Магнитный момент электрона

Спин электрона

В атомной физике магнитный момент электрона , или , более конкретно, магнитный дипольный момент электрона , является магнитным моментом электрона , возникающим из его внутренних свойств спина и электрического заряда . Значение магнитного момента электрона (обозначение μ _e ) равно-9,284 764 7043 (28) × 10 ^-24  Дж⋅Т ^-1 . ^[1] В единицах магнетона Бора ( μ _B ) это−1,001 159 652 180 59 (13)  µ _B , ^[2] величина, измеренная с относительной точностью1,3 × 10 ^-13 .

Магнитный момент электрона

Электрон — заряженная частица с зарядом −e , где e — единица элементарного заряда . Его угловой момент возникает в результате двух типов вращения: вращения и орбитального движения . Согласно классической электродинамике , вращающееся распределение электрического заряда создает магнитный диполь , который ведет себя как крошечный стержневой магнит . Одним из следствий является то, что внешнее магнитное поле оказывает крутящий момент на магнитный момент электрона , который зависит от ориентации этого диполя относительно поля.

Если электрон визуализировать как классическое твердое тело, в котором масса и заряд имеют одинаковое распределение и движение, которое вращается вокруг оси с угловым моментом L , его магнитный дипольный момент μ определяется выражением:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {-e}{2m_{\text{e}}}}\,\mathbf {L} \,,}$$

m _eмасса покоя электронамомент Lспиновым магнитным моментом и _{моментом}безразмерныйge , известный как g -фактор

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=g_{\text{e}}\,{\frac {(-e)}{~2m_{\text{e}}~}}\,\mathbf {L} \,.}$$

Обычно магнитный момент выражают через приведенную постоянную Планка ħ и магнетон Бора µ _B :

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}=-g_{\text{e}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {\mathbf {L} }{\hbar }}\,.}$$

Поскольку магнитный момент квантуется в единицах µ _B , соответственно угловой момент квантуется в единицах ħ .

Формальное определение

Однако классические понятия, такие как центр заряда и масса, трудно уточнить для квантовой элементарной частицы. На практике определение, используемое экспериментаторами, исходит из форм-факторов , появляющихся в матричном элементе. ${\displaystyle F_{i}(q^{2})}$

$${\displaystyle \langle p_{f}|j^{\mu }|p_{i}\rangle ={\bar {u}}(p_{f})\left[F_{1}(q^{2})\gamma ^{\mu }+{\frac {~i\sigma ^{\mu \nu }~}{~2\,m_{\text{e}}~}}q_{\nu }F_{2}(q^{2})+i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\sigma _{\rho \sigma }q_{\nu }F_{3}(q^{2})+{\frac {1}{~2\,m_{\text{e}}~}}\left(q^{\mu }-{\frac {q^{2}}{2m}}\gamma ^{\mu }\right)\gamma _{5}F_{4}(q^{2})\right]u(p_{i})}$$

оператора электромагнитного тока между двумя состояниями на оболочке. Здесь и – 4-спинорное решение уравнения Дирака, нормированное так, что , – передача импульса от тока к электрону. Форм -фактор — это заряд электрона, его статический магнитный дипольный момент и формальное определение электрического дипольного момента электрона . Оставшийся форм-фактор , если он не равен нулю, будет анапольным моментом . ${\displaystyle u(p_{i})}$ ${\displaystyle {\bar {u}}(p_{f})}$ ${\displaystyle {\bar {u}}u=2m_{\text{e}}}$ ${\displaystyle q^{\mu }=p_{f}^{\mu }-p_{i}^{\mu }}$ ${\displaystyle q^{2}=0}$ ${\displaystyle F_{1}(0)=-e}$ ${\textstyle \mu ={\frac {1}{2m_{\text{e}}}}(F_{1}(0)+F_{2}(0))}$ ${\textstyle -{\frac {1}{2m_{\text{e}}}}F_{3}(0)}$ ${\displaystyle F_{4}(q^{2})}$

Спиновый магнитный дипольный момент

Спиновый магнитный момент присущ электрону. ^[3] Это

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}}=-g_{\text{s}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {S} ~}{\hbar }}\,.}$$

Здесь S — угловой момент спина электрона. Спиновый g -фактор равен примерно двум: . Коэффициент два указывает на то, что электрон, по-видимому, в два раза эффективнее создает магнитный момент, чем заряженное тело, у которого распределения массы и заряда идентичны. ${\displaystyle g_{\text{s}}\approx 2}$

Спиновый магнитный дипольный момент составляет примерно один мкБ , _{поскольку} электрон является частицей со спином 1/2 ( S = ħ / 2 ) : ${\displaystyle g_{\text{s}}\approx 2}$

z - компонента магнитного момента электрона равна

$${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}})_{z}=-g_{\text{s}}\,\mu _{\text{B}}\,m_{\text{s}}\,,}$$

m _sспиновое квантовое числоµотрицательнаяспинантипараллелен

Спиновый g -фактор g _s = 2 исходит из уравнения Дирака , фундаментального уравнения, связывающего спин электрона с его электромагнитными свойствами. Сведение уравнения Дирака для электрона в магнитном поле к его нерелятивистскому пределу дает уравнение Шредингера с поправочным членом, которое учитывает взаимодействие собственного магнитного момента электрона с магнитным полем, дающим правильную энергию.

