Парадокс Сорита

Логический парадокс из неопределенных предикатов

Парадокс сорита: если куча уменьшается на одно зерно за раз, вопрос в том, в какой именно момент она перестает считаться кучей.

Парадокс сорита ( / s oʊ ˈ r aɪ t iː z / ), ^[1] иногда известный как парадокс кучи , является парадоксом , который возникает из-за неопределенных предикатов . ^[2] Типичная формулировка включает в себя кучу песка, из которой зерна удаляются по отдельности. При предположении, что удаление одного зерна не приводит к тому, что куча больше не считается кучей, парадокс заключается в том, чтобы рассмотреть, что происходит, когда процесс повторяется достаточно много раз, так что остается только одно зерно, и является ли она все еще кучей. Если нет, то вопрос задается, когда она превратилась из кучи в не-кучу. ^[3]

Оригинальная формулировка и вариации

Парадокс кучи

Слово сорит ( ‹См. Tfd› греч. : σωρείτης ) происходит от греческого слова, обозначающего кучу ( ‹См. Tfd› греч. : σωρός ). ^[4] Парадокс так назван из-за его первоначальной характеристики, приписываемой Эвбулиду Милетскому . ^[5] Парадокс заключается в следующем: рассмотрим кучу песка, из которой по отдельности удаляются зерна . Можно построить аргумент, используя предпосылки , следующим образом: ^[3]

1 000 000 песчинок — это куча песка (Предположение 1)

Куча песка без одной песчинки все еще остается кучей. (Предположение 2)

Повторное применение посылки 2 (каждый раз начиная с одной песчинки меньше) в конечном итоге заставляет принять вывод о том, что куча может состоять всего из одной песчинки. ^[6] Рид (1995) замечает, что «аргумент сам по себе является кучей, или соритом, шагов modus ponens »: ^[7]

1 000 000 зерен — это куча.

ЕслиТогда 1 000 000 зерен — это куча.999 999 зерен — это куча.

Так999 999 зерен — это куча.

Если999,999 зерен — это куча тогда999 998 зерен — это куча.

Так999 998 зерен — это куча.

Если ...

... Так1 зерно — это куча.

Вариации

Цветовой градиент, иллюстрирующий парадокс сорита, при котором любые смежные цвета неразличимы человеческим глазом.

Напряжение между малыми изменениями и большими последствиями порождает Парадокс Сорита... Существует множество вариаций... [некоторые из которых позволяют] рассмотреть разницу между бытием... (вопрос факта ) и кажущимся... (вопрос восприятия ). ^[2]

Другая формулировка — начать с песчинки, которая явно не является кучей, а затем предположить, что добавление одной песчинки к чему-то, что не является кучей, не приводит к тому, что оно становится кучей. Индуктивно этот процесс можно повторять столько раз, сколько нужно, не создавая при этом кучу. ^{[2] [3]} Более естественная формулировка этого варианта — предположить, что существует набор цветных фишек, такой, что две соседние фишки различаются по цвету слишком мало, чтобы человеческое зрение могло их различить. Тогда, по индукции на этой предпосылке, люди не смогут различать цвета. ^[2]

Удаление одной капли из океана не сделает его «не океаном» (он все равно останется океаном), но поскольку объем воды в океане конечен, в конечном итоге, после достаточного удаления, даже литр оставшейся воды все еще будет океаном.

Этот парадокс можно реконструировать для различных предикатов, например, с «высокий», «богатый», «старый», «синий», «лысый» и т. д. Бертран Рассел утверждал, что весь естественный язык, даже логические связки, неопределенны; более того, представления предложений неопределенны. ^[8]

Заблуждение о континууме

Ошибка континуума ( также известная как ошибка бороды , ^{[9] [10]} ошибка рисования линий или ошибка точки принятия решения ^[11] ) — это неформальная ошибка, связанная с парадоксом сорита. Обе ошибки приводят к тому, что человек ошибочно отвергает неопределенное утверждение просто потому, что оно не так точно, как хотелось бы. Неопределенность сама по себе не обязательно подразумевает недействительность. Ошибка — это аргумент о том, что два состояния или условия нельзя считать отдельными (или вообще не существуют ), потому что между ними существует континуум состояний.

