Стабильное распределение количества

Распределение вероятностей

В теории вероятностей стабильное распределение количества является сопряженным априорным распределением одностороннего стабильного распределения . Это распределение было обнаружено Стивеном Лином (китайский: 藺鴻圖) в его исследовании дневных распределений S&P 500 и VIX в 2017 году . ^[1] Семейство стабильных распределений также иногда называют альфа-стабильным распределением Леви , в честь Поля Леви , первого математика, который его изучал. ^[2]

Из трех параметров, определяющих распределение, параметр устойчивости является наиболее важным. Устойчивые распределения счетов имеют . Известный аналитический случай связан с распределением VIX (см. раздел 7 ^[1] ). Все моменты конечны для распределения. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 0<\alpha <1}$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$

Определение

Его стандартное распределение определяется как

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {1}{\nu }}\right),}$

где и ${\displaystyle \nu >0}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1.}$

Его семейство масштабов местоположения определяется как

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}{\frac {1}{\nu -\nu _{0}}}L_{\alpha }\left({\frac {\theta }{\nu -\nu _{0}}}\right),}$

где , , и ${\displaystyle \nu >\nu _{0}}$ ${\displaystyle \theta >0}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1.}$

В приведенном выше выражении есть одностороннее устойчивое распределение , ^[3] которое определяется следующим образом. ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$

Пусть — стандартная устойчивая случайная величина , распределение которой характеризуется соотношением , тогда имеем ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)=f(x;\alpha ,1,\cos \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)^{1/\alpha },0),}$

где . ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

Рассмотрим сумму Леви , где , тогда имеет плотность , где . Положим , получим без константы нормировки. ${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}\sim L_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\textstyle {\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {x}{\nu }}\right)}$ ${\textstyle \nu =N^{1/\alpha }}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$

Причину, по которой это распределение называется «стабильным счетом», можно понять из соотношения . Обратите внимание, что это «счет» суммы Леви. При фиксированном , это распределение дает вероятность совершения шагов для прохождения одной единицы расстояния. ${\displaystyle \nu =N^{1/\alpha }}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle N}$

Интегральная форма

На основе интегральной формы и имеем интегральную форму как ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle q=\exp(-i\alpha \pi /2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )&={\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}{\frac {1}{\nu }}\sin({\frac {t}{\nu }})\sin(-{\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,dt,{\text{ or }}\\&={\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}{\frac {1}{\nu }}\cos({\frac {t}{\nu }})\cos({\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,dt.\\\end{aligned}}}$

На основе двойного синусоидального интеграла, приведенного выше, это приводит к интегральной форме стандартной функции распределения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{\alpha }(x)&={\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{x}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}{\frac {1}{\nu }}\sin({\frac {t}{\nu }})\sin(-{\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,dt\,d\nu \\&=1-{\frac {2}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}\sin(-{\text{Im}}(q)\,t^{\alpha })\,{\text{Si}}({\frac {t}{x}})\,dt,\\\end{aligned}}}$

где - интегральная функция синуса. ${\displaystyle {\text{Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}$

Представительство Райта

В разделе «Представление ряда» показано, что устойчивое распределение счетов является частным случаем функции Райта (см. раздел 4 в ^[4] ):

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {1}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}W_{-\alpha ,0}(-\nu ^{\alpha }),\,{\text{where}}\,\,W_{\lambda ,\mu }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\mu )}}.}$

Это приводит к интегралу Ганкеля: (на основе (1.4.3) из ^[5] )

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {1}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{Ha}e^{t-(\nu t)^{\alpha }}\,dt,\,}$где Ha представляет собой контур Ганкеля .

Альтернативный вывод – лямбда-разложение

Другой подход к получению устойчивого распределения количества состоит в использовании преобразования Лапласа одностороннего устойчивого распределения (раздел 2.4 ^[1] ).

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-zx}L_{\alpha }(x)\,dx=e^{-z^{\alpha }},}$где . ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

Пусть , и можно разложить интеграл в левой части как произведение стандартного распределения Лапласа и стандартного устойчивого распределения счета, ${\displaystyle x=1/\nu }$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}e^{-|z|^{\alpha }}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-|z|/\nu }\right)\left({\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {1}{\nu }}\right)\right)\,d\nu =\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-|z|/\nu }\right){\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )\,d\nu ,}$

где . ${\displaystyle z\in {\mathsf {R}}}$

Это называется «лямбда-разложением» (см. раздел 4 ^[1] ), поскольку LHS в предыдущих работах Лихна именовалось «симметричным лямбда-распределением». Однако у него есть несколько более популярных названий, таких как « экспоненциальное распределение мощности » или «обобщенное распределение ошибок/нормальное распределение», часто упоминаемое при  . Это также функция выживания Вейбулла в технике надежности . ${\displaystyle \alpha >1}$

Лямбда-разложение является основой структуры доходности активов по устойчивому закону Лина. LHS — это распределение доходности активов. В RHS распределение Лапласа представляет лепкуртотический шум, а стабильное распределение счета представляет волатильность.

