модель Дебая

Метод в физике

Питер Дебай

Уменьшенная удельная теплоемкость для KCl , TiO2 и графита по сравнению с теорией Дебая, основанной на упругих измерениях (сплошные линии). ^[1]

В термодинамике и физике твердого тела модель Дебая — это метод, разработанный Питером Дебаем в 1912 году для оценки вклада фононов в удельную теплоемкость ( теплоемкость ) в твердом теле . ^[2] Она рассматривает колебания атомной решетки (тепло) как фононы в ящике в отличие от фотоэлектронной модели Эйнштейна , которая рассматривает твердое тело как множество отдельных, невзаимодействующих квантовых гармонических осцилляторов . Модель Дебая правильно предсказывает низкотемпературную зависимость теплоемкости твердых тел, которая пропорциональна ^{[ необходимо разъяснение ]} — закону Дебая T3 . Подобно фотоэлектронной модели Эйнштейна, она восстанавливает закон Дюлонга–Пти при ^{высоких} температурах. Из-за упрощающих предположений ее точность страдает при промежуточных температурах ^{[ необходимо разъяснение ]} . ${\displaystyle T^{3}}$

Вывод

Модель Дебая является твердотельным эквивалентом закона Планка об излучении черного тела , который рассматривает электромагнитное излучение как фотонный газ, заключенный в вакуумном пространстве. Соответственно, модель Дебая рассматривает атомные колебания как фононы , заключенные в объеме твердого тела. Большинство этапов расчета идентичны, поскольку оба являются примерами безмассового бозе-газа с линейным дисперсионным соотношением .

Для куба со стороной , резонирующие моды звуковых возмущений (рассматривая пока только те, которые выровнены по одной оси), рассматриваемые как частицы в ящике , имеют длины волн, заданные как ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \lambda _{n}={2L \over n}\,,}$

где — целое число. Энергия фонона определяется как ${\displaystyle n}$

${\displaystyle E_{n}\ =h\nu _{n}\,,}$

где - постоянная Планка , а - частота фонона. Принимая во внимание, что частота обратно пропорциональна длине волны, ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \nu _{n}}$

${\displaystyle E_{n}=h\nu _{n}={hc_{\rm {s}} \over \lambda _{n}}={hc_{s}n \over 2L}\,,}$

в котором есть скорость звука внутри твердого тела. В трех измерениях энергия может быть обобщена до ${\displaystyle c_{s}}$

${\displaystyle E_{n}^{2}={p_{n}^{2}c_{\rm {s}}^{2}}=\left({hc_{\rm {s}} \over 2L}\right)^{2}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}\right)\,,}$

где — величина трехмерного импульса фонона, а , , и — компоненты резонирующей моды вдоль каждой из трех осей . ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle n_{x}}$ ${\displaystyle n_{y}}$ ${\displaystyle n_{z}}$

Приближение, что частота обратно пропорциональна длине волны ( что дает постоянную скорость звука ), хорошо для фононов с низкой энергией, но не для фононов с высокой энергией, что является ограничением модели Дебая. Это приближение приводит к неверным результатам при промежуточных температурах, тогда как результаты точны в пределах низких и высоких температур.

Полная энергия в ящике, определяется как ${\displaystyle U}$

${\displaystyle U=\sum _{n}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,,}$

где — число фононов в ящике с энергией ; полная энергия равна сумме энергий по всем энергетическим уровням, а энергия на данном уровне находится путем умножения его энергии на число фононов с этой энергией. В трех измерениях каждая комбинация мод в каждой из трех осей соответствует уровню энергии, что дает полную энергию как: ${\displaystyle {\bar {N}}(E_{n})}$ ${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle U=\sum _{n_{x}}\sum _{n_{y}}\sum _{n_{z}}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,.}$

Модель Дебая и закон Планка излучения черного тела различаются здесь относительно этой суммы. В отличие от электромагнитного фотонного излучения в ящике, существует конечное число состояний энергии фонона , поскольку фонон не может иметь произвольно высокую частоту. Его частота ограничена средой его распространения — атомной решеткой твердого тела . Следующая иллюстрация описывает поперечные фононы в кубическом твердом теле на различных частотах:

Разумно предположить, что минимальная длина волны фонона в два раза больше атомного разделения, как показано в самом нижнем примере. С атомами в кубическом твердом теле каждая ось куба измеряется как атомная длина. Атомное разделение тогда задается как , а минимальная длина волны равна ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{N}}}$ ${\displaystyle L/{\sqrt[{3}]{N}}}$

${\displaystyle \lambda _{\rm {min}}={2L \over {\sqrt[{3}]{N}}}\,,}$

создание максимального числа мод : ${\displaystyle n_{max}}$

${\displaystyle n_{\rm {max}}={\sqrt[{3}]{N}}\,.}$

Это контрастирует с фотонами, для которых максимальное число мод бесконечно. Это число ограничивает верхний предел тройной суммы энергий

${\displaystyle U=\sum _{n_{x}}^{\sqrt[{3}]{N}}\sum _{n_{y}}^{\sqrt[{3}]{N}}\sum _{n_{z}}^{\sqrt[{3}]{N}}E_{n}\,{\bar {N}}(E_{n})\,.}$

Если — функция , медленно меняющаяся относительно , ​​то суммы можно аппроксимировать интегралами : ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U\approx \int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}E(n)\,{\bar {N}}\left(E(n)\right)\,dn_{x}\,dn_{y}\,dn_{z}\,.}$

Для оценки этого интеграла, функции , также должно быть известно число фононов с энергией . Фононы подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна , а их распределение задается формулой статистики Бозе-Эйнштейна: ${\displaystyle {\bar {N}}(E)}$ ${\displaystyle E\,,}$

${\displaystyle \langle N\rangle _{BE}={1 \over e^{E/kT}-1}\,.}$

Поскольку фонон имеет три возможных состояния поляризации (одно продольное и два поперечных , которые приблизительно не влияют на его энергию), формулу выше необходимо умножить на 3:

