Композитный фермион

Топологическое связанное состояние электрона

Композитный фермион — это топологическое связанное состояние электрона и четного числа квантованных вихрей , иногда визуально изображаемое как связанное состояние электрона и, присоединенного, четного числа квантов магнитного потока. ^{[1] [2] [3]} Первоначально композитные фермионы рассматривались в контексте дробного квантового эффекта Холла , ^[4] но впоследствии обрели собственную жизнь, демонстрируя множество других следствий и явлений.

Вихри являются примером топологического дефекта , а также встречаются в других ситуациях. Квантованные вихри встречаются в сверхпроводниках II типа, их называют вихрями Абрикосова . Классические вихри имеют отношение к переходу Березенского–Костерлица–Таулесса в двумерной модели XY .

Описание

Когда электроны ограничены двумя измерениями, охлаждены до очень низких температур и подвергнуты воздействию сильного магнитного поля, их кинетическая энергия гасится из-за квантования уровня Ландау . Их поведение в таких условиях регулируется только кулоновским отталкиванием , и они производят сильно коррелированную квантовую жидкость. Эксперименты показали ^{[1] [2] [3]} , что электроны минимизируют свое взаимодействие, захватывая квантованные вихри, чтобы стать составными фермионами. ^[5] Взаимодействие между самими составными фермионами часто пренебрежимо мало в хорошем приближении, что делает их физическими квазичастицами этой квантовой жидкости.

Характерное качество композитных фермионов, которое отвечает за в противном случае неожиданное поведение этой системы, заключается в том, что они испытывают гораздо меньшее магнитное поле, чем электроны. Магнитное поле, видимое композитными фермионами, определяется как

${\displaystyle B^{*}=B-2p\rho \phi _{0},}$

где - внешнее магнитное поле, - число вихрей, связанных с составным фермионом (также называемое завихренностью или вихревым зарядом составного фермиона), - плотность частиц в двух измерениях, и называется «квантом потока» (который отличается от кванта сверхпроводящего потока в два раза). Эффективное магнитное поле является прямым проявлением существования составных фермионов, а также воплощает фундаментальное различие между электронами и составными фермионами. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle 2p}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \phi _{0}=hc/e}$

Иногда говорят, что электроны «поглощают» кванты потока, каждый из которых трансформируется в составные фермионы, а составные фермионы затем испытывают остаточное магнитное поле. Точнее, вихри, связанные с электронами, создают свои собственные геометрические фазы , которые частично отменяют фазу Ааронова–Бома из-за внешнего магнитного поля, создавая чистую геометрическую фазу, которую можно смоделировать как фазу Ааронова–Бома в эффективном магнитном поле. ${\displaystyle 2p}$ ${\displaystyle B^{*}.}$ ${\displaystyle B^{*}.}$

Поведение составных фермионов похоже на поведение электронов в эффективном магнитном поле Электроны образуют уровни Ландау в магнитном поле, а число заполненных уровней Ландау называется фактором заполнения, который определяется выражением Составные фермионы образуют уровни, подобные уровням Ландау, в эффективном магнитном поле , которые называются уровнями Ландау или уровнями составных фермионов. Фактор заполнения для составных фермионов определяется как Это дает следующее соотношение между факторами заполнения электронов и составных фермионов ${\displaystyle B^{*}.}$ ${\displaystyle \nu =\rho \phi _{0}/B.}$ ${\displaystyle B^{*},}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \nu ^{*}=\rho \phi _{0}/|B^{*}|.}$

${\displaystyle \nu ={\frac {\nu ^{*}}{2p\nu ^{*}\pm 1}}.}$

Знак минус возникает, когда эффективное магнитное поле антипараллельно приложенному магнитному полю, что происходит, когда геометрическая фаза вихрей перекрывает фазу Ааронова–Бома.

