Среднетоновые темпераменты — это музыкальные темпераменты , то есть различные системы настройки , полученные путем сужения квинты так, чтобы их соотношение было немного меньше 3:2 (что делает их уже , чем идеальная квинта ), чтобы приблизить трети к чистым. Среднетоновые темпераменты построены аналогично пифагорейской настройке как набор равных квинт, но они являются темпераментами в том смысле, что квинты не являются чистыми.
Равная темперация , полученная путем придания всем полутонам одинакового размера, каждый из которых равен одной двенадцатой октавы (с соотношением корня 12-й степени из 2 к одному ( 12 √ 2 : 1 ), сужает квинты примерно на 2 цента или1/ 12 пифагорейской запятой и дает расстроенные трети, которые лишь немного лучше, чем при пифагорейской настройке. Равный темперамент — это примерно то же самое, что1/ 11 запятая означала настройку.
Четверть запятой означала тон , смягчающий каждую из двенадцати пятых 1 /4Синтоническая запятая - это наиболее известный тип темперамента значащего цвета, и термин « темперамент меданона» часто используется для обозначения его конкретно. Четыре восходящие квинты (как CGDAE ), смягченные 1 /4запятая дает идеальную большую треть ( CE ), на одну синтоническую запятую уже, чем пифагорейская треть, которая получается в результате четырех идеальных пятых . Значение четверти запятой практиковалось с начала 16 века до конца 19 века. Его можно аппроксимировать делением октавы на 31 равный шаг .
Это происходит так же, как настройка по Пифагору ; т. е. он берет основной тон (скажем, C ) и поднимается на шесть последовательных квинт (всегда корректируется путем деления на степени 2 , чтобы оставаться в пределах октавы выше основного тона), и аналогичным образом вниз, на шесть последовательных квинт (приспосабливаясь обратно к октаву путем умножения на степени 2 ). Однако вместо использования 3 /2соотношение, которое дает «идеальные» квинты, его необходимо умножить на корень четвертой степени из 81 /80. ( 81 /80- это «синтоническая запятая»: соотношение только большой трети ( 5 /4) до пифагорейской трети ( 81 /64)) Эквивалентно можно использовать 4 √ 5 вместо 3 /2, чтобы получить слегка уменьшенную пятую часть. В результате интервал CE представляет собой «идеальную треть» ( 5 /4), а промежуточные секунды ( CD , DE ) равномерно делят CE , поэтому DC и ED представляют собой равные отношения, квадрат которых равен 5 /4. То же самое справедливо и для главных вторых последовательностей FGA и GAB . Однако в настройке среднего тона все еще есть «запятая» (т.е. F ♯ и G ♭ имеют разную высоту звука; они не такие, как в 12 TET ). Средняя запятая на самом деле больше, чем пифагорейская, и расположена в противоположном направлении (диез или плоская).
В третьей запятой имеется в виду пятая часть смягчается 1 /3запятая и три нисходящие квинты (например, ADGC ) образуют идеальную второстепенную треть ( AC ), на одну синтоническую запятую шире, чем пифагорейская запятая, которая получается в результате трех чистых квинт . Значение третьей запятой очень хорошо можно аппроксимировать разделением октавы на 19 равных шагов .
Название «средний тон темперамента» происходит от того, что все такие темпераменты имеют только один размер тона, между мажорным тоном (9:8) и минорным тоном (10:9) собственно интонации , которые различаются синтонной запятой . В любой регулярной системе (т. е. со всеми квинтами одинакового размера, кроме одной) [1] весь тон (как CD ) достигается после двух квинт (как CGD ), а основная треть достигается после четырех квинт ( CGDAE ): Таким образом, средний тон составляет ровно половину основной терции среднего тона (в центах или, что эквивалентно, квадратному корню из частоты).
Это один из смыслов, в котором тон является средним; это медианное или промежуточное значение между 10 /9и 9 /8. В частности, это их среднее геометрическое : = 1,1180340 как отношение частот к частотам, эквивалентное 193,156 центам – размеру целого тона в четверть запятой. Однако любой промежуточный тон квалифицируется как «средний» в том смысле, что он является промежуточным, и, следовательно, является действительным выбором для некоторой системы средних тонов.