Стабильное распределение Vol

Вариант стабильного распределения количества называется стабильным распределением объема . Преобразование Лапласа может быть повторно выражено в терминах гауссовой смеси (см. раздел 6 в ^[4] ). Оно выводится из лямбда-разложения выше путем замены переменной таким образом, что ${\displaystyle V_{\alpha }(s)}$ ${\displaystyle e^{-|z|^{\alpha }}}$ ${\displaystyle V_{\alpha }(s)}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}e^{-|z|^{\alpha }}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}e^{-(z^{2})^{\alpha /2}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\left({\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}(z/s)^{2}}\right)V_{\alpha }(s)\,ds,}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\alpha }(s)&=\displaystyle {\frac {{\sqrt {2\pi }}\,\Gamma ({\frac {2}{\alpha }}+1)}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\,{\mathfrak {N}}_{\frac {\alpha }{2}}(2s^{2}),\,\,0<\alpha \leq 2\\&=\displaystyle {\frac {\sqrt {2\pi }}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\,W_{-{\frac {\alpha }{2}},0}\left(-{({\sqrt {2}}s)}^{\alpha }\right)\end{aligned}}}$

Это преобразование называется обобщенным преобразованием Гаусса, поскольку оно обобщает преобразование Гаусса-Лапласа, которое эквивалентно . ${\displaystyle V_{1}(s)=2{\sqrt {2\pi }}\,{\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(2s^{2})=s\,e^{-s^{2}/2}}$

Связь с гамма- и пуассоновским распределениями

Параметр формы гамма-распределений и распределений Пуассона связан с обратной величиной параметра устойчивости Леви . Верхняя регуляризованная гамма-функция может быть выражена как неполный интеграл от ${\displaystyle 1/\alpha }$ ${\displaystyle Q(s,x)}$ ${\displaystyle e^{-{u^{\alpha }}}}$

$${\displaystyle Q({\frac {1}{\alpha }},z^{\alpha })={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\displaystyle \int _{z}^{\infty }e^{-{u^{\alpha }}}\,du.}$$

Заменяя разложением и выполняя один интеграл, имеем: ${\displaystyle e^{-{u^{\alpha }}}}$

$${\displaystyle Q({\frac {1}{\alpha }},z^{\alpha })=\displaystyle \int _{z}^{\infty }\,du\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left(e^{-u/\nu }\right)\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }\left(\nu \right)\,d\nu =\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(e^{-z/\nu }\right)\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }\left(\nu \right)\,d\nu .}$$

Возвращаясь к , приходим к разложению в терминах устойчивого количества: ${\displaystyle ({\frac {1}{\alpha }},z^{\alpha })}$ ${\displaystyle (s,x)}$ ${\displaystyle Q(s,x)}$

$${\displaystyle Q(s,x)=\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{\left(-{x^{s}}/{\nu }\right)}\,{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(\nu \right)\,d\nu .\,\,(s>1)}$$

Дифференцируя по , приходим к искомой формуле: ${\displaystyle Q(s,x)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (s)}}x^{s-1}e^{-x}&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left[s\,x^{s-1}e^{\left(-{x^{s}}/{\nu }\right)}\right]\,{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(\nu \right)\,d\nu \\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\left[s\,{\left({\frac {x}{t}}\right)}^{s-1}e^{-{\left(x/t\right)}^{s}}\right]\,\left[{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(t^{s}\right)\,s\,t^{s-1}\right]\,dt\,\,\,(\nu =t^{s})\\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\,{\text{Weibull}}\left({\frac {x}{t}};s\right)\,\left[{\mathfrak {N}}_{{1}/{s}}\left(t^{s}\right)\,s\,t^{s-1}\right]\,dt\end{aligned}}}$

Это в форме распределения произведения . Термин в правой части связан с распределением Вейбулла формы . Следовательно, эта формула связывает стабильное распределение счетов с функцией плотности вероятности гамма-распределения ( здесь ) и функцией массы вероятности распределения Пуассона ( здесь , ). А параметр формы можно рассматривать как обратный параметру устойчивости Леви . ${\displaystyle \left[s\,{\left({\frac {x}{t}}\right)}^{s-1}e^{-{\left(x/t\right)}^{s}}\right]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\rightarrow s+1}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1/\alpha }$