Для спина электрона экспериментально установлено наиболее точное значение спинового g -фактора :

-2,002 319 304 362 56 (35) . ^[4]

Обратите внимание, что это лишь незначительно отличается от значения уравнения Дирака. Небольшая поправка известна как аномальный магнитный дипольный момент электрона; оно возникает в результате взаимодействия электрона с виртуальными фотонами в квантовой электродинамике . Триумфом теории квантовой электродинамики является точное предсказание g -фактора электрона . Значение CODATA для магнитного момента электрона равно

-9,284 764 7043 (28) × 10 ^-24  Дж⋅Т ^-1 . ^[1]

Орбитальный магнитный дипольный момент

Вращение электрона вокруг оси через другой объект, например ядро, приводит к возникновению орбитального магнитного дипольного момента. Предположим, что угловой момент орбитального движения равен L . Тогда орбитальный магнитный дипольный момент равен

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{L}=-g_{\text{L}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {L} ~}{\hbar }}\,.}$$

Здесь g _L — орбитальный g -фактор электрона , а µ _B — магнетон Бора . Значение g _L точно равно единице по квантовомеханическому аргументу, аналогичному выводу классического гиромагнитного отношения .

Полный магнитный дипольный момент

Полный магнитный дипольный момент, возникающий как из-за спинового, так и из орбитального угловых моментов электрона, связан с полным угловым моментом J аналогичным уравнением:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{\text{J}}=-g_{\text{J}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {J} ~}{\hbar }}\,.}$$

g -фактор g J _{известен} как g -фактор Ланде , который можно связать с g _L и g _S с помощью квантовой механики. Подробности см. в g -факторе Ланде .

Пример: атом водорода

Для атома водорода , электрона, занимающего атомную орбиталь Ψ _n,ℓ,m  , магнитный дипольный момент определяется выражением

$${\displaystyle \mu _{\text{L}}=-g_{\text{L}}{\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar }}\langle \Psi _{n,\ell ,m}|L|\Psi _{n,\ell ,m}\rangle =-\mu _{\text{B}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}.}$$

Здесь L — орбитальный угловой момент , n , ℓ и m — главное , азимутальное и магнитное квантовые числа соответственно. Z - компонента орбитального магнитного дипольного момента для электрона с магнитным квантовым числом m _ℓ определяется выражением

$${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }}_{\text{L}})_{z}=-\mu _{\text{B}}m_{\ell }.}$$

История

Магнитный момент электрона неразрывно связан со спином электрона, и его гипотеза была впервые высказана в ранних моделях атома в начале двадцатого века. Первым, кто ввел идею спина электрона, был Артур Комптон в своей статье 1921 года об исследовании ферромагнитных веществ с помощью рентгеновских лучей. ^{[5] : 145–155  [6]} В статье Комптона он писал: «Возможно, наиболее естественным и, конечно, наиболее общепринятым взглядом на природу элементарного магнита является то, что вращение электронов на орбитах внутри атома дает атому в целом свойственны свойства крошечного постоянного магнита». ^{[5] : 146} В том же году Отто Штерн предложил эксперимент, проведенный позже, названный экспериментом Штерна-Герлаха, в котором атомы серебра в магнитном поле отклонялись в противоположных направлениях распределения. Этот период до 1925 года ознаменовал собой старую квантовую теорию , построенную на модели атома Бора-Зоммерфельда с его классическими эллиптическими орбитами электронов. В период между 1916 и 1925 годами был достигнут большой прогресс в отношении расположения электронов в таблице Менделеева . Чтобы объяснить эффект Зеемана в атоме Бора, Зоммерфельд предположил, что электроны будут основаны на трех «квантовых числах» n, k и m, которые описывают размер орбиты, форму орбиты и направление куда указывала орбита. ^[7] Ирвинг Ленгмюр в своей статье 1919 года объяснил, что электроны в их оболочках: «Ридберг указал, что эти числа получены из ряда . Множитель два предполагает фундаментальную двукратную симметрию для всех стабильных атомов». ^[8] Эта конфигурация была принята Эдмундом Стоунером в октябре 1924 года в его статье «Распределение электронов среди атомных уровней», опубликованной в «Философском журнале». Вольфганг Паули предположил, что для этого требуется четвертое квантовое число с двузначным значением. ^[9] ${\displaystyle N=2(1+2^{2}+2^{2}+3^{2}+3^{2}+4^{2})}$ ${\displaystyle 2n^{2}}$

