории рефлексивных пространств : локально выпуклое TVS Хаусдорфа называется полурефлексивным , если и оно будет называться рефлексивным, если, кроме того, сильная двойственная топология на равна исходной/начальной топологии ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x^{\prime }\in X^{\prime }}$ ${\displaystyle x^{\prime }(x)}$ $${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)^{\prime }=X\qquad {\text{ or }}\qquad \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }=X.}$$ ${\displaystyle \beta \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\sigma }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }}$ $${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }~\supseteq ~\left(X_{\sigma }^{\prime }\right)^{\prime }~=~X}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime }=X}$ ${\displaystyle \beta \left(\left(X_{\beta }^{\prime }\right)^{\prime },X_{\beta }^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ортогоналы, частные и подпространства

Если это сопряжение, то для любого подмножества : ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle S^{\perp }=(\operatorname {span} S)^{\perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\operatorname {span} S\right)^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }}$и это множество -закрыто; ^[1] ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$
• ${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }=\left(\operatorname {cl} _{\sigma (X,Y,b)}\operatorname {span} S\right)}$; ^[1]
  • Таким образом, если является -замкнутым векторным подпространством, то ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq S^{\perp \perp }.}$
• Если — семейство -замкнутых векторных подпространств , то ^[1] ${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \left(\bigcap _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\operatorname {cl} _{\sigma (Y,X,b)}\left(\operatorname {span} \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}^{\perp }\right)\right).}$$
• Если это семейство подмножеств, то ^[1] ${\displaystyle \left(S_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(\bigcup _{i\in I}S_{i}\right)^{\perp }=\bigcap _{i\in I}S_{i}^{\perp }.}$

Если — нормированное пространство, то при канонической двойственности — норма замкнута в и — норма замкнута в ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{\perp }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle S^{\perp \perp }}$ ${\displaystyle X.}$

Подпространства

Предположим, что является векторным подпространством и пусть обозначает ограничение на Слабая топология на идентична топологии подпространства , которая наследуется от ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (M,Y,b)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle M\times Y.}$ ${\displaystyle \sigma (M,Y,b)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$

Также, является парным пространством (где означает ), где определяется как ${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$ ${\displaystyle Y/M^{\perp }}$ ${\displaystyle Y/\left(M^{\perp }\right)}$ ${\displaystyle b{\big \vert }_{M}:M\times Y/M^{\perp }\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle \left(m,y+M^{\perp }\right)\mapsto b(m,y).}$$

Топология совпадает с топологией подпространства , которая наследуется из ^[5]. Кроме того, если является дуальной системой, то также является ^[5]. ${\displaystyle \sigma \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b)).}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle \left(M,Y/M^{\perp },b{\big \vert }_{M}\right).}$

Коэффициенты

Предположим, что — векторное подпространство Тогда — парное пространство, где определяется соотношением ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \left(X/M,M^{\perp },b/M\right)}$ ${\displaystyle b/M:X/M\times M^{\perp }\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle (x+M,y)\mapsto b(x,y).}$$

Топология идентична обычной фактор-топологии, индуцированной на ^[5] ${\displaystyle \sigma \left(X/M,M^{\perp }\right)}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle X/M.}$

Поляры и слабая топология

Если — локально выпуклое пространство и если — подмножество непрерывного сопряженного пространства, то является -ограниченным тогда и только тогда, когда для некоторой бочки в ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X^{\prime },}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle H\subseteq B^{\circ }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X.}$

Следующие результаты важны для определения полярных топологий.

Если это сопряжение и тогда: ^[1] ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$

1. Поляра — это замкнутое подмножество ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X,b)).}$
2. Поляры следующих множеств идентичны: (a) ; (b) выпуклая оболочка ; (c) сбалансированная оболочка ; (d) -замыкание ; (e) -замыкание выпуклой сбалансированной оболочки ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A.}$
3. Теорема о биполяре : Биполяр, обозначенный как , равен -замыканию выпуклой сбалансированной оболочки ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{\circ \circ },}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A.}$
   • В частности, биполярная теорема «является незаменимым инструментом при работе с дуальностями» ^{[4] .}
4. ${\displaystyle A}$является -ограниченным тогда и только тогда, когда является поглощающим в ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle A^{\circ }}$ ${\displaystyle Y.}$
5. Если при этом различает точки , то является - ограниченным тогда и только тогда, когда он - полностью ограничен . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