${\displaystyle {\bar {N}}(E)={3 \over e^{E/kT}-1}\,.}$

Рассмотрение всех трех состояний поляризации вместе также означает, что эффективная скорость звука должна быть определена и использована как значение стандартной скорости звука Температура Дебая, определенная ниже, пропорциональна ; точнее, , где продольные и поперечные скорости звуковых волн усредняются, взвешенные по числу состояний поляризации. Температура Дебая или эффективная скорость звука является мерой твердости кристалла. ${\displaystyle c_{\rm {eff}}}$ ${\displaystyle c_{s}.}$ ${\displaystyle T_{\rm {D}}}$ ${\displaystyle c_{\rm {eff}}}$ ${\displaystyle T_{\rm {D}}^{-3}\propto c_{\rm {eff}}^{-3}:={\frac {1}{3}}c_{\rm {long}}^{-3}+{\frac {2}{3}}c_{\rm {trans}}^{-3}}$

Подставляя в интеграл энергии, получаем ${\displaystyle {\bar {N}}(E)}$

${\displaystyle U=\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}\int _{0}^{\sqrt[{3}]{N}}E(n)\,{3 \over e^{E(n)/kT}-1}\,dn_{x}\,dn_{y}\,dn_{z}\,.}$

Эти интегралы легко вычисляются для фотонов , поскольку их частота, по крайней мере полуклассически, не связана. То же самое не относится к фононам, поэтому для аппроксимации этого тройного интеграла Питер Дебай использовал сферические координаты ,

${\displaystyle \ (n_{x},n_{y},n_{z})=(n\sin \theta \cos \phi ,n\sin \theta \sin \phi ,n\cos \theta )\,,}$

и аппроксимировал куб восьмой частью сферы ,

${\displaystyle U\approx \int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{R}E(n)\,{3 \over e^{E(n)/kT}-1}n^{2}\sin \theta \,dn\,d\theta \,d\phi \,,}$

где радиус этой сферы. Поскольку функция энергии не зависит ни от одного из углов, уравнение можно упростить до ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \,3\int _{0}^{\pi /2}\int _{0}^{\pi /2}\sin \theta \,d\theta \,d\phi \,\int _{0}^{R}E(n)\,{\frac {1}{e^{E(n)/kT}-1}}n^{2}dn\,={\frac {3\pi }{2}}\int _{0}^{R}E(n)\,{\frac {1}{e^{E(n)/kT}-1}}n^{2}dn\,}$

Число частиц в исходном кубе и в восьмой части сферы должно быть эквивалентно. Объем куба равен объему элементарной ячейки , ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N={1 \over 8}{4 \over 3}\pi R^{3}\,,}$

таким образом, что радиус должен быть

${\displaystyle R={\sqrt[{3}]{6N \over \pi }}\,.}$

Замена правильного интеграла по кубу на интегрирование по сфере вносит еще один источник неточности в полученную модель.

После выполнения сферической замены и подстановки в функцию интеграл энергии становится ${\displaystyle E(n)\,}$

${\displaystyle U={3\pi \over 2}\int _{0}^{R}\,{hc_{s}n \over 2L}{n^{2} \over e^{hc_{\rm {s}}n/2LkT}-1}\,dn}$.

Изменяем переменную интегрирования на , ${\displaystyle x={hc_{\rm {s}}n \over 2LkT}}$

${\displaystyle U={3\pi \over 2}kT\left({2LkT \over hc_{\rm {s}}}\right)^{3}\int _{0}^{hc_{\rm {s}}R/2LkT}{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx.}$

Чтобы упростить вид этого выражения, определим температуру Дебая ${\displaystyle T_{\rm {D}}}$

${\displaystyle T_{\rm {D}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {hc_{\rm {s}}R \over 2Lk}={hc_{\rm {s}} \over 2Lk}{\sqrt[{3}]{6N \over \pi }}={hc_{\rm {s}} \over 2k}{\sqrt[{3}]{{6 \over \pi }{N \over V}}}}$

где — объем кубической коробки со стороной . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L}$

Некоторые авторы ^{[3] [4]} описывают температуру Дебая как сокращение для некоторых констант и переменных, зависящих от материала. Однако примерно равна энергии фонона минимальной длины волны моды, и поэтому мы можем интерпретировать температуру Дебая как температуру, при которой возбуждается мода с самой высокой частотой. Кроме того, поскольку все другие моды имеют более низкую энергию, чем мода с самой высокой частотой, все моды возбуждаются при этой температуре. ${\displaystyle kT_{\rm {D}}}$

Из полной энергии можно рассчитать удельную внутреннюю энергию:

${\displaystyle {\frac {U}{Nk}}=9T\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx=3TD_{3}\left({T_{\rm {D}} \over T}\right)\,,}$

где - третья функция Дебая . Дифференцирование этой функции по дает безразмерную теплоемкость: ${\displaystyle D_{3}(x)}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}=9\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}{x^{4}e^{x} \over \left(e^{x}-1\right)^{2}}\,dx\,.}$

Эти формулы рассматривают модель Дебая при всех температурах. Более элементарные формулы, приведенные ниже, дают асимптотическое поведение в пределе низких и высоких температур. Основная причина точности при низких и высоких энергиях заключается в том, что модель Дебая дает точное дисперсионное соотношение при низких частотах и ​​соответствует точной плотности состояний при высоких температурах, относительно числа колебаний на частотный интервал. ^{[ оригинальное исследование? ]} ${\displaystyle E(\nu )}$ ${\textstyle (\int g(\nu )\,d\nu \equiv 3N)}$

Вывод Дебая

Дебай вывел свое уравнение иначе и проще. Используя механику сплошной среды , он обнаружил, что число колебательных состояний с частотой, меньшей определенного значения, асимптотически

${\displaystyle n\sim {1 \over 3}\nu ^{3}VF\,,}$

в котором есть объем и есть фактор, который он вычислил из коэффициентов упругости и плотности. Объединение этой формулы с ожидаемой энергией гармонического осциллятора при температуре (уже использованной Эйнштейном в его модели) дало бы энергию ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,}$

