Состояние (функциональный анализ)

В функциональном анализе состояние операторной системы представляет собой положительный линейный функционал нормы 1. Состояния в функциональном анализе обобщают понятие матриц плотности в квантовой механике, которые представляют квантовые состояния , как смешанные, так и чистые состояния . Матрицы плотности, в свою очередь, обобщают векторы состояний , которые представляют только чистые состояния. Для М, системы операторов в С*-алгебре А с единицей, множество всех состояний М, иногда обозначаемых S( M ), является выпуклым, слабо* замкнутым в банаховом двойственном пространстве М ^* . Таким образом , множество всех состояний М со слабой топологией образует компактное хаусдорфово пространство, известное как пространство состояний М.

В C*-алгебраической формулировке квантовой механики состояния в этом предыдущем смысле соответствуют физическим состояниям, т.е. отображениям физических наблюдаемых (самосопряженных элементов C*-алгебры) в ожидаемый результат измерения (действительное число).

Жордановое разложение

Состояния можно рассматривать как некоммутативные обобщения вероятностных мер . По представлению Гельфанда каждая коммутативная С*-алгебра А имеет вид _С0 ( X ) для некоторого локально компактного Хаусдорфа X. В этом случае S ( A ) состоит из положительных мер Радона на X , а чистые состояния являются оценочными функционалами на X .

В более общем смысле конструкция GNS показывает, что каждое состояние после выбора подходящего представления является векторным состоянием.

Ограниченный линейный функционал на С*-алгебре А называется самосопряженным, если он вещественнозначен на самосопряженных элементах алгебры А. Самосопряженные функционалы являются некоммутативными аналогами знаковых мер .

Разложение Жордана в теории меры гласит, что каждая знаковая мера может быть выражена как разность двух положительных мер, поддерживаемых на непересекающихся множествах. Это можно распространить на некоммутативную настройку.

Теорема  .  Каждое самосопряженное в можно записать в виде где и – положительные функционалы и . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A^{\ast }}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle f=f_{+}-f_{-}}$ ${\displaystyle f_{+}}$ ${\displaystyle f_{-}}$ ${\displaystyle \Vert f\Vert =\Vert f_{+}\Vert +\Vert f_{-}\Vert }$

Доказательство

Доказательство можно схематически представить следующим образом: Пусть – слабый*-компактный набор положительных линейных функционалов на с нормой ≤ 1, а – непрерывные функции на . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C(\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle A}$можно рассматривать как замкнутое линейное подпространство (это представление функции Кадисона ). По Хану-Банаху простирается до in с . ${\displaystyle C(\Omega )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C(\Omega )^{\ast }}$ ${\displaystyle \Vert g\Vert =\Vert f\Vert }$

Используя результаты теории меры, процитированные выше, имеем:

${\displaystyle g(\cdot )=\int \cdot \;d\mu }$

где в силу самосопряженности , можно считать знаковой мерой. Писать: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu =\mu _{+}-\mu _{-},\;}$

разница положительных мер. Ограничения функционалов и to обладают требуемыми свойствами и . Это доказывает теорему. ${\displaystyle \textstyle \int \cdot \;d\mu _{+}}$ ${\displaystyle \textstyle \int \cdot \;d\mu _{-}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f_{+}}$ ${\displaystyle f_{-}}$

Из приведенного выше разложения следует, что A* — линейная оболочка состояний.

Некоторые важные классы государств

Чистые состояния

По теореме Крейна-Мильмана пространство состояний M имеет крайние точки . Крайние точки пространства состояний называются чистыми состояниями , а другие состояния известны как смешанные состояния .

Векторные состояния

Для гильбертова пространства H и вектора x в H уравнение ω _x ( T ) := ⟨ Tx , x ⟩ (для T в B(H) ) определяет положительный линейный функционал на B(H) . Поскольку ω _x ( 1 )=|| х || ² , ω _x является состоянием, если || х ||=1. Если A — C*-подалгебра в B(H) и M — система операторов в A , то ограничение ωx _на M определяет положительный линейный функционал на M. Состояния M , возникающие таким образом из единичных векторов в H , называются векторными состояниями M.

Верные государства

Состояние является верным , если оно инъективно по положительным элементам, то есть подразумевает . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau (a^{*}a)=0}$ ${\displaystyle a=0}$

Нормальные состояния

Состояние называется нормальным тогда и только тогда, когда для любого монотонного возрастающая сеть операторов с наименьшей верхней границей сходится к . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle H_{\alpha }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \tau (H_{\alpha })\;}$ ${\displaystyle \tau (H)\;}$

Следовые состояния

Следовое состояние – это такое состояние , что ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau (AB)=\tau (BA)\;.}$

Для любой сепарабельной C*-алгебры множество следовых состояний представляет собой симплекс Шоке .

Факториальные состояния

Факториальное состояние C*-алгебры A — это состояние такое, что коммутант соответствующего GNS-представления A является фактором .

Смотрите также

• Квантовое состояние
• Конструкция Гельфанда–Наймарка–Сегала
• Квантовая механика
  • Квантовое состояние
  • Матрица плотности

Рекомендации

• Лин, Х. (2001), Введение в классификацию аменабельных C*-алгебр , World Scientific