Строго говоря, парадокс сорита относится к ситуациям, когда существует множество дискретных состояний (классически от 1 до 1 000 000 песчинок, отсюда 1 000 000 возможных состояний), в то время как заблуждение континуума относится к ситуациям, когда существует (или кажется, что существует) континуум состояний, например, температуры.

Для целей ошибки континуума предполагается, что на самом деле существует континуум, хотя это, как правило, незначительное различие: в общем, любой аргумент против парадокса соритов может быть использован и против ошибки континуума. Один аргумент против ошибки основан на простом контрпримере : существуют лысые люди и люди, которые не являются лысыми. Другой аргумент заключается в том, что для каждой степени изменения состояний степень состояния немного меняется, и эти небольшие изменения накапливаются, чтобы сместить состояние из одной категории в другую. Например, возможно, добавление зерна риса приводит к тому, что общая группа риса становится «немного больше» кучи, и достаточно небольших изменений удостоверят статус группы как кучи – см. нечеткую логику .

Предлагаемые резолюции

Отрицание существования куч

Можно возразить против первой посылки, отрицая, что1 000 000 песчинок составляют кучу. Но1 000 000 — это просто произвольно большое число, и аргумент будет применяться к любому такому числу. Поэтому ответ должен полностью отрицать, что существуют такие вещи, как кучи. Питер Унгер защищает это решение. ^[12] Однако А. Дж. Айер отверг его, когда его представил Унгер: «Если мы считаем, что все состоит из атомов, и думаем, что Унгер состоит не из клеток, а из атомов, которые составляют клетки, то, как указал мне Дэвид Уиггинс , аналогичный аргумент можно использовать для доказательства того, что Унгер, будучи далеким от того, чтобы быть несуществующим, тождественен всему, что есть. Нам нужно только заменить предпосылку о том, что вычитание одного атома из тела Унгера никогда не имеет никакого значения для его существования, предпосылкой о том, что добавление одного атома к нему также никогда не имеет никакого значения». ^[13]

Установление фиксированной границы

Обычный первый ответ на парадокс — называть любой набор зерен, в котором их больше определенного количества, кучей. Если бы кто-то определил «фиксированную границу» в10 000 зерен, то можно утверждать, что менее чем за10 000 , это не куча; ибо10 000 или больше, то это куча. ^[14]

Коллинз утверждает, что такие решения неудовлетворительны, поскольку разница между ними, по-видимому, не имеет большого значения.9999 зерен и10 000 гран. Граница, где бы она ни была установлена, остается произвольной, и поэтому ее точность вводит в заблуждение. Она вызывает возражения как по философским, так и по лингвистическим причинам: первая из-за ее произвольности, а вторая из-за того, что она просто не соответствует тому, как используется естественный язык. ^[15]

Непознаваемые границы (или эпистемизм)

Тимоти Уильямсон ^{[16] [17] [18]} и Рой Соренсен ^[19] утверждают, что существуют фиксированные границы, но они обязательно непознаваемы.