если бы колебательные частоты продолжались до бесконечности. Эта форма дает поведение, которое является правильным при низких температурах. Но Дебай понял, что не может быть больше, чем колебательных состояний для N атомов. Он сделал предположение, что в атомном твердом теле спектр частот колебательных состояний будет продолжать следовать вышеуказанному правилу, вплоть до максимальной частоты, выбранной так, чтобы общее число состояний было ${\displaystyle T^{3}}$ ${\displaystyle 3N}$ ${\displaystyle \nu _{m}}$

${\displaystyle 3N={1 \over 3}\nu _{m}^{3}VF\,.}$

Дебай знал, что это предположение не совсем верно (более высокие частоты расположены ближе, чем предполагалось), но оно гарантирует правильное поведение при высокой температуре ( закон Дюлонга-Пти ). Тогда энергия определяется как

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=\int _{0}^{\nu _{m}}\,{h\nu ^{3}VF \over e^{h\nu /kT}-1}\,d\nu \,,\\&=VFkT(kT/h)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,.\end{aligned}}}$

Заменяя на , ${\displaystyle T_{\rm {D}}}$ ${\displaystyle h\nu _{m}/k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U&=9NkT(T/T_{\rm {D}})^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}\,{x^{3} \over e^{x}-1}\,dx\,,\\&=3NkTD_{3}(T_{\rm {D}}/T)\,,\end{aligned}}}$

где функция позже получила название функции Дебая третьего порядка . ${\displaystyle D_{3}}$

Другое происхождение

Сначала распределение частоты колебаний выводится из Приложения VI к работе Террелла Л. Хилла « Введение в статистическую механику» . ^[5] Рассмотрим трехмерное изотропное упругое твердое тело с N атомами в форме прямоугольного параллелепипеда с длинами сторон . Упругая волна будет подчиняться волновому уравнению и будет плоской волной ; рассмотрим волновой вектор и определим , таким образом, что ${\displaystyle L_{x},L_{y},L_{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})}$ ${\displaystyle l_{x}={\frac {k_{x}}{|\mathbf {k} |}},l_{y}={\frac {k_{y}}{|\mathbf {k} |}},l_{z}={\frac {k_{z}}{|\mathbf {k} |}}}$

Решения волнового уравнения :

${\displaystyle u(x,y,z,t)=\sin(2\pi \nu t)\sin \left({\frac {2\pi l_{x}x}{\lambda }}\right)\sin \left({\frac {2\pi l_{y}y}{\lambda }}\right)\sin \left({\frac {2\pi l_{z}z}{\lambda }}\right)}$

и с граничными условиями при , ${\displaystyle u=0}$ ${\displaystyle x,y,z=0,x=L_{x},y=L_{y},z=L_{z}}$

где - положительные целые числа . Подставляя ( 2 ) в ( 1 ), а также используя дисперсионное соотношение , ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$ ${\displaystyle c_{s}=\lambda \nu }$

${\displaystyle {\frac {n_{x}^{2}}{(2\nu L_{x}/c_{s})^{2}}}+{\frac {n_{y}^{2}}{(2\nu L_{y}/c_{s})^{2}}}+{\frac {n_{z}^{2}}{(2\nu L_{z}/c_{s})^{2}}}=1.}$

Вышеуказанное уравнение для фиксированной частоты описывает восьмую часть эллипса в "пространстве мод" (восьмую часть, потому что положительны). Число мод с частотой, меньшей , таким образом, равно числу целых точек внутри эллипса, которое в пределе (т.е. для очень большого параллелепипеда) может быть приближено к объему эллипса. Следовательно, число мод с частотой в диапазоне равно ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle L_{x},L_{y},L_{z}\to \infty }$ ${\displaystyle N(\nu )}$ ${\displaystyle [0,\nu ]}$

где - объем параллелепипеда. Скорость волны в продольном направлении отличается от скорости в поперечном направлении, и волны могут быть поляризованы одним способом в продольном направлении и двумя способами в поперечном направлении и могут быть определены как . ${\displaystyle V=L_{x}L_{y}L_{z}}$ ${\displaystyle {\frac {3}{c_{s}^{3}}}={\frac {1}{c_{\text{long}}^{3}}}+{\frac {2}{c_{\text{trans}}^{3}}}}$

Следуя выводам из Первого курса термодинамики ^[6] , определяется верхний предел частоты вибрации ; поскольку в твердом теле есть атомы , существуют квантовые гармонические осцилляторы (по 3 для каждого направления x, y, z), колеблющиеся в диапазоне частот . можно определить с помощью ${\displaystyle \nu _{D}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 3N}$ ${\displaystyle [0,\nu _{D}]}$ ${\displaystyle \nu _{D}}$

Определяя , где k — постоянная Больцмана , а h — постоянная Планка , и подставляя ( 4 ) в ( 3 ), ${\displaystyle \nu _{\rm {D}}={\frac {kT_{\rm {D}}}{h}}}$

это определение более стандартно; вклад энергии для всех осцилляторов, колеблющихся на частоте, можно найти. Квантовые гармонические осцилляторы могут иметь энергии , где и используя статистику Максвелла-Больцмана , число частиц с энергией равно ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle E_{i}=(i+1/2)h\nu }$ ${\displaystyle i=0,1,2,\dotsc }$ ${\displaystyle E_{i}}$

${\displaystyle n_{i}={\frac {1}{A}}e^{-E_{i}/(kT)}={\frac {1}{A}}e^{-(i+1/2)h\nu /(kT)}.}$

Вклад энергии для осцилляторов с частотой тогда равен ${\displaystyle \nu }$

Заметив, что (поскольку существуют моды, колеблющиеся с частотой ), ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }n_{i}=dN(\nu )}$ ${\displaystyle dN(\nu )}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {1}{A}}e^{-1/2h\nu /(kT)}\sum _{i=0}^{\infty }e^{-ih\nu /(kT)}={\frac {1}{A}}e^{-1/2h\nu /(kT)}{\frac {1}{1-e^{-h\nu /(kT)}}}=dN(\nu ).}$