Если является парой и является локально выпуклой топологией на , которая согласуется с двойственностью, то подмножество является бочкой в ​​тогда и только тогда, когда является полярой некоторого -ограниченного подмножества ^[6] ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$

Транспонирует

Транспонирование линейного отображения относительно пар

Пусть и будут парами над , а пусть будет линейным отображением. ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle F:X\to W}$

Для всех пусть будет отображением, определяемым формулой Говорят , что транспонирование или сопряжение корректно определено, если выполняются следующие условия: ${\displaystyle z\in Z,}$ ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z):X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x\mapsto c(F(x),z).}$ ${\displaystyle F}$

1. ${\displaystyle X}$различает точки (или, что эквивалентно, отображение из в алгебраическое сопряженное является инъективным ), и ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\#}}$
2. ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y),}$где и . ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z):=\{c(F(\,\cdot \,),z):z\in Z\}}$ ${\displaystyle b(\,\cdot \,,Y):=\{b(\,\cdot \,,y):y\in Y\}}$

В этом случае для любого существует (по условию 2) единственное (по условию 1) такое, что ), где этот элемент будет обозначаться Это определяет линейное отображение ${\displaystyle z\in Z}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {}^{t}F(z).}$ $${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$$

называется транспонированием или сопряжением относительно и ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ (это не следует путать с эрмитовым сопряжением ). Легко видеть, что два условия, упомянутые выше (то есть для "транспонирование корректно определено"), также необходимы для того, чтобы быть корректно определенным. Для каждого определяющим условием для является то есть      для всех ${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle z\in Z,}$ ${\displaystyle {}^{t}F(z)}$ $${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),z)=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}F(z)\right),}$$ $${\displaystyle c(F(x),z)=b\left(x,{}^{t}F(z)\right)}$$ ${\displaystyle x\in X.}$

Согласно соглашениям, упомянутым в начале статьи, это также определяет транспонирование линейных отображений вида ^{[примечание 4] [примечание 5] [примечание 6] [примечание 7]} и т. д. (см. сноску). ${\displaystyle Z\to Y,}$ ${\displaystyle X\to Z,}$ ${\displaystyle W\to Y,}$ ${\displaystyle Y\to W,}$

Свойства транспонирования

Везде и будут пары по и будет линейной картой, транспонирование которой хорошо определено. ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$

• ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$является инъективным (т.е. ) тогда и только тогда, когда область значений плотна в ^[1] ${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=\{0\}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left(W,\sigma \left(W,Z,c\right)\right).}$
• Если в дополнение к тому, что транспонирование хорошо определено, оно также хорошо определено, то ${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle {}^{tt}F=F.}$
• Предположим, что есть спаривание над и есть линейное отображение, транспонирование которого хорошо определено. Тогда транспонирование которого хорошо определено и ${\displaystyle (U,V,a)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle E:U\to X}$ ${\displaystyle {}^{t}E:Y\to V}$ ${\displaystyle F\circ E:U\to W,}$ ${\displaystyle {}^{t}(F\circ E):Z\to V,}$ ${\displaystyle {}^{t}(F\circ E)={}^{t}E\circ {}^{t}F.}$
• Если — изоморфизм векторного пространства, то — биекция, транспонирование которой вполне определено, и ^[1] ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$ ${\displaystyle F^{-1}:W\to X,}$ ${\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right):Y\to Z,}$ ${\displaystyle {}^{t}\left(F^{-1}\right)=\left({}^{t}F\right)^{-1}}$
• Пусть и пусть обозначает абсолютную полярность , тогда : ^[1] ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle S^{\circ }}$ ${\displaystyle A,}$
  1. ${\displaystyle [F(S)]^{\circ }=\left({}^{t}F\right)^{-1}\left(S^{\circ }\right)}$;
  2. если для некоторых то ; ${\displaystyle F(S)\subseteq T}$ ${\displaystyle T\subseteq W,}$ ${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}$
  3. если таково, что то ; ${\displaystyle T\subseteq W}$ ${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ },}$ ${\displaystyle F(S)\subseteq T^{\circ \circ }}$
  4. если и являются слабо замкнутыми дисками, то тогда и только тогда, когда ; ${\displaystyle T\subseteq W}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle {}^{t}F\left(T^{\circ }\right)\subseteq S^{\circ }}$ ${\displaystyle F(S)\subseteq T}$
  5. ${\displaystyle \operatorname {ker} {}^{t}F=[F(X)]^{\perp }.}$

Эти результаты справедливы, когда вместо абсолютной полярной координаты используется действительная полярная координата .