Супероценивание

Супероценивание — это метод работы с ирреферентными единичными терминами и неопределенностью . Он позволяет сохранять обычные тавтологические законы даже при работе с неопределенными истинностными значениями. ^{[20] [21] [22] [23]} Примером предложения о ирреферентном единичном термине является предложение « Пегас любит солодку ». Поскольку имя « Пегас » не ссылается , предложению не может быть присвоено истинностное значение ; в мифе нет ничего, что оправдывало бы любое такое присвоение. Однако есть некоторые утверждения о Пегасе, которые тем не менее имеют определенные истинностные значения, такие как « Пегас любит солодку» или «Пегас не любит солодку ». Это предложение является примером тавтологии « », то есть действительной схемы « или не- ». Согласно супероцениванию, оно должно быть истинным независимо от того, имеют ли его компоненты истинностное значение. ${\displaystyle p\vee \neg p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Допуская предложения без определенных значений истинности, супероценивание избегает смежных случаев, таких как n песчинок — это куча песка, но n  − 1 песчинок — нет; например, «1000 песчинок — это куча "можно считать пограничным случаем, не имеющим определенного истинностного значения. Тем не менее, супероценивание способно справиться с предложением типа "1000 песчинок — это куча или1000 песчинок не являются кучей » как тавтологию, т.е. присвоить ей значение «истина» . ^{[ необходима ссылка ]}

Математическое объяснение

Пусть будет классическим оцениванием, определенным для каждого атомарного предложения языка , и пусть будет числом различных атомарных предложений в . Тогда для каждого предложения может существовать не более различных классических оцениваний. Супероценивание — это функция от предложений к значениям истинности, такая что предложение является суперистинным (т.е. ) тогда и только тогда, когда для каждого классического оценивания ; аналогично для суперложного. В противном случае не определено — то есть именно тогда, когда есть два классических оценивания и такие, что и . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle At(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2^{At(x)}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V(x)={\text{True}}}$ ${\displaystyle v(x)={\text{True}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle v(x)={\text{True}}}$ ${\displaystyle v'(x)={\text{False}}}$

Например, пусть будет формальным переводом " Пегас любит солодку ". Тогда есть ровно две классические оценки и на , а именно и . Так что не является ни сверхистинным, ни сверхложным. Однако тавтология оценивается как каждой классической оценкой; следовательно, она сверхистинна. Аналогично, формализация приведенного выше предложения кучи не является ни сверхистинной, ни сверхложной, но является сверхистинной. ${\displaystyle L\;p}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle L\;p}$ ${\displaystyle v(L\;p)={\text{True}}}$ ${\displaystyle v'(L\;p)={\text{False}}}$ ${\displaystyle L\;p}$ ${\displaystyle L\;p\lor \lnot L\;p}$ ${\displaystyle {\text{True}}}$ ${\displaystyle H\;1000}$ ${\displaystyle H\;1000\lor \lnot H\;1000}$

Пробелы в истине, избытки и многозначная логика

Другой метод заключается в использовании многозначной логики . В этом контексте проблема заключается в принципе двузначности : песок либо является кучей, либо не является кучей, без каких-либо оттенков серого. Вместо двух логических состояний, куча и не-куча , можно использовать систему из трех значений, например , куча , неопределенное и не-куча . Ответ на это предлагаемое решение заключается в том, что трехзначные системы по-настоящему не разрешают парадокс, поскольку все еще существует разделительная линия между кучей и неопределенным , а также между неопределенным и не-кучей . Третье истинностное значение можно понимать либо как разрыв истинностного значения , либо как избыток истинностного значения . ^[24]

В качестве альтернативы нечеткая логика предлагает непрерывный спектр логических состояний, представленных в единичном интервале действительных чисел [0,1] — это многозначная логика с бесконечным количеством значений истинности, и, таким образом, песок постепенно переходит от «определенно куча» к «определенно не куча» с оттенками в промежуточной области. Нечеткие изгороди используются для разделения континуума на области, соответствующие классам, таким как определенно куча , в основном куча , частично куча , слегка куча и не куча . ^{[25] [26]} Хотя остается проблема, где проходят эти границы; например, при каком количестве зерен песок начинает определенно быть кучей.