Из вышесказанного можно получить выражение для 1/A, подставив его в ( 6 ),

${\displaystyle {\begin{aligned}dU&=dN(\nu )e^{1/2h\nu /(kT)}(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }h\nu (i+1/2)e^{-h\nu (i+1/2)/(kT)}\\\\&=dN(\nu )(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }h\nu (i+1/2)e^{-h\nu i/(kT)}\\&=dN(\nu )h\nu \left({\frac {1}{2}}+(1-e^{-h\nu /(kT)})\sum _{i=0}^{\infty }ie^{-h\nu i/(kT)}\right)\\&=dN(\nu )h\nu \left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}\right).\end{aligned}}}$

Интегрирование по ν дает

${\displaystyle U={\frac {9Nh^{4}}{k^{3}T_{\rm {D}}^{3}}}\int _{0}^{\nu _{D}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}\right)\nu ^{3}d\nu .}$

Температурные ограничения

Температура дебаевского твердого тела считается низкой, если , что приводит к ${\displaystyle T\ll T_{\rm {D}}}$

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 9\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{\infty }{x^{4}e^{x} \over \left(e^{x}-1\right)^{2}}\,dx.}$

Этот определенный интеграл можно оценить точно:

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim {12\pi ^{4} \over 5}\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}.}$

В пределе низких температур ограничения модели Дебая, упомянутые выше, не применяются, и она дает правильное соотношение между (фононной) теплоемкостью , температурой , коэффициентами упругости и объемом на атом (последние величины содержатся в температуре Дебая).

Температура дебаевского твердого тела считается высокой, если . Использование , если приводит к ${\displaystyle T\gg T_{\rm {D}}}$ ${\displaystyle e^{x}-1\approx x}$ ${\displaystyle |x|\ll 1}$

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 9\left({T \over T_{\rm {D}}}\right)^{3}\int _{0}^{T_{\rm {D}}/T}{x^{4} \over x^{2}}\,dx}$

что при интегрировании дает

${\displaystyle {\frac {C_{V}}{Nk}}\sim 3\,.}$

Это закон Дюлонга-Пти , и он довольно точен, хотя не учитывает ангармонизм , который заставляет теплоемкость еще больше расти. Полная теплоемкость твердого тела, если оно является проводником или полупроводником , может также содержать немалый вклад от электронов.

Дебай против Эйнштейна

Дебай против Эйнштейна . Предсказанная теплоемкость как функция температуры.

Модели Дебая и Эйнштейна близко соответствуют экспериментальным данным, но модель Дебая верна при низких температурах, а модель Эйнштейна — нет. Чтобы наглядно представить разницу между моделями, можно было бы, естественно, изобразить их на одном и том же наборе осей, но это не сразу возможно, поскольку и модель Эйнштейна, и модель Дебая предоставляют функциональную форму для теплоемкости. Как модели, они требуют масштабов, чтобы соотнести их с реальными аналогами. Можно увидеть, что масштаб модели Эйнштейна определяется следующим образом : ${\displaystyle \epsilon /k}$

${\displaystyle C_{V}=3Nk\left({\epsilon \over kT}\right)^{2}{e^{\epsilon /kT} \over \left(e^{\epsilon /kT}-1\right)^{2}}.}$

Масштаб модели Дебая — это температура Дебая. Оба значения обычно находятся путем подгонки моделей под экспериментальные данные. (Теоретически температуру Дебая можно рассчитать из скорости звука и размеров кристалла.) Поскольку два метода подходят к проблеме с разных направлений и разных геометрий, масштабы Эйнштейна и Дебая не совпадают, то есть ${\displaystyle T_{\rm {D}}}$

${\displaystyle {\epsilon \over k}\neq T_{\rm {D}}\,,}$

что означает, что нанесение их на один и тот же набор осей не имеет смысла. Это две модели одного и того же, но разных масштабов. Если определить температуру конденсации Эйнштейна как

${\displaystyle T_{\rm {E}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\epsilon \over k}\,,}$

то можно сказать

${\displaystyle T_{\rm {E}}\neq T_{\rm {D}}\,,}$

и для того, чтобы связать их, используется соотношение. ${\displaystyle {\frac {T_{\rm {E}}}{T_{\rm {D}}}}\,}$

Твердое тело Эйнштейна состоит из одночастотных квантовых гармонических осцилляторов , . Эта частота, если бы она действительно существовала, была бы связана со скоростью звука в твердом теле. Если представить себе распространение звука как последовательность атомов, ударяющихся друг о друга, то частота колебаний должна соответствовать минимальной длине волны, поддерживаемой атомной решеткой, , где ${\displaystyle \epsilon =\hbar \omega =h\nu }$ ${\displaystyle \lambda _{min}}$

${\displaystyle \nu ={c_{\rm {s}} \over \lambda }={c_{\rm {s}}{\sqrt[{3}]{N}} \over 2L}={c_{\rm {s}} \over 2}{\sqrt[{3}]{N \over V}}}$,

что делает температуру Эйнштейна и искомое соотношение, следовательно, равно ${\displaystyle T_{\rm {E}}={\epsilon \over k}={h\nu \over k}={hc_{\rm {s}} \over 2k}{\sqrt[{3}]{N \over V}}\,,}$

${\displaystyle {T_{\rm {E}} \over T_{\rm {D}}}={\sqrt[{3}]{\pi \over 6}}\ =0.805995977...}$

Используя отношение, обе модели можно построить на одном графике. Это кубический корень отношения объема одного октанта трехмерной сферы к объему куба, который ее содержит, что является просто поправочным коэффициентом, использованным Дебаем при аппроксимации интеграла энергии выше. В качестве альтернативы отношение двух температур можно рассматривать как отношение единственной частоты Эйнштейна, на которой колеблются все осцилляторы, и максимальной частоты Дебая. Единственная частота Эйнштейна затем может рассматриваться как среднее значение частот, доступных модели Дебая.

Таблица температур Дебая

Несмотря на то, что модель Дебая не полностью верна, она дает хорошее приближение для низкотемпературной теплоемкости изолирующих кристаллических твердых тел, где другие вклады (такие как высокоподвижные электроны проводимости) незначительны. Для металлов вклад электронов в тепло пропорционален , что при низких температурах доминирует над результатом Дебая для колебаний решетки. В этом случае можно сказать, что модель Дебая лишь аппроксимирует вклад решетки в удельную теплоемкость. В следующей таблице перечислены температуры Дебая для нескольких чистых элементов ^[3] и сапфира: ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T^{3}}$

Соответствие модели Дебая экспериментальным данным часто феноменологически улучшается, если допустить, что температура Дебая зависит от температуры; ^[7] например, значение для льда увеличивается примерно от 222 К ^[8] до 300 К ^[9] при повышении температуры от абсолютного нуля до примерно 100 К.