Если и являются нормированными пространствами относительно их канонических двойственностей и если является непрерывным линейным отображением, то ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|.}$

Слабая преемственность

Линейное отображение слабо непрерывно (относительно и ), если непрерывно. ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}$

Следующий результат показывает, что существование транспонированного отображения тесно связано со слабой топологией.

Предложение  —  Предположим, что различает точки и является линейным отображением. Тогда следующие утверждения эквивалентны: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F:X\to W}$

1. ${\displaystyle F}$слабо непрерывен (то есть непрерывен); ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y,b))\to (W,(W,Z,c))}$
2. ${\displaystyle c(F(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(\,\cdot \,,Y)}$;
3. транспонирование хорошо определено. ${\displaystyle F}$

Если слабо непрерывна, то ${\displaystyle F}$

• ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y}$является слабо непрерывным, то есть непрерывным; ${\displaystyle {}^{t}F:(Z,\sigma (Z,W,c))\to (Y,(Y,X,b))}$
• транспонирование хорошо определено тогда и только тогда, когда различает точки в этом случае ${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle {}^{tt}F=F.}$

Слабая топология и каноническая двойственность

Предположим, что — векторное пространство, а — его алгебраически сопряженное. Тогда каждое -ограниченное подмножество содержится в конечномерном векторном подпространстве, а каждое векторное подпространство — -замкнуто. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\#}\right)}$

Слабая полнота

Если является полным топологическим векторным пространством, то говорят, что оно является -полным или (если не может возникнуть двусмысленности) слабо-полным . Существуют банаховы пространства , которые не являются слабо-полными (несмотря на то, что они полны в своей топологии нормы). ^[1] ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

Если — векторное пространство, то при канонической двойственности является полным. ^[1] Обратно, если — локально выпуклое TVS Хаусдорфа с непрерывным двойственным пространством , то является полным тогда и только тогда, когда ; то есть тогда и только тогда, когда отображение, определенное путем отправки в оценочное отображение в (т.е. ), является биекцией. ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X^{\#},\sigma \left(X^{\#},X\right)\right)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z^{\prime },}$ ${\displaystyle \left(Z,\sigma \left(Z,Z^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle Z=\left(Z^{\prime }\right)^{\#}}$ ${\displaystyle Z\to \left(Z^{\prime }\right)^{\#}}$ ${\displaystyle z\in Z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{\prime }\mapsto z^{\prime }(z)}$

В частности, относительно канонической двойственности, если — векторное подпространство из , разделяющее точки из , то оно полно тогда и только тогда, когда Иными словами, не существует собственного векторного подпространства из , которое является хаусдорфовым и полно в топологии weak-* (т. е. топологии поточечной сходимости). Следовательно, когда непрерывное сопряженное пространство хаусдорфовой локально выпуклой TVS наделено топологией weak-* , то оно полно тогда и только тогда, когда (то есть тогда и только тогда, когда каждый линейный функционал на непрерывен). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,X))}$ ${\displaystyle Y=X^{\#}.}$ ${\displaystyle Y\neq X^{\#}}$ ${\displaystyle X^{\#}}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y))}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }=X^{\#}}$ ${\displaystyle X}$

ИдентификацияИс подпространством алгебраического двойственного

Если различает точки и если обозначает область действия инъекции , то является векторным подпространством алгебраического сопряженного пространства и спаривание канонически отождествляется с каноническим сопряжением (где является естественным отображением оценки). В частности, в этой ситуации без потери общности будет предполагаться , что является векторным подпространством алгебраического сопряженного пространства и является отображением оценки. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \langle X,Z\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle x,x^{\prime }\right\rangle :=x^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b}$