Гистерезис

Другой метод, предложенный Раффманом ^[27], заключается в использовании гистерезиса , то есть знания того, как начиналось накопление песка. Эквивалентные количества песка могут быть названы кучами или нет в зависимости от того, как они туда попали. Если большая куча (бесспорно описываемая как куча) медленно уменьшается, она сохраняет свой «статус кучи» до определенной точки, даже если фактическое количество песка уменьшается до меньшего числа зерен. Например,500 зерен — это куча и1000 зерен — это куча. Для этих состояний будет перекрытие. Так что если кто-то уменьшает ее от кучи до кучи, это куча, уменьшающаяся до тех пор, пока750 . В этот момент его перестали бы называть кучей и стали бы называть кучей. Но если заменить одно зерно, оно не превратилось бы мгновенно обратно в кучу. При подъеме вверх оно оставалось бы кучей до тех пор, пока900 гран. Числа выбраны произвольно; суть в том, что одно и то же количество может быть либо кучей, либо кучей в зависимости от того, каким оно было до изменения. Распространенным применением гистерезиса будет термостат для кондиционирования воздуха: кондиционер устанавливается на 77 °F, а затем охлаждает воздух до чуть ниже 77 °F, но не активируется снова мгновенно, когда воздух нагревается до 77,001 °F — он ждет почти до 78 °F, чтобы предотвратить мгновенное изменение состояния снова и снова. ^[28]

Групповой консенсус

Можно установить значение слова «куча» , апеллируя к консенсусу . Уильямсон в своем эпистемическом решении парадокса предполагает, что значение неопределенных терминов должно определяться групповым использованием. ^[29] Метод консенсуса обычно утверждает, что набор зерен является «кучей» в той же степени, в какой доля людей в группе считает ее таковой. Другими словами, вероятность того , что любой набор будет считаться кучей, является ожидаемым значением распределения мнения группы.

Группа может решить, что:

• Одна песчинка сама по себе не является кучей.
• Большое скопление песчинок — это куча.

Между двумя крайностями отдельные члены группы могут не соглашаться друг с другом по вопросу о том, можно ли назвать какую-либо конкретную коллекцию «кучей». Коллекция тогда не может быть однозначно названа « кучей» или «не кучей». Это можно считать обращением к описательной лингвистике, а не к предписывающей лингвистике , поскольку она решает вопрос определения на основе того, как население использует естественный язык. Действительно, если доступно точное предписывающее определение «кучи», то групповой консенсус всегда будет единодушным, и парадокс не возникнет.

Резолюции в теории полезности

В экономической области теории полезности парадокс сорита возникает, когда исследуются модели предпочтений человека. В качестве примера Роберта Дункана Люса легко найти человека, скажем, Пегги, которая предпочитает в своем кофе 3 грамма (то есть 1 кубик) сахара 15 граммам (5 кубикам), однако, она обычно будет безразлична между 3,00 и 3,03 граммами, а также между 3,03 и 3,06 граммами и так далее, а также, наконец, между 14,97 и 15,00 граммами. ^[30]

Чтобы избежать парадокса сорита в такой ситуации, экономисты предприняли две меры.

• Используются сравнительные , а не положительные формы свойств. В приведенном выше примере намеренно не делается утверждение типа «Пегги любит чашку кофе с 3 граммами сахара» или «Пегги не любит чашку кофе с 15 граммами сахара». Вместо этого он утверждает «Пегги любит чашку кофе с 3 граммами сахара больше, чем чашку с 15 граммами сахара». ^[34]
• Экономисты различают предпочтение («Пегги любит ... больше, чем ...») от безразличия («Пегги любит ... так же, как ...») и не считают последнее отношение транзитивным . [ ^36] В приведенном выше примере, сокращая «чашку кофе с x граммами сахара» как « c _x », а «Пегги безразлично между c _x и c _y » как « c _x ≈ c _y », факты c _3,00 ≈ c _3,03 и c _3,03 ≈ c _3,06 и ... и c _14,97 ≈ c _15,00 не подразумевают c _3,00 ≈ c _15,00 .