Спин электрона в теориях Паули и Дирака

Начиная с этого момента заряд электрона e < 0  . Необходимость введения полуцелого спина экспериментально восходит к результатам эксперимента Штерна-Герлаха . Пучок атомов пропускается через сильное неоднородное магнитное поле, которое затем распадается на N частей в зависимости от собственных угловых моментов атомов. Было обнаружено, что для атомов серебра пучок расщепляется на две части - поэтому основное состояние не может быть целым, потому что даже если бы собственный угловой момент атомов был как можно меньшим, 1, пучок был бы разделен на 3 части. , соответствующий атомам с L _z = −1, 0 и +1. Вывод состоит в том, что атомы серебра имеют чистый собственный угловой момент 1 ⁄ 2 . Паули создал теорию, которая объяснила это расщепление путем введения двухкомпонентной волновой функции и соответствующего поправочного члена в гамильтониан , представляющего квазиклассическую связь этой волновой функции с приложенным магнитным полем, а именно:

$${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\right]^{2}+e\phi .}$$

Здесь A — векторный магнитный потенциал , φ — электрический потенциал , оба представляют _{электромагнитное} поле , а σ = ( σx _, σy , σz ) — матрицы Паули _. При возведении в квадрат первого слагаемого наряду с обычным классическим гамильтонианом заряженной частицы, взаимодействующей с приложенным полем, находится остаточное взаимодействие с магнитным полем:

$${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar }{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} .}$$

Этот гамильтониан теперь представляет собой матрицу размера 2 × 2, поэтому основанное на нем уравнение Шредингера должно использовать двухкомпонентную волновую функцию. Паули представил сигма-матрицы 2 × 2 как чистую феноменологию — у Дирака теперь был теоретический аргумент , который подразумевал, что спин каким-то образом является следствием включения теории относительности в квантовую механику . При введении аналогичным образом внешнего электромагнитного 4-потенциала в уравнение Дирака, известного как минимальная связь , он принимает вид (в натуральных единицах ħ = c = 1)

$${\displaystyle \left[-i\gamma ^{\mu }\left(\partial _{\mu }+ieA_{\mu }\right)+m\right]\psi =0}$$

гамма-матрицыматрицы Диракаiмнимая единица измеренияоператора Диракаiгиромагнитного отношения ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}(mc^{2}-E+e\phi )&c\sigma \cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\\-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)&\left(mc^{2}+E-e\phi \right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}.}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(E-e\phi )\psi _{+}-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{-}&=mc^{2}\psi _{+}\\-(E-e\phi )\psi _{-}+c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{+}&=mc^{2}\psi _{-}\end{aligned}}}$$

Считая поле слабым и движение электрона нерелятивистским, мы имеем полную энергию электрона, примерно равную его энергии покоя , а импульс, приходящий к классическому значению,

$${\displaystyle {\begin{aligned}E-e\phi &\approx mc^{2}\\p&\approx mv\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \psi _{-}\approx {\frac {1}{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{+}}$$

который имеет порядок v ⁄ c - таким образом, при типичных энергиях и скоростях нижние компоненты спинора Дирака в стандартном представлении сильно подавлены по сравнению с верхними компонентами. Подстановка этого выражения в первое уравнение дает после некоторой перестановки

$${\displaystyle \left(E-mc^{2}\right)\psi _{+}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\right]^{2}\psi _{+}+e\phi \psi _{+}}$$

Оператор слева представляет энергию частицы, уменьшенную на ее энергию покоя, которая является классической энергией, поэтому мы восстановим теорию Паули, если отождествим его 2-спинор с верхними компонентами спинора Дирака в нерелятивистском приближении. Дальнейшее приближение дает уравнение Шредингера как предел теории Паули. Таким образом, уравнение Шредингера можно рассматривать как далеко нерелятивистское приближение уравнения Дирака, когда можно пренебречь спином и работать только при низких энергиях и скоростях. Это также было большим триумфом нового уравнения, поскольку оно проследило загадочное i , которое появляется в нем, и необходимость сложной волновой функции вплоть до геометрии пространства-времени через алгебру Дирака. Это также подчеркивает, почему уравнение Шредингера, хотя на первый взгляд оно имеет форму уравнения диффузии, на самом деле представляет собой распространение волн.