Соглашение : Часто, когда является инъективным (особенно когда образует дуальную пару), то общепринятой практикой является предположение без потери общности , что является векторным подпространством алгебраического дуального пространства, которое является естественным отображением оценки, а также обозначение через ${\displaystyle y\mapsto b(\,\cdot \,,y)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

Совершенно аналогично, если различает точки , то можно идентифицировать его как векторное подпространство алгебраического сопряженного пространства . ^[2] ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Алгебраическое сопряженное

В частном случае, когда дуальности являются каноническими дуальностями , а транспонирование линейного отображения всегда хорошо определено. Это транспонирование называется алгебраическим сопряженным и будет обозначаться как ; то есть, В этом случае для всех ^{[1] [7]} где определяющим условием для является: или, что эквивалентно, ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle W,W^{\#}\right\rangle ,}$ ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle F^{\#}={}^{t}F:W^{\#}\to X^{\#}.}$ ${\displaystyle w^{\prime }\in W^{\#},}$ ${\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)=w^{\prime }\circ F}$ ${\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)}$ $${\displaystyle \left\langle x,F^{\#}\left(w^{\prime }\right)\right\rangle =\left\langle F(x),w^{\prime }\right\rangle \quad {\text{ for all }}>x\in X,}$$ ${\displaystyle F^{\#}\left(w^{\prime }\right)(x)=w^{\prime }(F(x))\quad {\text{ for all }}x\in X.}$

Если для некоторого целого числа есть базис для с дуальным базисом есть линейный оператор, а матричное представление относительно есть тогда транспонирование есть матричное представление относительно ${\displaystyle X=Y=\mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}=\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }=\left\{e_{1}^{\prime },\ldots ,e_{n}^{\prime }\right\},}$ ${\displaystyle F:\mathbb {K} ^{n}\to \mathbb {K} ^{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle M:=\left(f_{i,j}\right),}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\prime }}$ ${\displaystyle F^{\#}.}$

Слабая преемственность и открытость

Предположим, что и являются каноническими парами (так что и ), которые являются дуальными системами, и пусть будет линейным отображением. Тогда слабо непрерывно тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ^[1] ${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$ ${\displaystyle \langle W,Z\rangle }$ ${\displaystyle Y\subseteq X^{\#}}$ ${\displaystyle Z\subseteq W^{\#}}$ ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle F:X\to W}$

1. ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}$является непрерывным.
2. ${\displaystyle F^{\#}(Z)\subseteq Y}$
3. транспонирование F относительно и хорошо определено . ${\displaystyle {}^{t}F:Z\to Y,}$ ${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle }$ ${\displaystyle \langle W,Z\rangle }$

Если слабо непрерывно, то будет непрерывно и, кроме того, ^[7] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}$ ${\displaystyle {}^{tt}F=F}$

Отображение между топологическими пространствами является относительно открытым , если — открытое отображение , где — область значений ^[1] ${\displaystyle g:A\to B}$ ${\displaystyle g:A\to \operatorname {Im} g}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} g}$ ${\displaystyle g.}$

Предположим, что и являются двойственными системами, а — слабо непрерывное линейное отображение. Тогда следующие условия эквивалентны: ^[1] ${\displaystyle \langle X,Y\rangle }$ ${\displaystyle \langle W,Z\rangle }$ ${\displaystyle F:X\to W}$

1. ${\displaystyle F:(X,\sigma (X,Y))\to (W,\sigma (W,Z))}$относительно открыт.
2. Диапазон -замкнут в ; ${\displaystyle {}^{t}F}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X)}$ ${\displaystyle Y}$
3. ${\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F=(\operatorname {ker} F)^{\perp }}$

Более того,

• ${\displaystyle F:X\to W}$является инъективным (соответственно биективным) тогда и только тогда, когда является сюръективным (соответственно биективным); ${\displaystyle {}^{t}F}$
• ${\displaystyle F:X\to W}$является сюръективным тогда и только тогда, когда является относительно открытым и инъективным. ${\displaystyle {}^{t}F::(Z,\sigma (Z,W))\to (Y,\sigma (Y,X))}$