Распространение на другие квазичастицы

Для других бозонных квазичастиц , например, магнонов (квантованных спиновых волн) в ферромагнетиках вместо фононов (квантованных звуковых волн), можно получить аналогичные результаты. В этом случае на низких частотах имеются другие дисперсионные соотношения импульса и энергии, например, в случае магнонов вместо для фононов (с ). Также имеется другая плотность состояний (например, ). Как следствие, в ферромагнетиках получается магнонный вклад в теплоемкость, , который при достаточно низких температурах доминирует над фононным вкладом, . В металлах, напротив, основной низкотемпературный вклад в теплоемкость, , исходит от электронов. Он фермионный и рассчитывается другими методами, восходящими к модели свободных электронов Зоммерфельда . [ ^{необходима цитата ]} ${\displaystyle E(\nu )\propto k^{2}}$ ${\displaystyle E(\nu )\propto k}$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle \int g(\nu ){\rm {d}}\nu \equiv N\,}$ ${\displaystyle \Delta C_{\,{\rm {V|\,magnon}}}\,\propto T^{3/2}}$ ${\displaystyle \,\Delta C_{\,{\rm {V|\,phonon}}}\propto T^{3}}$ ${\displaystyle \propto T}$

Расширение на жидкости

Долгое время считалось, что фононная теория не способна объяснить теплоемкость жидкостей, поскольку жидкости поддерживают только продольные, но не поперечные фононы, которые в твердых телах ответственны за 2/3 теплоемкости. Однако эксперименты по рассеянию Бриллюэна с нейтронами и рентгеновскими лучами , подтверждающие интуицию Якова Френкеля , ^[10] показали, что поперечные фононы существуют в жидкостях, хотя и ограничены частотами выше порога, называемого частотой Френкеля. Поскольку большая часть энергии содержится в этих высокочастотных модах, простой модификации модели Дебая достаточно, чтобы получить хорошее приближение к экспериментальным теплоемкостям простых жидкостей. ^[11] Совсем недавно было показано, что мгновенные нормальные моды, связанные с релаксациями из седловых точек в ландшафте энергии жидкости, которые доминируют в частотном спектре жидкостей на низких частотах, могут определять удельную теплоемкость жидкостей как функцию температуры в широком диапазоне. ^[12]

Частота Дебая

Частота Дебая (символ: или ) — параметр в модели Дебая, который относится к угловой частоте отсечки для волн гармонической цепочки масс, используемой для описания движения ионов в кристаллической решетке и, более конкретно, для правильного предсказания того, что теплоемкость в таких кристаллах постоянна при высоких температурах (закон Дюлонга–Пти). Впервые это понятие было введено Питером Дебаем в 1912 году. ^[13] ${\displaystyle \omega _{\rm {Debye}}}$ ${\displaystyle \omega _{\rm {D}}}$

В этом разделе предполагаются периодические граничные условия .

Определение

Предполагая, что дисперсионное соотношение имеет вид

${\displaystyle \omega =v_{\rm {s}}|\mathbf {k} |,}$

При скорости звука в кристалле и волновом векторе k значение частоты Дебая равно: ${\displaystyle v_{\rm {s}}}$

Для одномерной одноатомной цепи частота Дебая равна ^[14]

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}=v_{\rm {s}}\pi /a=v_{\rm {s}}\pi N/L=v_{\rm {s}}\pi \lambda ,}$

где как расстояние между двумя соседними атомами в цепи, когда система находится в своем основном энергетическом состоянии, при этом ни один из атомов не движется относительно друг друга; общее число атомов в цепи; размер системы, который является длиной цепи; и линейная плотность числа . Для , , и соотношение выполняется. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle L=Na}$

Для двумерной одноатомной квадратной решетки частота Дебая равна

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {4\pi }{a^{2}}}v_{\rm {s}}^{2}={\frac {4\pi N}{A}}v_{\rm {s}}^{2}\equiv 4\pi \sigma v_{\rm {s}}^{2},}$

где — размер (площадь) поверхности, а — плотность поверхностного числа . ${\displaystyle A\equiv L^{2}=Na^{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Для трехмерного одноатомного примитивного кубического кристалла частота Дебая равна ^[15]

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{3}={\frac {6\pi ^{2}}{a^{3}}}v_{\rm {s}}^{3}={\frac {6\pi ^{2}N}{V}}v_{\rm {s}}^{3}\equiv 6\pi ^{2}\rho v_{\rm {s}}^{3},}$

с размером системы и плотностью объема . ${\displaystyle V\equiv L^{3}=Na^{3}}$ ${\displaystyle \rho }$

Общая формула для частоты Дебая как функции числа измерений для (гипер)кубической решетки имеет вид ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{n}=2^{n}\pi ^{n/2}\Gamma \left(1+{\tfrac {n}{2}}\right){\frac {N}{L^{n}}}v_{\rm {s}}^{n},}$

причем является гамма-функцией . ${\displaystyle \Gamma }$

Скорость звука в кристалле зависит от массы атомов, силы их взаимодействия, давления на систему и поляризации спиновой волны (продольной или поперечной) и т. д. В дальнейшем предполагается, что скорость звука одинакова для любой поляризации, хотя это ограничивает применимость результата. ^[16]

Легко доказать, что предполагаемое дисперсионное соотношение неточно для одномерной цепочки масс, но в модели Дебая это не является проблемой. ^{[ необходима цитата ]}

Отношение к температуре Дебая

Температура Дебая , еще один параметр в модели Дебая, связана с частотой Дебая соотношением, где — приведенная постоянная Планка, а — постоянная Больцмана . ${\displaystyle \theta _{\rm {D}}}$ $${\displaystyle \theta _{\rm {D}}={\frac {\hbar }{k_{\rm {B}}}}\omega _{\rm {D}},}$$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle k_{\rm {B}}}$

Вывод Дебая

Трехмерный кристалл

В выводе Дебая теплоемкости он суммирует по всем возможным модам системы, учитывая различные направления и поляризации. Он предположил, что общее число мод на поляризацию равно , количество масс в системе и общее число равно ^[16] ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3=3N,}$

с тремя поляризациями на моду. Сумма пробегает все моды без дифференциации между различными поляризациями, а затем подсчитывает общее количество комбинаций поляризация-мода. Дебай сделал это предположение, основываясь на предположении из классической механики , что количество мод на поляризацию в цепочке масс всегда должно быть равно количеству масс в цепочке.