Было введено несколько видов отношений для описания предпочтения и безразличия без столкновения с парадоксом сорита. Люс определил полупорядки и исследовал их математические свойства; ^[30] Амартия Сен выполнил аналогичную задачу для квазитранзитивных отношений . ^[37] Сокращая «Пегги любит c _x больше, чем c _y » как « c _x > c _y », и сокращая « c _x > c _y или c _x ≈ c _y » как « c _x ≥ c _y », разумно, что отношение ">" является полупорядком, в то время как ≥ является квазитранзитивным. Наоборот, из данного полупорядка > отношение безразличия ≈ может быть восстановлено путем определения c _x ≈ c _y , если ни c _x > c _y, ни c _y > c _x . Аналогично, из данного квазитранзитивного отношения ≥ можно восстановить отношение безразличия ≈, определив c _x ≈ c _y , если и c _x ≥ c _y , и c _y ≥ c _x . Эти восстановленные отношения ≈ обычно не являются транзитивными.

Таблица справа показывает, как приведенный выше пример цвета можно смоделировать как квазитранзитивное отношение ≥. Различия цветов преувеличены для удобства чтения. Цвет X считается более или таким же красным, чем цвет Y , если ячейка таблицы в строке X и столбце Y не пуста. В этом случае, если она содержит "≈", то X и Y выглядят неразличимо равными, а если она содержит ">", то X выглядит явно более красным, чем Y. Отношение ≥ является несвязным объединением симметричного отношения ≈ и транзитивного отношения >. Используя транзитивность >, знание как f10 > d30 , так и d30 > b50 позволяет сделать вывод, что f10 > b50 . Однако, поскольку ≥ не является транзитивным, «парадоксальный» вывод типа « d30 ≥ e20 и e20 ≥ f10 , следовательно , d30 ≥ f10 » больше невозможен. По той же причине, например, « d30 ≈ e20 и e20 ≈ f10 , следовательно, d30 ≈ f10 » больше не является допустимым выводом. Аналогично, чтобы разрешить исходную вариацию парадокса с кучей с помощью этого подхода, отношение « X зерен являются скорее кучей, чем Y зерен» можно было бы считать квазитранзитивным, а не транзитивным.

Смотрите также

• Философский портал
• Психологический портал

• Неоднозначность
• Кипящая лягушка
• Закрытая концепция
• Нечеткая концепция
• Я узнаю это, когда увижу это.
• Неточный язык
• Список заблуждений
• Пари Локи
• Кольцевые виды
• Корабль Тесея
• Скользкий склон
• Соломинка, сломавшая спину верблюду