Транспонирование карты между TVS

Транспонирование отображения между двумя TVS определено тогда и только тогда, когда оно слабо непрерывно. ${\displaystyle F}$

Если — линейное отображение между двумя хаусдорфовыми локально выпуклыми топологическими векторными пространствами, то: ^[1] ${\displaystyle F:X\to Y}$

• Если непрерывен, то он слабо непрерывен и является как непрерывным по Макки, так и сильно непрерывным. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}^{t}F}$
• Если слабо непрерывно, то оно одновременно непрерывно по Макки и сильно непрерывно (определено ниже). ${\displaystyle F}$
• Если слабо непрерывно, то оно непрерывно тогда и только тогда, когда отображает равностепенно непрерывные подмножества в равностепенно непрерывные подмножества ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {}^{t}F:^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
• Если и являются нормированными пространствами, то является непрерывным тогда и только тогда, когда оно слабо непрерывно, и в этом случае ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \|F\|=\left\|{}^{t}F\right\|.}$
• Если является непрерывным, то является относительно открытым тогда и только тогда, когда является слабо относительно открытым (т.е. является относительно открытым) и каждое равностепенно непрерывное подмножество является образом некоторого равностепенно непрерывного подмножества ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F:\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}F={}^{t}F\left(Y^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle Y^{\prime }.}$
• Если — непрерывная инъекция, то это TVS-вложение (или, что эквивалентно, топологическое вложение ), если и только если каждое равностепенно непрерывное подмножество является образом некоторого равностепенно непрерывного подмножества ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle Y^{\prime }.}$

Метризуемость и отделимость

Пусть — локально выпуклое пространство с непрерывным сопряженным пространством и пусть ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle K\subseteq X^{\prime }.}$

1. Если является равностепенно непрерывным или -компактным, и если является таким, что является плотным в , то топология подпространства , которая наследуется от , идентична топологии подпространства , которая наследуется от ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle D\subseteq X^{\prime }}$ ${\displaystyle \operatorname {span} D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },D\right)\right)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right).}$
2. Если сепарабельно и равностепенно непрерывно, то при наделении топологией подпространства, индуцированной функцией , является метризуемым . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right),}$
3. Если является отделимым и метризуемым , то является отделимым. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right)}$
4. Если — нормированное пространство, то оно сепарабельно тогда и только тогда, когда замкнутая единица, называемая непрерывным сопряженным пространством, метризуема при заданной топологии подпространства, индуцированной ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X^{\prime },\sigma \left(X^{\prime },X\right)\right).}$
5. Если — нормированное пространство, непрерывное сопряженное пространство которого сепарабельно (при заданной обычной топологии нормы), то — сепарабельно. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Полярные топологии и топологии, совместимые с сопряжением

Начиная только со слабой топологии, использование полярных множеств создает ряд локально выпуклых топологий. Такие топологии называются полярными топологиями . Слабая топология является самой слабой топологией этого ряда.

Везде будет происходить спаривание и будет непустой коллекцией -ограниченных подмножеств ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X.}$

Полярные топологии

При наличии набора подмножеств , полярная топология на , определяемая (и ) или -топология на является единственной топологией топологического векторного пространства (TVS) на , для которой образует предбазу окрестностей в начале координат. ^[1] Когда наделено этой -топологией, то оно обозначается как Y . Каждая полярная топология обязательно локально выпукла . ^[1] Когда является направленным множеством относительно включения подмножества (т.е. если для всех существует некоторое такое, что ), то эта предбаза окрестностей в 0 фактически образует базис окрестностей в 0. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle \left\{rG^{\circ }:G\in {\mathcal {G}},r>0\right\}}$$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ _{${\displaystyle {\mathcal {G}}}$} ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G,K\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle K\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle G\cup H\subseteq K}$

В следующей таблице перечислены некоторые наиболее важные полярные топологии.

