На обычном языке среднее значение — это одно число или значение, которое наилучшим образом представляет набор данных. Типом среднего значения, который обычно принимается как репрезентативный для списка чисел, является среднее арифметическое — сумма чисел, деленная на количество чисел в списке. Например, среднее значение чисел 2, 3, 4, 7 и 9 (в сумме дающее 25) равно 5. В зависимости от контекста наиболее репрезентативной статистикой, которая будет принята в качестве среднего, может быть другая мера центральной тенденции , такая как средний диапазон , медиана , мода или геометрическое среднее . Например, средний личный доход часто указывается как медиана — число, ниже которого находится 50% личных доходов, и выше которого находится 50% личных доходов, — потому что среднее значение будет выше, если включить личные доходы нескольких миллиардеров . По этой причине рекомендуется избегать использования слова «среднее» при обсуждении мер центральной тенденции и указывать, какой тип меры среднего используется.
Если все числа в списке являются одним и тем же числом, то их среднее также равно этому числу. Это свойство является общим для каждого из многих типов среднего.
Другим универсальным свойством является монотонность : если два списка чисел A и B имеют одинаковую длину, и каждый элемент списка A по крайней мере такой же большой, как соответствующий элемент списка B , то среднее значение списка A по крайней мере равно среднему значению списка B. Кроме того, все средние значения удовлетворяют линейной однородности : если все числа списка умножить на одно и то же положительное число, то его среднее значение изменится на один и тот же множитель.
В некоторых типах среднего значения элементам в списке назначаются разные веса до определения среднего значения. К ним относятся взвешенное арифметическое среднее , взвешенное геометрическое среднее и взвешенная медиана . Кроме того, для некоторых типов скользящего среднего значение элемента зависит от его положения в списке. Однако большинство типов среднего значения удовлетворяют условию нечувствительности к перестановкам : все элементы учитываются одинаково при определении их среднего значения, а их положения в списке не имеют значения; среднее значение (1, 2, 3, 4, 6) такое же, как и у (3, 2, 6, 4, 1).
Среднее арифметическое , среднее геометрическое и среднее гармоническое известны под общим названием « пифагорейские средние» .
Мода , медиана и средний диапазон часто используются в дополнение к среднему значению в качестве оценок центральной тенденции в описательной статистике . Все они могут рассматриваться как минимизирующие вариацию в некоторой мере; см. Центральная тенденция § Решения вариационных проблем .
Наиболее часто встречающееся число в списке называется модой. Например, мода списка (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4) — это 3. Может случиться, что есть два или более чисел, которые встречаются одинаково часто и чаще, чем любое другое число. В этом случае нет согласованного определения моды. Некоторые авторы говорят, что все они являются модами, а некоторые говорят, что моды нет.
Медиана — это среднее число в группе, если они ранжированы по порядку. (Если число чисел четное, берется среднее значение двух средних чисел.)
Таким образом, чтобы найти медиану, упорядочьте список в соответствии с величиной его элементов, а затем многократно удаляйте пару, состоящую из самого высокого и самого низкого значений, пока не останется одно или два значения. Если осталось ровно одно значение, это медиана; если два значения, медиана является средним арифметическим этих двух. Этот метод берет список 1, 7, 3, 13 и приказывает ему читать 1, 3, 7, 13. Затем 1 и 13 удаляются, чтобы получить список 3, 7. Поскольку в этом оставшемся списке два элемента, медиана является их средним арифметическим, (3 + 7)/2 = 5.
Средний диапазон — это среднее арифметическое самого высокого и самого низкого значений набора.
Таблица математических символов поясняет используемые ниже символы.
Другие более сложные средние значения: тримедианное , тримедианное и нормализованное среднее с их обобщениями. [1]
Можно создать собственную среднюю метрику, используя обобщенное f -среднее :
где f — любая обратимая функция. Гармоническое среднее — пример этого, использующий f ( x ) = 1/ x , а геометрическое среднее — другой пример, использующий f ( x ) = log x .
