Специальные функции

Математические функции, имеющие устоявшиеся названия и обозначения.

Специальные функции — это особые математические функции , которые имеют более или менее устоявшиеся названия и обозначения из-за их важности в математическом анализе , функциональном анализе , геометрии , физике или других приложениях.

Термин определен на основе консенсуса и, таким образом, не имеет общего формального определения, однако список математических функций содержит функции, которые обычно принимаются как специальные.

Таблицы специальных функций

Многие специальные функции появляются как решения дифференциальных уравнений или интегралы элементарных функций . Поэтому таблицы интегралов ^[1] обычно включают описания специальных функций, а таблицы специальных функций ^[2] включают наиболее важные интегралы; по крайней мере, интегральное представление специальных функций. Поскольку симметрии дифференциальных уравнений существенны как для физики, так и для математики, теория специальных функций тесно связана с теорией групп Ли и алгебр Ли , а также с некоторыми разделами математической физики .

Механизмы символьных вычислений обычно распознают большинство специальных функций.

Обозначения, используемые для специальных функций

Функциями с общепринятыми международными обозначениями являются синус ( ), косинус ( ), экспоненциальная функция ( ) и функция ошибки ( или ). ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \operatorname {erf} }$ ${\displaystyle \operatorname {erfc} }$

Некоторые специальные функции имеют несколько обозначений:

• Натуральный логарифм может обозначаться , , или в зависимости от контекста. ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle \log _{e}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} }$
• Функция тангенса ^{[ сломанный якорь ]} может обозначаться , , или (используется в нескольких европейских языках). ${\displaystyle \tan }$ ${\displaystyle \operatorname {Tan} }$ ${\displaystyle \operatorname {tg} }$
• Арктангенс может обозначаться , , , или . ${\displaystyle \arctan }$ ${\displaystyle \operatorname {atan} }$ ${\displaystyle \operatorname {arctg} }$ ${\displaystyle \tan ^{-1}}$
• Функции Бесселя можно обозначить
  • ${\displaystyle J_{n}(x),}$
  • ${\displaystyle \operatorname {besselj} (n,x),}$
  • ${\displaystyle {\rm {BesselJ}}[n,x].}$

Индексы часто используются для обозначения аргументов, обычно целых чисел. В некоторых случаях в качестве разделителя аргументов используется точка с запятой (;) или даже обратная косая черта (\). Это может запутать перевод на алгоритмические языки.

Верхние индексы могут указывать не только на степень (экспоненту), но и на некоторые другие модификации функции. Примеры (особенно с тригонометрическими и гиперболическими функциями ) включают:

• ${\displaystyle \cos ^{3}(x)}$обычно означает ${\displaystyle (\cos(x))^{3}}$
• ${\displaystyle \cos ^{2}(x)}$обычно , но никогда ${\displaystyle (\cos(x))^{2}}$ ${\displaystyle \cos(\cos(x))}$
• ${\displaystyle \cos ^{-1}(x)}$обычно означает , а не ; это может вызвать путаницу, поскольку значение этого верхнего индекса не соответствует остальным. ${\displaystyle \arccos(x)}$ ${\displaystyle (\cos(x))^{-1}}$

Оценка специальных функций

Большинство специальных функций рассматриваются как функции комплексной переменной. Они являются аналитическими ; описаны особенности и разрезы; известны дифференциальные и интегральные представления, а также доступно разложение в ряд Тейлора или асимптотический ряд . Кроме того, иногда существуют связи с другими специальными функциями; сложная специальная функция может быть выражена в терминах более простых функций. Для оценки могут использоваться различные представления; простейший способ оценки функции — разложение ее в ряд Тейлора. Однако такое представление может сходиться медленно или вообще не сходиться. В алгоритмических языках обычно используются рациональные аппроксимации , хотя они могут вести себя плохо в случае сложных аргументов.

История специальных функций

Классическая теория

В то время как тригонометрия и показательные функции были систематизированы и объединены к восемнадцатому веку, поиск полной и единой теории специальных функций продолжался с девятнадцатого века. Высшей точкой специальной теории функций в 1800–1900 годах была теория эллиптических функций ; трактаты, которые были по существу полными, такие как трактат Таннери и Молка ^[3], изложили все основные тождества теории, используя методы из теории аналитических функций (основанные на комплексном анализе ). В конце века также было очень подробно обсуждено сферические гармоники .

Изменяющиеся и фиксированные мотивы

В то время как чистые математики стремились к широкой теории, выводящей как можно больше известных специальных функций из одного принципа, в течение длительного времени специальные функции были областью прикладной математики . Приложения к физическим наукам и технике определили относительную важность функций. До электронных вычислений важность специальной функции подтверждалась трудоемким вычислением расширенных таблиц значений для легкого поиска , как для знакомых таблиц логарифмов . ( Разностная машина Бэббиджа была попыткой вычислить такие таблицы.) Для этой цели основными методами являются:

• численный анализ , открытие бесконечных рядов или других аналитических выражений, позволяющих производить быстрые вычисления; и
• сведение как можно большего числа функций к заданной функции.