Экспериментальные проявления

Центральное утверждение теории композитных фермионов заключается в том, что сильно коррелированные электроны в магнитном поле (или факторе заполнения ) превращаются в слабо взаимодействующие композитные фермионы в магнитном поле (или факторе заполнения композитных фермионов ). Это позволяет эффективно одночастично объяснить в противном случае сложное поведение многих тел, при этом взаимодействие между электронами проявляется как эффективная кинетическая энергия композитных фермионов. Вот некоторые из явлений, возникающих из композитных фермионов: ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle B^{*}}$ ${\displaystyle \nu ^{*}}$

море Ферми

Эффективное магнитное поле для композитных фермионов исчезает при , где фактор заполнения для электронов равен . Здесь композитные фермионы образуют море Ферми. ^[6] Это море Ферми наблюдалось на полузаполненном уровне Ландау в ряде экспериментов, которые также измеряют волновой вектор Ферми. ^{[7] [8] [9] [10]} ${\displaystyle B=2p\rho \phi _{0}}$ ${\displaystyle \nu =1/2p}$

Циклотронные орбиты

Когда магнитное поле немного смещается от , композитные фермионы выполняют полуклассические циклотронные орбиты . Они наблюдались путем связывания с поверхностными акустическими волнами, ^[7] резонансными пиками в антиточечной сверхрешетке, ^[8] и магнитной фокусировкой. ^{[9] [10] [11]} Радиус циклотронных орбит согласуется с эффективным магнитным полем и иногда на порядок или более больше радиуса циклотронной орбиты электрона во внешнем приложенном магнитном поле . Кроме того, наблюдаемое направление траектории противоположно направлению траектории электронов, когда антипараллельно . ${\displaystyle B^{*}=0}$ ${\displaystyle B^{*}=0}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{*}}$ ${\displaystyle B}$

Циклотронный резонанс

В дополнение к циклотронным орбитам, циклотронный резонанс композитных фермионов также наблюдался с помощью фотолюминесценции. ^[12]

Шубников де Гааз колебания

По мере удаления магнитного поля от наблюдаются квантовые осцилляции , которые являются периодическими по Это осцилляции Шубникова–де Гааза составных фермионов. ^{[13] [14]} Эти осцилляции возникают из-за квантования полуклассических циклотронных орбит составных фермионов в уровни Ландау составных фермионов. Из анализа экспериментов Шубникова–де Гааза можно вывести эффективную массу и квантовое время жизни составных фермионов. ${\displaystyle B^{*}=0}$ ${\displaystyle 1/B^{*}.}$

Целочисленный квантовый эффект Холла

При дальнейшем увеличении или уменьшении температуры и беспорядка композитные фермионы демонстрируют целочисленный квантовый эффект Холла. ^[5] Целочисленные заполнения композитных фермионов, , соответствуют электронному заполнению ${\displaystyle |B^{*}|}$ ${\displaystyle \nu ^{*}=n}$

${\displaystyle \nu ={\frac {n}{2pn\pm 1}}.}$

В сочетании с

${\displaystyle \nu =1-{\frac {n}{2pn\pm 1}},}$

которые получаются путем присоединения вихрей к отверстиям на самом нижнем уровне Ландау, они представляют собой заметно наблюдаемые последовательности дробей. Примерами являются

${\displaystyle {n \over 2n+1}={1 \over 3},\,{2 \over 5},\,{3 \over 7},\,{4 \over 9},\,{5 \over 11},\cdots }$

${\displaystyle {n \over 2n-1}={2 \over 3},\,{3 \over 5},\,{4 \over 7},\,{5 \over 9},\,{6 \over 11},\cdots }$

${\displaystyle {n \over 4n+1}={1 \over 5},\,{2 \over 9},\,{3 \over 13},\,{4 \over 17},\cdots }$

Дробный квантовый эффект Холла электронов, таким образом, объясняется как целочисленный квантовый эффект Холла композитных фермионов. ^[5] Он приводит к дробно квантованным плато Холла при

${\displaystyle R_{H}={h \over \nu e^{2}},}$

с заданными выше квантованными значениями. Эти последовательности заканчиваются в композитном фермионном море Ферми. Обратите внимание, что дроби имеют нечетные знаменатели, что следует из четной завихренности композитных фермионов. ${\displaystyle \nu }$

Дробный квантовый эффект Холла

Вышеуказанные последовательности объясняют большинство, но не все, наблюдаемых дробей. Наблюдались и другие дроби, которые возникают из-за слабого остаточного взаимодействия между составными фермионами и, таким образом, являются более деликатными. ^[15] Некоторые из них понимаются как дробный квантовый эффект Холла составных фермионов. Например, дробный квантовый эффект Холла составных фермионов при производит дробь 4/11, которая не принадлежит первичным последовательностям. ^[16] ${\displaystyle \nu ^{*}=4/3}$