Однако этот метод генерации средних значений недостаточно общий, чтобы охватить все средние значения. Более общий метод [2] [ неудачная проверка ] для определения среднего значения берет любую функцию g ( x 1 , x 2 , ..., x n ) списка аргументов, которая является непрерывной , строго возрастающей по каждому аргументу и симметричной (инвариантной относительно перестановки аргументов). Тогда среднее значение y — это значение, которое при замене каждого члена списка приводит к тому же значению функции: g ( y , y , ..., y ) = g ( x 1 , x 2 , ..., x n ) . Это наиболее общее определение по-прежнему охватывает важное свойство всех средних значений, заключающееся в том, что среднее значение списка идентичных элементов является самим этим элементом. Функция g ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = x 1 + x 2 + ··· + x n дает среднее арифметическое. Функция g ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = x 1 x 2 ··· x n (где элементы списка являются положительными числами) обеспечивает геометрическое среднее. Функция g ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = ( x 1 −1 + x 2 −1 + ··· + x n −1 ) −1 ) (где элементы списка являются положительными числами) обеспечивает гармоническое среднее. [2]
Тип среднего, используемый в финансах, — это средняя процентная доходность. Это пример геометрического среднего. Когда доходность годовая, она называется сложным годовым темпом роста (CAGR). Например, если мы рассматриваем период в два года, и инвестиционная доходность в первый год составляет −10%, а доходность во второй год составляет +60%, то среднюю процентную доходность или CAGR, R , можно получить, решив уравнение: (1 − 10%) × (1 + 60%) = (1 − 0,1) × (1 + 0,6) = (1 + R ) × (1 + R ) . Значение R , которое делает это уравнение верным, составляет 0,2 или 20%. Это означает, что общая доходность за двухлетний период такая же, как если бы каждый год был рост на 20%. Порядок лет не имеет значения — средний процент доходности +60% и −10% — это тот же результат, что и для −10% и +60%.
Этот метод можно обобщить на примеры, в которых периоды не равны. Например, рассмотрим период в полгода, для которого доходность составляет −23%, и период в два с половиной года, для которого доходность составляет +13%. Средняя процентная доходность для объединенного периода — это доходность за один год, R , которая является решением следующего уравнения: (1 − 0,23) 0,5 × (1 + 0,13) 2,5 = (1 + R ) 0,5+2,5 , что дает среднюю доходность R 0,0600 или 6,00%.
Учитывая временной ряд , такой как ежедневные цены на фондовом рынке или годовые температуры, люди часто хотят создать более сглаженный ряд. [3] Это помогает показать основные тенденции или, возможно, периодическое поведение. Простым способом сделать это является скользящее среднее : выбирается число n и создается новый ряд, беря арифметическое среднее первых n значений, затем продвигаясь вперед на одну позицию, отбрасывая самое старое значение и вводя новое значение на другом конце списка, и так далее. Это самая простая форма скользящего среднего. Более сложные формы включают использование взвешенного среднего . Взвешивание может использоваться для усиления или подавления различного периодического поведения, и в литературе по фильтрации существует очень обширный анализ того, какие веса использовать . В цифровой обработке сигналов термин «скользящее среднее» используется даже тогда, когда сумма весов не равна 1,0 (поэтому выходной ряд представляет собой масштабированную версию средних). [4] Причина этого в том, что аналитик обычно интересуется только тенденцией или периодическим поведением.
Первое зафиксированное время, когда среднее арифметическое было расширено с 2 до n случаев для использования оценки, было в шестнадцатом веке. С конца шестнадцатого века и далее, он постепенно стал общепринятым методом для использования для уменьшения ошибок измерения в различных областях. [5] [6] В то время астрономы хотели узнать реальное значение из шумного измерения, такого как положение планеты или диаметр Луны. Используя среднее значение нескольких измеренных значений, ученые предположили, что ошибки составляют относительно небольшое число по сравнению с общей суммой всех измеренных значений. Метод взятия среднего для уменьшения ошибок наблюдения действительно был в основном разработан в астрономии. [5] [7] Возможным предшественником среднего арифметического является средний диапазон (среднее из двух крайних значений), используемый, например, в арабской астрономии девятого-одиннадцатого веков, а также в металлургии и навигации. [6]
Однако существуют различные более старые неясные ссылки на использование среднего арифметического (которые не столь ясны, но могут иметь отношение к нашему современному определению среднего). В тексте 4-го века было написано, что (текст в квадратных скобках — возможный отсутствующий текст, который может прояснить значение): [8]
Существуют даже более ранние потенциальные ссылки. Существуют записи, что примерно с 700 г. до н. э. торговцы и грузоотправители согласились, что ущерб грузу и кораблю (их «вклад» в случае повреждения морем) должен быть разделен поровну между ними. [7] Это могло быть рассчитано с использованием среднего значения, хотя, похоже, нет прямой записи о расчете.