Более теоретические вопросы включают: асимптотический анализ ; аналитическое продолжение и монодромию в комплексной плоскости ; а также принципы симметрии и другие структурные уравнения.

Двадцатый век

В двадцатом веке наблюдалось несколько волн интереса к теории специальных функций. Классический учебник Уиттекера и Уотсона (1902) ^[4] стремился объединить теорию с помощью комплексного анализа; том GN Watson «Трактат о теории функций Бесселя» продвинул методы настолько далеко, насколько это было возможно для одного важного типа, включая асимптотические результаты.

Более поздний проект «Рукопись Бейтмана» под редакцией Артура Эрдейи пытался быть энциклопедическим и появился примерно в то время, когда электронные вычисления выходили на первый план, а табуляция перестала быть главной проблемой.

Современные теории

Современная теория ортогональных многочленов имеет определенную, но ограниченную область применения. Гипергеометрические ряды , которые Феликс Клейн считал важными в астрономии и математической физике , ^[5] стали сложной теорией, требующей более поздней концептуальной организации. Представления групп Ли дают немедленное обобщение сферических функций ; с 1950 года существенные части классической теории были переработаны в терминах групп Ли. Кроме того, работа по алгебраической комбинаторике также возродила интерес к более старым частям теории. Гипотезы Яна Г. Макдональда помогли открыть большие и активные новые области со специальным функциональным ароматом. Разностные уравнения начали занимать свое место рядом с дифференциальными уравнениями в качестве источника специальных функций.

Специальные функции в теории чисел

В теории чисел традиционно изучались некоторые специальные функции, такие как частные ряды Дирихле и модулярные формы . Там отражены почти все аспекты теории специальных функций, а также некоторые новые, такие как вышедшие из чудовищной теории лунного света.

Специальные функции матричных аргументов

Аналоги нескольких специальных функций были определены на пространстве положительно определенных матриц , среди них степенная функция, которая восходит к Атле Сельбергу ^[6] , многомерная гамма-функция ^[7] и типы функций Бесселя ^[8] .

В цифровой библиотеке математических функций NIST есть раздел, посвященный нескольким специальным функциям аргументов матриц. ^[9]

Исследователи

• Джордж Эндрюс
• Ричард Эски
• Гарольд Экстон
• Джордж Гаспер
• Вольфганг Хан
• Мизан Рахман
• Мурад Э.Х. Исмаил
• Том Коорнвиндер
• Валид Аль-Салам
• Деннис Стэнтон
• Теодор С. Чихара
• Джеймс А. Уилсон
• Эрик Кёлинк
• Эрик Рейнс
• Арпад Бариц

Смотрите также

• Список математических функций
• Список специальных функций и эпонимов
• Элементарная функция

Ссылки

1. Градштейн, Израиль Соломонович ; Рыжик, Иосиф Моисеевич ; Геронимус, Юрий Вениаминович ; Цейтлин, Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014 г.]. Цвиллингер, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
2. Абрамовиц, Милтон ; Стиган, Ирен А. (1964). Справочник по математическим функциям. Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов.
3. Таннери, Жюль (1972). Элементы теории эллиптических функций. Челси. ISBN 0-8284-0257-4. OCLC  310702720.
4. Уиттекер, ET; Уотсон, GN (1996-09-13). Курс современного анализа. Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9780511608759. ISBN 978-0-521-58807-2.
5. Виленкин, NJ (1968). Специальные функции и теория представлений групп . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. iii. ISBN 978-0-8218-1572-4.
6. Террас 2016, стр. 44.
7. Террас 2016, стр. 47.
8. Terras 2016, стр. 56 и далее.
9. D. St. P. Richards (nd). "Глава 35 Функции матричного аргумента". Цифровая библиотека математических функций . Получено 23 июля 2022 г.

Библиография

• Эндрюс, Джордж Э .; Аски, Ричард ; Рой, Ранджан (1999). Специальные функции . Энциклопедия математики и ее приложений. Том 71. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-62321-6. МР  1688958.
• Terras, Audrey (2016). Гармонический анализ на симметричных пространствах – пространства более высокого ранга, положительно определенное матричное пространство и обобщения (второе изд.). Springer Nature . ISBN 978-1-4939-3406-5. МР  3496932.
• Уиттекер, ET; Уотсон, GN (1996-09-13). Курс современного анализа . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-58807-2 . 

Внешние ссылки

• Национальный институт стандартов и технологий , Министерство торговли США. Цифровая библиотека математических функций NIST. Архивировано из оригинала 13 декабря 2018 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Специальная функция». MathWorld .
• Онлайн-калькулятор, Онлайн-научный калькулятор с более чем 100 функциями (>=32 цифр, много сложных) (на немецком языке)
• Специальные функции в EqWorld: Мир математических уравнений
• Специальные функции и многочлены Герарда 'т Хоофта и Стефана Ноббенхейса (8 апреля 2013 г.)
• Численные методы для специальных функций, А. Джил, Дж. Сегура, Н. М. Темме (2007).
• Р. Джаганнатхан, (P,Q)-Специальные функции
• Специальные функцииwiki