Следует особо подчеркнуть, что такое разделение спинора Дирака на большую и малую компоненты явно зависит от низкоэнергетического приближения. Весь спинор Дирака представляет собой неприводимое целое, а компоненты, которыми мы только что пренебрегли, чтобы прийти к теории Паули, приведут к новым явлениям в релятивистском режиме — антиматерии и идее рождения и уничтожения частиц.

В общем случае (если некоторая линейная функция электромагнитного поля не обращается в нуль тождественно) три из четырех компонентов спинорной функции в уравнении Дирака можно алгебраически исключить, что дает эквивалентное уравнение в частных производных четвертого порядка всего для одной компоненты. . Более того, этот оставшийся компонент можно сделать реальным с помощью калибровочного преобразования. ^[10]

Измерение

Существование аномального магнитного момента электрона обнаружено экспериментально методом магнитного резонанса . ^[2] Это позволяет определять сверхтонкое расщепление энергетических уровней электронных оболочек в атомах протия и дейтерия , используя измеренную резонансную частоту для нескольких переходов. ^{[11] [12]}

Магнитный момент электрона измерен с помощью одноэлектронного квантового циклотрона и квантовой неразрушающей спектроскопии. Спиновая частота электрона определяется g -фактором .

$${\displaystyle \nu _{s}={\frac {g}{2}}\nu _{c}}$$

$${\displaystyle {\frac {g}{2}}={\frac {{\bar {\nu }}_{c}+{\bar {\nu }}_{a}}{{\bar {\nu }}_{c}}}}$$

Смотрите также

• Спин (физика)
• Электронное осаждение
• магнетон Бора
• Ядерный магнитный момент
• Магнитный момент нуклона
• Аномальный магнитный дипольный момент
• Электрический дипольный момент электрона
• Тонкая структура
• Сверхтонкая структура

Рекомендации

1. «Значение CODATA 2018: магнитный момент электрона» . Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . НИСТ . 20 мая 2019 года . Проверено 10 сентября 2022 г.
2. Фан, X .; Майерс, Т.Г.; Шукра, Б.А.Д.; Габриэль, Г. (13 февраля 2023 г.). «Измерение магнитного момента электрона». Письма о физических отзывах . 130 (7): 071801. arXiv : 2209.13084 . doi :10.1103/PhysRevLett.130.071801.
3. Махаджан, А.; Рангвала, А. (1989). Электричество и магнетизм. п. 419. ИСБН 9780074602256.
4. «Значение CODATA 2018: фактор g электрона» . Справочник NIST по константам, единицам измерения и неопределенности . НИСТ . 20 мая 2019 года . Проверено 13 марта 2020 г.
5. Комптон, Артур Х. (август 1921 г.). «Магнитный электрон». Журнал Института Франклина . 192 (2). дои : 10.1016/S0016-0032(21)90917-7.
6. Чарльз П. Энц, Приложения квантовой механики Гейзенбергом (1926-33) или заселение новой земли *), Кафедра физики и теории теории Женевского университета, 1211 Женева 4, Швейцария (10 января 1983 г.)
7. Манджит Кумар, Квант: Эйнштейн, Бор и великие дебаты о природе реальности, 2008.
8. Ленгмюр, Ирвинг (1919). «Расположение электронов в атомах и молекулах». Журнал Института Франклина . 187 (3): 359–362. дои : 10.1016/S0016-0032(19)91097-0.
9. Вольфганг Паули. Принцип исключения и квантовая механика. Доступно онлайн по адресу ⟨http://nobelprize.org⟩ ^{[ постоянная мертвая ссылка ]} . Нобелевская лекция, прочитанная 13 декабря 1946 года на вручении Нобелевской премии по физике 1945 года.
10. Ахметели, Андрей (2011). «Одна действительная функция вместо спинорной функции Дирака». Журнал математической физики . 52 (8): 082303. arXiv : 1008.4828 . Бибкод : 2011JMP....52h2303A. дои : 10.1063/1.3624336. S2CID  119331138. Архивировано из оригинала 18 июля 2012 года . Проверено 26 апреля 2012 г.
11. Фоли, HM; Куш, Поликарп (15 февраля 1948 г.). «Собственный момент электрона». Физический обзор . 73 (4): 412. doi :10.1103/PhysRev.73.412. Архивировано из оригинала 8 марта 2021 года . Проверено 2 апреля 2015 г.
12. Куш, Поликарп ; Фоли, HM (1 августа 1948 г.). «Магнитный момент электрона». Физический обзор . 74 (3): 207–11. Бибкод : 1948PhRv...74..250K. doi : 10.1103/PhysRev.74.250. PMID  17820251. Архивировано из оригинала 22 апреля 2021 года . Проверено 2 апреля 2015 г.

Библиография

• Сергей Вонсовский (1975). Магнетизм элементарных частиц. Издательство «Мир».
• Син-Итиро Томонага (1997). История Спина . Издательство Чикагского университета.