Корень встречается в арабском языке как عوار ʿawār , дефект или что-либо дефектное или поврежденное, включая частично испорченный товар; и عواري ʿawārī (также عوارة ʿawāra ) = «относящийся к ʿawār , состояние частичного повреждения». [a] В западных языках история слова начинается в средневековой морской торговле на Средиземном море. Генуя, 12-й и 13-й века Латинское avaria означало «ущерб, потеря и ненормальные расходы, возникающие в связи с торговым морским путешествием»; и то же значение avaria имело в Марселе в 1210 году, Барселоне в 1258 году и Флоренции в конце 13-го века. [b] Французское слово avarie 15-го века имело то же значение, и оно породило английское "averay" (1491) и английское "average" (1502) с тем же значением. Сегодня итальянское avaria , каталонское avaria и французское avarie по-прежнему имеют основное значение "ущерб". Огромная трансформация значения в английском языке началась с практики в позднесредневековых и ранних современных западных торговых морских договорах, согласно которым, если судно попадало в сильный шторм и часть товаров приходилось выбрасывать за борт, чтобы сделать судно легче и безопаснее, то все торговцы, чьи товары находились на судне, должны были пострадать пропорционально (а не те, чьи товары были выброшены за борт); и, в более общем смысле, должно было быть пропорциональное распределение любого avaria . Оттуда это слово было принято британскими страховщиками, кредиторами и торговцами для обозначения своих убытков, распределенных по всему их портфелю активов и имеющих среднюю пропорцию. Современное значение развилось из этого и началось в середине 18-го века и началось в английском языке. [б] [9]
Морской ущерб является либо частной аварией , которая ложится только на владельца поврежденного имущества, либо общей аварией , когда владелец может требовать пропорционального вклада от всех сторон морского предприятия. Тип расчетов, используемых при корректировке общей аварии, привел к использованию термина «среднее» в значении «среднее арифметическое».
Второе английское использование, задокументированное еще в 1674 году и иногда записываемое как «averish», относится к остаткам и вторичному росту полевых культур, которые считались пригодными для потребления рабочими животными («avers»). [10]
Существует более раннее (по крайней мере с XI века), не связанное с этим использование этого слова. Похоже, это старый юридический термин для обозначения обязанности арендатора отработать день шерифу, вероятно, англицированный от "avera", найденного в английской Книге Страшного суда (1085).
Однако в Оксфордском словаре английского языка говорится, что производные от немецкого hafen haven и арабского ʿawâr loss, damage были «вполне устранены», и само слово имеет романское происхождение. [11]
Из-за вышеупомянутой разговорной природы термина «среднее» этот термин может использоваться для запутывания истинного значения данных и предложения различных ответов на вопросы, основанных на используемом методе усреднения (чаще всего арифметическом среднем, медиане или моде). В своей статье «Framed for Liing: Statistics as In/Artistic Proof» преподаватель Питтсбургского университета Дэниел Либертц отмечает, что по этой причине статистическая информация часто исключается из риторических аргументов. [12] Однако из-за их убедительной силы средние значения и другие статистические значения не следует полностью отбрасывать, а вместо этого использовать и интерпретировать с осторожностью. Либертц призывает нас критически относиться не только к статистической информации, такой как средние значения, но и к языку, используемому для описания данных и их использования, говоря: «Если статистика полагается на интерпретацию, ораторы должны приглашать свою аудиторию к интерпретации, а не настаивать на интерпретации». [12] Во многих случаях предоставляются данные и конкретные расчеты, чтобы помочь облегчить эту интерпретацию, основанную на аудитории.
![{\displaystyle y=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\left[f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots +f(x_{n})\right]\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fea48be50f3fe5836ae433848e3e4ca0c9827a5)