Ссылки

1. "Sorites". Omnilexica . Архивировано из оригинала 2018-09-20 . Получено 14.03.2014 .
2. Баркер, К. (2009). «Неопределенность». В Аллан, Кит (ред.). Краткая энциклопедия семантики . Elsevier. стр. 1037. ISBN 978-0-08-095968-9.
3. Sorensen, Roy A. (2009). "sorites arguments". В Jaegwon Kim; Sosa, Ernest; Rosenkrantz, Gary S. (ред.). A Companion to Metaphysics . John Wiley & Sons . стр. 565. ISBN 978-1-4051-5298-3.
4. Бергманн, Мерри (2008). Введение в многозначную и нечеткую логику: семантика, алгебры и системы вывода . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Cambridge University Press . стр. 3. ISBN 978-0-521-88128-9.
5. (Барнс 1982), (Бернит 1982), (Уильямсон 1994)
6. Долев, Ю. (2004). «Почему индукция не является лекарством от облысения». Философские исследования . 27 (4): 328–344. doi :10.1111/j.1467-9205.2004.t01-1-00230.x.
7. Рид, Стивен (1995). Размышления о логике , стр. 174. Оксфорд. ISBN 019289238X . 
8. Рассел, Бертран (июнь 1923 г.). «Неопределенность». The Australasian Journal of Psychology and Philosophy . 1 (2): 84–92. doi :10.1080/00048402308540623. ISSN  1832-8660 . Получено 18 ноября 2009 г. Электронный текст Шализи 1995 года заархивирован на archive.org и на WebCite.
9. Дэвид Робертс: Рассуждение: Другие заблуждения Архивировано 15 сентября 2008 г. на Wayback Machine
10. Таулесс, Роберт Х. (1953), Прямое и кривое мышление (PDF) (пересмотренное издание), Лондон: Pan Books , стр. 61
11. «Краткое содержание главы».
12. Унгер, Питер (1979). «Нет обычных вещей». Synthese . 41 (2): 117–154. doi :10.1007/bf00869568. JSTOR  20115446. S2CID  46956605.
13. Айер, А. Дж. (1979). Восприятие и идентичность: Эссе, представленные А. Дж. Айеру, с его ответами . Итика, Нью-Йорк: Издательство Корнеллского университета. стр. 324.
14. Коллинз 2018, стр. 32.
15. Коллинз 2018, стр. 35.
16. Уильямсон, Тимоти (1992). «Неточное знание». Mind . 101 (402): 218–242. doi :10.1093/mind/101.402.217. JSTOR  2254332.
17. Уильямсон, Тимоти (1992). «Неопределенность и невежество». Дополнительные труды Аристотелевского общества . 66. Аристотелевское общество : 145–162. doi :10.1093/aristoteliansupp/66.1.145. JSTOR  4106976.
18. Уильямсон, Тимоти (1994). Неопределенность . Лондон: Routledge .
19. Соренсен, Рой (1988). Слепые пятна . Clarendon Press . ISBN 9780198249818.
20. Fine, Kit (апрель–май 1975 г.). «Неопределенность, истина и логика» (PDF) . Synthese . 30 (3/4): 265–300. doi :10.1007/BF00485047. JSTOR  20115033. S2CID  17544558. Архивировано из оригинала (PDF) 2015-06-08.
21. van Fraassen, Bas C. (1966). «Единичные термины, разрывы между истинностью и ценностью и свободная логика» (PDF) . Journal of Philosophy . 63 (17): 481–495. doi :10.2307/2024549. JSTOR  2024549.
22. Камп, Ганс (1975). Кинан, Э. (ред.). Две теории о прилагательных . Cambridge University Press. С. 123–155.
23. Дамметт, Майкл (1975). «Парадокс Вана» (PDF) . Synthese . 30 (3/4): 301–324. doi :10.1007/BF00485048. JSTOR  20115034. S2CID  46956702. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-04-22.
24. «Ценности истины». Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований, Стэнфордский университет . 2018.
25. Заде, LA (июнь 1965). «Нечеткие множества». Информация и управление . 8 (3). Сан-Диего: 338–353. doi : 10.1016/S0019-9958(65)90241-X . ISSN  0019-9958. Zbl  0139.24606. Wikidata  Q25938993.
26. Goguen, JA (1969). «Логика неточных понятий». Synthese . 19 (3–4): 325–378. doi :10.1007/BF00485654. JSTOR  20114646. S2CID  46965639.
27. Раффман, Диана (2014). Непокорные слова: исследование неопределенного языка. OUP. стр. 136 и далее. doi :10.1093/acprof:oso/9780199915101.001.0001. ISBN 9780199915101.
28. Раффман, Д. (2005). «Как понять контекстуализм в отношении неопределенности: ответ Стэнли». Анализ . 65 (287): 244–248. doi :10.1111/j.1467-8284.2005.00558.x. JSTOR  3329033.
29. Коллинз 2018, стр. 33.
30. Роберт Дункан Люс (апрель 1956 г.). «Полупорядки и теория дискриминации по полезности» (PDF) . Econometrica . 24 (2): 178–191. doi :10.2307/1905751. JSTOR  1905751.Здесь: стр.179
31. Wallace E. Armstrong (март 1948). «Неопределенность и функция полезности». Economic Journal . 58 (229): 1–10. doi :10.2307/2226342. JSTOR  2226342.
32. Питер К. Фишберн (май 1970 г.). «Нетранзитивное индивидуальное безразличие и транзитивное большинство». Econometrica . 38 (3): 482–489. doi :10.2307/1909554. JSTOR  1909554.
33. Алан Д. Миллер; Ширан Рахмилевич (февраль 2014 г.). Теорема Эрроу без транзитивности (PDF) (рабочий документ). Университет Хайфы . стр. 11.
34. Сравнительная форма была обнаружена во всех исследованных до сих пор экономических публикациях. ^{[31] [32] [33]} По-видимому, она вытекает из объекта исследований в теории полезности.
35. Уоллес Э. Армстронг (сентябрь 1939 г.). «Определенность функции полезности». Economic Journal . 49 (195): 453–467. doi :10.2307/2224802. JSTOR  2224802.
36. Согласно Армстронгу (1948), безразличие считалось транзитивным в теории предпочтений , ^{[31] : 2} последняя была подвергнута сомнению в 1939 году именно по этой причине, ^{[35] : 463} и была заменена теорией полезности.
37. Сен, Амартия (1969). «Квазитранзитивность, рациональный выбор и коллективные решения». Обзор экономических исследований . 36 (3): 381–393. doi :10.2307/2296434. JSTOR  2296434. Zbl  0181.47302.