В случае четверти запятой, означающей тон, кроме того, когда большая треть сужается синтонической запятой, весь тон, следовательно, делается на половину запятой уже, чем мажорный тон только интонации (9:8), или на пол-запятой. запятая шире минорного тона (10:9). Это еще один смысл, в котором весь тон четвертьтоновой темперамента можно считать «средним» тоном; это объясняет, почему значение четверти запятой часто считается образцовым темпераментом значения, поскольку оно находится посередине (в центах ) между его возможными крайностями. [2]
«Меантон» может получить следующие эквивалентные определения:
Семейство средних темпераций имеет общую характеристику: они образуют стопку одинаковых квинт, при этом весь тон (большая секунда) является результатом двух пятых минус одна октава, а большая треть - из четырех пятых минус две октавы. Среднетоновые темпераменты часто описываются долей синтонной запятой, с помощью которой смягчаются квинты: четверть запятой означает тон, наиболее распространенный тип, смягчающий квинты на 1 /4синтонической запятой, в результате чего четыре пятых образуют только большую треть, синтоническую запятую ниже, чем пифагорейскую мажорную треть; третья запятая означает смягчение 1 /3синтонической запятой, три пятых дают только большую шестую часть (и, следовательно, только второстепенную третью), синтоническую запятую ниже, чем пифагорейская.
Средний темперамент — линейный темперамент , отличающийся шириной его образующей (пятой, часто измеряемой в центах ). Исторически известные темпераменты среднего тона, обсуждаемые ниже, занимают узкую часть этого континуума настройки, с квинтами в диапазоне примерно от 695 до 699 центов.
Среднетоновые темпераменты можно указать различными способами: на какую долю (логарифмически) синтонической запятой сглаживается квинта (как указано выше), какой равный темперамент имеет рассматриваемая значащая квинта, ширина темперированной совершенной квинты в центах или отношение всего тона к диатоническому полутону . Это последнее соотношение было названо « R » американским композитором, пианистом и теоретиком Исли Блэквудом , но на самом деле оно использовалось гораздо дольше. [ нужна цитация ] Соотношение полезно, потому что оно дает представление о мелодических качествах настройки, и если R оказывается рациональным числом Н /Д, тогда так и есть 3 Р + 1 / 5 Р + 2 или 3 Н + Д / 5 Н + 2 Д , что дает представление о размере квинты в логарифмах по основанию 2 и сразу говорит нам, какое деление октавы у нас будет. [ нужны разъяснения ]
Если умножить на 1200 центов, получим размер пятой части в центах.
В этом плане ниже перечислены некоторые исторически известные настройки Meantone. Второй и четвертый столбцы соответствуют приближениям первого столбца. Третий столбец показывает, насколько приближение второго столбца близко к фактическому размеру пятого интервала в заданной настройке среднего значения из первого столбца.
Ни одна квинта, ни четверть запятой не означают, что одна квинта является рациональной частью октавы, но существует несколько строев, которые приближают квинту на такой интервал; это подмножество равных темпераций (« N TET »), в которых октава разделена на некоторое количество ( N ) одинаково широких интервалов.
Равные темпераменты, полезные в качестве настройки среднего тона, включают (в порядке увеличения ширины генератора ) 19 TET ( ~+ 1 /3запятая), 50 ТЕТ ( ~+ 2 /7запятая), 31 ТЕТ ( ~+ 1 /4запятая), 43 ТЕТ ( ~+ 1 /5запятая) и 55 ТЕТ ( ~+ 1 /6запятая). Однако чем дальше настройка отклоняется от четверти запятой, тем меньше она связана с гармоническими тембрами, что можно преодолеть путем смягчения частичных звуков для соответствия настройке - что, однако, возможно только на электронных синтезаторах. [3]
Целое количество просто идеальных квинт никогда не составит целое число октав, потому что log 2 3 — иррациональное число. Если сложенное целое количество идеальных квинт слишком близко к октаве, то один из интервалов, энгармонически эквивалентный квинте, должен иметь ширину, отличную от других квинт. Например, чтобы сделать 12-нотную хроматическую гамму в пифагорейской настройке близкой к октаве, один из пятых интервалов должен быть понижен («расстроен») на пифагорейскую запятую ; эта измененная квинта называется « волчьей квинтой », потому что по размеру интервала она похожа на квинту и кажется расстроенной квинтой, но на самом деле это уменьшенная секста (например, между G ♯ и E ♭ ). Точно так же 11 из 12 идеальных четвертей также настроены, но оставшаяся четверть представляет собой увеличенную треть (а не настоящую кварту).
Интервалы Вольфа — это результат конструкции клавиатуры, и клавишники, использующие клавишу, которая на самом деле настроена на другую высоту, чем предполагалось. [4] Проще всего это можно продемонстрировать с помощью изоморфной клавиатуры , такой как показанная на рисунке 2.
На изоморфной клавиатуре любой музыкальный интервал имеет одинаковую форму везде, где бы он ни появлялся, кроме краев. Вот пример. На клавиатуре, показанной на рисунке 2, из любой ноты нота, которая на одну квинту выше, всегда находится рядом с данной нотой вверх и вправо. В диапазоне нот этой клавиатуры нет волчьих интервалов. Проблема в самом краю, на ноте E ♯ . Нота, которая на идеальную квинту выше, чем E ♯, — это B ♯ , которая не включена в показанную клавиатуру (хотя ее можно включить в более крупную клавиатуру, расположенную справа от A ♯ , что позволяет сохранить согласованный рисунок нот на клавиатуре). ). Поскольку кнопка B ♯ отсутствует , при игре пауэр-аккорда E ♯ (открытого пятого аккорда) необходимо выбрать другую ноту, например C , для игры вместо отсутствующей B ♯ .