Сверхпроводимость

Наблюдалась четная дробь знаменателя . ^[17] Здесь второй уровень Ландау наполовину заполнен, но состояние не может быть морем Ферми составных фермионов, поскольку море Ферми является бесщелевым и не демонстрирует квантовый эффект Холла. Это состояние рассматривается как «сверхпроводник» составных фермионов, ^{[18] [19]} возникающий из-за слабого притягивающего взаимодействия между составными фермионами при этом факторе заполнения. Спаривание составных фермионов открывает щель и производит дробный квантовый эффект Холла. ${\displaystyle \nu =5/2,}$

Экситоны

Нейтральные возбуждения различных дробных квантовых состояний Холла являются экситонами составных фермионов, то есть парами частица-дырка составных фермионов. ^[20] Дисперсия энергии этих экситонов была измерена с помощью рассеяния света ^{[21] [22]} и рассеяния фононов. ^[23]

Вращаться

В сильных магнитных полях спин композитных фермионов заморожен, но его можно наблюдать в относительно слабых магнитных полях. Веерная диаграмма уровней Ландау композитных фермионов была определена транспортом и показывает уровни Ландау композитных фермионов как со спином вверх, так и со спином вниз. ^[24] Дробные квантовые состояния Холла, а также море Ферми композитных фермионов также частично поляризованы по спину для относительно слабых магнитных полей. ^{[24] [25] [26]}

Эффективное магнитное поле

Эффективное магнитное поле композитных фермионов подтверждено подобием дробного и целочисленного квантовых эффектов Холла, наблюдением моря Ферми на наполовину заполненном уровне Ландау и измерениями циклотронного радиуса.

Масса

Масса композитных фермионов была определена из измерений: эффективной циклотронной энергии композитных фермионов; ^{[27] [28]} температурной зависимости осцилляций Шубникова–де Гааза; ^{[13] [14]} энергии циклотронного резонанса; ^[12] спиновой поляризации моря Ферми; ^[26] и квантовых фазовых переходов между состояниями с различной спиновой поляризацией. ^{[24] [25]} Ее типичное значение в системах GaAs составляет порядка массы электрона в вакууме. (Она не связана с зонной массой электрона в GaAs, которая составляет 0,07 массы электрона в вакууме.)

Теоретические формулировки

Значительная часть экспериментальной феноменологии может быть понята из качественной картины композитных фермионов в эффективном магнитном поле. Кроме того, композитные фермионы также приводят к подробной и точной микроскопической теории этой квантовой жидкости. Два подхода оказались полезными.

Пробные волновые функции

Следующие пробные волновые функции ^[5] воплощают физику композитных фермионов:

${\displaystyle \Psi _{\nu }^{\rm {FQHE}}=P\;\;\Psi _{\nu ^{*}}^{\rm {IQHE}}\prod _{1\leq j<k\leq N}(z_{j}-z_{k})^{2p}}$

Здесь — волновая функция взаимодействующих электронов при факторе заполнения ; — волновая функция для слабо взаимодействующих электронов при ; — число электронов или составных фермионов; — координата th-й частицы; и — оператор, который проецирует волновую функцию на самый низкий уровень Ландау. Это обеспечивает явное отображение между целочисленным и дробным квантовыми эффектами Холла. Умножение на присоединяет вихри к каждому электрону, чтобы превратить его в составной фермион. Таким образом, правая часть интерпретируется как описание составных фермионов при факторе заполнения . Вышеприведенное отображение дает волновые функции как для основного, так и для возбужденного состояний дробных квантовых состояний Холла в терминах соответствующих известных волновых функций для интегральных квантовых состояний Холла. Последние не содержат никаких подгоночных параметров для , поэтому волновые функции FQHE не содержат никаких подгоночных параметров при . ${\displaystyle \Psi _{\nu }^{\rm {FQHE}}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Psi _{\nu ^{*}}^{\rm {IQHE}}}$ ${\displaystyle \nu ^{*}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle z_{j}=x_{j}+iy_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \prod _{j<k=1}^{N}(z_{j}-z_{k})^{2p}}$ ${\displaystyle 2p}$ ${\displaystyle \nu ^{*}}$ ${\displaystyle \nu ^{*}=n}$ ${\displaystyle \nu =n/(2pn\pm 1)}$

Сравнения с точными результатами показывают, что эти волновые функции количественно точны. Их можно использовать для вычисления ряда измеряемых величин, таких как щели возбуждения и дисперсии экситонов, фазовая диаграмма составных фермионов со спином, масса составного фермиона и т. д. Поскольку они сводятся к волновой функции Лафлина ^[29] при заполнении . ${\displaystyle \nu ^{*}=1}$ ${\displaystyle \nu =1/(2p+1)}$

Теория поля Черна–Саймонса

Другая формулировка физики композитных фермионов осуществляется через теорию поля Черна–Саймонса, в которой кванты потока присоединяются к электронам посредством сингулярного калибровочного преобразования. ^{[6] [30]} В приближении среднего поля восстанавливается физика свободных фермионов в эффективном поле. Теория возмущений на уровне приближения случайной фазы охватывает многие свойства композитных фермионов. ^[31]

Смотрите также

• Составной бозон
• Целочисленный квантовый эффект Холла
• Дробный квантовый эффект Холла

Ссылки

1. JK Jain (2007). Композитные фермионы . Нью-Йорк: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86232-5.
2. O. Heinonen, ed. (1998). Композитные фермионы . Сингапур: World Scientific. ISBN 978-981-02-3592-5.
3. S. Das Sarma ; A. Pinczuk , ред. (1996). Перспективы квантовых эффектов Холла: новые квантовые жидкости в низкоразмерных полупроводниковых структурах . Нью-Йорк: Wiley-VCH. ISBN 978-0-471-11216-7.
4. DC Tsui; HL Stormer; AC Gossard (1982). "Двумерный магнитотранспорт в экстремальном квантовом пределе". Physical Review Letters . 48 (22): 1559. Bibcode : 1982PhRvL..48.1559T. doi : 10.1103/PhysRevLett.48.1559 .
5. JK Jain (1989). «Подход составных фермионов для дробного квантового эффекта Холла». Physical Review Letters . 63 (2): 199–202. Bibcode :1989PhRvL..63..199J. doi :10.1103/PhysRevLett.63.199. PMID  10040805.
6. BI Halperin; PA Lee; N. Read (1993). "Теория полузаполненного уровня Ландау". Physical Review B. 47 ( 12): 7312–7343. arXiv : cond-mat/9501090 . Bibcode : 1993PhRvB..47.7312H. doi : 10.1103/PhysRevB.47.7312. PMID  10004728.
7. RL Willett; RR Ruel; KW West; LN Pfeiffer (1993). "Экспериментальная демонстрация поверхности Ферми при половинном заполнении самого нижнего уровня Ландау". Physical Review Letters . 71 (23): 3846–3849. Bibcode :1993PhRvL..71.3846W. doi :10.1103/PhysRevLett.71.3846. PMID  10055088.
8. W. Kang; HL Stormer; LN Pfeiffer; KW Baldwin; KW West (1993). «Насколько реальны композитные фермионы?». Physical Review Letters . 71 (23): 3850–3853. Bibcode : 1993PhRvL..71.3850K. doi : 10.1103/PhysRevLett.71.3850. PMID  10055089.
9. VJ Goldman; B. Su; JK Jain (1994). «Обнаружение композитных фермионов с помощью магнитной фокусировки». Physical Review Letters . 72 (13): 2065–2068. Bibcode :1994PhRvL..72.2065G. doi :10.1103/PhysRevLett.72.2065. PMID  10055779.
10. JH Smet; D. Weiss; RH Blick; G. Lütjering; K. von Klitzing; R. Fleischmann; R. Ketzmerick; T. Geisel; G. Weimann (1996). "Магнитная фокусировка композитных фермионов через массивы полостей". Physical Review Letters . 77 (11): 2272–2275. Bibcode :1996PhRvL..77.2272S. doi :10.1103/PhysRevLett.77.2272. PMID  10061902. S2CID  20584064.