Обозначение : Если обозначает полярную топологию на , то , наделенный этой топологией, будет обозначаться или просто (например, для мы имели бы , так что и все обозначают , наделенный ). ${\displaystyle \Delta (X,Y,b)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X,b)},}$ ${\displaystyle Y_{\Delta (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\Delta }}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle \Delta =\sigma }$ ${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X,b)},}$ ${\displaystyle Y_{\sigma (Y,X)}}$ ${\displaystyle Y_{\sigma }}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$

Определения, включающие полярные топологии

Непрерывность

Линейное отображение непрерывно по Макки (относительно и ), если непрерывно. ^[1] ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle F:(X,\tau (X,Y,b))\to (W,\tau (W,Z,c))}$

Линейное отображение сильно непрерывно (относительно и ), если непрерывно. ^[1] ${\displaystyle F:X\to W}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (W,Z,c)}$ ${\displaystyle F:(X,\beta (X,Y,b))\to (W,\beta (W,Z,c))}$

Ограниченные подмножества

Подмножество является слабо ограниченным (соответственно ограниченным по Макки , сильно ограниченным ), если оно ограничено в (соответственно ограничено в ограничено в ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\sigma (X,Y,b))}$ ${\displaystyle (X,\tau (X,Y,b)),}$ ${\displaystyle (X,\beta (X,Y,b))}$

Топологии, совместимые с парой

Если является спариванием над и является векторной топологией на , то является топологией спаривания и что она совместима (или согласована ) с спариванием , если она локально выпукла и если непрерывное сопряженное пространство ^{[примечание 8]} Если различает точки , то путем идентификации в качестве векторного подпространства алгебраически сопряженного пространства , определяющее условие становится следующим: ^[1] Некоторые авторы (например, [Trèves 2006] и [Schaefer 1999]) требуют, чтобы топология пары также была хаусдорфовой, ^{[2] [8]} что должно было бы быть так, если различает точки (что предполагают эти авторы). ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)=b(\,\cdot \,,Y).}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {T}}\right)^{\prime }=Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Слабая топология совместима с парой (как было показано в теореме о слабом представлении), и на самом деле это самая слабая такая топология. Существует самая сильная топология, совместимая с этой парой, и это топология Макки . Если — нормированное пространство, которое не рефлексивно , то обычная топология нормы на его непрерывном двойственном пространстве несовместима с двойственностью ^[1] ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left(N^{\prime },N\right).}$

Теорема Макки–Аренса

Ниже приводится одна из важнейших теорем теории двойственности.

Теорема Макки–Аренса I ^[1]  —  Пустьбудет сопряжением, таким, чторазличает точкии пустьбудет локально выпуклой топологией на(не обязательно Хаусдорфовой). Тогдасовместимо с сопряжением, если и только если— полярная топология, определяемая некоторым набором-компактныхдисков , которые покрывают ^{[примечание 9]} ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$

Отсюда следует, что топология Макки, которая, напомним, является полярной топологией, порожденной всеми -компактными дисками в, является сильнейшей локально выпуклой топологией на , совместимой с сопряжением Локально выпуклое пространство, заданная топология которого идентична топологии Макки, называется пространством Макки . Следующее следствие из приведенной выше теоремы Макки-Аренса также называется теоремой Макки-Аренса. ${\displaystyle \tau (X,Y,b),}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,Y,b).}$

Теорема Макки–Аренса II ^[1]  —  Пусть будет спариванием таким образом, что оно различает точки и пусть будет локально выпуклой топологией на Тогда совместимо с спариванием тогда и только тогда, когда ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \sigma (X,Y,b)\subseteq {\mathcal {T}}\subseteq \tau (X,Y,b).}$

Теорема Макки, бочки и замкнутые выпуклые множества

Если — TVS (над или ), то полупространство — это множество вида для некоторого вещественного и некоторого непрерывного вещественного линейного функционала на ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \{x\in X:f(x)\leq r\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$

Теорема  —  Если — локально выпуклое пространство (над или ) и если — непустое замкнутое и выпуклое подмножество , то равно пересечению всех замкнутых полупространств, его содержащих. ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$

Из вышеприведенной теоремы следует, что замкнутые и выпуклые подмножества локально выпуклого пространства полностью зависят от непрерывного сопряженного пространства. Следовательно, замкнутые и выпуклые подмножества являются одними и теми же в любой топологии, совместимой с двойственностью; то есть, если и являются любыми локально выпуклыми топологиями на с теми же непрерывными сопряженными пространствами, то выпуклое подмножество замкнуто в топологии тогда и только тогда, когда оно замкнуто в топологии. Это означает, что -замыкание любого выпуклого подмножества равно его -замыканию и что для любого -замкнутого диска в ^[1] В частности, если является подмножеством , то является бочкой в ​​тогда и только тогда, когда оно является бочкой в ^​​[1] ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A=A^{\circ \circ }.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}}).}$

Следующая теорема показывает, что бочки (т.е. замкнутые поглощающие диски ) являются в точности полярами слабо ограниченных подмножеств.