Связь с распределениями Хи и Хи-квадрат

Можно показать, что степени свободы в распределениях хи и хи-квадрат связаны с . Таким образом, первоначальная идея рассмотрения в качестве целочисленного индекса в лямбда-разложении здесь оправдана. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 2/\alpha }$ ${\displaystyle \lambda =2/\alpha }$

Для распределения хи-квадрат это просто, поскольку распределение хи-квадрат является частным случаем гамма-распределения , в том, что . И, как следует из вышесказанного, параметр формы гамма-распределения равен . ${\displaystyle \chi _{k}^{2}\sim {\text{Gamma}}\left({\frac {k}{2}},\theta =2\right)}$ ${\displaystyle 1/\alpha }$

Для распределения хи мы начинаем с его CDF , где . Дифференцируем по , имеем его функцию плотности как ${\displaystyle P\left({\frac {k}{2}},{\frac {x^{2}}{2}}\right)}$ ${\displaystyle P(s,x)=1-Q(s,x)}$ ${\displaystyle P\left({\frac {k}{2}},{\frac {x^{2}}{2}}\right)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{k}(x)={\frac {x^{k-1}e^{-x^{2}/2}}{2^{{\frac {k}{2}}-1}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left[2^{-{\frac {k}{2}}}\,k\,x^{k-1}e^{\left(-2^{-{\frac {k}{2}}}\,{x^{k}}/{\nu }\right)}\right]\,{\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(\nu \right)\,d\nu \\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\left[k\,{\left({\frac {x}{t}}\right)}^{k-1}e^{-{\left(x/t\right)}^{k}}\right]\,\left[{\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(2^{-{\frac {k}{2}}}t^{k}\right)\,2^{-{\frac {k}{2}}}\,k\,t^{k-1}\right]\,dt,\,\,\,(\nu =2^{-{\frac {k}{2}}}t^{k})\\&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\,{\text{Weibull}}\left({\frac {x}{t}};k\right)\,\left[{\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(2^{-{\frac {k}{2}}}t^{k}\right)\,2^{-{\frac {k}{2}}}\,k\,t^{k-1}\right]\,dt\end{aligned}}}$

Эта формула связана с термином . ${\displaystyle 2/k}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {2}{k}}\left(\cdot \right)}$

Связь с обобщенными гамма-распределениями

Обобщенное гамма-распределение — это распределение вероятностей с двумя параметрами формы и является супермножеством гамма-распределения , распределения Вейбулла , экспоненциального распределения и полунормального распределения . Его CDF имеет вид . (Примечание: мы используем вместо для согласованности и во избежание путаницы с .) Дифференцируем по , приходим к формуле распределения произведения: ${\displaystyle P(s,x^{c})=1-Q(s,x^{c})}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle P(s,x^{c})}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{GenGamma}}(x;s,c)&=\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t}}\,{\text{Weibull}}\left({\frac {x}{t}};sc\right)\,\left[{\mathfrak {N}}_{\frac {1}{s}}\left(t^{sc}\right)\,sc\,t^{sc-1}\right]\,dt\,\,(s\geq 1)\end{aligned}}}$

где обозначает PDF обобщенного гамма-распределения, CDF которого параметризована как . Эта формула связана с через член. Член является экспонентой, представляющей вторую степень свободы в пространстве параметров формы. ${\displaystyle {\text{GenGamma}}(x;s,c)}$ ${\displaystyle P(s,x^{c})}$ ${\displaystyle 1/s}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{s}}\left(\cdot \right)}$ ${\displaystyle sc}$

Эта формула является единственной для случая распределения Вейбулла, поскольку должна быть единицей для ; но для того , чтобы существовать, должна быть больше единицы. Когда , является дельта-функцией, и эта формула становится тривиальной. Распределение Вейбулла имеет свой особый способ разложения следующим образом. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle {\text{GenGamma}}(x;1,c)={\text{Weibull}}(x;c)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{s}}\left(\nu \right)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\rightarrow 1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{s}}\left(\nu \right)}$

Подключение к распределению Вейбулла

Для распределения Вейбулла , CDF которого равен , его параметр формы эквивалентен параметру устойчивости Леви . ${\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}\,\,(x>0)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \alpha }$

Аналогичное выражение распределения продукта может быть получено таким образом, что ядро ​​будет либо односторонним распределением Лапласа , либо распределением Рэлея . Оно начинается с дополнительной функции распределения, которая получается из лямбда-разложения: ${\displaystyle F(x;1,\sigma )}$ ${\displaystyle F(x;2,{\sqrt {2}}\sigma )}$

${\displaystyle 1-F(x;k,1)={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,(1-F(x;1,\nu ))\left[\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\mathfrak {N}}_{k}(\nu )\right]\,d\nu ,&1\geq k>0;{\text{or }}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\,(1-F(x;2,{\sqrt {2}}s))\left[{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right)V_{k}(s)\right]\,ds,&2\geq k>0.\end{cases}}}$

Взяв производную от , мы получаем форму распределения произведения распределения Вейбулла PDF как ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\text{Weibull}}(x;k)}$

${\displaystyle {\text{Weibull}}(x;k)={\begin{cases}\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,{\text{Laplace}}({\frac {x}{\nu }})\left[\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\frac {1}{\nu }}{\mathfrak {N}}_{k}(\nu )\right]\,d\nu ,&1\geq k>0;{\text{or }}\\\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{s}}\,{\text{Rayleigh}}({\frac {x}{s}})\left[{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\Gamma \left({\frac {1}{k}}+1\right){\frac {1}{s}}V_{k}(s)\right]\,ds,&2\geq k>0.\end{cases}}}$

где и . ясно, что из условий и . ${\displaystyle {\text{Laplace}}(x)=e^{-x}}$ ${\displaystyle {\text{Rayleigh}}(x)=xe^{-x^{2}/2}}$ ${\displaystyle k=\alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{k}(\nu )}$ ${\displaystyle V_{k}(s)}$

Асимптотические свойства

Для устойчивого семейства распределений важно понимать его асимптотическое поведение. Из ^[3] для малых , ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )&\rightarrow B(\alpha )\,\nu ^{\alpha },{\text{ for }}\nu \rightarrow 0{\text{ and }}B(\alpha )>0.\\\end{aligned}}}$

Это подтверждает . ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(0)=0}$

Для больших , ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )&\rightarrow \nu ^{\frac {\alpha }{2(1-\alpha )}}e^{-A(\alpha )\,\nu ^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}},{\text{ for }}\nu \rightarrow \infty {\text{ and }}A(\alpha )>0.\\\end{aligned}}}$

Это показывает, что хвост экспоненциально затухает на бесконечности. Чем больше , тем сильнее затухание. ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ ${\displaystyle \alpha }$

Этот хвост имеет форму обобщенного гамма-распределения , где в его параметризации , , и . Следовательно, он эквивалентен , чья CDF параметризована как . ${\displaystyle f(x;a,d,p)}$ ${\displaystyle p={\frac {\alpha }{1-\alpha }}}$ ${\displaystyle a=A(\alpha )^{-1/p}}$ ${\displaystyle d=1+{\frac {p}{2}}}$ ${\displaystyle {\text{GenGamma}}({\frac {x}{a}};s={\frac {1}{\alpha }}-{\frac {1}{2}},c=p)}$ ${\displaystyle P\left(s,\left({\frac {x}{a}}\right)^{c}\right)}$

Моменты

N -й момент является -м моментом . Все положительные моменты конечны. Это в некотором роде решает сложную проблему расходящихся моментов в устойчивом распределении. (См. раздел 2.4 ^[1] ) ${\displaystyle m_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ ${\displaystyle -(n+1)}$ ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{n}&=\int _{0}^{\infty }\nu ^{n}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )d\nu ={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{t^{n+1}}}L_{\alpha }(t)\,dt.\\\end{aligned}}}$

Аналитическое решение моментов получается с помощью функции Райта:

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{n}&={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\int _{0}^{\infty }\nu ^{n}W_{-\alpha ,0}(-\nu ^{\alpha })\,d\nu \\&={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{\alpha }})}{\Gamma (n+1)\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}},\,n\geq -1.\\\end{aligned}}}$

где (См. (1.4.28) из ^[5] ) ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }r^{\delta }W_{-\nu ,\mu }(-r)\,dr={\frac {\Gamma (\delta +1)}{\Gamma (\nu \delta +\nu +\mu )}},\,\delta >-1,0<\nu <1,\mu >0.}$

Таким образом, среднее значение равно ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$

${\displaystyle m_{1}={\frac {\Gamma ({\frac {2}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}}$

Дисперсия равна

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\Gamma ({\frac {3}{\alpha }})}{2\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}-\left[{\frac {\Gamma ({\frac {2}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}\right]^{2}}$

А самый низкий момент — при применении . ${\displaystyle m_{-1}={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}}$ ${\displaystyle \Gamma ({\frac {x}{y}})\to y\Gamma (x)}$ ${\displaystyle x\to 0}$

N - й момент устойчивого распределения объема равен ${\displaystyle V_{\alpha }(s)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{n}(V_{\alpha })&=2^{-{\frac {n}{2}}}{\sqrt {\pi }}\,{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{\alpha }})}{\Gamma ({\frac {n+1}{2}})\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}},\,n\geq -1.\end{aligned}}}$

Функция создания момента

MGF можно выразить функцией Фокса-Райта или H-функцией Фокса :