Библиография

• Barnes, J. (1982). «Медицина, опыт и логика». В Barnes, J.; Brunschwig, J.; Burnyeat, MF; Schofield, M. (ред.). Наука и размышления . Кембридж: Cambridge University Press .
• Блэк, Макс (1970). Границы точности . Итака, Нью-Йорк: Cornell University Press. ISBN 978-0-8014-0602-7.
• Бернс, Линда Клэр (1991). Неопределенность: исследование естественных языков и парадокса сорита . Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-0-7923-1489-9.
• Бернит, Майлз (1982). "15. Боги и кучи". В Schofield, M.; Nussbaum, MC (ред.). Язык и логос . Кембридж: Cambridge University Press . стр. 315–.
• Коллинз, Рори (2018). «О границах неопределенности и неопределенности границ» (PDF) . Журнал философии колледжа Вассар . 5 : 30–44 . Получено 21 июня 2018 г. .
• Джафаров, Этибар Н.; Джафаров, Дамир Д. (2013). «Парадокс сорита: поведенческий подход» (PDF) . В Рудольфе, Ли (ред.). Качественная математика для социальных наук: математические модели для исследований культурной динамики . стр. 105–136. doi :10.4324/9780203100806. ISBN 9780415444828.
• Gerla (2001). Нечеткая логика: Математические инструменты для приближенного рассуждения . Дордрехт, Нидерланды: Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-0-7923-6941-7.
• Людвиг, Кирк; Рэй, Грег (2002). «Неопределенность и парадокс сорита». Философские перспективы . 16 : 419–461. JSTOR  3840922.
• Нувен, Рик; Ройдж, Роберт ван; Зауэрланд, Ули; Шмитц, Ганс-Кристиан (2009). Международный семинар по неопределенности в общении (ViC; проводится в рамках ESSLLI) . ЛНАИ. Том. 6517. Спрингер. ISBN 978-3-642-18445-1.
• Омс, Серджи; Зардини, Элиа, ред. (2019). Парадокс сорита . Издательство Кембриджского университета.
• Сейнсбери, Р. М. (2009). Парадоксы (3-е изд.). Cambridge University Press.; Раздел 3

Внешние ссылки

• Залта, Эдвард Н. (ред.). «Парадокс сорита». Стэнфордская энциклопедия философии .Доминик Хайд.
• Сандра ЛаФейв: Открытые и закрытые концепции и заблуждение континуума