Теорема ^[1]  —  Пусть будет парой, которая различает точки и пусть будет топологией пары. Тогда подмножество из является бочкой в ​​тогда и только тогда, когда оно равно поляре некоторого -ограниченного подмножества из ${\displaystyle (X,Y,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (Y,X,b)}$ ${\displaystyle Y.}$

Если — топологическое векторное пространство, то: ^{[1] [10]} ${\displaystyle X}$

1. Замкнутое поглощающее и сбалансированное подмножество поглощает каждое выпуклое компактное подмножество (т.е. существует действительное такое , которое содержит это множество). ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rB}$
2. Если является хаусдорфовым и локально выпуклым, то каждая бочка в поглощает каждое выпуклое ограниченное полное подмножество ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Все это приводит к теореме Макки, которая является одной из центральных теорем в теории дуальных систем. Короче говоря, она утверждает, что ограниченные подмножества одинаковы для любых двух хаусдорфовых локально выпуклых топологий, совместимых с одной и той же дуальностью.

Теорема Макки ^{[10] [1]}  —  Предположим, что — локально выпуклое хаусдорфово пространство с непрерывным сопряженным пространством, и рассмотрим каноническую двойственность. Если — любая топология на , совместимая с двойственностью на , то ограниченные подмножества совпадают с ограниченными подмножествами ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle .}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\prime }\right\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {L}}).}$

Пространство конечных последовательностей

Пусть обозначает пространство всех последовательностей скаляров таких, что для всех достаточно больших Пусть и определяет билинейное отображение с помощью Тогда ^[1] Более того, подмножество является -ограниченным (соответственно -ограниченным) тогда и только тогда, когда существует последовательность положительных действительных чисел такая, что для всех и всех индексов (соответственно и ). ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle r_{i}=0}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle Y=X}$ ${\displaystyle b:X\times X\to \mathbb {K} }$ $${\displaystyle b\left(r_{\bullet },s_{\bullet }\right):=\sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}.}$$ ${\displaystyle \sigma (X,X,b)=\tau (X,X,b).}$ ${\displaystyle T\subseteq X}$ ${\displaystyle \sigma (X,X,b)}$ ${\displaystyle \beta (X,X,b)}$ ${\displaystyle m_{\bullet }=\left(m_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \left|t_{i}\right|\leq m_{i}}$ ${\displaystyle t_{\bullet }=\left(t_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\in T}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle m_{\bullet }\in X}$

Отсюда следует, что существуют слабо ограниченные (то есть -ограниченные) подмножества, которые не являются сильно ограниченными (то есть не -ограниченными). ${\displaystyle \sigma (X,X,b)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \beta (X,X,b)}$

Смотрите также

• Бета-дуальное пространство
• Биортогональная система
• Дуальное пространство  – в математике векторное пространство линейных форм.
• Двойная топология
• Двойственность (математика)  – общее понятие и операция в математике.
• Внутренний продукт  — обобщение скалярного произведения; используется для определения гильбертовых пространств.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• L-полускадровое произведение  – обобщение скалярных произведений, применимое ко всем нормированным пространствам.
• Сопряжение  – Билинейная карта в математике
• Полярное множество  – подмножество всех точек, ограниченное некоторой заданной точкой двойственного множества (в двойственном сочетании).
• Полярная топология  – двойственная топология пространства равномерной сходимости на некоторой подгруппе ограниченных подмножеств
• Редукционная дуальная пара
• Сильное дуальное пространство  – непрерывное дуальное пространство, наделенное топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах.
• Сильная топология (полярная топология)  – непрерывное двойственное пространство, наделенное топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Топологии на пространствах линейных отображений
• Слабая топология  – Математический термин