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\alpha }(s)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m_{n}\,s^{n}}{n!}}={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{\alpha }})\,s^{n}}{\Gamma (n+1)^{2}}}\\&={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{}_{1}\Psi _{1}\left[({\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }});(1,1);s\right],\,\,{\text{or}}\\&={\frac {1}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}H_{1,2}^{1,1}\left[-s{\bigl |}{\begin{matrix}(1-{\frac {1}{\alpha }},{\frac {1}{\alpha }})\\(0,1);(0,1)\end{matrix}}\right]\\\end{aligned}}}$

В качестве проверки, в ( см. ниже) можно расширить по Тейлору до . ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle M_{\frac {1}{2}}(s)=(1-4s)^{-{\frac {3}{2}}}}$ ${\displaystyle {}_{1}\Psi _{1}\left[(2,2);(1,1);s\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (2n+2)\,s^{n}}{\Gamma (n+1)^{2}}}}$ ${\displaystyle \Gamma ({\frac {1}{2}}-n)={\sqrt {\pi }}{\frac {(-4)^{n}n!}{(2n)!}}}$

Известный аналитический случай – квартик стабильный счет

Когда , — распределение Леви , которое является обратным гамма-распределением. Таким образом, — смещенное гамма-распределение формы 3/2 и масштаба , ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle L_{1/2}(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{1/2}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$ ${\displaystyle 4\theta }$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{4{\sqrt {\pi }}\theta ^{3/2}}}(\nu -\nu _{0})^{1/2}e^{-(\nu -\nu _{0})/4\theta },}$

где , . ${\displaystyle \nu >\nu _{0}}$ ${\displaystyle \theta >0}$

Его среднее значение равно , а его стандартное отклонение равно . Это называется «квартическим стабильным распределением счетов». Слово «квартическое» происходит от предыдущей работы Лина по лямбда-распределению ^[6] , где . В этой настройке многие грани стабильного распределения счетов имеют элегантные аналитические решения. ${\displaystyle \nu _{0}+6\theta }$ ${\displaystyle {\sqrt {24}}\theta }$ ${\displaystyle \lambda =2/\alpha =4}$

Центральные моменты p равны . CDF равна , где — нижняя неполная гамма-функция . А MGF равна . (См. раздел 3 ^[1] ) ${\displaystyle {\frac {2\Gamma (p+3/2)}{\Gamma (3/2)}}4^{p}\theta ^{p}}$ ${\textstyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\gamma \left({\frac {3}{2}},{\frac {\nu -\nu _{0}}{4\theta }}\right)}$ ${\displaystyle \gamma (s,x)}$ ${\displaystyle M_{\frac {1}{2}}(s)=e^{s\nu _{0}}(1-4s\theta )^{-{\frac {3}{2}}}}$

Частный случай, когда α → 1

По мере увеличения пик распределения становится острее. Частным случаем является случай . Распределение ведет себя как дельта-функция Дирака , ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ ${\displaystyle \alpha \rightarrow 1}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha \to 1}(\nu )\to \delta (\nu -1),}$

где , и . ${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}\infty ,&{\text{if }}x=0\\0,&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}}$ ${\displaystyle \int _{0_{-}}^{0_{+}}\delta (x)dx=1}$

Аналогично, стабильное распределение объема при также становится дельта-функцией, ${\displaystyle \alpha \to 2}$

${\displaystyle V_{\alpha \to 2}(s)\to \delta (s-{\frac {1}{\sqrt {2}}}).}$

Представление серии

На основе представления ряда одностороннего устойчивого распределения имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\sin(n(\alpha +1)\pi )}{n!}}{x}^{\alpha n}\Gamma (\alpha n+1)\\&={\frac {1}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}\sin(n\alpha \pi )}{n!}}{x}^{\alpha n}\Gamma (\alpha n+1)\\\end{aligned}}}$.

Это последовательное представление имеет две интерпретации:

• Во-первых, подобная форма этого ряда была впервые приведена в работе Полларда (1948), ^[7] , а в «Связи с функцией Миттаг-Леффлера» утверждается, что где — преобразование Лапласа функции Миттаг-Леффлера . ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)={\frac {\alpha ^{2}x^{\alpha }}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}\right)}}H_{\alpha }(x^{\alpha }),}$ ${\displaystyle H_{\alpha }(k)}$ ${\displaystyle E_{\alpha }(-x)}$
• Во-вторых, этот ряд является частным случаем функции Райта : (См. раздел 1.4 ^[5] ) ${\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi \Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}{x}^{\alpha n}}{n!}}\,\sin((\alpha n+1)\pi )\Gamma (\alpha n+1)\\&={\frac {1}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}W_{-\alpha ,0}(-x^{\alpha }),\,{\text{where}}\,\,W_{\lambda ,\mu }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!\,\Gamma (\lambda n+\mu )}},\lambda >-1.\\\end{aligned}}}$

Доказательство получено с помощью формулы отражения гамма-функции: , которая допускает отображение: в . Представление Райта приводит к аналитическим решениям для многих статистических свойств устойчивого распределения счетов и устанавливает еще одну связь с дробным исчислением. ${\displaystyle \sin((\alpha n+1)\pi )\Gamma (\alpha n+1)=\pi /\Gamma (-\alpha n)}$ ${\displaystyle \lambda =-\alpha ,\mu =0,z=-x^{\alpha }}$ ${\displaystyle W_{\lambda ,\mu }(z)}$

Приложения

Стабильное распределение подсчета может достаточно хорошо представлять дневное распределение VIX. Предполагается, что VIX распределен как с и (см. раздел 7 ^[1] ). Таким образом, стабильное распределение подсчета является маргинальным распределением первого порядка процесса волатильности. В этом контексте называется «половой волатильностью». На практике VIX редко падает ниже 10. Это явление оправдывает концепцию «половой волатильности». Пример подгонки показан ниже: ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$ ${\displaystyle \nu _{0}=10.4}$ ${\displaystyle \theta =1.6}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$

Ежедневное распределение VIX и соответствие стабильному количеству

Одна из форм SDE с возвратом к среднему значению для основана на модифицированной модели Кокса–Ингерсолла–Росса (CIR) . Предположим, что это процесс волатильности, у нас есть ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$ ${\displaystyle S_{t}}$

${\displaystyle dS_{t}={\frac {\sigma ^{2}}{8\theta }}(6\theta +\nu _{0}-S_{t})\,dt+\sigma {\sqrt {S_{t}-\nu _{0}}}\,dW,}$

где так называемый "vol of vol". "vol of vol" для VIX называется VVIX , который имеет типичное значение около 85. ^[8] ${\displaystyle \sigma }$

Это SDE аналитически поддается обработке и удовлетворяет условию Феллера, поэтому никогда не опустится ниже . Но есть тонкая проблема между теорией и практикой. Было около 0,6% вероятности, что VIX действительно опустился ниже . Это называется «перетеканием». Чтобы решить эту проблему, можно заменить квадратный корень на , где обеспечивает небольшой канал утечки для дрейфа немного ниже . ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\max(S_{t}-\nu _{0},\delta \nu _{0})}}}$ ${\displaystyle \delta \nu _{0}\approx 0.01\,\nu _{0}}$ ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$

Чрезвычайно низкое значение VIX указывает на очень благодушный рынок. Таким образом, условие перелива, , несет определенное значение - когда оно происходит, оно обычно указывает на затишье перед бурей в деловом цикле. ${\displaystyle S_{t}<\nu _{0}}$

Генерация случайных величин

Как показывает модифицированная модель CIR выше, для моделирования последовательностей случайных величин стабильного количества требуется другой входной параметр . Стохастический процесс возврата к среднему принимает форму ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle dS_{t}=\sigma ^{2}\mu _{\alpha }\left({\frac {S_{t}}{\theta }}\right)\,dt+\sigma {\sqrt {S_{t}}}\,dW,}$

который должен производить то, что распределяется как . И это указанное пользователем предпочтение того, как быстро должно меняться. ${\displaystyle \{S_{t}\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta )}$ ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle S_{t}}$

Решая уравнение Фоккера-Планка , решение для в терминах имеет вид ${\displaystyle \mu _{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mu _{\alpha }(x)&=&\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\left(x{d \over dx}+1\right){\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)}{{\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)}}\\&=&\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[x{d \over dx}\left(\log {\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)\right)+1\right]\end{array}}}$

Его также можно записать как отношение двух функций Райта,

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mu _{\alpha }(x)&=&\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {W_{-\alpha ,-1}(-x^{\alpha })}{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }}+1)\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }(x)}}\\&=&\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {W_{-\alpha ,-1}(-x^{\alpha })}{W_{-\alpha ,0}(-x^{\alpha })}}\end{array}}}$

При этот процесс сводится к модифицированной модели CIR, где . Это единственный частный случай, когда — прямая линия. ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle \mu _{1/2}(x)={\frac {1}{8}}(6-x)}$ ${\displaystyle \mu _{\alpha }(x)}$

Аналогично, если асимптотическое распределение имеет вид , то решение, обозначенное ниже, имеет вид ${\displaystyle V_{\alpha }(s)}$ ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \mu _{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \mu (x;V_{\alpha })}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}\mu (x;V_{\alpha })&=&\displaystyle -{\frac {W_{-{\frac {\alpha }{2}},-1}(-{({\sqrt {2}}x)}^{\alpha })}{W_{-{\frac {\alpha }{2}},0}(-{({\sqrt {2}}x)}^{\alpha })}}-{\frac {1}{2}}\end{array}}}$