11. JH Smet; S. Jobst; K. von Klitzing; D. Weiss; W. Wegscheider; V. Umansky (1999). "Соразмерные композитные фермионы в слабых периодических электростатических потенциалах: прямое доказательство периодического эффективного магнитного поля" (PDF) . Physical Review Letters . 83 (13): 2620. Bibcode :1999PhRvL..83.2620S. doi :10.1103/PhysRevLett.83.2620. S2CID  122014617.
12. И.В. Кукушкин; Дж. Х. Смет; Д. Шух; В. Вегшайдер; К. фон Клитцинг (2007). «Дисперсия моды композитно-фермионного циклотронного резонанса». Письма о физических отзывах . 98 (6): 066403. Бибкод : 2007PhRvL..98f6403K. doi : 10.1103/PhysRevLett.98.066403. ПМИД  17358964.
13. DR Leadley; RJ Nicholas; CT Foxon; JJ Harris (1994). «Измерение эффективной массы и времени рассеяния композитных фермионов из анализа магнитотранспорта». Physical Review Letters . 72 (12): 1906–1909. Bibcode :1994PhRvL..72.1906L. doi :10.1103/PhysRevLett.72.1906. PMID  10055734.
14. RR Du; HL Stormer; DC Tsui; LN Pfeiffer; KW West (1994). "Осцилляции Шубникова–де Гааза вокруг заполнения уровня Ландау". Solid State Communications . 90 (2): 71. Bibcode : 1994SSCom..90...71D. doi : 10.1016/0038-1098(94)90934-2. ${\displaystyle \nu =1/2}$
15. W. Pan; HL Stormer; DC Tsui; LN Pfeiffer; KW Baldwin; KW West (2003). "Дробный квантовый эффект Холла композитных фермионов". Physical Review Letters . 90 (1): 016801. arXiv : cond-mat/0303429 . Bibcode : 2003PhRvL..90a6801P. doi : 10.1103/PhysRevLett.90.016801. PMID  12570639. S2CID  2265408.
16. C.-C. Chang; JK Jain (2004). «Микроскопическое происхождение дробного квантового эффекта Холла следующего поколения». Physical Review Letters . 92 (19): 196806. arXiv : cond-mat/0404079 . Bibcode : 2004PhRvL..92s6806C. doi : 10.1103/PhysRevLett.92.196806. PMID  15169434. S2CID  20862603.
17. R. Willett; JP Eisenstein; HL Stormer; DC Tsui; AC Gossard; JH England (1987). "Наблюдение квантового числа с четным знаменателем в дробном квантовом эффекте Холла" (PDF) . Physical Review Letters . 59 (15): 1776–1779. Bibcode :1987PhRvL..59.1776W. doi :10.1103/PhysRevLett.59.1776. PMID  10035326.
18. G. Moore; N. Read (1991). "Ненабелионы в дробном квантовом эффекте Холла" (PDF) . Nuclear Physics B. 360 ( 2): 362. Bibcode : 1991NuPhB.360..362M. doi : 10.1016/0550-3213(91)90407-O.
19. Н. Рид; Д. Грин (2000). «Спаренные состояния фермионов в двух измерениях с нарушением симметрии четности и обращения времени и дробный квантовый эффект Холла». Physical Review B. 61 ( 15): 10267. arXiv : cond-mat/9906453 . Bibcode : 2000PhRvB..6110267R. doi : 10.1103/PhysRevB.61.10267. S2CID  119427877.
20. VW Scarola; K. Park; JK Jain (2000). "Ротоны композитных фермионов: сравнение теории и эксперимента". Physical Review B. 61 ( 19): 13064. arXiv : cond-mat/9910491 . Bibcode : 2000PhRvB..6113064S. doi : 10.1103/PhysRevB.61.13064.
21. M. Kang; A. Pinczuk; BS Dennis; LN Pfeiffer; KW West (2001). «Наблюдение множественных магнеторотонов в дробном квантовом эффекте Холла». Physical Review Letters . 86 (12): 2637–40. Bibcode : 2001PhRvL..86.2637K. doi : 10.1103/PhysRevLett.86.2637. PMID  11289999.
22. I. Dujovne; A. Pinczuk; M. Kang; BS Dennis; LN Pfeiffer; KW West (2005). "Возбуждения спина композитных фермионов при приближениях ½: Взаимодействия в море Ферми". Physical Review Letters . 95 (5): 056808. Bibcode :2005PhRvL..95e6808D. doi :10.1103/PhysRevLett.95.056808. PMID  16090907. ${\displaystyle u}$