Примечания

1. Подмножество является полным , если для всех , подразумевает . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y\in Y}$ $${\displaystyle b(s,y)=0\quad {\text{ for all }}s\in S}$$ ${\displaystyle y=0}$
2. Очевидно, что линейно по первой координате. Предположим, что — скаляр. Тогда что показывает, что линейно по второй координате. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b(x,c\perp y)=b\left(x,{\overline {c}}y\right)=\langle x,{\overline {c}}y\rangle =c\langle x,y\rangle =cb(x,y),}$ ${\displaystyle b}$
3. Слабая топология на является самой слабой топологией TVS на , делающей все отображения непрерывными, поскольку диапазоны по Двойственная нотация или просто может также использоваться для обозначения наделенного слабой топологией Если из контекста не ясно, то следует предположить, что это все из , и в этом случае она просто называется слабой топологией на (индуцированной ). ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle b(x,\,\cdot \,):Y\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R.}$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,R,b)),}$ ${\displaystyle (Y,\sigma (Y,R)),}$ ${\displaystyle (Y,\sigma )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \sigma (Y,R,b).}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$
4. Если — линейное отображение , то транспонирование корректно определено тогда и только тогда, когда различает точки и В этом случае для каждого определяющим условием является: ${\displaystyle G:Z\to Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {}^{t}G:X\to W,}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle b(X,G(\,\cdot \,))\subseteq c(W,\,\cdot \,).}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {}^{t}G(x)}$ ${\displaystyle c(x,G(\,\cdot \,))=c\left({}^{t}G(x),\,\cdot \,\right).}$
5. Если — линейное отображение , то транспонирование корректно определено тогда и только тогда, когда различает точки и В этом случае для каждого определяющим условием является: ${\displaystyle H:X\to Z}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {}^{t}H:W\to Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle c(W,H(\,\cdot \,))\subseteq b(\,\cdot \,,Y).}$ ${\displaystyle w\in W,}$ ${\displaystyle {}^{t}H(w)}$ ${\displaystyle c(w,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(w)\right).}$
6. Если — линейное отображение , то транспонирование корректно определено тогда и только тогда, когда различает точки и В этом случае для каждого определяющим условием является: ${\displaystyle H:W\to Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {}^{t}H:X\to Q,}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle b(X,H(\,\cdot \,))\subseteq c(\,\cdot \,,Z).}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {}^{t}H(x)}$ ${\displaystyle c(x,H(\,\cdot \,))=b\left(\,\cdot \,,{}^{t}H(x)\right).}$
7. Если — линейное отображение , то транспонирование корректно определено тогда и только тогда, когда различает точки и В этом случае для каждого определяющим условием является: ${\displaystyle H:Y\to W}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {}^{t}H:Z\to X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c(H(\,\cdot \,),Z)\subseteq b(X,\,\cdot \,).}$ ${\displaystyle z\in Z,}$ ${\displaystyle {}^{t}H(z)}$ ${\displaystyle c(H(\,\cdot \,),z)=b\left({}^{t}H(z),\,\cdot \,\right)}$
8. Конечно, существует аналогичное определение топологий на, чтобы быть «совместимыми в паре», но в этой статье будут рассматриваться только топологии на ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$
9. Напомним, что совокупность подмножеств множества называется покрытием, если каждая точка множества содержится в некотором множестве, принадлежащем этой совокупности. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Ссылки

1. Narici & Beckenstein 2011, стр. 225–273.
2. Шефер и Вольф 1999, стр. 122–128.
3. Трев 2006, стр. 195.
4. Schaefer & Wolff 1999, стр. 123–128.
5. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 260–264.
6. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 251–253.
7. Schaefer & Wolff 1999, стр. 128–130.
8. Тревес 2006, стр. 368–377.
9. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 200.
10. Trèves 2006, стр. 371–372.

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Майкл Рид и Барри Саймон, Методы современной математической физики, т. 1, Функциональный анализ, раздел III.3. Academic Press, Сан-Диего, 1980. ISBN 0-12-585050-6 . 
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Шмитт, Лотар М. (1992). «Эквивариантная версия теоремы Хана–Банаха». Houston J. Of Math . 18 : 429–447.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

Внешние ссылки

• Теория двойственности