При , он сводится к квадратному многочлену: . ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \mu (x;V_{1})=1-{\frac {x^{2}}{2}}}$

Стабильное расширение модели CIR

Ослабляя жесткую связь между термином и приведенным выше термином, можно построить устойчивое расширение модели CIR как ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle dr_{t}=a\,\left[{\frac {8b}{6}}\,\mu _{\alpha }\left({\frac {6}{b}}r_{t}\right)\right]\,dt+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,dW,}$

которая сводится к исходной модели CIR при : . Таким образом, параметр контролирует скорость возврата к среднему, параметр местоположения устанавливает, где находится среднее, является параметром волатильности, а является параметром формы для устойчивого закона. ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle dr_{t}=a\left(b-r_{t}\right)dt+\sigma {\sqrt {r_{t}}}\,dW}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \alpha }$

Решая уравнение Фоккера-Планка , получаем решение для функции плотности вероятности : ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle r_{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}p(x)&\propto &\displaystyle \exp \left[\int ^{x}{\frac {dx}{x}}\left(2D\,\mu _{\alpha }\left({\frac {6}{b}}x\right)-1\right)\right],{\text{ where }}D={\frac {4ab}{3\sigma ^{2}}}\\&=&\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }\left({\frac {6}{b}}x\right)^{D}\,x^{D-1}\end{array}}}$

Чтобы понять это решение, рассмотрим асимптотически для больших , хвост по-прежнему имеет форму обобщенного гамма-распределения , где в его параметризации , , и . Он сводится к исходной модели CIR при , где с и ; следовательно . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle f(x;a',d,p)}$ ${\displaystyle p={\frac {\alpha }{1-\alpha }}}$ ${\displaystyle a'={\frac {b}{6}}(D\,A(\alpha ))^{-1/p}}$ ${\displaystyle d=D\left(1+{\frac {p}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle p(x)\propto x^{d-1}e^{-x/a'}}$ ${\displaystyle d={\frac {2ab}{\sigma ^{2}}}}$ ${\displaystyle A(\alpha )={\frac {1}{4}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{a'}}={\frac {6}{b}}\left({\frac {D}{4}}\right)={\frac {2a}{\sigma ^{2}}}}$

Дробное исчисление

Связь с функцией Миттаг-Леффлера

Из раздела 4 ^[9] обратное преобразование Лапласа функции Миттаг-Леффлера имеет вид ( ) ${\displaystyle H_{\alpha }(k)}$ ${\displaystyle E_{\alpha }(-x)}$ ${\displaystyle k>0}$

${\displaystyle H_{\alpha }(k)={\mathcal {L}}^{-1}\{E_{\alpha }(-x)\}(k)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }E_{2\alpha }(-t^{2})\cos(kt)\,dt.}$

С другой стороны, Поллард (1948) дал следующее соотношение ^[7]:

${\displaystyle H_{\alpha }(k)={\frac {1}{\alpha }}{\frac {1}{k^{1+1/\alpha }}}L_{\alpha }\left({\frac {1}{k^{1/\alpha }}}\right).}$

Таким образом , мы получаем связь между стабильным распределением счетов и функцией Миттаг-Леффтера: ${\displaystyle k=\nu ^{\alpha }}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {\alpha ^{2}\nu ^{\alpha }}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}\right)}}H_{\alpha }(\nu ^{\alpha }).}$

Это соотношение можно быстро проверить в точке , где и . Это приводит к известному результату квартикального стабильного счета: ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle H_{\frac {1}{2}}(k)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-k^{2}/4}}$ ${\displaystyle k^{2}=\nu }$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu )={\frac {\nu ^{1/2}}{4\,\Gamma (2)}}\times {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-\nu /4}={\frac {1}{4\,{\sqrt {\pi }}}}\nu ^{1/2}\,e^{-\nu /4}.}$

Связь с дробным по времени уравнением Фоккера-Планка

Обычное уравнение Фоккера-Планка (FPE) имеет вид , где — пространственный оператор Фоккера-Планка, — коэффициент диффузии , — температура, — внешнее поле. Дробное по времени FPE вводит дополнительную дробную производную, такую ​​что , где — дробный коэффициент диффузии. ${\displaystyle {\frac {\partial P_{1}(x,t)}{\partial t}}=K_{1}\,{\tilde {L}}_{FP}P_{1}(x,t)}$ ${\displaystyle {\tilde {L}}_{FP}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {F(x)}{T}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}$ ${\displaystyle K_{1}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle \,_{0}D_{t}^{1-\alpha }}$ ${\displaystyle {\frac {\partial P_{\alpha }(x,t)}{\partial t}}=K_{\alpha }\,_{0}D_{t}^{1-\alpha }{\tilde {L}}_{FP}P_{\alpha }(x,t)}$ ${\displaystyle K_{\alpha }}$