23. Ф. Шульце-Вишелер; Ф. Хольс; У. Цайтлер; Д. Рейтер; А.Д. Вик; Р. Дж. Хауг (2004). «Фононные возбуждения составных фермионных уровней Ландау». Письма о физических отзывах . 93 (2): 026801. arXiv : cond-mat/0403072 . Бибкод : 2004PhRvL..93b6801S. doi : 10.1103/PhysRevLett.93.026801. ПМИД  15323936.
24. RR Du; AS Yeh; HL Stormer; DC Tsui; LN Pfeiffer; KW West (1995). «Дробный квантовый эффект Холла вокруг : составные фермионы со спином». Physical Review Letters . 75 (21): 3926–3929. Bibcode : 1995PhRvL..75.3926D. doi : 10.1103/PhysRevLett.75.3926. PMID  10059766. ${\displaystyle \nu =3/2}$
25. IV Kukushkin; K. von Klitzing; K. Eberl (1999). "Спиновая поляризация композитных фермионов: измерения энергии Ферми". Physical Review Letters . 82 (18): 3665. Bibcode :1999PhRvL..82.3665K. doi :10.1103/PhysRevLett.82.3665.
26. S. Melinte; N. Freytag; M. Horvatic; C. Berthier; LP Levy; V. Bayot; M. Shayegan (2000). "ЯМР-определение двумерной поляризации электронного спина при ". Physical Review Letters . 84 (2): 354–7. arXiv : cond-mat/9908098 . Bibcode : 2000PhRvL..84..354M. doi : 10.1103/PhysRevLett.84.354. PMID  11015909. S2CID  42918257. ${\displaystyle \nu =1/2}$
27. RR Du; HL Stormer; DC Tsui; LN Pfeiffer; KW Baldwin; KW West (1993). «Экспериментальные доказательства новых частиц в дробном квантовом эффекте Холла». Physical Review Letters . 70 (19): 2944–2947. Bibcode : 1993PhRvL..70.2944D. doi : 10.1103/PhysRevLett.70.2944. PMID  10053693.
28. HC Manoharan; M. Shayegan; SJ Klepper (1994). «Сигнатуры новой ферми-жидкости в двумерной модели составных частиц». Physical Review Letters . 73 (24): 3270–3273. Bibcode : 1994PhRvL..73.3270M. doi : 10.1103/PhysRevLett.73.3270. PMID  10057334.
29. RB Laughlin (1983). "Аномальный квантовый эффект Холла: несжимаемая квантовая жидкость с дробно заряженными возбуждениями". Physical Review Letters . 50 (18): 1395. Bibcode : 1983PhRvL..50.1395L. doi : 10.1103/PhysRevLett.50.1395. S2CID  120080343.
30. А. Лопес; Э. Фрадкин (1991). «Дробный квантовый эффект Холла и калибровочные теории Черна–Саймонса». Physical Review B. 44 ( 10): 5246–5262. Bibcode :1991PhRvB..44.5246L. doi :10.1103/PhysRevB.44.5246. PMID  9998334.
31. SH Simon; BI Halperin (1993). "Конечный волновой вектор электромагнитного отклика дробно-квантованных состояний Холла". Physical Review B. 48 ( 23): 17368–17387. arXiv : cond-mat/9307048 . Bibcode : 1993PhRvB..4817368S. doi : 10.1103/PhysRevB.48.17368. PMID  10008349. S2CID  32195345.

Внешние ссылки

• Нобелевская лекция: «Дробный квантовый эффект Холла» Х. Л. Штормера
• «Составные фермионы: новые частицы в дробном квантовом эффекте Холла», Х. Штёрмер и Д. Цуй, Physics News в 1994 г., Американский институт физики, 1995 г., стр. 33.
• Композитный фермион в Университете штата Пенсильвания
• Композитные фермионы - отдел фон Клитцинга в Институте Макса Планка
• «Составные фермионы реальны» в Physics News Update, Американский институт физики
• «Наполовину заполненный уровень Ландау дает интригующие данные и теорию» в Physics Today
• «Композитный фермион: квантовая частица и ее квантовые жидкости» в Physics Today