Даже краевые условия создают волчьи интервалы только в том случае, если изоморфная клавиатура имеет меньше кнопок на октаву, чем энгармонически различимые ноты в настройке (Milne 2007 ). Например, изоморфная клавиатура на рисунке 2 имеет 19 кнопок на октаву, поэтому вышеупомянутое краевое условие от E ♯ до C не является волчьим интервалом в 12 тонах равной темперации ( TET ), 17 TET или 19 TET . ; однако это интервал волка в 26 TET , 31 TET и 50 ET. В этих последних настройках использование электронного транспонирования может сохранить ноты текущей клавиши на белых кнопках изоморфной клавиатуры, так что эти волчьи интервалы будут очень редко встречаться в тональной музыке, несмотря на модуляцию экзотических клавиш. [5]
Изоморфные клавиатуры изоморфно раскрывают инвариантные свойства средних строев синтонического темперамента (то есть, например, раскрывая заданный интервал с одной последовательной формой между кнопками в каждой октаве, клавише и настройке), поскольку и изоморфная клавиатура, и темперамент — это двумерные сущности ( т. е . ранга 2 ) (Milne 2007 ). Одномерные клавиатуры с N клавишами (где N — некоторое число) могут точно отображать инвариантные свойства только одной одномерной настройки в N TET ; следовательно, одномерная клавиатура в стиле фортепиано с 12 клавишами на октаву может раскрыть инвариантные свойства только одной настройки: 12 TET .
Когда идеальная квинта имеет ширину ровно 700 центов (т.1/11синтонной запятой, или точно1/12пифагорейской запятой), то строй идентичен знакомому 12-тональному равнотемперированному . Это показано в таблице выше, когда R = 2:1 .
Из-за компромиссов (и волчьих интервалов), навязанных одномерной клавиатурой в стиле фортепиано, хорошие темпераменты и, в конечном итоге, равный темперамент стали более популярными.
Используя стандартные названия интервалов, двенадцать пятых равны шести октавам плюс одна увеличенная седьмая ; семь октав равны одиннадцати пятым плюс одна уменьшенная шестая . Учитывая это, три «малые трети» на самом деле представляют собой увеличенные секунды (например, от B ♭ до C ♯ ), а четыре «большие трети» фактически представляют собой уменьшенные четверти (например, от B до E ♭ ). Некоторые трезвучия (например, B E ♭ F ♯ и B ♭ C ♯ F ) содержат оба этих интервала и имеют нормальные квинты.
Все средние настройки попадают в допустимый диапазон настройки синтонической темперации , поэтому все средние настройки являются синтоническими настройками. Все синтонические строи, включая средние тона и различные справедливые интонации , предположительно имеют бесконечное количество нот в каждой октаве, то есть семь естественных нот, семь диезов (от F ♯ до B ♯ ), семь бемольных нот (от B ♭ до F) . ♭ ) (это предел оркестровой арфы , допускающий 21 тон в октаве); затем двойные диезы, двойные бемоли, тройные диезы и бемоли и так далее. На самом деле, двойные диезы и бемоли встречаются редко, но все же необходимы; тройные диезы и бемоли почти никогда не встречаются. В любой синтонической настройке, которая делит октаву на небольшое количество одинаково широких наименьших интервалов (например, 12 , 19 или 31 ), эта бесконечность нот все еще существует, хотя некоторые ноты будут эквивалентны. Например, в 19 ET E ♯ и F ♭ имеют одинаковую высоту звука; и в просто интонации до мажор , C ♯ D
находятся в пределах 8,1 ¢ , поэтому их можно закалить до идентичности.
Многие музыкальные инструменты способны очень тонко различать высоту звука, например человеческий голос, тромбон, струны без ладов, такие как скрипка, и лютни со связанными ладами. Эти инструменты хорошо подходят для использования средних строев.
С другой стороны, клавиатура фортепиано имеет только двенадцать физических устройств управления нотами на октаву, что делает ее плохо подходящей для любых строев, кроме 12 ET. Почти все исторические проблемы, связанные с темпераментом митон, вызваны попыткой сопоставить бесконечное количество нот митона на октаву с конечным числом клавиш фортепиано. Это, например, источник рассмотренной выше «волчьей пятой». Выбирая, какие ноты сопоставить черным клавишам фортепиано, удобно выбирать те ноты, которые являются общими для небольшого числа тесно связанных клавиш, но это будет работать только до края октавы; при переходе к следующей октаве необходимо использовать «волчью квинту», которая не такая широкая, как другие, как обсуждалось выше.