Пусть в , мы получаем ядро ​​для дробного по времени FPE (уравнение (16) из ^[10] ) ${\displaystyle k=s/t^{\alpha }}$ ${\displaystyle H_{\alpha }(k)}$

${\displaystyle n(s,t)={\frac {1}{\alpha }}{\frac {t}{s^{1+1/\alpha }}}L_{\alpha }\left({\frac {t}{s^{1/\alpha }}}\right)}$

откуда дробная плотность может быть рассчитана из обычного раствора через ${\displaystyle P_{\alpha }(x,t)}$ ${\displaystyle P_{1}(x,t)}$

${\displaystyle P_{\alpha }(x,t)=\int _{0}^{\infty }n\left({\frac {s}{K}},t\right)\,P_{1}(x,s)\,ds,{\text{ where }}K={\frac {K_{\alpha }}{K_{1}}}.}$

Так как посредством замены переменной , то указанный выше интеграл становится распределением произведения с , аналогично концепции «лямбда-разложения», и масштабированием времени : ${\displaystyle n({\frac {s}{K}},t)\,ds=\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right){\frac {1}{\nu }}\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta =K^{1/\alpha })\,d\nu }$ ${\displaystyle \nu t=s^{1/\alpha }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ ${\displaystyle t\Rightarrow (\nu t)^{\alpha }}$

${\displaystyle P_{\alpha }(x,t)=\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\,{\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta =K^{1/\alpha })\,P_{1}(x,(\nu t)^{\alpha })\,d\nu .}$

Здесь интерпретируется как распределение примеси, выраженное в единицах , вызывающее аномальную диффузию . ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\theta =K^{1/\alpha })}$ ${\displaystyle K^{1/\alpha }}$

Смотрите также

• Полет Леви
• Процесс Леви
• Дробное исчисление
• Аномальная диффузия
• Неполная гамма-функция и гамма-распределение
• Распределение Пуассона

Ссылки

1. Лихн, Стивен (2017). «Теория доходности активов и волатильности при стабильном законе и стабильном лямбда-распределении». SSRN  3046732.
2. Поль Леви, Исчисление вероятностей, 1925 г.
3. Penson, KA; Górska, K. (2010-11-17). "Точные и явные плотности вероятности для односторонних распределений Леви". Physical Review Letters . 105 (21): 210604. arXiv : 1007.0193 . Bibcode :2010PhRvL.105u0604P. doi :10.1103/PhysRevLett.105.210604. PMID  21231282. S2CID  27497684.
4. Lihn, Stephen (2020). «Стабильное распределение количества для индексов волатильности и пространственно-временная обобщенная стабильная характеристическая функция». SSRN  3659383.
5. Mathai, AM; Haubold, HJ (2017). Дробное и многомерное исчисление . Springer Optimization and Its Applications. Том 122. Cham: Springer International Publishing. doi : 10.1007/978-3-319-59993-9. ISBN 9783319599922.
6. Лихн, Стивен ХТ (26.01.2017). «От улыбки волатильности к вероятности, нейтральной по отношению к риску, и решение в замкнутой форме функции локальной волатильности». SSRN  2906522.
7. Поллард, Гарри (1948-12-01). "Полностью монотонный характер функции Миттаг-Леффлера Ea(−x)". Бюллетень Американского математического общества . 54 (12): 1115–1117. doi : 10.1090/S0002-9904-1948-09132-7 . ISSN  0002-9904.
8. "УДВОЙНИТЕ УДОВОЛЬСТВИЕ С индексом VVIX CBOE" (PDF) . www.cboe.com . Получено 09.08.2019 .
9. Саксена, РК; Матай, АМ; Хаубольд, Х.Дж. (01.09.2009). «Функции Миттаг-Леффлера и их приложения». arXiv : 0909.0230 [math.CA].
10. Баркай, Э. (29.03.2001). «Дробное уравнение Фоккера-Планка, решение и применение». Physical Review E. 63 ( 4): 046118. Bibcode : 2001PhRvE..63d6118B. doi : 10.1103/PhysRevE.63.046118. ISSN  1063-651X. PMID  11308923. S2CID  18112355.

Внешние ссылки

• Пакет R «stabledist» от Дитхельма Вюрца, Мартина Мейхлера и членов основной команды Rmetrics. Вычисляет стабильную плотность, вероятность, квантили и случайные числа. Обновлено 12 сентября 2016 г.