Левую часть можно сделать явной, чтобы показать, как она зависит от частоты Дебая, введенной сначала как частота среза, за пределами которой не существует никаких частот. Связав частоту среза с максимальным числом мод, можно вывести выражение для частоты среза.

Прежде всего, предположив, что очень большое ( ≫ 1, с размером системы в любом из трех направлений) наименьший волновой вектор в любом направлении можно аппроксимировать следующим образом: , с . Меньшие волновые векторы не могут существовать из-за периодических граничных условий . Таким образом, суммирование станет ^[17] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle dk_{i}=2\pi /L}$ ${\displaystyle i=x,y,z}$

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3={\frac {3V}{(2\pi )^{3}}}\iiint d\mathbf {k} ,}$

где ; — размер системы; а интеграл (как сумма) берется по всем возможным модам, которые предполагаются конечными (ограниченными частотой среза). ${\displaystyle \mathbf {k} \equiv (k_{x},k_{y},k_{z})}$ ${\displaystyle V\equiv L^{3}}$

Тройной интеграл можно переписать как одиночный интеграл по всем возможным значениям абсолютной величины (см. Якобиан для сферических координат ). Результат: ${\displaystyle \mathbf {k} }$

${\displaystyle {\frac {3V}{(2\pi )^{3}}}\iiint d\mathbf {k} ={\frac {3V}{2\pi ^{2}}}\int _{0}^{k_{\rm {D}}}|\mathbf {k} |^{2}d\mathbf {k} ,}$

причем абсолютное значение волнового вектора соответствует частоте Дебая, поэтому . ${\displaystyle k_{\rm {D}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {D}}=\omega _{\rm {D}}/v_{\rm {s}}}$

Поскольку дисперсионное соотношение имеет вид , его можно записать в виде интеграла по всем возможным : ${\displaystyle \omega =v_{\rm {s}}|\mathbf {k} |}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\frac {3V}{2\pi ^{2}}}\int _{0}^{k_{\rm {D}}}|\mathbf {k} |^{2}d\mathbf {k} ={\frac {3V}{2\pi ^{2}v_{\rm {s}}^{3}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}\omega ^{2}d\omega ,}$

После решения интеграла его снова приравнивают к нахождению ${\displaystyle 3N}$

${\displaystyle {\frac {V}{2\pi ^{2}v_{\rm {s}}^{3}}}\omega _{\rm {D}}^{3}=3N.}$

Его можно перестроить в

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{3}={\frac {6\pi ^{2}N}{V}}v_{\rm {s}}^{3}.}$

Одномерная цепь в трехмерном пространстве

Тот же вывод можно сделать для одномерной цепочки атомов. Количество мод остается неизменным, поскольку по-прежнему есть три поляризации, поэтому

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3=3N.}$

Остальная часть вывода аналогична предыдущей, поэтому левая часть переписывается относительно частоты Дебая:

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3={\frac {3L}{2\pi }}\int _{-k_{\rm {D}}}^{k_{\rm {D}}}dk={\frac {3L}{\pi v_{\rm {s}}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}d\omega .}$

Последний шаг умножается на два, потому что подынтегральное выражение в первом интеграле четное, а границы интегрирования симметричны относительно начала координат, поэтому интеграл можно переписать как от 0 до после масштабирования с коэффициентом 2. Это также эквивалентно утверждению, что объем одномерного шара в два раза больше его радиуса. Применяя замену , наши границы теперь от 0 до , что дает нам наш самый правый интеграл. Продолжаем; ${\displaystyle k_{D}}$ ${\displaystyle k={\frac {\omega }{v_{s}}}}$ ${\displaystyle \omega _{D}=k_{D}v_{s}}$

${\displaystyle {\frac {3L}{\pi v_{\rm {s}}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}d\omega ={\frac {3L}{\pi v_{\rm {s}}}}\omega _{\rm {D}}=3N.}$

Заключение:

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi v_{\rm {s}}N}{L}}.}$

Двумерный кристалл

Тот же вывод можно сделать для двумерного кристалла. Количество мод остается неизменным, поскольку все еще есть три поляризации. Вывод аналогичен предыдущим двум. Начинаем с того же уравнения,

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3=3N.}$

И затем левая часть переписывается и приравнивается к ${\displaystyle 3N}$

${\displaystyle \sum _{\rm {modes}}3={\frac {3A}{(2\pi )^{2}}}\iint d\mathbf {k} ={\frac {3A}{2\pi v_{\rm {s}}^{2}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}\omega d\omega ={\frac {3A\omega _{\rm {D}}^{2}}{4\pi v_{\rm {s}}^{2}}}=3N,}$

где — размер системы. ${\displaystyle A\equiv L^{2}}$

Его можно переписать как

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {4\pi N}{A}}v_{\rm {s}}^{2}.}$

Поляризационная зависимость

В действительности, продольные волны часто имеют иную скорость волны, чем поперечные волны. Предположение, что скорости равны, упрощает конечный результат, но повторное введение различия повышает точность конечного результата.

Дисперсионное соотношение становится , причем каждое соответствует одной из трех поляризаций. Частота отсечки , однако, не зависит от . Мы можем записать общее число мод как , что снова равно . Здесь суммирование по модам теперь зависит от . ${\displaystyle \omega _{i}=v_{s,i}|\mathbf {k} |}$ ${\displaystyle i=1,2,3}$ ${\displaystyle \omega _{\rm {D}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \sum _{i}\sum _{\rm {modes}}1}$ ${\displaystyle 3N}$ ${\displaystyle i}$

Одномерная цепь в трехмерном пространстве

Суммирование по модам переписывается

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{\rm {modes}}1=\sum _{i}{\frac {L}{\pi v_{s,i}}}\int _{0}^{\omega _{\rm {D}}}d\omega _{i}=3N.}$

Результатом является

${\displaystyle {\frac {L\omega _{\rm {D}}}{\pi }}({\frac {1}{v_{s,1}}}+{\frac {1}{v_{s,2}}}+{\frac {1}{v_{s,3}}})=3N.}$

Таким образом, находится частота Дебая.

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi N}{L}}{\frac {3}{{\frac {1}{v_{s,1}}}+{\frac {1}{v_{s,2}}}+{\frac {1}{v_{s,3}}}}}={\frac {3\pi N}{L}}{\frac {v_{s,1}v_{s,2}v_{s,3}}{v_{s,2}v_{s,3}+v_{s,1}v_{s,3}+v_{s,1}v_{s,2}}}={\frac {\pi N}{L}}v_{\mathrm {eff} }\,.}$

Рассчитанная эффективная скорость является гармоническим средним скоростей для каждой поляризации. Предполагая, что две поперечные поляризации имеют одинаковую фазовую скорость и частоту, ${\displaystyle v_{\mathrm {eff} }}$

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {3\pi N}{L}}{\frac {v_{s,t}v_{s,l}}{2v_{s,l}+v_{s,t}}}.}$

Настройка восстанавливает выражение, ранее выведенное в предположении, что скорость одинакова для всех мод поляризации. ${\displaystyle v_{s,t}=v_{s,l}}$

Двумерный кристалл

Тот же вывод можно сделать для двумерного кристалла, чтобы найти

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {4\pi N}{A}}{\frac {3}{{\frac {1}{v_{s,1}^{2}}}+{\frac {1}{v_{s,2}^{2}}}+{\frac {1}{v_{s,3}^{2}}}}}={\frac {12\pi N}{A}}{\frac {(v_{s,1}v_{s,2}v_{s,3})^{2}}{(v_{s,2}v_{s,3})^{2}+(v_{s,1}v_{s,3})^{2}+(v_{s,1}v_{s,2})^{2}}}={\frac {4\pi N}{A}}v_{\mathrm {eff} }^{2}\,.}$

Рассчитанная эффективная скорость является квадратным корнем из гармонического среднего квадратов скоростей. Предполагая, что две поперечные поляризации одинаковы, ${\displaystyle v_{\mathrm {eff} }}$

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {12\pi N}{A}}{\frac {(v_{s,t}v_{s,l})^{2}}{2v_{s,l}^{2}+v_{s,t}^{2}}}.}$

Настройка восстанавливает выражение, ранее выведенное в предположении, что скорость одинакова для всех мод поляризации. ${\displaystyle v_{s,t}=v_{s,l}}$

Трехмерный кристалл

Такой же вывод можно сделать для трехмерного кристалла, чтобы найти (вывод аналогичен предыдущим выводам)

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{2}={\frac {6\pi ^{2}N}{V}}{\frac {3}{{\frac {1}{v_{s,1}^{3}}}+{\frac {1}{v_{s,2}^{3}}}+{\frac {1}{v_{s,3}^{3}}}}}={\frac {18\pi ^{2}N}{V}}{\frac {(v_{s,1}v_{s,2}v_{s,3})^{3}}{(v_{s,2}v_{s,3})^{3}+(v_{s,1}v_{s,3})^{3}+(v_{s,1}v_{s,2})^{3}}}={\frac {6\pi ^{2}N}{V}}v_{\mathrm {eff} }^{3}\,.}$

Рассчитанная эффективная скорость — это кубический корень из гармонического среднего кубов скоростей. Предполагая, что две поперечные поляризации одинаковы, ${\displaystyle v_{\mathrm {eff} }}$

${\displaystyle \omega _{\rm {D}}^{3}={\frac {18\pi ^{2}N}{V}}{\frac {(v_{s,t}v_{s,l})^{3}}{2v_{s,l}^{3}+v_{s,t}^{3}}}.}$

Настройка восстанавливает выражение, ранее выведенное в предположении, что скорость одинакова для всех мод поляризации. ${\displaystyle v_{s,t}=v_{s,l}}$

Вывод с использованием фактического дисперсионного соотношения

Поскольку имеют значение только дискретные точки, две разные волны могут иметь одно и то же физическое проявление (см. Фонон ).

Эту задачу можно сделать более применимой, ослабив предположение о линейности дисперсионного соотношения. Вместо использования дисперсионного соотношения можно использовать более точное дисперсионное соотношение. В классической механике известно, что для равноудаленной цепочки масс, которые гармонически взаимодействуют друг с другом, дисперсионное соотношение имеет вид ^[16] ${\displaystyle \omega =v_{\rm {s}}k}$

$${\displaystyle \omega (k)=2{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}}\left|\sin \left({\frac {ka}{2}}\right)\right|,}$$

где — масса каждого атома, константа пружины для гармонического осциллятора и расстояние между атомами в основном состоянии. После построения этого соотношения оценка Дебаем предельной длины волны, основанная на линейном предположении, остается точной, поскольку для каждого волнового числа, большего (то есть, для меньшего ), можно найти волновое число, меньшее , с той же угловой частотой. Это означает, что результирующее физическое проявление для моды с большим волновым числом неотличимо от моды с меньшим волновым числом. Следовательно, изучение дисперсионного соотношения можно ограничить первой зоной Бриллюэна без потери точности или информации. ^[18] Это возможно, поскольку система состоит из дискретных точек, как показано на анимированном рисунке. Разделив дисперсионное соотношение на и подставив для , мы находим, что скорость волны с будет равна ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \pi /a}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle \pi /a}$ ${\textstyle k\in \left[-{\frac {\pi }{a}},{\frac {\pi }{a}}\right]}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \pi /a}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=\pi /a}$ $${\displaystyle v_{\rm {s}}(k=\pi /a)={\frac {2a}{\pi }}{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}}.}$$

Простая подстановка в исходное дисперсионное уравнение дает ${\displaystyle k=\pi /a}$ $${\displaystyle \omega (k=\pi /a)=2{\sqrt {\frac {\kappa }{m}}}=\omega _{\rm {D}}.}$$

Объединяя эти результаты, снова получаем тот же результат. $${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi v_{\rm {s}}}{a}}.}$$

Однако для любой цепи с большей сложностью, включая двухатомные цепи, соответствующие частота отсечки и длина волны не очень точны, поскольку длина волны отсечки в два раза больше, а дисперсионное соотношение состоит из дополнительных ветвей, всего две для двухатомной цепи. Из этого результата также не ясно, была ли для систем более высокой размерности частота отсечки точно предсказана Дебаем с учетом более точного дисперсионного соотношения.

Альтернативное происхождение

Физический результат двух волн может быть одинаковым, если хотя бы одна из них имеет длину волны, превышающую удвоенное начальное расстояние между массами.

Для одномерной цепи формулу для частоты Дебая можно также воспроизвести с помощью теоремы для описания наложения спектров . Для этого вывода используется теорема отсчетов Найквиста–Шеннона , главное отличие которой в том, что в случае одномерной цепи дискретизация происходит не во времени, а в пространстве.

Частоту отсечки можно определить из длины волны отсечки. Из теоремы о дискретизации мы знаем, что для длин волн, меньших , или удвоенных расстояний дискретизации, каждая мода является повторением моды с длиной волны, большей , поэтому длина волны отсечки должна быть . Это снова приводит к , что делает ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle 2a}$ ${\displaystyle \lambda _{\rm {D}}=2a}$ ${\displaystyle k_{\rm {D}}={\frac {2\pi }{\lambda _{D}}}=\pi /a}$ $${\displaystyle \omega _{\rm {D}}={\frac {\pi v_{\rm {s}}}{a}}.}$$

Не имеет значения, какое дисперсионное соотношение используется, поскольку будет рассчитана одна и та же частота среза.

Смотрите также

• Бозе-газ
• Газ в коробке
• Параметр Грюнайзена
• Температура Блоха – Грюнайзена
• Электросопротивление и проводимость#Температурная зависимость

Ссылки

1. Pohl, RO; Love, WF; Stephens, RB (1973-08-01). Колебания решетки в некристаллических твердых телах (Отчет). Cornell Univ., Ithaca, NY (США). Lab. of Atomic and Solid State Physics.
2. Дебай, Питер (1912). «Zur Theorie der spezifischen Waerme». Аннален дер Физик (на немецком языке). 39 (4): 789–839. Бибкод : 1912АнП...344..789Д. дои : 10.1002/andp.19123441404.
3. Kittel, Charles (2004). Введение в физику твердого тела (8-е изд.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0471415268.
4. Шредер, Дэниел В. «Введение в тепловую физику» Эддисон-Уэсли, Сан-Франциско (2000). Раздел 7.5
5. Хилл, Террелл Л. (1960). Введение в статистическую механику . Рединг, Массачусетс, США: Addison-Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 9780486652429.
6. Oberai, MM; Srikantiah, G (1974). Первый курс термодинамики . Нью-Дели, Индия: Prentice-Hall of India Private Limited. ISBN 9780876920183.
7. Паттерсон, Джеймс Д.; Бейли, Бернард К. (2007). Физика твердого тела: Введение в теорию . Springer. стр. 96–97. ISBN 978-3-540-34933-4.
8. Шульман, Л. М. (2004). «Теплоёмкость водяного льда в межзвёздных или межпланетных условиях». Астрономия и астрофизика . 416 : 187–190. Bibcode : 2004A&A...416..187S. doi : 10.1051/0004-6361:20031746 .
9. Флубахер, П.; Лидбеттер, А. Дж.; Моррисон, Дж. А. (1960). «Теплоемкость льда при низких температурах». Журнал химической физики . 33 (6): 1751. Bibcode : 1960JChPh..33.1751F. doi : 10.1063/1.1731497.
10. В своем учебнике «Кинетическая теория жидкостей» (англ., 1947)
11. Болматов, Д.; Бражкин, В.В.; Траченко, К. (2012). "Фононная теория термодинамики жидкости". Scientific Reports . 2 : 421. arXiv : 1202.0459 . Bibcode :2012NatSR...2E.421B. doi :10.1038/srep00421. PMC 3359528 . PMID  22639729. 
12. Baggioli, M.; Zaccone, A. (2021). «Объяснение удельной теплоты жидкостей на основе мгновенных нормальных мод». Physical Review E. 104 ( 1): 014103. arXiv : 2101.07585 . Bibcode : 2021PhRvE.104a4103B. doi : 10.1103/PhysRevE.104.014103. PMID  34412350.
13. Дебай, П. (1912). «Zur Theorie der spezifischen Wärmen». Аннален дер Физик . 344 (14): 789–839. Бибкод : 1912АнП...344..789Д. дои : 10.1002/andp.19123441404. ISSN  1521-3889.
14. "Одномерное одноатомное твердое тело" (PDF) . Получено 2018-04-27 .
15. Фицпатрик, Ричард (2006). "Удельные теплоёмкости твёрдых тел". Ричард Фицпатрик Техасский университет в Остине . Получено 27.04.2018 .
16. Саймон, Стивен Х. (2013-06-20). Оксфордские основы твердого тела (первое издание). Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 9780199680764. OCLC  859577633.
17. "The Oxford Solid State Basics". podcasts.ox.ac.uk . Получено 2024-01-12 .
18. Шривастава, ГП (2019-07-16). Физика фононов. Routledge. ISBN 978-1-351-40955-1.

Дальнейшее чтение

• Справочник CRC по химии и физике , 56-е издание (1975–1976)
• Шредер, Дэниел В. Введение в теплофизику . Addison-Wesley, Сан-Франциско (2000). Раздел 7.5.

Внешние ссылки

• Экспериментальное определение теплоемкости, тепло- и теплопроводности кварца с использованием криостата.
• Саймон, Стивен Х. (2014) Основы твердотельной физики в Оксфорде (наиболее важные: 1, 2 и 6)