Существование «волчьей квинты» является одной из причин, почему до появления хорошего темперамента инструментальная музыка обычно оставалась в ряде «безопасных» тональностей, не включающих «волчью квинту» (которая обычно располагалась между G и G ). ♯ и Е ♭ ).
На протяжении всего периода Возрождения и Просвещения такие разные теоретики, как Никола Висентино , Франсиско де Салинас , Фабио Колонна , Марин Мерсенн , Христиан Гюйгенс и Исаак Ньютон , выступали за использование средних тональных настроек, выходящих за пределы двенадцати нот клавиатуры, [6] [7] [8] и поэтому стали называться «расширенными» средними настройками. Эти усилия потребовали соответствующего расширения клавишных инструментов, чтобы предложить средства управления более чем 12 нотами на октаву, включая Арчицембало Винченто , клавесин 19 ET Мерсенна, самбуку 31 ET Колонны и клавесин 31 ET Гюйгенса. [9] Другие инструменты расширили клавиатуру всего на несколько нот. Некоторые старинные клавесины и органы имеют разделенные клавиши D ♯ / E ♭ , так что можно играть как ми мажор / до ♯ минор (4 диеза), так и ми ♭ мажор / до минор ( 3 бемоля) без волчьих пятен. Многие из этих инструментов также имеют разделенные клавиши G ♯ / A ♭ , а у некоторых все пять случайных клавиш разделены.
Все эти альтернативные инструменты были «сложными» и «громоздкими» (Isacoff 2003 ) из-за
что может значительно уменьшить количество кнопок управления нотами, необходимых на изоморфной клавиатуре (Plamondon 2009 ). Оба этих критических замечания можно было бы устранить с помощью электронных изоморфных клавишных инструментов (таких как аппаратная глушилка с открытым исходным кодом ), которые могли бы быть проще, менее громоздкими и более выразительными, чем существующие клавишные инструменты. [10]
Ссылки на системы настройки, которые, возможно, могли относиться к митону, были опубликованы еще в 1496 году ( Гаффуриус ). [11] Арон (1523) безошибочно обсуждал означающее значение четверти запятой, [12] однако первые математически точные описания настройки означающего значения можно найти в трактатах конца 16 века Зарлино [13] и де Салинаса . [14] Оба этих автора описали 1 /4запятая, 1 /3запятая и 2 /7системы запятая означают. Фольяно упомянул систему четверти запятой, но не стал ее обсуждать. [ нужна цитата ]
Конечно, система значений четверти запятой (или любая другая система значений) не могла быть реализована с полной точностью намного позже, поскольку устройств, которые могли бы точно измерять частоты основного тона, не существовало до середины 19 века. Но настройщики могли бы использовать тот же самый метод, который до недавнего времени использовали настройщики «на слух»: повышаться на квинты и на октавы вниз, или вниз на квинты и вверх на октавы, и «умерять» квинты, чтобы они «слегка "меньше, чем просто3/ 2 соотношения.
Для 12-тональной равномерно темперированной настройки их придется темперировать чуть меньше, чем на " .1/4запятая», поскольку они должны образовывать идеальный цикл без запятой в конце, тогда как настройка среднего тона все еще имеет остаточную запятую.
То, как тюнеры могут надежно идентифицировать «четвертную запятую» на слух, немного более тонкое. Поскольку это составляет около 0,3% от частоты, которая около середины C (~ 264 Гц) составляет около одного герца , они могли бы сделать это, используя идеальные квинты в качестве эталона и регулируя темперированную ноту для получения долей с этой частотой. Однако частоту ударов придется слегка отрегулировать пропорционально частоте ноты.
В прошлом средние темпераменты иногда использовались или назывались под другими именами или описаниями. Например, в 1691 году Гюйгенс [15] ввёл, по его мнению, новое деление октавы. Он несколько раз в сравнительной форме ссылался на обычное устройство настройки, которое он называл по-разному как «обычный темперамент» или «тот, который используют все». [15] Но описание этого традиционного расположения, данное Гюйгенсом, было весьма точным и явно представляет собой то, что сейчас называют четверть запятой, означающей темперамент. [16]
Хотя медан наиболее известен как среда настройки, связанная с более ранней музыкой эпохи Возрождения и барокко, есть свидетельства постоянного использования митонона в качестве темперамента клавиатуры вплоть до середины 19 века.
Темперамент Meantone значительно возродился в исполнении старинной музыки в конце 20-го века, а также в недавно написанных произведениях, особенно требующих среднего тона таких композиторов, как Адамс , Лигети и Лиди .
{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )